Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

Một trong những chủ đề rất thú vị của hệ sinh thái là hành vi tập thể của các loài sinh vật, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm qua.. Nghiên cứu về các

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: TS Ngô Văn Thanh

Người hướng dẫn khoa học 2: GS TSKH Nguyễn Ái Việt

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

Ngày nay, cùng với sự phát triển của Khoa học và Công nghệ thì vấn

đề về Sinh thái – Môi trường đặt ra nhiều thách thức cho con người Chẳng hạn như vấn đề tăng trưởng - tuyệt chủng của các loài, biến đổi gen, bệnh lạ do các chủng virut mới, khí thải độc hại và hiệu ứng nhà kính… Đã có nhiều cách tiếp cận từ các ngành khoa học khác nhau để nghiên cứu vấn đề này, các nhà sinh học thường quan tâm đến một số vấn

đề liên quan đến sự tiến hóa, hành vi của các loài Các nhà nghiên cứu vật

lý cũng đã có nhiều đóng góp quan trọng như vấn đề hiệu ứng nhà kính, bức xạ, giải thích một số hành vi của các loài sinh vật

Một trong những chủ đề rất thú vị của hệ sinh thái là hành vi tập thể của các loài sinh vật, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm qua Trong đó, các hành vi tập thể như flocking, schooling hay swarming đã được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở lại đây Để nghiên cứu vấn đề này, các nhà toán học đề xuất các mô hình giải tích dựa trên cơ sở các phương trình động lực học cổ điển Nghiên cứu về các hành vi của các loài sinh vật nói chung và chuyển pha trong các hệ này nói riêng là một vấn đề mở để nghiên cứu Các mô hình vật lý vẫn chưa được ứng dụng nhiều trong các bài toán phức tạp liên ngành Bởi vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của bản luận án :

“Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các

mô hình vật lý thống kê”

Ta biết rằng, đối với các loài sinh vật mà đặc biệt là sinh vật bậc cao, chúng có thể tương tác với nhau và với môi trường bằng các giác quan Trong đó, khả năng quan sát của mắt có tính chất rất quan trọng và quyết định đến sự vận động, đặc biệt là hành vi tập thể Để nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi sử dụng lại mô hình của Vicsek, khảo sát sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu tương ứng với các góc quan sát khác nhau Đến nay các nghiên cứu dùng mô hình Vicsek làm cơ sở chỉ tập trung vào việc giải thích hành vi chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự tại vùng nhiễu cao Tuy nhiên, các loài sinh vật ở trạng thái bình thường (không bị nhiễu từ bên ngoài) thì hệ ở trạng thái tự do, phân bố ngẫu nhiên, các con vật tỏa ra xung quanh để tìm kiếm thức ăn Hành vi này tương ứng với

pha mất trật tự trong hệ vật lý Khi bị tác động từ bên ngoài thì chúng gom cụm lại và sắp xếp trật tự (pha trật tự) Hành vi chuyển pha từ mất trật tự sang trật tự này không thể giải thích được từ mô hình của Vicsek Thêm vào đó, theo quan sát thực nghiệm người ta dự đoán chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I, bởi vì hành vi này diễn ra rất nhanh Trong khi đó, từ mô hình Vicsek thì chuyển pha xảy ra là liên tục Để giải quyết những hạn chế này, chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới:

Mô hình thứ nhất chúng tôi xây dựng là từ cơ sở mô hình spin XY,

Hamiltonian của hệ được định nghĩa bởi các thế tương tác giữa các cá thể với nhau bao gồm tương tác trao đổi, thế Morse và thế hóa học

Mô hình thứ hai dựa trên cơ sở mô hình Potts đồng hồ q trạng thái

(q-Potts) Chúng tôi giả thuyết rằng, mỗi cá thể như một hạt với hai bậc

tự do: một là tham số bên ngoài đặc trưng cho định hướng của chuyển động; hai là tham số nội tại để mô tả cho trạng thái bị kích thích hoặc không bị kích thích của mỗi cá thể dưới tác động của nhiễu Trạng thái nội tại là tham số điều khiển tương tác của các cá thể Các kết quả thu được phù hợp với quan sát thực nghiệm và đã khắc phục được những nhược điểm của mô hình spin XY

Nội dung của bản tóm tắt luận án được trình bày trong 3 chương Tổng quan về hành vi tập thể của các loài sinh vật cũng như các mô hình

lý thuyết sẽ được trình bày trong Chương 1 Lý thuyết chuyển pha và các phương pháp mô phỏng trên máy tính sẽ được trình bày trong Chương 2, với đầy đủ các thuật toán ứng dụng trong mô phỏng Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu về hiệu ứng góc quan sát đối với chuyển pha gom cụm, trình bày chi tiết về các mô hình mới được đề xuất và ứng dụng của chúng trong nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng nhiễu thấp

Chương 1 HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI SINH VẬT

1.1 Tổng quan

1.1.1 Hành vi tập thể

Hành vi tập thể của các loài sinh vật là hành vi của một hệ bao gồm các cá thể sinh vật cùng loài như cá, chim… Đặc điểm hành vi tập thể được hình thành từ các tác động qua lại lẫn nhau của cá thể để hình nên các quy tắc, tính chất động học của cả hệ Ví dụ, quy tắc sắp xếp để các

cá thể sinh vật sắp xếp theo hướng của các con lân cận để dễ dàng cùng

di chuyển và có lợi về năng lượng Một số hành vi đặc trưng là flocking, schooling hay swaming đã được nghiên cứu trong một thời gian dài cho đến nay [1, 2], [14]

1.1.2 Hệ tự tổ chức

Tự tổ chức (self-organized) là một quá trình hình thành vận động tập thể bởi các quy tắc tương tác cục bộ từ một hệ hỗn loạn ban đầu Quá trình này là tự phát, không có sự chỉ đạo hoặc kiểm soát bởi bất cứ tác nhân hoặc hệ con từ bên trong hoặc bên ngoài [14]

1.1.3 Hệ có con đầu đàn

Trái lại với hệ tự tổ chức, trong một nhóm sinh vật có một hoặc một

số con đầu đàn, nó có ưu thế nổi bật, có đầy đủ thông tin và khả năng thực hiện lãnh đạo đàn gọi là hệ có tổ chức [14]

1.2 t ố hành vi tập thể của các loài sinh vật

1.2.1 Schooling

Trong hệ các loài động vật, nếu một nhóm các cá thể cùng loài, cùng kích thước, chuyển động cùng tốc độ và cùng chiều gọi là hành vi schooling [14]

1.2.2 Flocking

Trong vật lý, hành vi flocking là hành vi chuyển động tự hợp của một đàn sinh vật cùng loài được hình thành từ một số tương tác giữa các thành phần trong hệ với nhau [3]

1.2.3 Swarming

Swarming là hành vi của số lớn các cá thể sinh vật có kích thước tương tự, chúng tụ tập tạo thành bầy đàn đông đúc để cùng chung sống, duy trì nòi giống, chống lại vặt săn, tiết kiệm năng lượng [4]

1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết

1.3.1 Mô hình SPP

Mô hình SPP (self-propelled particles) được đề xuất bởi Viscek và cộng sự năm 1995, mục đích của mô hình là thành lập các điều kiện "tối thiểu", cần thiết để giải thích hành vi tập thể của các loài sinh vật, điển hình là hành vi chuyển pha [14, 15] Mô hình được xây dựng bởi hai thông tin chủ đạo là sắp xếp và nhiễu, quy tắc sắp xếp thiết lập trên cơ sở

mô hình spin XY, nhiễu có vai trò như nhiệt độ là tham số điều khiển

Để nghiên cứu chuyển pha, Vicsek sử dùng thông số trật tự được định nghĩa bởi công thức

Trong đó là vận tốc của cá thể thứ i và là giá trị tuyệt đối của

vận tốc Tương tự như lý thuyết nhiệt động học, chuyển pha trong mô hình SPP là chuyển pha liên tục từ trật tự sang mất trật tự khi tăng cường

độ nhiễu Giá trị của bằng 1 khi nhiễu thấp và bằng 0 khi nhiễu cao

1.3.2 Mô hình CS

Mô hình nghiên cứu hành vi tập thể dưới dạng các phương trình động học Bolzmann được đề xuất bởi Cucker và Smale vào năm 2007 mà ta gọi là mô hình CS [3] Mô hình toán học này đầu tiên dùng để nghiên cứu hiện tượng gom cụm của đàn chim, các con chim chuyển động trong một không gian

1.4 Kết luận

Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về nghiên cứu hành

vi của các loài sinh vật theo các cách tiếp cận khác nhau như sinh học, vật

lý và toán học Các hành vi điển hình được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây là schooling, flocking và swarming Các mô hình vật lý toán

áp dụng tốt cho nghiên cứu các hành vi này hiện nay là SPP hay CS với hai thông tin chủ đạo là quy tắc sắp xếp và nhiễu

Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày về các cơ sở lý thuyết vật lý trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật

Chương 2 CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP Ô

2.1.2 Các mô hình spin

a) Mô hình spin Ising

Mô hình spin Ising là một mô hình nghiên cứu sắt từ trong cơ học thống kê Mô hình gồm các spin, nó có thể ở một trong hai trạng thái hoặc , mỗi spin tương tác với hầu hết các spin lân cận của nó Mô hình Ising là một trong các mô hình thống kê đơn giản nhất để nghiên cứu sự chuyển pha

b) Mô hình spin XY

Mô hình XY cổ điển còn được gọi là mô hình quay cổ điển hay mô

hình O(2), đây là trường hợp đặc biệt của mô hình n-véc tơ với n = 2

Trong mô hình XY, các spin cổ điển hai chiều tại các vị trí mạng

được biểu diễn bởi một véc tơ trên một mặt hai chiều

c) Mô hình spin Heisenberg

Mô hình spin Heisenberg là trường hợp n = 3 của mô hình n-véc tơ,

một trong số các mô hình sử dụng vật lý thống kê để nghiên cứu hành vi của sắt từ và các hiện tượng khác

d) Mô hình q-Potts

Trong cơ học thống kê, mô hình Potts là một sự tổng quát hoá của mô hình Ising, là mô hình về các spin tương tác trên một mạng tinh thể Điểm mạnh của mô hình Potts không chỉ là mô hình hoá tốt các hệ vật lý đơn

giản mà còn các hệ phức tạp khác Mô hình Potts gồm các spin sắp xếp trên một mạng, mạng thường được chọn là mạng Euclide vuông hai chiều, nhưng nó thường được tổng quát hoá cho các chiều khác hoặc các mạng khác

2.2 Phương pháp mô phỏng đ ng học phân tử

2.2.1 Khái niệm

MD là một phương pháp mô phỏng được sử dụng để nghiên cứu sự thay đổi theo thời gian của hệ nhiều vật với nhiều tương tác khác nhau Yếu tố căn bản nhất của phương pháp này là xác định được thế năng tương tác giữa các vật thể trong hệ đang xét [9] Từ đó ta có thể xác định được lực tương tác và xây dựng được phương trình chuyển động của các thành phần trong hệ Giải phương trình chuyển động cho ta kết quả về cấu hình của hệ tại mỗi thời điểm: toạ độ và vận tốc

2.2.2 Phương trình chuyển động và thế năng tương tác

Trong phương pháp MD, sự thay đổi theo thời gian của vị trí và vận tốc các hạt trong hệ được tính qua tích phân chuyển động theo phương trình chuyển động Newton

trong đó, là khối lượng, gia tốc và lực tác dụng lên hạt thứ i

Biểu thức tính lực sẽ xác định thông qua đạo hàm riêng của thế năng theo khoảng cách

(2.2) Dạng đơn giản nhất của thế năng tương tác được biểu diễn bằng tổng các thế năng tương tác cặp đôi giữa các hạt trong hệ

trong đó, là thế năng tương tác cặp đôi giữa hạt thứ i và j

2.2.3 Thuật toán Verlet

Phương pháp Verlet được đề xuất bởi Verlet là một trong những phương pháp được dùng phổ biến nhất trong việc tính tích phân phương trình chuyển động [13] Vận tốc và toạ độ được xác định bởi hệ phương trình sau

, (2.4)

ở đây, là tổng hợp lực tác dụng lên hạt tại thời điểm t

2.2.4 Thuật toán Leap – Frog

Một cải tiến của phương pháp Verlet có tính đến giá trị vận tốc của các hạt được đề xuất bởi Hockney có tên là Leap–Frog [11] Thuật toán

này sử dụng vị trí ở thời điểm và vận tốc ở thời điểm Vận tốc và vị trí tại thời điểm được tính toán thông qua các biểu thức dưới đây

(2.6) Thuật toán này tạo ra quỹ đạo tương tự như kết quả thu được từ thuật toán Verlet, các vị trí cập nhật của chúng được xác định bởi

(2.7) Đây là thuật toán bậc 3 theo toạ độ và có thể tính ngược thời gian

2.3 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Monte Carlo (MC) là phương pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu (sampling) trong một tập hợp thống kê bất kỳ cho trước [7,11]

2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Mục đích của phương pháp MC là tính giá trị trung bình của các đại lượng vĩ mô của một hệ nhiều hạt khi biết được Hamiltonian của hệ Một

số đại lượng thường gặp là tính năng lượng trung bình , độ

từ hóa trung bình … Thuật toán cơ bản nhất trong mô phỏng Monte-Carlo là thuật toán Metropolis và nó có thể được diễn tả bởi biểu thức xác suất cho phép chuyển cấu hình

2.3.2 Lấy mẫu quan trọng

Phép thử quan trọng quyết định bởi cách chọn hàm xác suất sao cho

nó thoả mãn biểu thức Có hai cách chọn xác xuất chuyển trạng thái

, (2.9) hoặc là

(2.10)

là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn là đơn vị [11]

2.3.3 Các phương pháp biểu đồ

a) Phương pháp biểu đồ đơn

Mô phỏng Monte Carlo được thực hiện tại nhiệt độ T0 bằng cách tạo

ra các cấu hình với xác suất tỉ lệ thuận với trọng số Boltzmann

tronng đó , và là Hamiltonian của hệ

Biểu thức phân bố xác suất với bất kỳ có dạng

trong đó H(E,M) là biểu đồ thu được từ mô phỏng

Từ , giá trị trung bình của bất cứ hàm nào của E

và M, có thể được tính như là một hàm liên tục của K

b) Phương pháp đa biểu đồ

Phương pháp đa biểu đồ [8] cho phép xác định các đại lượng vật lý chính xác hơn trong một khoảng nhiệt độ rộng hơn

Hệ phương trình đa biểu đồ có dạng

, (2.15) trong đó

c) Phương pháp Wang-Landau

Các phương pháp biểu đồ chỉ có hiệu quả cao trong việc tính toán các hiệu ứng kích thước hữu hạn Vì vậy, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới được gọi là “thuật toán biểu đồ phẳng” áp dụng trong không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái, từ đó xác định các đại lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ [16]

Trong vật lý thống kê thì tổng thống kê có thể viết dưới dạng

(2.17)

Khi tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng vật lý như năng

lượng, độ từ hoá, nhiệt dung riêng, độ cảm từ… có thể tính được một cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ

vi của các loài sinh vật

Hành vi tập thể của các loài sinh vật, đặc biệt là hành vi gom cụm được mô phỏng tốt bằng các mô hình spin trong hệ vật lý Trong chương này chúng tôi có giới thiệu khái quát về các mô hình spin: Ising, XY,

Heisenberg và q-Potts, đó là cơ sở lý luận quan trọng cho việc lựa chọn

mô hình để nghiên cứu trong luận án

Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày về phương pháp mô phỏng MD

và mô phỏng MC Trong nghiên cứu về chuyển pha thì phương pháp MC với thuật toán Metropolis được sử dụng rất hiệu quả Để nghiên cứu hiệu ứng kích thước hữu hạn, người ta sử dụng các phương pháp biểu đồ để tính chính xác các lũy thừa tới hạn Thuật toán biểu đồ phẳng được đề xuất gần đây bởi Wang và Landau, đây là phương pháp hữu hiệu trong việc xác định chuyển pha loại I

Trên cơ sở lý thuyết này, tùy thuộc vào hành vi của sinh vật và mục đích nghiên cứu, chúng ta sẽ lựa chọn các mô hình và phương pháp hiệu quả nhất để áp dụng Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm trong các hệ sinh vật bằng các phương pháp mô phỏng MD và MC

Chương 3 NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ

TỰ TỔ CHỨC

3.1 Giới thiệu chung

Để áp dụng các mô hình vật lý trong việc nghiên cứu các hành vi của các loài sinh vật, người ta đưa ra một số khái niệm và đại lượng tương đương giữa hai hệ này:

- Những tác động từ bên ngoài gây ảnh hưởng đến hành vi của các cá thể trong nhóm sinh vật được gọi là “nhiễu”, nó đóng vai trò tương đương với một đại lượng vật lý cơ bản, đó là nhiệt độ

- Hành vi của các loài sinh vật và pha trong mô hình spin sắt từ:

 Khi không có sự tác động của các yếu tố xung quanh, gây nguy hiểm đến tính mạng, các cá thể trong bầy (đàn) sinh vật sẽ có khuynh hướng di chuyển tản mát ra xung quanh tìm kiếm thức

ăn Vị trí và hướng chuyển động của chúng trong không gian là khác nhau, vì vậy mà chúng được xem như là một hệ hỗn độn Hành vi này được gọi là hành vi tự do và nó tương đương với pha mất trật tự trong mô hình spin

 Khi có tác động từ bên ngoài thì các cá thể sinh vật sẽ chuyển động lại gần nhau và tạo thành cụm (flocking), chúng cố gắng sắp xếp theo cùng một định hướng nhằm tạo nên một khối vững chắc

để tự vệ Hành vi này được gọi là gom cụm (flocking), và có thể xem như tương đương với pha trật tự của hệ spin ở nhiệt độ thấp

 Khi tác động từ bên ngoài trở nên rất mạnh và nó có thể gây nguy hiểm đến tính mạng của các cá thể sinh vật, thì chúng sẽ bỏ chạy tán loạn ra mọi hướng với tốc độ di chuyển nhanh nhất mà chúng

có thể Hành vi này tương đương với pha mất trật tự ở nhiệt độ cao trong mô hình spin

- Chuyển pha: quá trình chuyển từ hành vi này sang hành vi khác của các loài sinh vật được gọi là “chuyển pha” Điển hình là quá trình thay đổi hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật

3.2 Hiệu ứng góc quan sát

3.2.1 Góc quan sát

Hình 3-1 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc

quan sát xác định [10]

Trong việc nghiên cứu hiệu ứng góc quan sát, Gao và các cộng sự [10]

đã đưa vào định nghĩa mới cho thông số trật tự ( )

Để nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi sử dụng mô hình Vicsek chuẩn kết hợp với định nghĩa góc quan sát để khảo sát ảnh hưởng của góc quan sát vào hành vi flocking

3.2.2 Phát triển mô hình

Mô hình lý thuyết được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [15], hệ bao gồm cá thể, ký hiệu bởi chỉ số i trong khoảng từ 1 đến N, chuyển động trong mặt phẳng (x, y) có kích thước với điều kiện biên tuần

hoàn Cá thể thứ i được đặc trưng bởi vị trí và vận tốc có trị tuyệt đối

Trong mô phỏng ta sử dụng điều kiện đầu tại thời điểm các hạt phân bố ngẫu nhiên trong không gian với cùng vận tốc tuyệt đối , chiều chuyển động của mỗi cá thể được xác định bởi góc có giá trị ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến Quy tắc cập nhật vị trí và chiều ở thời điểm của cá thể thứ i có dạng

(3.3)

ở đây là bước thời gian, và tương ứng là các thành

phần vị trí và hướng của cá thể thứ i ở thời điểm t Số hạng cuối trong

công thức (3.3) là một số ngẫu nhiên được chọn trong khoảng

, được gọi là nhiễu mà nó đóng vai trò như thông số nhiệt

độ Ký hiệu là trung bình của các hướng chuyển động của các cá thể trong vòng tròn bán kính R quanh các thể i và chính nó, được xác

định bởi biểu thức sau

Để nghiên cứu hiệu ứng về góc quan sát, chúng tôi giả thiết rằng khả

năng quan sát của cá thể thứ i được xác định bởi hình rẻ quạt có bán kính

R Góc nhìn toàn phần được xác định bởi góc (Hình 3-2) Trong trường

hợp , ta thu lại được mô hình Vicsek chuẩn Để thuận tiện trong việc tính toán do tính đối xứng góc qua véc tơ định hướng , ta sử dụng

ký hiệu Như vậy, chỉ có các cá thể lân cận nằm trong tầm nhìn

của của cá thể thứ i mới được xét đến trong quá trình tương tác, nghĩa là

được đưa vào tính toán góc trung bình trên công thức (3.4)

Hình 3-2 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu là một

nửa góc quan sát

Thông số trật tự của hệ này được viết lại dưới dạng

trong đó N là tổng số cá thể Dĩ nhiên, thông số trật tự là một hàm của

nhiễu Tương tự như trong lý thuyết nhiệt động lực học, chúng ta sử dụng biểu thức variance của thông số trật tự (hay còn gọi là độ cảm từ)

196, 400, 900, 1600, 2500 và 3600, N được gọi là kích thước hệ Góc

quan sát thay đổi giữa 0 và , hay

Đầu tiên chúng tôi khảo sát trong trường hợp tới hạn khi góc quan sát của các cá thể là 360o, chúng ta thu được thông số trật tự và variance của

nó phụ thuộc nhiễu biểu diễn trên các Hình 3-3 với kích thước hệ N

= 100 Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả mô phỏng của Vicsek

giá trị nhiễu tới hạn tính toán được tương ứng với các góc quan sát là

và Kết quả chỉ rõ rằng, trong tất cả

các trường hợp góc quan sát thay đổi, giá trị thông số trật tự đều bằng 1 tại miền nhiễu thấp và dần về 0 khi nhiễu cao Điều này là đúng với ý nghĩa của Landau về thông số trật tự Kết quả này đã khắc phục tồn tại trong nghiên cứu của Gao và các cộng sự (Hình 3-1)

Hình 3-3 Thông số trật tự (hình bên trái) và varian của nó (hình bên

phải) biến thiên theo với các góc quan sát

và

Ta thấy trên Hình 3-3 thông số trật tự đạt giá trị cực đại ( ) ở vùng nhiễu thấp Các cá thể trong nhóm chuyển động song song với nhau theo cùng một hướng nào đó, và hệ được xem như ở pha trật tự Trạng thái này tương đương với hành vi gom cụm của các loài sinh vật Khi tăng nhiễu lên thì các cá thể bắt đầu chuyển động với định hướng lệch so với hướng trung bình của các cá thể lân cận, bởi vậy giá trị trung bình hướng chuyển động của các cá thể giảm, dẫn đến thông số trật tự giảm

Ở vùng nhiễu cao, các cá thể trong nhóm sinh vật chuyển động một cách hỗn loạn, dẫn đến thông số trật tự của hệ giảm dần đến zero Trạng thái này của hệ được gọi là hỗn độn hay pha mất trật tự ở vùng nhiễu cao Nó tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật khi gặp nguy hiểm

Tiếp tục khảo sát chi tiết trên nhiều giá trị khác nhau của góc quan sát, chúng ta thiết lập giản đồ pha trong không gian với biến thiên trong khoảng từ 0 đến (nghĩa là ) Kết quả chỉ ra trong Hình 3-4 cho chúng ta thấy giá trị tới hạn giảm nhanh khi giảm góc quan sát