skkn sử DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH

Có rất nhiều bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thì lời giải sẽ khó hiểu,rắc rối .Nhưng nếu áp dụng phương pháp này ,bài toán sẽ trở thành đơn giản ,gọn hơn rất nhiều .Đó ch

[Type text]

Phần 1: Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới Để kịp với xu hướng này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra Một trong số đó chính là làm sao để có được những phương pháp giải toán hay ,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy

Có rất nhiều bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thì lời giải sẽ khó hiểu,rắc rối Nhưng nếu áp dụng phương pháp này ,bài toán sẽ trở thành đơn giản ,gọn hơn rất nhiều Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này ,ngoài ra phương pháp sử dụng tính đơn điệu còn phát huy sự ưu việt trong nhiều trường hợp khác

Nói tóm lại,phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị

ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi đại học và cao đẳng.Nó sẽ giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất ,hay nhất và chính xác nhất

Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông, chúng ta gặp rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường

để giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác

Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hoá lại bài tập ,để học sinh và giáo viên bớt lúng túng hơn

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán ,chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất

phương trình ,hệ phương trình.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa tính đồng biến

và nghịch biến của một hàm số với đạo hàm của nó

Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận ra ngay từ đầu ,còn trong các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện ra chúng

Phần 2 : PHƯƠNG PHÁP ,CÁCH THỨC THỰC HIỆN

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1) Nhắc lại tính đơn điệu của hàm số

a) Hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi x1;x2

thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thỡ f(x1) < f(x2)

b) Hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi

x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thỡ f(x1) > f(x2)

2) Điều kiện cần và điều kiện đủ của tính đơn điệu

Định lý 1(điều kiện cần): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b)

a Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) thì f '(x)  0, x(a;b)

b Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ) thì f '(x)  0,x(a;b)

Đ ịnh lý 2(điều kiện đủ) : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b)

a Nếu f '(x) > 0, x(a;b) thỡ hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b )

b Nếu f '(x) < 0, x(a;b) thỡ hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b )

Định lý 3 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b)

a Nếu f '(x)  0, x(a;b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a;b) thỡ hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b )

b Nếu f '(x)  0, x(a;b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a;b) thỡ hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b )

3) Hàm số hằng:

Định lý 4 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và f '(x) = 0

x(a;b) thỡ hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a;b)

[Type text]

B MỘT SỐ BÀI TOÁN

1.Phương phỏp :

2 Áp dụng :

I SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH

Sử dụng cỏc tớnh chất đơn điệu của hàm số để giải các phương trỡnh là dạng toỏn khỏ quen thuộc Ta có các hướng ỏp dụng sau:

Hướng 1 : Thực hiện theo các bước :

Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng : f(x) = k (1)

Bước 2 : Xột hàm số y = f(x)

Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử hàm số đồng biến)

Bước 3 : Nhận xột :

 Với x = x0f(x) = f(x0) = k , do đó x = x0 là nghiệm

 Với x > x0 f(x) f(x0) = k , do đó phương trỡnh vụ nghiệm

 Với x < x0 f(x) <f(x0) = k , do đó phương trỡnh vụ nghiệm

Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng : f(x) = g(x) (2)

Bước 2 : Xột hàm số y = f(x) và y = g(x)

Dựng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là hàm đồng biến cũn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc hàm nghịch biến

Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0)

Bước 3 : Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh

Hướng 3 : Thực hiện theo các bước:

Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng f(u) = f(v) (3)

Bước 2 : Xột hàm số y = f(x)

Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử hàm số đồng biến)

Bước 3 : Khi đó : (3)  u = v với u, v Df

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn Nhưng nếu

ta quan sát thấy đạo hàm vế trái luôn dương trên tập xác định của nó thì ta áp dụng

tính đơn điệu sẽ hay hơn

2.Áp dụng:

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn Nhưng nếu

ta quan sát thấy đạo hàm vế trái luôn dương trên tập xác định của nó thì ta áp dụng

tính đơn điệu sẽ hay hơn

Giải: Điều kiện: x1/ 3 Đặt f(x) = x5

+x3 - 1 3x +4

Ta cú f '(x) = 5x4 +3x2 + 3

2 1 3x > 0 với x < 1/3

 f(x) đồng biến trờn (- ; ]

Vậy phương trỡnh (1) nếu cú nghiệm thỡ nghiệm đó là duy nhất

Mặt khỏc x = -1 thỏa phương trỡnh (1) nên phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất x = -1

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn Nhưng nếu

ta quan sát thấy trong căn có chung “ x2 – x ”và đạo hàm luôn dương

(với t = x2 – x ) trên tập xác định của nó thì ta áp dụng tính đơn điệu sẽ hay hơn

Giải : Điều kiện :

 -1≤ x ≤ 2 Đặt t = x2

– x

V ớ d ụ 1 Giải phương trỡnh : x5

+ x3 1 3x + 4 =0 (1)

Ví dụ 2.Giải phương trình: (2)

[Type text]

Phương trình trở thành : , đk 3≤ t ≤ 2

Xét hàm số f(t) = với -3≤ t ≤ 2

Ta có f '(t) =

+

> 0  t(-3; 2) Suy ra hàm số đồng biến trên (-3; 2)

Do đó : phương trình (2a) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Thấy t = 1 thỏa mãn phương trình (2a)

Khi đó : x2

–x = 1  Vậy phương trình có nghiệm

Nhận xét :Bài toán này học sinh khử dấu giá trị tuyệt đối dẫn đến nhiều trường hợp và

phức tạp hơn.Nhưng ta quan sát thấy biểu thức chứa trong hai giá trị tuyệt đối nếu bình

phương từng cái và trừ cho nhau dẫn đến vế trái của phương trình nên tìm cách đưa

về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ giải dễ dàng hơn

Giải : Điều kiện : x ≠ và x ≠ 1

(3)  (2x – 5)2

= (x 1)2

 (*)

Xột hàm số f(t) = t2 với t > 0

Đạo hàm f '(t) = 2t + > 0 , t > 0 nờn hàm số đồng biến trờn ( 0 ; +)

Khi đó : (*)  =  x = 4 v x = 2

Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 4 và x = 2

2 5

V ớ d ụ 4 Giải phương trỡnh : x3 x2

+ 78x (4)

( Olimpic 30/ 04 năm 2011 )

V ớ d ụ 3 Giải phương trỡnh : 3x2

18x + 24 =

(3)

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn Nhưng nếu

ta quan sát thấy số bậc của vế trỏi và số bậc căn của vế phải giống nhau thỡ ta biến đổi

về Hướng 3 theo dạng f(u) = f(v) thì ta áp dụng tính đơn điệu sẽ dễ dàng hơn

Giải: TXĐ: D = R

(4) 

 ) (*)

Xột hàm số f(t) = t3 + 5t với t R

Ta cú f '(t) = 3t2 + 5 > 0 ,

 Hàm số đồng biến trờn R

Khi đó (*) 



Vậy phương trỡnh (4) cú nghiệm x = 4 ;

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì hai cơ số không giống nhau.Nhưng ta Nhận xét :Quan sát thấy biểu thức chứa trong logarit của hai vế chung “ x 2 – 2x” nên

đặt ẩn phụ cho nó rồi tìm cách đưa về phương trình mũ và áp dụng tính đơn điệu sẽ giải

dễ dàng hơn

V ớ d ụ 5 Giải phương trỡnh : (5)

[Type text]

Giải : Điều kiện :

 x < 1- v x > 1+ (5) 

 (a)

Đặt t = x2

– 2x – 4 ( t > 0 ), khi đó :

(a)  (b)

Đặt y =

(b) 

 =  = 1 (c)

Hàm số f(y) = là hàm số nghịch biến trên (-;+) nên phương trình (c) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét thấy y = 1 là nghiệm của phương trình (c)

Khi đó : t = 4  x2 – 2x – 4 = 4  x = 4 v x = -2

Vậy phương trình (5) có nghiệm x = 4, x = -2

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì VT có cơ số còn VP là đa thức.Nhưng ta

quan sát thấy biểu thức phân tích được (x 2

– x) – (x – 1 ) giống số mũ của VT

nên đặt ẩn phụ cho nó rồi tìm cách đưa về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ

giải dễ dàng hơn

Giải : (6)  + x – 1 = + x2 – x

 f(x – 1) = f(x2 – x ) (*)

V ớ d ụ 6 Giải phương trỡnh : = (6)

Xét hàm số f(t) = + t

TXĐ: D = R

f '(t) = .ln2 + 1 > 0  tD  hàm số đồng biến trên (-;+)

Vậy (*)  x2 – x = x – 1  x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Giải : Điều kiện :

 x > 0 Đặt t =  x =

Phương trình trở thành :  =  + = 1 (7)

Vì hàm số f(t) = + đồng biến trên (-;+) nên phương trình (7) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Thấy t = -1 là nghiệm của phương trình (7)

Khi đó :  x =

Vậy phương trình có nghiệm x =

V ớ d ụ 7 Giải phương trỡnh :

V ớ d ụ 8 Giải phương trỡnh : (8)

[Type text]

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì VT có logarit và số mũ Nhưng ta quan

sát thấy biểu thức trong căn và số mũ đưa về nên đặt ẩn phụ rồi tìm cách đưa

về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ giải dễ dàng hơn

Giải : Điều kiện : x ≤ 1 v x ≥ 2

Đặt t = , t ≥ 0 Suy ra = 1 – t 2

Khi đó (8) có dạng :

– (*)

Xét hàm số f(t) = – = với t ≥ 0

f '(t) =

+ ln5 > 0 ,  t[0;+)

Suy ra hàm số đồng biến trên [0;+)

Mặt khác : f(1) = = 2

Vậy (*)  f(t) = f(1)  t = 1  = 1 x=

Vậy phương trình có nghiệm x =

1.Phương phỏp :

II SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH

Thực hiện theo các bước:

Bước 1 : Đặt điều kiện cho cỏc biểu thức trong hệ cú nghĩa

Bước 2 : Từ hệ ban đầu, chúng ta xác định được một phương trỡnh hệ quả một ẩn hoặc

cả hai ẩn.Giải phương trỡnh này bằng phương pháp hàm số đó biết

2 Áp dụng :

Nhận xét :Trong phương trỡnh (1) xuất hiện dạng hàm số f(x) = f(y) và đạo hàm luôn

dương nên ta dùng phương pháp hàm số cho phương trỡnh (1)

(1)   (*)

Xột hàm số f(t) =

f '(t) = Suy ra hàm số đồng biến trờn R (*) x = y thế vào (2) ta được : 3 = 12  x = Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (2;2) ; (-2;-2) Nhận xét :Trong hệ phương trỡnh trờn là loại hệ phương trỡnh đối xứng loại 2.Khi đó ta trừ hai phương trỡnh cho nhau ,ta thấy xuất hiện hàm số f(x) = f(y) Hệ phương trỡnh   (*)

Xột hàm số f(t) =

f '(t) = Suy ra hàm số đồng biến trờn R (*) x = y thế vào (3) ta được :  (**)

V ớ d ụ 1 Giải hệ phương trỡnh :

V ớ d ụ 2 Giải hệ phương trỡnh :

[Type text]

Xột hàm số f(x) =

f '(x) = Suy ra hàm số đồng biến trờn R

tại x = 1 thỏa f(1) = 0

Do đó phương trỡnh (**) cú nghiệm duy nhất x = 1

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;1)

Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (5) là phương trỡnh bậc hai theo x(xy+2) và cú duy nhất nghiệm nên ta rút được

y = Do đó ta dự đoán đưa về hàm số f( và dựng hàm số để giải

Điều kiện : x ≠ 0

(5)    thế vào (4)

Ta được:

 (*) Xột hàm số f(t) =

f '(t) = Suy ra hàm số đồng biến trờn R

(*) =  x = 2  y =

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = (2;

V ớ d ụ 3 Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (6) xuất hiện “2(3 – y) = (5 – 2y)+1” tương tự “ ”.Do đó ta dự đoán đưa

về hàm số f( và dựng hàm số để giải

Điều kiện :

(6)   (*)

Xột hàm số f(t) = (t2 + 1) t có đạo hàm f '(t) = 3t2 + 1 > 0,

Suy ra hàm số đồng biến trờn R

(*)  2x =  thế vào (7) ta được:

4x2 + ( 8)

Nhận thấy x = 0 và x = khụng phải là nghiệm của phương trỡnh (8)

Xột hàm số g(x) = 4x2 + trờn (0;

g '(x) = 8x – 8x

Suy ra g(x) nghịch biến trờn (0;

Tại x =  g(

Suy ra pt(8) cú nghiệm duy nhất x = 

V ớ d ụ 4 Giải hệ phương trỡnh :

[Type text]

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = (

Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (9) xuất hiện “ ” và “ ”cú thể đưa về hằng đẳng thức.Do đó

ta dự đoán đưa về hàm số f( và dựng hàm số để giải

Hệ phương trỡnh 

(10)  

(9)  f ( x – 1 ) = f( y + 1) (*)

Xột hàm số f(t) = t3 – 12t trờn [ cú f '(t) = 3t2 – 12 = 3( t2 – 4 ) < 0,  [ Suy ra hàm số nghịch biến trờn [

(*)  x – 1 = y + 1  y = x – 2 thế vào (10) ta được :

4x2 – 8x + 3 = 0  

 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ;

Phần 3 : HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh giỳp cho bài toỏn trở nờn ngắn gọn và cú hiệu quả cao.Nú giỳp cho học sinh và giỏo viờn

V ớ d ụ 5 Giải hệ phương trỡnh :

trỡnh bày một cỏch lụgic và làm vấn đề đơn giản hơn nhiều so với ban đầu.Phương pháp này gúp phần rất lớn trong giải toỏn ,khụng phải chỉ có phương trỡnh ,bất phương trỡnh

và

hệ phương trỡnh mà cũn ỏp dụng cho nhiều bài toỏn khỏc : như tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số,chứng minh bất đẳng thức, Thậm chớ , một số phương trỡnh và bất phương trỡnh chớ ỏp dụng phương pháp này mới giải quyết được vấn đề

Sau khi thực hiện phương pháp này ,các lớp tụi dạy cú hiệu quả rừ rệt.Nú gúp một

phần vào tỉ lệ đậu tốt nghiệp và đại học.Cụ thể năm 2011 – 2012 , các lớp tụi dạy đều đạt tốt nghiệp 100% và số lượng đậu Đại học cao hơn nhiều so với năm trước đó

Phần 4 : KẾT LUẬN

-Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn ,linh hoạt hơn trong việc dùng đạo hàm để giải toán

-Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

-Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán

-Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc giải phương trình bậc cao

Nội dung phương pháp này chỉ nờu một số vớ dụ không đáng kể trong mụn toỏn, bờn cạnh

đó có những gợi ý nho nhỏ để học sinh nhận dạng bài toán Đây cũng là một phương phỏp giải toỏn nhằm nõng cao chất lượng cho việc dạy của giỏo viờn và việc học cho học sinh ( phương pháp này hơi nghiêng về học sinh khỏ – giỏi)

Nội dung phương pháp này không phải là vấn đề mới mẻ mà các đồng nghiệp khác đó