skkn chuyên đề giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Đối với đa số học sinh việc tìm lời giải cho bài toán hình học không gian là không đơn giản, nhưng nếu sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học không gian thì họ

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

7 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

1 Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học

2 Năm nhận bằng: 2000

3 Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

1 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán

2 Số năm kinh nghiệm: 12 năm

B CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học không gian là nội dung khó trong chương trình toán học phổ thông Đối với

đa số học sinh việc tìm lời giải cho bài toán hình học không gian là không đơn giản, nhưng nếu sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học không gian thì học sinh lại tiếp thu tốt hơn Bởi vì đa số học sinh đều có được khả năng tính toán tốt hơn khả năng dựng hình, chứng minh

Mặt khác hình học không gian còn gắn liền với thực tế và cũng là một trong những nội dung bắt buộc trong các trong các kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học Do đó tôi viết chuyên đề này với một mục đích là chỉ ra cho các em học sinh thấy rằng ta có thể dùng

phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian trong đề thi đại học Qua đó

các em sẽ thấy tự tin hơn trong quá trình tìm lời giải cho bài toán hình học không gian, không còn có tư tưởng khi gặp câu hình học không gian (nhất là trong đề thi đại học) cứ nghĩ là khó, bỏ qua

Tuy các sự kiện của hình học không gian đều có thể thể hiện theo cách thức của hình học giải tích ở những mức độ khó, dễ khác nhau Do đó có những bài toán hình học không gian gặp nhiều khó khăn khi chuyển sanh hình học giải tích Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian khá hữu hiệu trong việc giải toán hình học không gian, nhưng ta không nên tuyệt đối hóa nó

Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy cô đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

Người viết chuyên đề

II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

PHẦN A: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Vào năm 1637, nhà toán học người Pháp là René Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ, đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học

Để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, ta thực hiện các bước sau:

 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

 Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cố định cho trước, nhất là các điểm có liên quan đến bài toán

 Bước 3: Chuyển bài toán hình học không gian sang hình học giải tích

 Bước 4: Giải bài toán hình học giải tích và kết luận

Nhưng cho dù sử dụng phương pháp nào đi chăng nữa cũng đòi hỏi học sinh phải nắm được các tính chất về mối quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa mặt phẳng và mặt phẳng để có thể thực hiện tốt bước 1 và bước 2

PHẦN B: KIẾN THỨC CẦN NẮM

I Tọa độ của điểm và của vectơ

a Hệ tọa độ

Hệ gồm ba trục Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc

Trong đó: ir: vectơ đơn vị trên trục Ox

j

r

: vectơ đơn vị trên trục Oy

kr: vectơ đơn vị trên trục Oz O: gốc tọa độ

Các mp(Oxy), (Oyz), (Oxz) được gọi là các mặt

phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là

không gian Oxyz

b Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, ar  xir y jrzkr  ar = (x; y; z)

c Tọa độ của điểm

II Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lý: Trong không gian Oxyz, cho ar (a a a1; 2; 3) và br ( ; ; )b b b1 2 3 Ta có:

.

r r

III Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ nr  0r được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () nếu nr vuông góc với mặt phẳng ()

Lưu ý: Nếu nr là vtpt của mp() thì k nr cũng là vtpt của mp()

2 Tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ u a b cr( ; ; ) và v a b cr( '; '; ') Tích có hướng của hai vectơ ur và vr, ký hiệu u vr r,  hoặc ur vr, được xác định bằng tọa độ như sau:

o Tính thể tích tứ diện

1

6

ABCD

V  BCuuurBD BAuuur uuur

3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng () đi qua điểm M0(x y z0; 0; 0) và có VTPT nr(A; B; C) có phương trình tổng quát là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

 Ax + By + Cz + D = 0 (với D = -Ax0 - By0 - Cz0)

Ngược lại, phương trình có có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (với A2

+ B2 + C2  0) đều là phương trình tổng quát của mặt phẳng

4 Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát của mp:

TH1: Mp song song hoặc chứa trục tọa độ

Mp song song với trục Oz: Ax + By + D = 0 (D  0)

TH 2: Mp song song với mp tọa độ hoặc trùng với mp tọa độ

Mp song song với mp(Oxy): z + D = 0 (D  0)

a  b c (gọi là phương trình của mp theo đoạn chắn)

5 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mp (): Ax + By + Cz + D = 0 và mp ('): A'x + B'y + C'z + D' = 0

Cho mp(): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x y z0; 0; 0) Khoảng cách từ điểm

M0 đến mp(), ký hiệu là d(M0,) được tính theo công thức sau:

o o o

o o o

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Trong không gian, giữa hai đường thẳng có bốn vị trí tương đối: song song, cắt nhau, trùng nhau và chéo nhau

4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng ta thực hiện các bước sau:

 Bước 1: Tìm vtcp ar của đường thẳng và vtpt nr của mặt phẳng

 Bước 2: Tính tích vô hướng nr.ar

 Bước 3: Nếu nr.ar = 0, chuyển sang bước 4, còn nếu nr.ar  0 thì kết luận đường thẳng cắt mặt phẳng

 Bước4: Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng, xét xem M có thuộc mặt phẳng

hay không? nếu M cũng thuộc mặt phẳng thì kết luận đường thẳng nằm trong mặt phẳng, còn nếu M không thuộc mặt phẳng thì kết luận đường thẳng song song với mặt phẳng

Lưu ý: Nếu vtcp ar của đường thẳng cùng phương với vtpt nr của mặt phẳng (tức là ar

= knr) thì đường thẳng vuông góc với mp

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2, trong đó  1 đi qua điểm

1

M và có vtcp a1

ur, 2 đi qua điểm M2 và có vtcp a2

uur là:

PHẦN C: BÀI TẬP

DẠNG 1: Bài toán cho trước ba đường đôi một vuông góc

Bài 1: (KHỐI D – 2012) Cho hình hộp đứng

' ' ' '

ABCD A B C D có đáy là hình vuông, tam giác

A’AC vuông cân, AC = a

a) Tính thể tích của khối tứ diện ABBC

C

D

A'

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB = a, AA' = 2a, A C'  3a Gọi M là trung điểm của

đoạn thẳng ' 'A C và I là giao điểm của AM và A’C

a) Tính thể tích khối tứ diện IABC

B(0; 0; 2a), A(a; 0; 2a), C(0; 2a; 2a)

Vì M là trung điểm của ' 'A C  ; ; 2

ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông, AB = BC

= a, AA'a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, BC

b) Tính d(AM, BC)

; ; 0 2

Bài 4: (KHỐI A – 2007) Cho hình chóp

S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

mặt bên SAD là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của các

cạnh SB, BC, CD

a) Chứng minh AM vuông góc với BP

b) Tính thể tích khối tứ diện CMNP

Giải

Gọi I là trung điểm AD

Vì SAD cân tại S, nên SI  AD

 

a a

C

A

B

D S

V  MNuuuurMP MCuuur uuuur   

Bài 5: (KHỐI B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là

trung điểm của AE, N là rung điểm của BC

a) Chứng minh MN vuông góc với BD

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN

và AC

Giải

Gọi O là trung điểm của AC và BD

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:

N

M E

I

O C

A

D

B

S

Bài 6: (KHỐI D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình thang, · · 0

90

ABCBAD ,

BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc

với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông

góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD

vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt

phẳng (SCD)

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhu hình vẽ, trong

đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; 2a; 0)

S0; 0;a 2

* Tìm tọa độ điểm H

Ta có SBuura; 0; a 2 là VTCP của đường thẳng SB

Đường thẳng SB qua B(a; 0; 0) và có VTCP ur 1;0;  2 có phương trình 0

2

x a t y

x

C

D A

B S

H

Ta có  2 2 2

CSuuurCDuuur a a  a là VTPT của mp(SCD)

Mp(SCD) đi qua S0; 0;a 2 và nhận nr 1;1; 2 làm VTPT có phương trình:

d H SDCD

 

Bài 7: (KHỐI B – 2006) Cho hình chóp

S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA

vuông góc mp(ABCD) Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AD và SC, I là

giao điểm của BM và AC

z

x

y N

I M

 Phương trình đường thẳng AC:

'

2 ' 0

a t

DẠNG 2: Bài toán cho trước hai đường cắt nhau vuông góc và chiều cao của hình

Bài 1: (KHỐI A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy

ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai

mp(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC) Gọi

M là trung điểm của AB, mp qua SM và song song với

BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mp (SBC) và (ABC)

 góc giữa hai mp (SBC) và (ABC) bằng góc giữa SB và AB bằng góc ·SBA = 600

Chọnhệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:

B(0; 0; 0), A2 ;0; 0a , C(0; 2a; 0), S2 ;0; 2a a 3

M là trung điểm AB  M(a; 0; 0)

N là trung điểm AC  N(a; a; 0)

A S

vuông góc của điểm A1 trên mp(ABCD)

trùng với giao điểm của AC và BD Góc

giữa hai mp(ADD1A1) và (ABCD) bằng

Từ (1), (2)  ·A HI là góc giữa hai mặt phẳng (ADD1 1A1) và (ABCD)  ·A HI1 600

A1HI vuông tại I  A1I = HI.tan ·A HI = 1 tan 600 3

D1

C1

B1

I C

A

D

B

A1

Bài 3: (KHỐI D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có

đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a,

mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB = 2a 3

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:

B(0; 0; 0), A(3a; 0; 0), C(0; 4a; 0), H(0; 3a; 0), S(0; 3a; a 3)

A

S

Bài 4: (KHỐI A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H

là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)

M là trung điểm của AB  M ; 0; 0

x t

y a t z

N M

C

B

S

Bài 5: (KHỐI D – 2010) Cho hình chóp

S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, SA = a Hình chiếu vuông góc của

đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), H ; ; 0

a) Chứng minh M là trung điểm của SA

* Tìm M là hình chiếu của C trên SA

ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3

và hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) là

trung điểm của cạnh BC

a) Tính thể tích khối chóp A’ABC

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA’

và B’C’

Giải Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, trong đó:

a x a y

DẠNG 3: Bài toán cho trước chiều cao của hình

Bài 1: (KHỐI A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có

đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc

của trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh

AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC

và mặt phẳng (ABC) bằng 600

a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

Gọi O là trung điểm của cạnh AB, vẽ Oz // SH

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trong đó:

A

C

B S

Bài 2: (KHỐI B – 2012) Cho hình chóp tam giác đều

S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông

góc của A trên cạnh SC

a) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a

B S

H

x a

Bài 3: (KHỐI B – 2008) Cho hình

chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và

(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của các cạnh

a a

a a

 , S

3 0; 0;

33

C

A

D

B

Bài 4: (KHỐI D – 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA

vuông góc với mp(ABC) Gọi M, N lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC

Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Giải

Gọi O là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó:

 Phương trình đường thẳng SC:

'3

3 '2

4 '

x t a

Bài 2: (KHỐI D – 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC),

AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mpBCD)

Bài 3: (KHỐI B – 2002) Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1 có cạnh bằng a

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A B1 và B D1

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A D1 1 Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C N1

Bài 4: (KHỐI A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S, có độ dài cạnh

đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB, SC Tính diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC)

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB

= AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD vuông góc với mp(ABCD), SD = a

a) Chứng minh tam giác SBC vuông Tính diện tích tam giác SBC

b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)

Bài 6: (CĐ - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD

a) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật

b) Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a

Bài 7: (CĐ - 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP

b) Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP

Bài 8: Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với

đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng () đi qua AM và song song

với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thế tích khối chóp S.AEMF

-

TIỂU SỬ CỦA RENÉ DESCARTES

(1596 – 1650)

Ông sinh tại La Haye, Touraine (trước đây là

một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp), Descartes

là con của một gia đình quý tộc nhỏ Lên tám tuổi,

ông được gửi theo học tại trường học của dòng Tên

tại La Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8 năm

Bên cạnh những môn học cổ điển, Descartes còn

học toán ở các thầy theo trường phái Kinh viện,

một học phái chủ trương dùng lý luận của loài

người để hiểu lý thuyết Kitô giáo Thiên Chúa giáo

La Mã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt cuộc đời

Descartes Sau khi ra trường, ông theo học luật tại

Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616 Tuy vậy,

ông chưa hề hành nghề luật; năm 1618 ông phục

vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo

của Liên hiệp các tỉnh Hà Lan, với ý định theo

đuổi một cuộc đời binh nghiệp Những năm tiếp

theo, Descartes phục vụ các quân đội khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học và triết học Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau đó từ

1624 đến 1628, ông ở Pháp Trong thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học và làm các thí nghiệm về quang học Năm 1629, ông chuyển sang sống ở Hà Lan, và cống hiến hết đời mình cho toán học, khoa học và triết học

Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng

-