skkn sử DỤNG đồ THỊ hàm số bậc HAI và dấu TAM THỨC bậc HAI để GIẢI TOÁN

Tên sáng kiến kinh nghiệm: SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI TOÁN I.. Sau khi học sinh đã học xong phần Hàm số bậc hai học kì I và xét dấu của Tam thức b

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI

ĐỂ GIẢI TOÁN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

1/ Sau khi học sinh đã học xong phần Hàm số bậc hai (học kì I) và xét dấu của Tam thức bậc hai (học kì II) , các em đã có thể hiểu rõ hơn về tính đồng biến nghịch biến , hình dáng đồ thị của hàm số bậc hai và biết cách sử dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số vào giải các bài toán đơn giản như: xác định số nghiệm của phương trình bậc hai , tìm GTLN và GTNN của hàm số bậc hai trên R, xét dấu các tam thức bậc hai, giải bất phương trình bậc hai… Tuy nhiên, trong thực tế có rất nhiều bài toán khác nhau phải dùng kiến thức về Hàm số bậc hai và xét dấu của Tam thức bậc hai để giải và trong nhiều trường hợp lời giải của bài toán có phần ngắn gọn và dễ hiểu hơn Nhưng do hạn chế về thời gian, nên sách giáo khoa không giới thiệu cho các em những bài toán ngoài những dạng trên; vì vậy khi gặp những bài toán có yêu cầu khác thì các em không biết vận dụng Hàm số bậc hai và xét dấu của Tam thức bậc hai vào giải các bài toán đó

2/ Việc vận dụng phương pháp này đối với học sinh không quá khó, tuy nhiên các em chưa có thời gian để làm quen và luyện tập nên việc vận dụng còn bị hạn chế Trong quá trình giảng dạy của mình tôi thấy rằng có thể sử dụng các giờ ngoại khóa, các giờ học Tự chọn để rèn luyện cho các em nhiều kiểu bài khác nhau của dạng toán này sẽ giúp các em có thêm một phương pháp mới khi làm một số bài toán đã học ở lớp 10.Trong chuyên đề này tôi muốn chứng minh điều đó thông qua một số ví dụ cụ thể

II NỘI DUNG:

Phần I: Tìm Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai

1/ Cơ sở lý luận: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

D

D

KÝ hiÖu : maxf(x) lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña f(x) trªn miÒn D

minf(x) lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f(x) trªn miÒn D

Định nghĩa:





  



  



  



  



x D

x D

f (x) M, x D 1) M = max f (x)

x D : f(x ) = M

f (x) m, x D 2) m = min f (x)

x D : f(x ) = m

Để tìm Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất (viết tắt là GTLN, GTNN) của một hàm số trên R có thể sử dụng các phương pháp đưa hàm số về dạng

2 ( )

b

f x a x



    

Nhưng học sinh sẽ lúng túng hoặc làm sai nếu phải tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một miền D tùy ý Việc nắm vững bản chất cũng như ý nghĩa của GTLN, GTNN thông qua đồ thị hàm bậc hai giúp cho học sinh hiểu sâu thêm các tính chất của hàm

số và có lời giải đúng nhất, và lên lớp 12 khi gặp bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm

số các em dễ dang tiếp thu hơn

2/ Nội dung thực hiện:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2

+ 2x + 3 trên:

a/ Tập xác định b/ D = [-3; 0] c/ E = [0; 3]

Bài giải:

Bằng cách vẽ đồ thị hàm số đã cho trên các miền tương ứng có thể dễ dàng chỉ cho

học sinh thấy kết quả của bài toán

Đồ thị hàm số y = f(x) = x2

+ 2x + 3 Đồ thị hàm số y = f(x) = x2 + 2x + 3 trên Tập xác định trên D = [-3; 0]

Đồ thị hàm số y = f(x) = x2 + 2x + 3 trên E = [0; 3]

Vậy:

x

y

1

-2

6

2 3

x

y

1

-2

6

2 3

3

x

y

1

3

18

6

3

 

    

b a) a > 0, min f(x) f f ( 1) 2, không tồn tại max f(x)

2a

  



     





D min f (x) f ( 1) 2 b

b) a > 0; 1 D

2a max f (x) max{ f (0); f(3)}= max{3; 6} = 6.



      



E

E

min f (x) min{ f (0); f(3)} = min{3; 18} = f (0) 3 b

c) a > 0; 1 E

max f (x) max{ f (0); f(3)} = max{3; 18} = 18

2a

Từ vớ dụ cụ thể trờn ta cú nhận xột tổng quỏt:

a) Trường hợp 1 : D = R



 

   

 

b

* a < 0, max f(x) f , không tồn tại min f(x)



   

b









D

D

D

D

* a > 0 :

không tồn tại max f(x)

b

2a









D

D

b

2a không tồn tại min f(x)

Chú ý :

 

c) Trường hợp 3 : D= ;

Chú ý :

Bài 2: Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = cos2x + 3sinx + 4

Bài giải:

Ta cú f(x) = 1 - sin2

x + 3sinx + 4 = - sin2x + 3sinx + 5 nờn cú thể đưa bài toỏn về dạng quen thuộc bằng cỏch đặt t = sinx , t  1;1 hàm số trở thành f(t) = - t2 + 3t + 5

Ta thấy a = - 1 < 0 ; 3  

1;1

b a

    ; ( 1) 1; (1)f   f 7

Suy ra:

* Min f(t)=1 min f(x) =1, có được t 1 sinx = 1.

Vậy : Giỏ trị lớn nhất của hàm số là 7 và Giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 1

Bài 3: Giả sừ x, y lả nghiệm của hệ phương trỡnh





x + y = a 1

Tỡm a để 2  2

U = x y đạt giỏ trị nhỏ nhất

Bài giải:

2

D

Xem U = f(a) = a + 12a 27 Bài toán dẫn tới tìm min f (a)

 

 

 

/

D

Vậy MinU = , đạt được khi a =

Bài 4:

Tỡm giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: 



(ĐHSP Hà Nội Khối A - Năm 2002) Bài giải:







  



 



3(cos x-sin x)+4sin x 2cos x ViÕt l¹i y 1 =

3sin x 2cos x 3(cos x-sin x)+4sin x 2cos x

y 1

3sin x 2cos x 1

y 1=

3sin x 2cos x

 





  



2

2

/

1

§Æt sin x t, t [0; 1], hµm sè trë thµnh y 1 =

f(t) > 0, t [0; 1], do 5 0 vµ a = 3>0 Gäi f(t) = 3t 2t 2 ThÊy r»ng b 1

[0; 1]



Suy ra:



2

cã ®­îc khi vµ chØ khi t = 1 sin x = 1

Tãm l¹i, gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè b»ng ; gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè b»ng

CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1: Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình:

x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - 7 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm thuộc   

0;

2

 2  2   

cos x

(Đề 5 II 2 - Bộ đề tuyển sinh ĐH)

Bài 3 :Tìm m để hàm số 2  

y = mx + x 4x 3 có giá trị nhỏ nhất lớn hơn 1

(Đề 123 III - Bộ đề tuyển sinh ĐH)

Phần II: Dùng dấu của Tam thức bậc hai để chứng minh Bất đẳng thức

1/ Cơ sở lý luận:

Học sinh đã học định lí về dấu của Tam thức bậc hai và nắm vững điều kiện để tam

thức không đổi dấu nên biến đổi bất đẳng thức có về một trong các dạng

2

f(x) = ax bx c > 0 (a 0) 2    

f(x) = ax bx c 0 (a 0)

2

Và sử dụng các kiến thức đã học:

 



      



* f(x) = ax bx c 0, x R

a>0

 



      



* f(x) = ax bx c 0, x R

a>0

 



      



* f(x) = ax bx c 0, x R

a<0

 



      



* f(x) = ax bx c 0, x R

a<0

   

2

* f(x) = x a a; x; a

2

2/ Nội dung thực hiện:

Bài 1: Chứng minh rằng: 2 2

x  y  xy x y  , với mọi x,yR

Bài giải:

f x x  y x y  y ta có:

' (2y 1) (5y 6y 3)

2 2 0,

      (vì     ' 1 0 và a = –1)

f x x  y x y  y > 0, với mọi x,yR

Bài 2: Chứng minh rằng: 2

(x y) xy  1 3(xy) , với mọi x,yR

(Đề thi tuyển sinh ĐH Bách Khoa 1988)

Bài giải:

Đặt f(x) = 2 2

= x2 (y 3)xy2 3y 1

Đó là một tam thức bậc hai theo x và có : 2 2

(y 3) 4(y 3y 1)

2

3y 2 3y 1

Đây lại là một tam thức bậc hai theo y với          ' 3 3 0 0, y R

Do đó f(x)  0, x R Hay 2

(x y) xy  1 3(x y), với mọi x,yR

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 3

3

Bài 3: Chứng minh rằng : 2  2  2    

5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz 0

Với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0

Bài giải:

5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz 0 5x 2(3y 4z)x 5y 5z 8yz 0(1) Đặt f(x) = 2    2  2 

5x 2(3y 4z)x 5y 5z 8yz

(3y 4z) 5(5y 5z 8yz)= 16y 16zy 9z

Xem  ' là một tam thức bậc hai của y, thì :   ' 2  2   2

y 64z 9.16z 80z

   '   '

y

1 Nếu z 0 thì 0 : Do đó 0 với mọi y Từ đó suy ra rằng (1) đúng với mọi x.

   ' 2

2 Nếu z = 0 thì 16y

a/ Nếu y 0 thỡ   '

0 thỡ (1) đỳng với mọi x b/ Nếu : y = 0 thỡ 2 2 2

x y z > 0 nờn x 0

2 

f(x, y, z) = 5x 0 Vậy bất đẳng thức (1) đỳng với mọi x, y, z khụng đồng thời bằng 0

Bài 4: Cho tam giỏc ABC Chứng minh:

x2    2 A  

x(cos B cos C) 2sin , x R.

Bài giải:

2

2

2

Xét tam thức: f(x)= x(cos B cos C) 2sin Ta có:



  

2

= 4sin cos 1 0

Do đó: f(x) 0, x R (đpcm)

Bài 5: Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c thỏa món cỏc điều kiện:    



thỡ : -4 a 4, -4 b 4, -4 c 4

Bài giải:

Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)2

= a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 2 + 2 = 4



 



a + b + c = 2

a + b + c = - 2

Hệ đó cho tương đương với hai hệ

Xột hệ (I) Từ phương trỡnh thứ nhất của hệ suy ra b + c = 2 – a Thay vào phương trỡnh thứ hai, ta được:

bc + a(2 - a) = 1 bc = (a - 1)

Hệ (I) tương đương với hệ 



b + c = 2 - a

bc = (a - 1)

b, c là cỏc nghiệm của phương trỡnh: 2     2 

Phương trỡnh này cú hai nghiệm nờn   0

  2  

3a 4a 0   0 a 4 (1)

3

Lập luận tương tự đối với hệ (II) ta được:

-4 a 0 (2)

3

Kết hợp kết quả (1) và (2) ta được:

-4 a 4

Vì vai trò của a, b, c như nhau trong hai đẳng thức đã cho nên ta cũng có

-4 b 4 vµ -4 c 4

Bài 6: Chứng minh rằng : Với b > c > d ta có 2

(a  b c d) 8(acbd)  a R

Bài giải:

(a  b c d) 8(acbd)a 2 (a b c d)  (b c d) 8ac8bd 0

a  a b cd   b c d  bd 

a  a b cd   b c d  bd ta có:

' (b 3c d) (b c d) 8bd

       

= 8( b c c )( d)0 (vì b > c > d)

a  a b cd   b c d  bd > 0  a R

Hay: (a  b c d)2 8(acbd), a R

a b   c d e a b c d e a b c d eR

(ĐH Y Dược TPHCM - 1999) Bài giải:

Ta có:

a b   c d e a b c d e 2 2 2 2 2

a    b c d e ab c d e

        

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (1,1,1,1) và (b,c,d,e) ta có:

(1.b1.c1.d1 )e    (1 1 1 1)(b c d e )

(1.b1.c1.d 1 )e 4(b c d e )   0, a b c d e, , , , R

Vậy f(a) 0, , a b c d e, , , , R Bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán có thể giải bằng cách biến đổi tương đương

a b   c d e a b c d e

            

Bài 8: Tìm các giá trị của a sao cho bất đẳng thức :

100

y   x axy y x đúng với mọi cặp số (x;y) thỏa x  y

Bài giải:

y   x y x

2

2

1

100 1

100







50

50 50

a

a a





   

Đảo lại: a = 50   1 2

10

x y

Bất đẳng thức được chứng minh

Bài 9: Cho 2 n số thực a a a1, 2, 3, ; , , , a b b b n 1 2 3 b n với nZ Chứng minh:

a b a b  a b  a a  a b b  b

Khi nào đẳng thức xảy ra? Áp dụng tìm nghiệm nguyên của hệ:

93

x y z t x y z t

x y z t





Bài giải:

a a  a ; B = a b1 1a b2 2  a b n n; C = b12 b22  b n2

Xét f(x) = 2

2

A = 0 a1 a2  a n 0 Bất đẳng thức đúng

2

     Suy ra kết quả

Dấu đẳng thức xảy ra khi ' 0   f x( )0 với x = B

A



0

0

0 0

0

n n

a x b

a x b b b b

f x

a a a

a x b

 









Áp dụng: Theo kết quả trên ta có:

x y zt  x  y z t

x y z t

k Z x y z t Z

3

4

x k

y k

z k

t k





 



  



 



thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được k = 1

Vậy : x = 1; y = 3; z = 4; t = 1

Bài 10: Cho a, b, c  1;2 và a + b + c = 0 Chứng minh a2 b2  c2 6

Bài giải:

a  1;2a2a 1 0

a 2a 1 b 2b 1 c 2c 1 0

6

    ( vì a + b + c = 0)

Bài 11: Chứng minh rằng:

2

2

a

b c ab bc ca

     biết a3 36 và a.b.c = 1

Bài giải:

Ta có:

2

2

a

b c ab bc ca

2

2

3

a

b c bc a b c bc

2

3

a

b c a b c

a

       vì a > 0 và bc = 1

a

Áp dung dấu của tam thức bậc hai để suy ra kết quả

Bài 12: Chứng minh rằng:

y x y x

Bài giải:

Đặt

2

x y x y

y   x y  x  

3

t       t t t

Nếu xy < 0  t < 0, bất đẳng thức đúng

Nếu xy > 0 t x y 2

y x

    , bất đẳng thức đúng

2

a

a a  a   

với a > 0 ( vế trái có n dấu căn)

Bài giải:

Đặt x n  a a  a 0

 x n  ax n1

x n2  a x n1 a x n

0

x x   a   x   

Suy ra điều phải chứng minh

CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

(x + y) 2x 5 5y 4y 5 6, x,y R

x y  x  y  xyx  xy , với mọi x,yR

x  xy x y  y  , với mọi x,yR

Bài 4: Chứng minh rằng : 2  2    

x 5y 4xy 2x 6y 3 0 với mọi x,yR

Bài 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác thì ta luôn có:

2 2  2 2  2 2  1 4  4  4

2

Bài 6: Cho a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác, chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2

b x  b  c a x c với mọi xR

Bài 7: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c, d ta có 2 2 2 2 2

(a b )(c d )(ac bd )

Bài 8: Cho các số a,b,c,d,p,q thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2

0

p q a b  c d  Chứng minh rằng: (p2 a2 b2)(q2  c2 d2)(pqac bd )2

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :

4sin3x+5  4cos2x+5sinx

III KẾT LUẬN:

Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi đã cố gắng giới thiệu cho học sinh cách sử dụng Tam thức bậc hai vào giải toán và thấy rằng các em có khả năng vận dụng tốt, đặc biệt với các bài toán nâng cao mà các em có thể gặp rất nhiều khi ôn thi vào các trường Đại học và Cao đẳng Tuy nhiên trên đây tôi cũng chỉ mới đưa ra được một số ví dụ áp dụng của phương pháp này, rất mong đươc sự góp ý của các thầy cô