Chương 2 - Ổn định của các hệ thống điều khiển số.
Trang 1Chương 2
ổn định của hệ thống điều khiển số Trong chương này, chúng ta sẽ quan tâm đến một số kỹ thuật cơ bản được dùng để phân tích ổn định các hệ thống điều khiển số
Như đã trình bày ở chương 1, giả thiết ta có hàm truyền của hệ thống điều khiển số vòng kín có dạng như sau
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
ở đây 1 + GH z ( ) = 0 được gọi là phương trình đặc tính Các giá trị của z ứng với ( ) 0
N z = được gọi là không (zeros) và các giá trị của z ứng với D z = ( ) 0 được gọi là các cực (poles) Tính ổn định của hệ thống sẽ phụ thuộc vào vị trí của các cực hay gốc của phương trình D z = ( ) 0
2.1 ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Đối với các hệ vòng kín liên tục, mặt phảng p được sử dụng để khảo sát ổn định của hệ thống Tương tự đối với các hệ thống rời rạc, mặt phẳng z được dùng để khảo sát ổn định của
hệ thống Trong phần này chúng ta sẽ xét đến quan hệ tương đương giữa mặt phẳng p của
hệ liên tục và mặt phẳng z của hệ rời rạc
Trước tiên chúng ta làm một phép ánh xạ từ nửa trái của mặt phẳng p vào mặt phẳng z Nếu phương trình p=σ+ jω mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo jω ta
có
z=e =e eσ ω (2.1) Vì σ =0 nên
j T
z=eω = ωT+j ωT= ∠ωT (2.2)
Từ phương trình (2.2), vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã được ánh xạ lên trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z Khi ω thay đổi dọc theo trục ảo của mặt phẳng p, góc của các cực trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z sẽ thay đổi
Nếu ω được giữ nguyên không đổi và tăng giá trị σ ở nửa trái mặt phẳng p, thì vị trí của các cực sẽ di chuyển về phía gốc xa khỏi vòng tròn đơn vị Tương tự nếu giảm giá trị σ ở nửa trái mặt phẳng p, thì các cực trong mặt phẳng z sẽ di chuyển xa ra khỏi gốc nhưng vẫn nằm trong vòng tròn đơn vị
Qua các phân tích trên ta thấy toàn bộ nửa trái của mặt phẳng p sẽ tương đương với phần bên trong của vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z Tương tự toàn bộ nửa bên phải của mặt phẳng p sẽ tương đương với miền nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z như trên hình 2.1
Nếu một hệ thống liên tục được coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì một hệ thống rời rạc được coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong vòng tròn đơn vị
Trang 2Hình 2.1 ánh xạ từ nửa trái mặt phẳng p vào bên trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z
Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn định của hệ thống bằng cách sử dụng phương trình đặc tính Tuy nhiên phương pháp này chỉ cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không mà không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không khi bị tác động bởi các thông khác Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ
Ví dụ 2.1:
Cho một hệ thống vòng kín có sơ đồ khối như trên hình 2.1 Xác định xem hệ có ổn
định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu T=1s
Hình 2.1 Hệ thống vòng kín trong ví dụ 2.1 Lời giải:
Hàm truyền của hệ có dạng như sau
( ) ( )
( ) ( )
1
r z = +G z
ở đây
2
2
T Tp
T
e
ư
ư
ư
2
T
e
G z
z e
ư
ư
ư
=
ư
Với T=1s ta có
0,135
G z
z
=
ư
Ta có phương trình đặc tính như sau
σ
jω
1
1 e Tp p
ư
2
p +
( )
( )
y p
Trang 3( ) 1, 729 1, 594
z
G z
+
hay z = ư 1, 594 nằm ngoài vòng tròn đơn vị nên hệ không ổn định
Ví dụ 2.2:
Xác định T sao cho hệ thống trên hình 2.1 là ổn định
Lời giải:
Từ ví dụ 2.1 ta có hàm truyền G z ( ) như sau
2
T
e
G z
z e
ư
ư
ư
=
ư
Ta có phương trình đặc tính như sau
G z
hay
2
z= eư ư
Để hệ ổn định thì 3 2 T 2 1
z = eư ư < hay
1
3
<
0, 549
T <
Vậy hệ ổn định nếu chu kỳ lấy mẫu T < 0, 549 s
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Tiêu chuẩn Jury tương tự như tiêu chuẩn Routh-Hurwitz được sử dụng để phân tích ổn
định của các hệ liên tục Mặc dù tiêu chuẩn Jury có thể áp dụng cho các phương trình đặc tính với bậc bất kỳ nhưng việc sử dụng tiêu chuẩn này sẽ trở nên phức tạp khi bậc của hệ thống là lớn
Để mô tả tiêu chuẩn Jury, chúng ta biểu diễn phương trình đặc tính bậc n như sau
F z = a z + aư z ư + + a z + a (2.3)
ở đây a >n 0 Từ đây ta có thể xây dựng một dãy như bảng 2.1 Các phần tử của dãy này
được định nghĩa như sau:
• Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước theo thứ tự ngược
• Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:
Trang 40 n k k
b
ư
1
n k k
c
ư ư
ư
2
n k k
c
ư ư
ư
Bảng 2.1 Các dãy của tiêu chuẩn Jury
0
z
0
n k
1 n
n
k
1
0
n k
1 n
bư 1
n
1 k
0
b
0
n k
2
n
2 k
0
3
0
Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong vòng tròn đơn vị là
( ) 1 0
F > , ( )ư1 nF( )ư1 >0, a0 < an (2.4)
n
n
n
ư
ư
ư
>
>
>
>
(2.5)
Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các bước sau:
• Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một trong ba điều kiện này không được thỏa mãn
• Xây dựng dãy các hệ số như bảng 2.1 và kiểm tra các điều kiện (2.5) Dừng lại nếu một trong các điều kiện này không được thỏa mãn
Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phứa tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên Đối với các hệ thống bậc 2 và 3 tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều
Đối với hệ bậc 2 ta có phương trình đặc tính như sau
F z = a z + a z + a
Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu
( ) 1 0
F > , F ư ( ) 1 > 0, a < a
Trang 5Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau
F z = a z + a z + a z + a , ở đây a >3 0 Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu
( ) 1 0
F > , F ư ( ) 1 < 0, a0 < a3 ,
>
Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ
Ví dụ 2.3:
Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng như sau
( ) ( )
( ) ( )
1
ở đây
( ) 20, 2 0, 5
1, 2 0, 2
z
G z
+
=
Sử dụng tiêu chuẩn Jury để kiểm tra hệ có ổn định hay không
Lời giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng như sau
( ) 20, 2 0, 5
1, 2 0, 2
z
G z
+
hay
2
0, 7 0
áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có
( ) 1 0, 7 0
F = > , F ư ( ) 1 = 2, 7 > 0, (a0 =0, 7)<(a2 =1)
Ví dụ 2.4:
Cho phương trình đặc tính của một hệ thống có dạng như sau
( ) 2( 0, 2 0, 5 )
1, 2 0, 2
G z
+
Xác định giá trị của K để hệ ổn định
Lời giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống là
Trang 6( )
áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có
( ) 1 0, 7 0
F = K > , F ( ) ư 1 = 0, 3 K + 2, 4 > 0, 0, 5 K + 0, 2 < 1
Hệ ổn định nếu 0 < K < 1, 6
Ví dụ 2.5:
Cho phương trình đặc tính của một hệ thống có dạng như sau
Sử dụng tiêu chuẩn Jury để xét ổn định của hệ thống
Lời giải:
áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có
( ) 1 0, 3 0
F = > , F ư ( ) 1 = ư 4, 5 < 0, 0,1 < 1
Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury được thỏa mãn
Mặt khác ta có
0,1 1
ư
ư
0,1 1, 4
ư
ư
Vậy
<
Điều đó có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không được thỏa mãn và do
đó hệ không ổn định
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
ổn định của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến đổi phương trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Khi đó người ta thường sử dụng phương pháp Tustin và z được thay thế như sau
/ 2 / 2
pT pT pT
ư ư (2.6)
ở đây w=pT/ 2 Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng w như sau
Trang 7( ) n n 1 n 2 1 0
F w = b w + bưw + bư w + + b w + b (2.7) Khi đó dãy Routh-Hurwitz được thiết lập như sau:
n
w bn bnư2 bnư4
1 n
w ư bnư1 bnư3 bnư5
2 n
1
0
Hai hàng đầu của dãy Routh-Hurwitz được xác định trực tiếp từ phương trình (2.7) còn các hàng khác được tính như sau:
1
1
n
c
b
ư
ư
2
1
n
c
b
ư
ư
3
1
n
c
b
ư
ư
1
1
d
c
Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là số gốc của phương trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy Do đó, hệ được xem là ổn
định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu
Ví dụ 2.6:
Cho phương trình đặc tính của một hệ thống điều khiển số có dạng như sau:
2
0, 7 0
Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét độ ổn định của hệ
Lời giải:
Phương trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể được chuyển thành phương trình đặc tính trong mặt phẳng w có dạng như sau:
2
0, 7 0
hay
2
2, 7 w + 0, 6 w + 0, 7 = 0
Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau:
Trang 81
0
Từ dãy Routh-Hurwitz ta thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định
Ví dụ 2.7:
Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như trên hình 2.2 Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xác định giá trị của K để hệ ổn định với giả thiết K >0 và T=1s
Hình 2.2 Hệ thống vòng kín trong ví dụ 2.7 Lời giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống 1 + G p ( ) = 0, ở đây
( )
1
1
Tp
G p
ư
ư
=
+
Biến đổi z của G p ( ) có dạng như sau:
1
2
1
1
K
p p
+
hay
0, 368 0, 264
G z
+
=
Do đó phương trình đặc tính sẽ có dạng như sau:
0, 368 0, 264
+
hay
2
Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng w ta có:
1 e Tp p
ư
ư
( 2 )
K
p p +
( )
( )
y p
( )
G p
Trang 9( )
1, 368 0, 368 0, 368 0, 264 0
K
hay
Từ phương trình trên ta có thể xây dựng được dãy Routh-Hurwitz như sau:
2
1
0
Để hệ ổn định các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu dó đó
1, 264 ư 0, 528 K > 0
hay
2, 4
K <
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Quỹ tích gốc là một trong những phương pháp mạnh được sử dụng để xét độ ổn định của các hệ thống vòng kín Phương pháp này cũng được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển với các đặc tính thời gian theo yêu cầu Quỹ tích gốc là hình ảnh của quỹ tích các gốc của phương trình đặc tính khi hệ số khuyếch đại của hệ thống thay đổi Các quy tắc quỹ tích gốc của hệ thống rời rạc cũng tương tự như các quy tắc quỹ tích gốc của hệ liên tục bởi vì các gốc của phương trình Q z = ( ) 0 trong mặt phẳng z tương tự như gốc của phương trình Q p ( ) trong mặt phẳng p Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu cách xây dựng quỹ tích gốc của các
hệ thống điều khiển rời rạc qua các ví dụ
Cho hàm truyền của một hệ thống điều khiển kín có dạng như sau:
( ) ( )
1
G z
GH z +
Chúng ta có viết phương trình đặc tính như sau 1 + kF z ( ) = 0 và quỹ tích gốc có thể
được vẽ khi giá trị của k thay đổi Quy tắc xây dựng quỹ tích gốc có thể được tóm tắt như sau:
1 Quỹ tích bắt đầu từ các cực (poles) của F z ( )và kết thúc tại các không (zeros) của ( )
F z
2 Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực
3 Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực tới phần bên trái của số lẻ các cực và không
4 Nếu F z ( ) có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc sẽ có các tiệm cận khi k → ∞ Sô các tiệm cận bằng số các cực np trừ đi số các không nz Góc của các tiệm cận
được xác định như sau:
Trang 10r
ư , ở đây r = ± ± ± 1, 3, 5,
Giao của các tiệm cận tại σ với σ được xác định như sau:
σ = (Tổng các cực của F z ( )- Tổng các không của F z ( ))/(np-nz)
5 Điểm cắt xa trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của phương trình
( )
0
dF z
dz =
6 Trên một điểm của quỹ tích gốc, giá trị của k được xác định như sau:
( )
1 + kF z = 0 hay
( )
1 k
F z
= ư
Ví dụ 2.8:
Một hệ kín có phương trình đặc tính có dạng như sau:
z
+
Vẽ quỹ tích gốc và từ đó xét độ ổn định của hệ thống
Lời giải:
Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc:
1 Phương trình đặc tính của hệ thống có thể được viết dưới dạng 1 + kF z ( ) = 0, ở đây
z
F z
+
=
Hệ thống có hai cực tại z =1 và z = 0, 368 Hệ thống có hai zero, một tại z = ư 0, 717
và một tại âm vô cùng Quỹ tích sẽ bắt đầu tại hai cực và kết thúc ở hai zero
2 Phần trên trục thực giữa z = 0, 368 và z =1 là trên quỹ tích Tương tự, phần trên trục thực giữa z = ư∞ và z = 0, 717 là trên quỹ tích
3 Khi mà npưnz =1, thì có một tiệm cận và góc của tiệp cận đó được tính như sau:
0
180
180
r
ư đối với r = ±1
Chú ý rằng nếu góc của tiệp cận là 0
180
± điều đó không có nghĩa là tìm được điểm giao của các tiệm cận trên trục thực
4 Các điểm tách rời có thể được xác định từ phương trình sau:
Trang 11( )
0
dF z
dz =
hay
0, 368 z ư 1 z ư 0, 368 ư 0, 368 z + 0, 717 2 z ư 1, 368 = 0
2
Phương trình trên có các gốc tại z = ư 2, 08 và z = 0, 648
5 Giá trị của k tại các điểm tách rời có thể được xác định như sau:
1
k
F z
= ư
hay k =15 và k = 0,196
Quỹ tích gốc có thể được vẽ như trên hình 2.3 Ta thấy quỹ tích gốc là một vòng tròn bắt đầu từ các cực và tách ra tại z = 0, 648 sau đó lại hội với trục thực tại z = ư 2, 08 Tại điểm này một phần của quỹ tích dịch chuyển về phía cực z = ư 0, 717 và một phần dịch chuyển về phía ư∞
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
1.5
Root Locus
Real Axis
Hình 2.3 Quỹ tích gốc trong ví dụ 2.8
Hình 2.4 là hình ảnh của quỹ tích gốc với vòng tròn đơn vị được vẽ trên cùng một trục
Hệ thống sẽ nằm ở biến giới ổn định nếu khi quỹ tích nằm trên vòng tròn đơn vị Giá trị của k
tại các điểm này có thể được xác định theo tiêu chuẩn Jury hay tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
