SKKN ỨNG DỤNG TÍNH đơn điệu để GIẢI một số bài TOÁN

Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trình ,hệ phương trình,giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ,cực trị… thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Trường THPT Bình Sơn



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI

Sở GD&ĐT Đồng Nai CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Bình Sơn Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

4 Địa chỉ : Ấp 1 –Bình Sơn –Long Thành _Đồng Nai

5 Điện thoại : Cơ quan : 0613533100

ĐTDĐ :

6 E-mail :

7 Chức vụ : Giáo viên

8 Đơn vị công tác : Trường THPT Bình Sơn

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO :

- Học vị : Cử nhân

- Năm nhận bằng : 2005

- Chuyên ngành đào tạo : Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC :

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm :

- Số năm có kinh nghiệm : 7 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 7 năm gần đây : Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương trình toán phổ thông nói riêng Quan điểm hàm số cần được quán triệt trong toàn bộ chương trình toán ở trường trung học phổ thông Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trình ,hệ phương trình,giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ,cực trị… thường

có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp Lý thuyết về hàm

số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình,giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất,cực tri… được trình bày khá rõ ràng trong SGK và một số sách tham khảo khác

Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác SGK đã trình bày rất rõ về định nghĩa

và các tính chất của hàm số; phương trình ; bất phương trình , hệ phương trình ,tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất, cực trị…: Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12

có thể tìm hiểu sâu hơn về hàm số và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như ứng dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình , hệ phương trình ,bất đẳng thức,tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất, cực trị…:

II THỰC TRẠNG TRUỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI :

1 Thuận lợi : Được sự giúp đỡ của đồng nghiệp và sự quan tâm của nhà trường

2 Khó khăn: Trường THPT Bình Sơn thuộc diện vùng sâu vùng xa của tỉnh Đồng Nai , học sinh tương đối yếu và không đồng đều nên việc dạy và học của thầy và trò rất khó khăn trong việc triển khai đề tài nay

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI :

1 Cơ sở lý luận : Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó,tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất ,cực trị…trong các sách bồi dưỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ và cả trên thư viện toán điện tử vv Mỗi bài mỗi vẽ, có nhiều hướng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phương pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ Song thời gian dạy và hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó,tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất,cực trị… Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện các phương pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm

2 Một số biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài :

1) Cơ sở lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

2) Những bài toán chọn lọc về ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

3) Một số giải pháp dạy học ứng dụng tính đơn điệu của hàm số nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh trường THPT Bình Sơn

4) Những kết quả đạt được Kết luận

IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM :

Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được một

số kinh nghiệm trong công tác dạy học,sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao Trong khuôn khổ

đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT"

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT

Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt những ví dụ minh hoạ phù hợp với trình độ học sinh Một số bài tập chọn lọc về bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình , hệ phương trình ,tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất, cực trị…:

nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng của minh Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số,

Bên cạnh đó việc nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai

Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục

Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu sót Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hơn

V KẾT LUẬN :

Ứng dụng các tính đơn điệu của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn Tuy nhiên với khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một số ứng dụng trên

Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh khá giỏi của trường THPT Bình Sơn trong các đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng ,bồi dưỡng học sinh giỏi và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động ; đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp

để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán

học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng

thực tiễn trong cuộc sống sau này

Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO :

1 Sách giáo khoa Đại số 10 – NXB giáo dục

2 Sách giáo khoa Giải tích 12– NXB giáo dục

3 Sách giáo viên Giải tích 12– NXB giáo dục

4 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số và Giải tích 12 – NXB ĐHQG Hà Nội

5 Sách giải các đề thi Đại Học – Cao Đẳng

6 Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình - Trần Phương

Bình Sơn, ngày 18 tháng 5 năm 2013…

Người thực hiện

Nguyễn Cảnh Thắng

Phần hai : NỘI DUNG SKKN

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI

Sáng kiến kinh nghiệm :

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

* Tính đơn điệu của hàm số:

a.Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b)

- Hàm số f(x) được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi

) ( ) ( );

; )

Nếu hàm số f(x) chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)  0

có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

Chứng minh:

a) Trường hợp hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b)

Giả sử có hai số x1,x2(x1 x2) sao cho f(x1)  f(x2)  0 * Điều (*) này gặp phải mâu thuẩn, vì x1 x2  f(x1)  f(x2) x1 (a;b),x2 (a;b) (do hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b))

b) Trường hợp hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b)

Giả sử có hai số x1,x2(x1 x2) sao cho f(x1)  f(x2)  0 * Điều (*) này gặp phải mâu thuẩn, vì x1x2  f x( )1  f x( 2)  x1 ( ; ),a b x2 ( ; )a b (do hàm số f(x) giảm trong

Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1

Bài 2: Giải phương trình: 2 2

Bài 3:Giải phương trình: 4x  1 4x   1 1 (1)

Giải: Điều kiện: 1

x là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 4:Giải phương trình: x x  5 x  7 x 16  14 (1)

Giải: Điều kiện: x 5 Đặt f x( )  x x  5 x  7 x 16

Mà f(9)  14 nên x 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 5:Giải phương trình sau: 3 2 x   1 3 2 x   2 3 2 x   3 0 (1)

1

; 0 ) 3 2 (

2 )

2 2 (

2 )

1 2 (

2 )

x x

duy nhất của phương trình đã cho

Bài 6:Giải phương trình : 3 3

  nên hàm số đồng biến trên nữa

khoảng

3

1

[ ; )

5  Mà f  1  4nên x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 7: Giải phương trình : 3 2

2x  3x  6x 16  2 3  4 x (1) Giải:

Mà f  1  2 3 nên x 1là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 8:Giải phương trình: x2 2 x 1 3 x  6 4 x6 2 x 1 3 x2

Mà f  7  4nên x 7là nghiệm duy nhất của phương trình

2

x  x

Bài 11:Giải phương trình :  2   

Bài 12:Giải phương trình: 5 4 3 2 1 1 1 2 3 5 2 7 17

Nghiệm của f (x)  g(x) là hoành độ giao điểm của y f x  và yg x 

Do f (x) tăng; g(x) giảm và f 1 g 1 13 nên (1) có nghiệm duy nhất x  1

Bài 13:Giải phương trình : sin 2 cos 2

2013 x 2013 x  cos 2x

2013 x 2013 x cos x sin x 2013 x sin x 2013 x cos x (*)

1)2232(5

32323

)3()()

2

x x

x u

f u f

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1

Bài 17:Giải bất phương trình: x  1 3 5x  7 4 7x  5 5 13x  7 8 (1)

Giải Điều kiện 5

2 01

63

t t

2)

x  x  x m (1) Giải:

Nhận xét ứng với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng 1 nghiệm của phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm không âm

Xét hàm số   4 4

3

f t  t  t với t0

4

( 3)

t

t

 < 0

Mà f  0  4 3 và lim   0

  nên có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là: 0 m 43

Bài 24: Tìm m để phương trình : x2 + 2

1

x  -2m -1=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn [0; 3]

Giải: Đặt t = 2

1

x  , t 1 Khi x [0; 3] => t [1;2]

Bài toán trở thành tìm m để phương trình : t2

+t =2m +2 có nghiệm t [1;2]

Xét hàm số : f(t) = t2

+ t , t [1;2] => f’(t) = 2t+1 ,f’(t) =0  t=- ½ BBT

t -1/2 1 2

f’(t) - 0 + +

f(t) 6

2

Yêu cầu bài toán trở thành : 22m+26  0m2

Bài 25: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm : x3 +3x2 -1 3 ( 1) a x x    (1)

Giải: Đk: x1 (1)   3 2 3 3 1 1 x x a x x          3

3 2 3 1 1 x x x x a       (*)

Ta thấy hàm số : f(x) =   3 3 2 3 1 1 x  x  x x đồng biến trên [1;+ ) Suy ra :f(x) f(1)=3 => a3 thi bất phương trình có nghiệm 1.Bài tập rèn luyện Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1/ x  5 2x  3 9 2/ x2   x 1 x2   x 1 3 1  3/ 2 2 1 1 1 1 x x   x x  x   x 4/ 2 2 2 3 6 11 3 1 x  x  x  x   x x t 0 

f’(t) -

f(t)

4 3 0

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:

Bài 1 Giải hệ phương trình:

t >0 ,với t0

=> Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;0) và (0; +)

(1) => f(x) = f(y)  x=y thế vào (2) ta được:

1 5

, ( ) 2

cos

(*)sin

sin

y x

y x

y x

y x

Giải:

Ta có (*) xsinx ysin y (5)

Đặt f(t)tsint, với tR

R t t

sinx cosx 2cosx(sinx cosx) 0

(sinxcos )(2cosx x 1) 0

1cos

01cos

t

t t

Bài 8: Giải hệ phương trình:

v



-3)v2 =0  u3 +u =v3+ v (*)

v



)2 +2 3 2u =7  8 3 2u =-u4 +6u2 +3 (3)

z z z y

y y y x

2312

2312

2312

)(12

)(12

x f z

z f y

y f x

* Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự liên tục của

hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng

Chẳng hạn đối với bài toán:

1 1

3

x y

y

y x

; ( 0

)

; (

) ( ) (

y x F

y x y

x F

y f x f

f x



   , ở đây kí hiệu g(x) = x cosx  sinx

Ta có g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < 0  x 0,



 

 với

x t y

(xy)  4xy 2 Giải :Ta luôn có kết quả : 2

9 4 '( ) 2 '( ) 0

Vậy

1 2

- Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được:

Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của T

Bài 5:Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện 21ab 2bc 8ca 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2 3

x y

f x

Khi đó từ bảng biến thiên , ta có:

2 0

g y( )

15 2

Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) ( )5

4

g y g

5 15 ( ) ( )

Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta có thể gải sử : 0   a b c

Vì chu vi bằng 3 nên a + b + c=3 nên    a b 3 c mà 1 3

Suy ra T  f c( )  f(1)  13 khi c=1; a=1; b=1

Vậy minP=13 khi a=b=c=1

Bài 7: Cho 2 số thực x,y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x(1-y)=y. 2

Để tồn tại giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của tỉ số x

x x

Bài 9: Cho hai số thực x,y thỏa mãn 0< x  1, 0< y  1 và x+y = 4xy

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M= x2 + y2 -7xy

Giải: Ta có 0< x  1, 0< y  1 => 0< x+y 2

M= x2 + y2 -7xy = (x+y)2 -9xy = (x +y)2 – 9

4(x+y) Xét hàm số : f(t)=t2

-9

4t , 0< t 2 => f’(t) = 2t-9

4 f’(t) =0 9

8

t

 

BBT

t 0 9

8 2

f’(t) - 0 +

f(t) 0 1

2  -81

64

Giá trị nhỏ nhất là 81 64  ,tại t =9 8 9 3 3 8 4 8 3 9 3 8 32 4 x y x x v y xy y                             Bài 10:Cho hàm số f(x) =ex –sinx + 2 2 x .Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình : f(x) = 3 có đúng 2 nghiệm Giải: Xét hàm số: f(x) =ex –sinx + 2 2 x Tập xác định : D = R f’(x)= ex –cosx +x f”(x) = ex +sinx +1 >0 , x R Bảng biến thiên của f’(x) x - +

f”(x) +

f’(x) +

-

Từ bảng biến thiên ta có : f’(x) đồng biến trên R và f’(0)=0 Vậy phương trình f’(x) =0 có nghiệm duy nhất : x= 0 Bảng biến thiên của hàm số f(x): x - 0 +

f’(x) - 0 +

+  +

f(x)

1

Từ bảng biến thiên ta thấy : inf ( )

R

M x =1 khi x = 0

Đồ thị của hàm số f(x) và y = 3 cắt nhau tại đúng 2 điểm

Nên phương trình f(x) = 3 có đúng 2 nghiệm

Bài tập tương tự:

1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:

x5 x2  2x 1  0 (Đại học, cao đẳng khối D – 2004)

2 Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

1 1

1 2 ) 2 1

1 (

1 2 log2 2  2 

Sở GD&ĐT Đồng Nai CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường THPT Bình Sơn Độc lập – Tự do – Hạnh phúc



Bình Sơn, ngày 18 tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2012 – 2013 Tên sáng kiến kinh nghiệm : ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Họ và tên tác giả : Nguyễn Cảnh Thắng Tổ : Toán -Tin

Lĩnh vực :

Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn 

1 Tính mới :

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2 Hiệu quả :

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn

(Kí và ghi rõ họ tên) (Kí, ghi rõ họ tên và đóng dấu)