NGHIÊN cứu QUAN NIỆM của SINH VIÊN sư PHẠM TOÁN về các DẠNG KHÁC NHAU của số PHỨC

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THỊ HỒNG ĐIỆP NGHIÊN CỨU QUAN NIỆM CỦA SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN VỀ CÁC DẠNG KHÁC NHAU CỦA SỐ PHỨC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HỒNG ĐIỆP

NGHIÊN CỨU QUAN NIỆM CỦA SINH VIÊN

SƯ PHẠM TOÁN VỀ CÁC DẠNG KHÁC NHAU

CỦA SỐ PHỨC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN KIÊM MINH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kếtquả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sửdụng và chưa từng được công bố trong bất cứ một công trình nào khác

Họ tên tác giả

Nguyễn Thị Hồng Điệp

Lời Cảm Ơn

Để hoàn thành luận văn này, bản thân tôi đã cố gắng rất nhiều Bên cạnh đó còn nhờ vào sự động viên, giúp đỡ tận tình của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.

Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả:

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong chuyên nghành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt hai năm qua, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán đã hỗ trợ, giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm, ủng hộ và giúp

đỡ để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.

Và đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình chỉ dạy của Tiến sĩ Trần Kiêm Minh – Người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này Tuy bận nhiều công việc nhưng thầy luôn sắp xếp thời gian để chỉ dẫn, giải đáp thắc mắc, góp ý và sửa chữa trong quá trình thực hiện đề tài nhằm tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn.

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý.

Chân thành cảm ơn!

An Giang, tháng 04 năm

2016

iii

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

MỤC LỤC 1

DANH MỤC BẢNG 3

DANH MỤC HÌNH ẢNH 4

LỜI GIỚI THIỆU 5

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 9

1.1 Khía cạnh lịch sử và tri thức luận trong sự hình thành số phức 9

1.2 Chủ đề số phức trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông 14

1.2.1 Lí thuyết 14

1.2.2 Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến số phức trong SGK 16

1.3 Nội dung số phức trong chương trình phát triển nghiệp vụ cho sinh viên sư phạm toán 21

1.4 Điểm bình các nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức 22

1.5 Ghi nhận và đặt ra vấn đề nghiên cứu 25

Chương 2 KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU 26

2.1 Hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm (Tall & Vinner, 1981) 26

2.2 Hệ thống biểu đạt ký hiệu theo Duval 26

2.3 Tính đối ngẫu thao tác/cấu trúc của các đối tượng toán học (Sfard,1991).27 2.4 Câu hỏi nghiên cứu 28

2.5 Kết luận chương 2 28

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 29

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu 29

3.2 Tổ chức thu thập dữ liệu 29

3.3 Phiếu học tập 29

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm 30

3.4 Kết luận chương 3 39

Chương 4 KẾT QUẢ 40

4.1 Định hướng kết quả nghiên cứu 40

4.2 Phân tích hiểu biết của sinh viên sư phạm toán về số phức trong các dạng biểu diễn khác nhau và khả năng chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn 40

Chương 5 KẾT LUẬN 54

5.1 Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 54

5.2 Vận dụng 55

5.3 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 PHỤ LỤC

DANH MỤC BẢNG

1.2 Bảng thống kê số lần xuất hiện của các nhiệm vụ trong SGK

12CB

20

4.6 Kết quả định lượng bài 6 câu a 474.7 Kết quả định lượng bài 6 câu b 49

Hình Tên hình Trang

4.1 Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 1 41

4.2 Hình ảnh bài làm của sinh viên Nguyễn Trúc Quỳnh đối

với bài 3

43

4.3 Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 4 45

4.4 Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 5 46

4.5 Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 6 câu a 48

4.6 Hình ảnh bài làm của sinh viên đối với bài 6 câu b 49

4.7 Hình ảnh ý kiến của sinh viên đối với bài 8 50

4.8 Hình ảnh một số câu trả lời của sinh viên Đoàn Thị

Xuân Nguyên

51

LỜI GIỚI THIỆU

Trong các tập hợp số, tập số phức là tập lớn nhất và mang tính trừu tượng Sốphức không những đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực của toán học như giảitích, đại số, hình học, lượng giác mà còn xâm nhập vào mảng kiến thức trong sinhhọc, vật lý như phương trình tĩnh điện, thủy động lực học, khí động lực học, lý

thuyết dao động và cả trong cơ học lượng tử Ngày nay có rất nhiều công trình kỹthuật, vật lý lý thuyết đã viết bằng ngôn ngữ số phức.

Sự hiểu biết về hệ thống số phức, bao gồm các dạng biểu diễn và tính toán số họctrong không gian phức là một trong những tiêu chuẩn toán học tiêu biểu trong các

Standards Initiative” (CCSSI, 2010, [9]) Tài liệu đó khuyến khích học viên biết

bằng nhiều hình thức khác nhau và thực hiện các quá trình tính toán số học Hơnnữa có thể chuyển đổi linh hoạt giữa các hình thức biểu diễn Những tài liệu trongCCSSI chủ yếu đi vào nhấn mạnh tầm quan trọng giữa sự chuyển đổi các hình thứcbiểu diễn

Để cho học sinh phát triển sự hiểu biết về số phức, giáo viên cần có kỹ năng và

trong các dạng số phức yêu cầu phải nắm được tính chất đại số và biểu diễn hìnhhọc theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn nhận được rằng dạng nào sẽ phù hợp chocác nhiệm vụ được đặt ra Không ít nhà nghiên cứu đã khám phá, suy luận hình học

và giá trị phức của số phức Nhìn chung, các kết quả cho thấy các nhà nghiên cứu

dễ dàng làm việc trong môi trường số phức với nhiều dạng khác nhau Tuy nhiênđiều này không khả thi đối với học sinh

Nghiên cứu về việc dạy và học số phức của giáo viên, sinh viên và học sinh ở Phổ

thông và Đại học đã được rất nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Danenhower, 1977;Janvier, 1987; Kaput, 1987; Lesh, Post & Behr, 1987; Sfard, 1991; Sfard, 1992;Anglin, 1995; Zandieh, 2000; Goldin & Shteingold, 2001; Les Evans, 2006;Panaoura, Elia, Gagatsis, & Giatilis, 2006; Merino, 2006; CCSSI 2010; Brown,Larsen, Marrongelle, Oethrtman, 2012; Nemirovsky, Rasmussen, Sweeney, &Wawro, 2012; Guershon Harel, 2013; TAN Soon Hui & TOH Tin Lam, 2013;Chavez, 2014; Karakok, Soto-Johnson, & Dyben, 2015; ) Tuy mỗi nghiên cứuđều tập trung tìm hiểu các khía cạnh khác nhau liên quan đến dạy học số phức, cácdạng biểu diễn và khả năng linh hoạt chuyển đổi giữa chúng, nhưng hầu hết đều

khác nhau: đại số, hình học (vectơ, điểm), lượng giác, mũ (Janvier, 1987; Kaput,1987; Lesh, Post & Behr, 1987; Guershon Harel, 2013).

Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải khi học về số phức là khả năngchuyển đổi giữa các dạng biểu diễn của số phức (Lesh, Post & Behr, 1987; Sfard,1991; Sfard, 1992; Anglin, 1995; Goldin & Shteingold, 2001; Nemirovsky,Rasmussen, Sweeney, & Wawro, 2012; Brown, Larsen, Marrongelle, Oethrtman,2012; TAN Soon Hui & TOH Tin Lam, 2013; Karakok, Soto-Johnson, & Dyben,2015) Học sinh có thể hiểu và tính toán trên một dạng biểu diễn nhưng sẽ gặp khókhăn khi chuyển đổi chúng sang một biểu diễn khác và không hiểu rõ về sự kết nốigiữa các hình thức biểu diễn

Ở bậc phổ thông, số phức xuất hiện trong chương trình toán ở nhiều nước trên thếgiới từ rất lâu Nhưng ở Việt Nam, nó chỉ mới xuất hiện lần đầu tiên trong sách giáokhoa toán lớp 12 được đưa vào thí điểm năm 2007-2008, và chính thức được sửdụng đại trà từ năm học 2008-2009 Nhìn chung, chương trình và sách giáo khoachủ yếu tập trung vào khái niệm số phức trong phạm vi thu hẹp, học sinh chủ yếulàm việc trên các biểu thức đại số và thực hiện các phép tính cơ bản của số phức Cókhá ít bài toán đề cập đến các dạng số phức trong các ngữ cảnh khác nhau, và đặcbiệt là mối quan hệ và chuyển đổi các dạng biểu diễn của chúng

Số phức là một khái niệm khó đối với học sinh, sinh viên và cả giáo viên Tiếpcận và tìm hiểu sâu hơn từng dạng của số phức là vấn đề chưa được khai thác trongtrường học Giáo viên truyền đạt chúng chỉ dưới hình thức cho học sinh kế thừa cáccông thức đơn thuần để xử lý, giải quyết các dạng bài toán cơ bản Chưa chú trọngđến việc phân tích các dạng biểu diễn và sự chuyển đổi giữa chúng

Để nhận thấy khó khăn trong học tập của học sinh hoặc xác định mục tiêu giảngdạy, giáo viên có thể tạo ra một loạt các câu hỏi mở bằng cách trình bày ý tưởng thểhiện trong trường hợp cụ thể, yêu cầu học sinh minh họa, mô tả hoặc thể hiện ýtưởng trong các trường hợp khác Tuy nhiên, để sử dụng các chiến lược giảng dạynhư vậy giáo viên cần phải hiểu rõ các dạng khác nhau của số phức và sự chuyểnđổi linh hoạt giữa chúng

Động lực và sự cần thiết phải tìm hiểu về số phức là yêu cầu lớn nhất đặt ra tronggiáo dục toán Các khuyến nghị trong CCSSI (2010) cho học sinh trung học hiểu về

số phức hy vọng thay đổi cách dạy của giáo viên Từ đó đòi hỏi phải thay đổichương trình giảng dạy, thiết kế phù hợp theo tiềm năng và các hoạt động phát triểnchuyên nghiệp Chương trình giảng dạy ở lớp học tạo cơ hội để giáo viên làm việcthường xuyên với số phức Tạo điều kiện, hỗ trợ cho học sinh, sinh viên có quanniệm đúng đắn và sự linh hoạt biến đổi trong các dạng số phức

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tập trung tìm hiểu quan niệm và khả năngchuyển đổi giữa các dạng biểu diễn của số phức ở sinh viên sư phạm toán (các giáoviên toán tương lai) Chúng tôi một mặt tập trung vào nghiên cứu khả năng hiểu biếtkhái niệm số phức của sinh viên, mặt khác sẽ tập trung nhấn mạnh khả năng kết nối

và chuyển đổi qua lại giữa các dạng biểu diễn Trong nghiên cứu này, chúng tôihướng đến các mục tiêu là:

- Xem xét hiểu biết của sinh viên sư phạm toán về khái niệm số phức

- Phân tích tính linh hoạt trong việc chuyển đổi và kết nối giữa các kiểu biểudiễn khác nhau của số phức ở sinh viên sư phạm toán

Luận văn này gồm 5 chương:

Chương 1: Đặt vấn đề Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược về khía

cạnh lịch sử và tri thức luận trong sự hình thành số phức Chúng tôi tổng quannghiên cứu về chủ đề số phức trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông, nộidung số phức trong chương trình phát triển nghiệp vụ cho sinh viên sư phạm toán

và điểm bình các nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức Các phân tích và tổngquan nghiên cứu cho phép chúng tôi ghi nhận và đặt ra vấn đề nghiên cứu về việchiểu khái niệm số phức của sinh viên, đặc biệt là mối quan hệ giữa các đại diệnkhác nhau của nó

Chương 2: Khung lý thuyết tham chiếu Trong chương này, chúng tôi giới thiệu

khung lý thuyết tham chiếu để làm cơ sở khoa học bao gồm: hình ảnh khái niệm vàđịnh nghĩa khái niệm, vấn đề đa biểu diễn trong dạy học toán, tính đối ngẫu thao

lý thuyết này để đặt ra nghiên cứu việc hiểu khái niệm số phức của sinh viên, đặcbiệt là mối quan hệ trong các thể thức và các dạng khác nhau Dựa trên khung lýthuyết này, chúng tôi đã cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiêncứu Khung lý thuyết này cũng cho phép chúng tôi phân tích và diễn giải dữ liệuthực nghiệm ở các chương sau.

Chương 3: Thiết kế nghiên cứu Chương này trình bày về ngữ cảnh, mục tiêu và

phương pháp nghiên cứu Chúng tôi giới thiệu phiếu học tập, phân tích tiên nghiệmphiếu học tập

Chương 4: Kết quả nghiên cứu Trong chương này chúng tôi phân tích các kết

quả từ phiếu học tập Đối với phiếu học tập chúng tôi phân tích theo hai hướngchính là việc hiểu khái niệm số phức của sinh viên và các cách biểu diễn khác nhaudựa trên khung lý thuyết đã trình bày trong chương 2

Chương 5: Kết luận Trong chương này, trước hết chúng tôi phân tích các yếu tố

cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu với các câu hỏi nghiên cứu Sau đó chúngtôi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như định vị nghiên cứu của chúngtôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên quan đến chủ đề này

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Khía cạnh lịch sử và tri thức luận trong sự hình thành số phức

Lịch sử hình thành và phát triển của số phức trải qua các giai đoạn:

Ý tưởng hình thành số phức xuất phát từ việc nghiên cứu các phương pháp giảiphương trình bậc hai bằng nhiều cách của Al-Khwarizmi (780-850) và các chứngminh dựa trên nền tảng hình học có nguồn gốc từ Toán Hi Lạp và Hindu Sau đó,qua các công trình nghiên cứu của Aboul Wafa, Al Kahri và Leonardo da Pisa,người ta đã biết giải tất cả các trường hợp và có thể phân biệt được phương trìnhbậc hai 2

0 (a 0)

ax bx c   có hai nghiệm, một nghiệm hay vô nghiệm Vào thờiđiểm này, giải phương trình bậc hai không còn là vấn đề nghiên cứu đặt ra với cácnhà toán học Thay vào đó là vấn đề tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba Cáccâu hỏi nghiên cứu được đặt ra như liệu rằng mọi phương trình bậc ba đều cónghiệm thưc hay không? Làm sao xác định được nghiệm của nó?

Trước thế kỉ XVI, nhờ vào phép dựng hình học mà các nhà toán học Hi Lạp đãgiải được phương trình bậc ba, điển hình là nghiên cứu thành công của Al –Haytham (965-1093) Mãi đến đầu thế kỉ XVI, người ta mới thành công trong việcgiải phương trình bậc ba bằng đại số Giáo sư Scipione del Ferro của Đại họcBologna là người đầu tiên đưa ra công thức giải phương trình bậc ba tổng quát

3 2 0

ax bx cx d  Công thức giải được ông truyền cho học trò mình là Fiore năm

1526 trước khi ông qua đời Năm 1547, Cardano là người công bố phương pháp giảitổng quát một phương trình bậc ba Và khó khăn nảy sinh là trong quá trình giải có

sự xuất hiện căn bậc hai của số âm Để giải quyết khó khăn này, Rafael Bombelliđưa vào hai kí hiệu “píu di meno” (p.d.m) và “meno di meno” (m.d.m) Bằng các kíhiệu này, ông đã tìm được nghiệm thực của phương trình bậc ba bằng cách thựchiện các phép tính tương tự như trong phạm vi số quen thuộc

Cách xây dựng phương pháp giải phương trình bậc ba của nhà toán học

Vậy x3u3 v2 1 2 1 4p d m  m d m 

Từ đó ta thấy được rằng, việc tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba làm nảysinh đối tượng nghiên cứu mới Số phức xuất hiện với vai trò là công cụ giải quyếtvấn đề

Số phức lúc này chỉ là kí hiệu làm trung gian cho phép tính nghiệm của phươngtrình bậc ba chứ chưa có cơ chế của một “số” Nghiên cứu cho thấy rằng các thaotác trên các kí hiệu có cơ sở, căn bậc hai của số âm xuất hiện nhưng vẫn chưa có

“nghĩa” xác định, chỉ là một công cụ tính trung gian Sau đó các nhà hình học Đức

đã dùng kí hiệu i thay cho 1 Người ta áp dụng các quy tắc quen thuộc trongphạm vi các số đã biết để tính toán chúng

Mặc dù trong thời điểm đó không ai hiểu rõ 1 hay i là gì, nhưng bằng cácquy tắc sử dụng trong phạm vi số thực thì nhiều nhà toán học đã cho ra nhiều hệthức rất hoàn hảo Điển hình là Bernoulli đã sử dụng nó để tính logarit của số âm và

số ảo, Abraham de Moivre (1667-1754) đưa ra công thức:

cos isinn cosnisinn Với Euler đã thiết lập công thức e  1 1

 Vào thời điểm này, kí hiệu căn bậc hai của số âm, kí hiệu i , a b đã xuất hiệnnhưng chưa có một nghĩa xác định cho số phức

Hình ảnh hình học sơ khai của số phức được đề cập trong quyển “Algebra” củanhà toán học Anh Jonh Wallis (1916-1703) xuất bản năm 1685

Trước thế kỉ XIX, hình ảnh hình học của số phức xuất hiện trong tưởng tượng.Mãi đến thế kỉ XIX, các nhà Toán học mới bắt đầu tìm ra các dạng biểu diễn cụ thể,cho số phức có một nghĩa xác định, tạo nền móng để xây dựng lí thuyết hàm số biến

số phức

Khi nghiên cứu số âm, Argand đã nảy sinh ý tưởng về chiều, đưa ra mô hình biểudiễn các số thực trên trục định hướng Trong quá trình nghiên cứu biểu diễn đạilượng x thỏa mãn x x  1, ông cho rằng x không thể dương cũng không thể âmnên phải có một hướng thứ ba chứa x và ông đưa ra cách biểu diễn các số thực trên

đại lượng ảo là  1 và  1 Từ đó khái niệm đường định hướng được sử dụngvới ý nghĩa là đường mà chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm về hướng.Nhằm gắn kết khái niệm đường định hướng với các đơn vị ảo, ông chỉ ra rằng cácđường song song với trục thực được viết là a , còn những đường vuông góc với

nó được viết là b 1 Tất cả các đường định hướng trong mặt phẳng được viếtdưới dạng  a b 1 Nhờ vậy các phép toán trên đại lượng ảo được ông thiết lậpthông qua phép dựng hình học trên các đường định hướng

Việc số phức mang nghĩa hình học chưa làm thỏa mãn sự tìm tòi nghiên cứu củacác nhà toán học Họ muốn số phức phải mang bản chất đại số, phải được xây dựng

từ tập hợp số thực đã biết Muốn trả lời câu hỏi “số phức là gì” trong phạm vi đại

số

Đầu thế kỉ XIX, Cauchy và Hamilton đã đem đến một nghĩa đại số cho số phức

Số phức chính thức trở thành những đối tượng đại số, có thể thực hiện các phép tínhđại số Trong thời gian đó, các nhà vật lý đã dùng số phức để mô tả các hiện tượngvật lí, chúng xâm nhập vào các phương trình tĩnh điện, thủy động lực học, lí thuyếtdao động, cơ học lượng tử

Quaternion là một sáng tạo vĩ đại của Hamilton Nhiều năm trăn trở, không bằnglòng với ý nghĩ cho rằng phép nhân các số phức có thể biểu diễn thuần túy bằngphép quay trên mặt phẳng Có cách nào đưa ra một dạng mới của các số và xác địnhphương pháp nhân của chúng bằng cách biểu diễn bằng phép quay nào đó trongkhông gian ba chiều? Những số mới này được Hamilton gọi là triplet Theo quanđiểm “hình học là khoa học của không gian, đại số là khoa học về thời gian thuầntúy”, Hamilton đã giải thích số âm như sự quay về trong thời gian Để tìm nghĩa củacác đại lượng ảo, ông xây dựng một đại số của các cặp số thực được gọi là “coupesd’instants et de moments” Phép nhân được định nghĩa như sau:

a b c d,   ,   ac bd ad bc ,   Phép nhân này bảo toàn các tính chất đại số quenthuộc và hơn nữa: 0,1 0,1    1,0 Từ đó, trong đại số này, số phức được xemnhư là các cặp số thực, lấy cơ chế của một đối tượng đại số Mở rộng kết quả trên,

của các biểu thức có dạng a bi cj dk   (gọi là một quaternion), với a b c d, , , là sốthực, i j k, , là các kí hiệu hình thức liên hệ với nhau và với số 1 theo bảng nhân sauđây:

Bảng 1.1 Bảng nhân của Hamilton

Hamilton không ngừng tìm tòi nghiên cứu tích hợp thức số phức cộng với sự tácđộng qua lại giữa Đại số và Hình học đã làm động lực nảy sinh đối tượng mới tronglĩnh vực Toán học: Đại số các quaternion của Hamilton

Tóm lại, quá trình hình thành số phức trải qua các giai đoạn:

- Cách viết trung gian với vai trò như một công cụ chưa có nghĩa xác định

- Kí hiệu hình thức các đại lượng ảo cũng với vai trò như một công cụ chưa cónghĩa xác định

- Biểu diễn hình học các đại lượng ảo với vai trò là một đối tượng có ý nghĩahình học sơ khai

- Đại số các số phức đóng vai trò là một đối tượng có nghĩa đại số

Như vậy, việc tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba là nguyên nhân nảy sinhđối tượng số phức Việc nghiên cứu các số phức để tìm một nghĩa xác định lànguyên nhân và động lực để nảy sinh các đối tượng toán học khác Khi cố gắng tìmkiếm ý nghĩa hình học của số phức, các nhà Toán học đã đưa ra khái niệm đườngđịnh hướng đã làm tiền thân cho đối tượng vectơ Và từ nghiên cứu tích hợp thứccủa số phức mà quaternions của Hamilton đã được khám phá

1.2.1 Lí thuyết

Định nghĩa số phức

Sách giáo khoa lớp 12 cơ bản (SGK 12CB) đưa khái niệm số phức theo conđường ngược với quy trình xuất hiện của nó trong lịch sử Giai đoạn số phức xuấthiện chỉ với vai trò như công cụ tính không được đề cập đến Trình tự xuất hiện của

số phức trong SGK 12CB như sau:

Dạng đại số của số phức

Biểu diễn hình học của số phức dưới dạng một điểm

Ứng dụng dạng đại số của số phức

Dạng đại số của số phức được đưa vào trước tiên và lí do xuất hiện số phức được

giải thích: “Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm

thực Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình

2 1 0

x  

Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên Như vậy i 2 1 ”

Và ngay sau đó đưa ra định nghĩa số phức:

“Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó a b R,  , i2 1 được gọi là một số phức Đối với số phức z a bi  , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z

Tập hợp các số phức kí hiệu là C ”

Nhận thấy rằng lý do sách giáo khoa (SGK) đưa vào số phức không thật sự phùhợp với khía cạnh tri thức luận trong lịch sử hình thành của nó Việc các nhà toán

học tìm ra số phức là cả một quá trình phức tạp, xuất phát từ việc tìm nghiệm thựccủa phương trình bậc ba, và đó sẽ gây khó khăn để học sinh phổ thông tiếp cận với

số phức Tuy nhiên, ta cũng có thể có cách tiếp cận số phức phù hợp hơn dựa trênviệc giải các phương trình bậc bađơn giản

Biểu diễn hình học của số phức

Theo sách giáo viên (SGV) thì việc đưa vào biểu diễn hình học là cơ sở để trìnhbày khái niệm môđun và số phức liên hợp của số phức Cách lí giải này khác với lí

do xuất hiện biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử là để tìm nghĩa của sốphức và các phép toán trên chúng Ở SGK 12CB, biểu diễn hình học của số phứcđược giới thiệu là một điểm trên hệ trục tọa độ “điểm M a b ;  trong một hệ tọa độvuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z a bi  ”

Hệ trục tọa độ Oxy đã biết giờ đã chuyển sang hệ tọa độ trong mặt phẳng phức

với Ox là trục thực, Oy là trục ảo Nhưng yếu tố ảo không được thể hiện trên hệtrục Từ biểu diễn hình học của số phức z a bi  được chuyển hoàn toàn thành việcbiểu diễn điểm M a b ;  trên hệ trục Oxy đã biết Từ đó có thể đặt ra câu hỏi: liệu có

sự nhầm lẫn nào giữa mặt phẳng phức và mặt phẳng thực trong học sinh hay không?

Và có gây khó khăn gì khi học sinh phải tiếp cận với mặt phẳng phức không?

Các phép toán trên số phức

Các phép toán trên số phức được xây dựng hoàn toàn trên dạng đại số, không cóminh họa bằng hình học Tất cả các phép toán đều được thực hiện theo các quy tắccủa các phép toán trên đa thức Nghĩa của các phép toán trên số phức hoàn toàn

không được đề cập đến trong SGK 12CB Số phức được giới thiệu như là một “đa

thức”, bản chất của nó đã bị lờ đi Máy tính bỏ túi rất hữu hiệu trong việc tính toán

số phức, nhưng SGK không đề cập đến tiện ích này

Phương trình bậc hai với hệ số thực

Ở ba bài đầu Số phức; Cộng, trừ và nhân số phức; Phép chia số phức trong SGK

12 cơ bản thì số phức xem như là một đối tượng Nghĩa công cụ của số phức đượcthể hiện trong bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Các công thức giải được đưa ra đầy đủ với ba trường hợp của biệt thức của 

Nhưng căn bậc hai của số thực âm chỉ được giới thiệu một cách hình thức “các căn

bậc hai của số thực a âm là i a ” Không có định nghĩa về căn bậc hai phức,các căn bậc hai của số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác

1.2.2 Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến số phức trong SGK

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Đưa số phức về đúng dạng a bi rồi kết luận a là phần thực, b là phần ảo

Sau ngay phần định nghĩa số phức thì SGK 12CB đưa ra hoạt động 1: “Tìm phần

thực và phần ảo của các số phức sau:  3 5 , 4i  i 2,0i,1 0 i ”

Hoạt động này nhằm cũng cố khái niệm phần thực, phần ảo của số phức Các sốphức được cho theo đúng dạng nên học sinh đơn giản chỉ cần kết luận phần thực,phần ảo mà không phải biến đổi thêm gì

Tìm số thực x và y biết biểu thức f x y , g x y i ,  f x y' , g x y i' , 

Lập hệ    

' '

Ngay sau đó là hoạt động yêu cầu học sinh tìm số phức khi biết phần thực và phần

ảo Đó là bài toán ngược của bài toán tìm phần thực, phần ảo của một số phức, hoạtđộng này nhằm mục đích cho học sinh cũng cố thêm về khái niệm số phức

Biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

Số phức z a bi  được biểu diễn: đường thẳng thực x a , đường thẳng ảo y b

lên mặt phẳng tọa độ Sau đó giao phần thực và phần ảo lại sẽ là phần biểu diễn của

c) phần thực của z thuộc khoảng 1; 2

d) phần ảo của z thuộc đoạn 1;3

e) phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn 2; 2

Trong bài toán các ràng buộc cho phần thực và phần ảo luôn là số nguyên và luônnằm trong khoảng 2;3

Sau đó đưa ra một bài tập cho thấy rõ ý nghĩa hình học về môđun của số phức,học sinh phải biết quy việc tìm tập hợp các điểm thỏa các điều kiện cho trước Bài tập 5 trang 134 SGK 12CB :

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

c) 10 z 2

d) z 1 và phần ảo của z bằng 1

Tìm môđun và argument của số phức a bi

Trong SGK 12CB ở bài tập 4 trang 134 yêu cầu tìm môđun của z, nhưng trongphần lí thuyết không đề cập đến argument của số phức nên chỉ có một kĩ thuật duynhất để giải quyết vấn đề là sử dụng công thức z  a2b2

Chia số phức

Nhân tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu, rồi thực hiện các tính toán

Ở trong các nhiệm vụ cộng, trừ, nhân, chia số phức được đưa ra trong SGK 12CB

Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Bước sang nhiệm vụ này số phức đã được đóng vai trò là một công cụ Có hai kĩthuật để giải quyết nhiệm vụ này

Tính  b2 4ac

Nếu   0 , phương trình có một nghiệm

2

b x a

Đây là nhiệm vụ được xem là một dạng khác của phép chia số phức

Tìm căn bậc hai của số thực a âm

Sử dụng công thức căn bậc hai của số thực a 0 là i a

Theo Sách giáo viênthì “không có định nghĩa chính thức về căn bậc hai phức, cáccăn bậc hai của số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác” Theo yêu cầu của SGK vàsách giáo viên thì học sinh không được dùng kí hiệu căn bậc hai của số thực âm, màchỉ có thể dùng lời để diễn tả.

Ứng dụng của hệ thức Viet trong phương trình bậc hai

Hệ thức Viet trong phương trình bậc hai trong tập số phức được ứng dụng hoàntoàn như trong tập hợp số thực

hiện (lần)

Tỉ lệ (%)

Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2 2,1Tìm số thực x và y biết biểu thức

Tổng 91

Bảng 1.2 Bảng thống kê số lần xuất hiện của các nhiệm vụ trong SGK 12CB

SGK 12CB không đề cập đến dạng lượng giác của số phức Dạng lượng giác của

số phức và ứng dụng được đề cập trong bài 3 chương IV ở sách giáo khoa 12 nângcao (SGK 12NC)

Kết luận

Số phức được đưa vào SGK 12CB theo trình tự sau

ĐẠI SỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ

(đối tượng) (đối tượng) (công cụ)

Trình tự xuất hiện số phức trong lịch sử đã được chuyển đổi khi đưa vào SGK.Trong lịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế công cụ và chỉ là các kí hiệuhình thức chứ chưa có ý nghĩa đại số hay hình học cụ thể Dạng đại số được giớithiệu đầu tiên trong SGK nhưng theo lịch sử thì xuất hiện cuối cùng Cách thứcchuyển đổi này cũng thường gặp trong quá trình chuyển đổi từ tri thức khoa họcsang tri thức giảng dạy nhằm mục đích sư phạm

Ý nghĩa hình học của số phức không được đề cập đến, định nghĩa và cách xâydựng các phép toán hoàn toàn dựa trên các quy tắc đã biết trên tập hợp số thực Biểudiễn hình học của số phức bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ chỉ đưa vào nhằmmục đích làm cơ sở để giới thiệu môđun của số phức Trong khi đó, nghiên cứukhoa học chỉ ra rằng, biểu diễn hình học của số phức ra đời trong quá trình người ta

đi tìm nghĩa của nó Tóm lại từ tri thức khoa học chuyển sang tri thức giảng dạy cónhiều thay đổi nhưng chung quy lại cũng chính là lý do sư phạm nhằm đáp ứng phùhợp với môi trường giáo dục thực tại

1.3 Nội dung số phức trong chương trình phát triển nghiệp vụ cho sinh viên

sư phạm toán

Trong chương trình đào tạo giáo viên toán hiện nay của các trường sư phạm ở ViệtNam đều có học phần Giải tích phức (hay Hàm số biến số phức) Mục tiêu của học

số biến số phức; và một số vấn đề chuyên sâu hơn như hàm giải tích, lý thuyết tíchphân, lý thuyết chuỗi, lý thuyết thặng dư… Học phần về số phức này thường đượcgiảng dạy ở năm thứ ba hoặc năm thứ hai trong chương trình đào tạo bốn năm Bêncạnh học phần này có tính chất trang bị kiến thức cơ bản và chuyên sâu, một số cơ

sở đào tạo giáo viên còn có học phần Phương pháp dạy học toán, trong đó có nộidung dạy học số phức ở trường phổ thông Tuy nhiên, nhìn chung chương trình đàotạo giáo viên toán hiện nay tập trung nhiều vào việc trang bị nội dung kiến thức về

số phức, mà có ít môđun về dạy học số phức và phát triển nghiệp vụ cho giáo viên

để dạy học chủ đề này Những kết quả nghiên cứu về dạy học số phức cũng còn ítđược áp dụng vào đàotạo nghiệp vụ cho giáo viên toán ở trường sư phạm

1.4 Điểm bình các nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức

Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng các biểu diễn là những công cụ quan trọng để phát

triển suy luận toán học, truyền đạt thông tin và các quá trình tư duy (Cuoco &Curcio, 2001; Goldin & Shteingold, 2001; Kaput, 1987; NCTM, 2000) Việc biểudiễn các mối quan hệ toán học và các ý tưởng có thể được thể hiện bằng lời nói (vănbản hoặc ngôn ngữ nói), bằng biểu tượng (con số, chữ cái, phương trình), và bằngtrực quan (đồ thị, sơ đồ, cử chỉ)

Lesh et al (1987) nhấn mạnh tầm quan trọng trong sự kết nối và chuyển đổi qualại giữa các biểu diễn khác nhau của một đối tượng toán học khi giải quyết vấn đềtoán học Các tác giả nhận thấy rằng học sinh luôn gặp khó khăn trong quá trìnhchuyển đổi giữa các kiểu biểu diễn Lesh et al (1987) khẳng định một người giảiquyết vấn đề tốt là người có xu hướng sử dụng một cách linh hoạt các kiểu biểudiễn khác nhau của cùng một đối tượng toán học và chọn lựa biểu diễn phù hợpnhất trong quá trình giải quyết vấn đề Các tác giả này cho rằng để chẩn đoán nhữngkhó khăn trong học tập của học sinh hoặc xác định các cơ hội dạy học, giáo viên cóthể tạo ra một loạt các câu hỏi bằng cách giới thiệu một ý tưởng trong một kiểu biểudiễn và yêu cầu sinh viên minh họa, mô tả, hoặc thể hiện ý tưởng trong các kiểuhoặc thể thức biểu đạt khác Tuy nhiên, để sử dụng các chiến lược giảng dạy nhưvậy giáo viên cần phải biết các dạng khác nhau và liên kết chúng

Lesh (1987), Ball (2001), Izsak và Sherin (2003) đưa ra lý do tại sao giáo viêncần phải có kiến thức về các kiểu biểu diễn khác nhau của một khái niệm tronggiảng dạy cũng như trong các hoạt động giải quyết vấn đề cá nhân Những ngườigiải quyết vấn đề tốt là những người nhận thức được kiểu biểu diễn nào là thích hợpcho một nhiệm vụ đặt ra Do đó, yêu cầu cấp bách đối với giáo viên là giáo viênphải am hiểu về sự tích hợp nhiều kiểu biểu diễn khác nhau về một đối tượng toánhọc trong quá trình truyền đạt cho học sinh Mặc dù, đã có nhiều nghiên cứu về vaitrò của các biểu diễn trong việc dạy học các vấn đề liên quan đến số thực(Kilpatrick, 2001; Sowder, 1992), tuy nhiên, đối với số phức thì hầu như có rất ítcác nghiên cứu như vậy Vì vậy, nghiên cứu của chúng tôi ở đây có thể đóng gópvào các nghiên cứu hiện tại về dạy học số phức theo hướng sử dụng đa biểu diễn

Số phức là một khái niệm mang tính trừu tượng của giải tích toán học và được bắt

đầu giảng dạy cho học sinh ở những năm cuối của bậc Trung học phổ thông vàđược nghiên cứu sâu hơn vào các ứng dụng của nó vào giải tích phức ở những nămđại học Vấn đề dạy học khái niệm này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu giáo dụctoán quan tâm từ lâu

Một số nghiên cứu tập trung tìm hiểu nhận thức và tư duy toán học của học sinh,sinh viên, giáo viên về số phức như:

- Số phức và vectơ (Les Evans, 2006, [19])

- Giảng dạy số phức ở trung học (Chavez, 2014, [8])

- Nền tảng cơ sở DNR về các trường hợp của số phức (Harel, 2013, [14])

- Dạy và học đại số phức ở hai trường đại học ở Columbia và Anh(Danenhower, 2000, [10])

- Giảng dạy các dạng biểu diễn của số phức trong giản đồ Argand (TAN SoonHui & TOH Tin Lam, 2013, [28])

- Lý luận trên mặt phẳng phức thông qua những cử chỉ và kí hiệu Johnson, H., Troup, J., 2014, [27])

(Soto Hình ảnh khái niệm của số phức (Maria Cortas Nordlander, EdvardNordlander, 2011, [22])

- Cách tiếp cận hình học và đại số của số phức (Panaoura, Elia, Gagatsis,Giatilis, 2006, [24])

Các nghiên cứu trên đưa ra khái niệm số phức, các dạng biểu diễn và khả năngchuyển đổi giữa các dạng khác nhau của số phức, thực nghiệm nghiên cứu chủ yếutrên đối tượng sinh viên và giáo viên

Ở Hoa Kỳ và Châu Âu, đã có nhiều lời kêu gọi thay đổi trong cách giảng dạy cáckhái niệm giải tích từ lâu Một trong những thay đổi cơ bản là nhấn mạnh đến khíacạnh trực quan trong dạy học các khái niệm giải tích Tư duy trực quan đóng vai trò

cơ bản trong việc hiểu các khái niệm giải tích Nemirovsky et al (2012, [22]) đãcho thấy sự hữu ích của tư duy trực quan qua một nghiên cứu của mình Các tác giảtrình bày về kỹ năng giải thích số phức bằng hành động, thực nghiệm về việc amhiểu toán học bằng cách thiết lập hành động tri giác của cơ thể Đối tượng nghiêncứu là sinh viên và họ làm việc theo nhóm tự do trên sàn lớp học, họ đưa ra các giảithích hình học về phép cộng và nhân số phức bằng cử chỉ, hành động được thựchiện trên mặt sàn xem như mặt phẳng phức

Tiêu biểu là bài báo trình bày quan điểm của giáo viên trung học về các dạng

khác nhau của số phức (Karakok, Soto-Johnson & Dyben, 2014, [17]) Nghiên cứu

này tìm hiểu quan niệm toán học của giáo viên toán trung học về các dạng và cáchthức chuyển đổi linh hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của số phức Kết quảnghiên cứu của họ chỉ ra rằng, nhìn chung các giáo viên không nhất thiết phải cóquan niệm đối ngẫu thao tác/cấu trúc (theo nghĩa của Sfard (1991)) về số phức Tuynhiên, các giáo viên tham gia khảo sát đã thể hiện được các quan điểm đa dạng đốivới các dạng khác nhau về số phức Giáo viên đã làm việc ở một cấp độ thao tác vớidạng mũ của số phức, nhưng không thể hiện được quan niệm cấu trúc về số phức ởdạng này Nghiên cứu cũng đưa ra kết luận rằng các giáo viên phổ thông cần các cơhội để phát triển các quan niệm đối ngẫu thao tác/cấu trúc về số phức ở mỗi dạngbiểu đạt của nó

Tóm lại, các bài báo và các công trình nghiên cứu đều tập trung vào tìm hiểu nhậnthức và tư duy của người học lẫn người dạy, đã xây dưng một khung lý thuyết đểnghiên cứu việc hiểu khái niệm số phức trong các dạng khác nhau Bên cạnh đó, cácnghiên cứu trên còn nhấn mạnh vai trò của các lập luận trực quan để giải quyết cácbài toán về số phức Nhiều nghiên cứu chủ yếu tập trung tìm hiểu khả năng hiểu củahọc sinh về mối liên hệ và cách thức linh hoạt chuyển đổi giữa các dạng khác nhaucủa số phức Các nghiên cứu này cho thấy còn nhiều khó khăn trong việc biểu diễn

và chuyển đổi Tuy nhiên các nghiên cứu này đều thực hiện trên đối tượng tham gia

là sinh viên hoặc giáo viên, đối tượng học sinh phổ thông tiếp cận với khái niệm sốphức còn khá ít

1.5 Ghi nhận và đặt ra vấn đề nghiên cứu

Trong chương 1, chúng tôi đã điểm qua lịch sử hình thành khái niệm số phức,điểm bình các nghiên cứu liên quan đến dạy học số phức, các nghiên cứu về dạyhọc số phức trong chương trình và SGK 12 CB ở Việt Nam Các phân tích lịch sử,tổng quan nghiên cứu và thể chế dạy học số phức này cho phép chúng tôi đặt ra một

số vấn đề khi nghiên cứu dạy học số phức: sinh viên sư phạm toán hiểu về kháiniệm số phức như thế nào? Khả năng hiểu của sinh viên về mối liên hệ giữa cácdạng khác nhau (đại số, hình học, lượng giác, mũ) của số phức như thế nào? Khảnăng chuyển đổi linh hoạt giữa các dạng biểu diễn được sinh viên sư phạm toán thểhiện như thế nào?

Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày các yếu tố lý thuyết làm cơ sở chonghiên cứu và phân tích dữ liệu thực nghiệm

Chương 2 KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

2.1 Hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm (Tall & Vinner, 1981)

Theo Bingolbali & Monaghan (2008), hình ảnh khái niệm (concept image) vàđịnh nghĩa khái niệm (concept definition) là các yếu tố quan trọng trong giáo dụctoán học, đặc biệt khi dạy học một khái niệm toán học Hình ảnh khái niệm bao gồmtất cả các cấu trúc nhận thức trong tâm trí của cá nhân được liên kết với một kháiniệm cụ thể (Tall & Vinner, 1981) Hình ảnh khái niệm được hình thành theo thờigian và thông qua các trải nghiệm của cá nhân Mỗi cá nhân có hình ảnh khái niệmriêng và duy nhất đối với một khái niệm toán học Thuật ngữ “định nghĩa kháiniệm” được sử dụng để chỉ một dạng từ ngữ dùng để chỉ rõ định nghĩa khái niệm

đó Định nghĩa khái niệm mang tính chính thức và được giới thiệu cho học sinhtrong quá trình học

Trong thực hành dạy học hầu hết ở các nước, khái niệm số phức thường đượcgiới thiệu một cách đơn giản trái lại với quy trình xuất hiện của nó trong lịch sửnghiên cứu của các nhà toán học Sự xuất hiện của số phức được giải thích với lí dođơn giản là để tìm được tất cả nghiệm của phương trình bậc hai, rồi đưa ra địnhnghĩa số phức Điều này có nghĩa là định nghĩa khái niệm được xây dựng trước, đó

là định nghĩa chính thức của số phức sau đó mới hình thành hình ảnh khái niệm từđịnh nghĩa khái niệm đó

Hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm có thể xem như là một pha trong quátrình hình thành khái niệm theo Vygotsky Vinner (1992) lưu ý rằng giáo viên đóngvai trò quan trọng trong việc hình thành khái niệm ở học sinh Trong giáo dục toán

đã có rất nhiều tác giả đề cập đến hai khái niệm này

2.2 Hệ thống biểu đạt ký hiệu theo Duval

Khái niệm hệ thống biểu đạt ký hiệu (register of semiotic representations) được

giới thiệu bởi Duval, [11] Khái niệm này gắn liền với giả thuyết rằng quá trình

nhận thức toán học diễn ra nhờ vào khả năng nhận ra một đối tượng toán học trongcác kiểu biểu diễn khác nhau và nó đòi hỏi sự nối khớp kết hợp các kiểu biểu diễnnày Duval cho rằng một đối tượng toán học thường được nhận thức và trình bàytrong nhiều hệ thống biểu đạt ký hiệu khác nhau Tác giả phân biệt hai kiểu chuyểnđổi biểu đạt ký hiệu: biến đổi trong cùng một kiểu biểu diễn (treatment) và chuyểnđổi từ một kiểu biểu đạt này sang một kiểu biểu đạt khác (conversion) Tác giả chorằng điều quan trọng là học sinh nhận ra được cùng một đối tượng toán học trongcác hệ thống biểu đạt khác nhau và các em có thể thực hiện linh hoạt hai kiểuchuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt ở trên.

Số phức là một trong những khái niệm quan trọng và là công cụ nền tảng của Giảitích toán học Theo lý thuyết biểu đạt kí hiệu của Duval, học sinh cần được tiếp cậnkhái niệm số phức trong nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau (đại số, hình học, lượnggiác, mũ) và có khả năng chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt để đạt đượcviệc hiểu ý nghĩa của khái niệm này

Trong nghiên cứu này, chúng tôi vận dụng khía cạnh hệ thống biểu diễn ký hiệucủa Duval để thiết kế phiếu học tập và phân tích việc hiểu khái niệm số phức, mốiliên hệ và khả năng chuyển đổi của sinh viên về các dạng khác nhau của số phức

2.3 Tính đối ngẫu thao tác/cấu trúc của các đối tượng toán học (Sfard,1991)

Sfard (1991, [25]) định nghĩa quan niệm (conception) như “một bó toàn thể các

biểu đạt bên trong và những liên kết được gợi lên bởi ý niệm [hoặc khái niệm]”, và

mô tả hai kiểu quan niệm: quan niệm thao tác và quan niệm cấu trúc Quan niệmthao tác tập trung vào “quá trình, thuật toán và hành động” được thực hiện trên cáckhái niệm toán học Ví dụ như nhìn nhận hàm số như một quy luật nhất định đượcdựa vào giá trị đầu vào để đạt được giá trị đầu ra tương ứng, hoặc thừa nhận i là kếtquả của việc lấy căn bậc hai của số âm Quan niệm cấu trúc đề cập đến việc giảiquyết hoặc nhìn nhận các khái niệm toán học như một đối tượng hoàn chỉnh Ví dụhàm số được định nghĩa như là một tập hợp có thứ tự hoặc xem số phức là một con

số có đầy đủ tính chất của một đối tượng toán học và trang bị đầy đủ các phép toán

Hai quan niệm thao tác và cấu trúc của cùng một khái niệm cùng bổ sung chonhau và là tiền đề thúc đẩy một quan niệm đối ngẫu Quan niệm đối ngẫu về mộtkhái niệm cho phép chúng ta làm việc một cách linh hoạt trên các nhiệm vụ toánbằng cách chuyển đổi cách nhìn thao tác/đối tượng về khái niệm đó Sfard (1991)nhấn mạnh rằng một quan niệm đối ngẫu về một khái niệm có thể được quan sáttrong các tình huống giải quyết vấn đề

Hai kiểu quan niệm thao tác và cấu trúc về các khái niệm toán học đã đượcnghiên cứu bởi nhiều tác giả (Hazzan, 1999; Kieran, 1992; Maracci, 2008; Zandieh,2000) Trong lĩnh vực số phức, Danenhower (2000, 2006) đã sử dụng khung lýthuyết APOS và quan niệm đối ngẫu thao tác/cấu trúc cho nghiên cứu của mình.Tác giả nhận xét sinh viên nên cần được giới thiệu với kiểu biểu diễn biểu tượng(hình học) sau khi thành thạo với các dạng a bi r , cos isin ,re i

2.4 Câu hỏi nghiên cứu

Việc phân tích các vấn đề trong chương 1 giúp chúng tôi đặt ra một số vấn đề chonghiên cứu Các khía cạnh lý thuyết trong chương 2 định vị cách nhìn khoa học chochúng tôi đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thề hóa mục tiêu nghiêncứu thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:

 Câu hỏi 1: Khả năng hiểu biết của sinh viên về khái niệm số phức được thể

hiện như thế nào trong mỗi kiểu biểu diễn? Khả năng kết nối và chuyển đổi qua lạicủa sinh viên giữa các hình thức biểu diễn khác nhau của số phức như thế nào ?

 Câu hỏi 2: Sinh viên sư phạm toán quan niệm như thế nào về số phức? Khó

khăn và thuận lợi của sinh viên gặp phải khi làm việc trên các dạng khác nhau của

số phức?

2.5 Kết luận chương 2

Khung lý thuyết tham chiếu đưa ra cơ sở khoa học giúp chúng tôi định vị cách

nhìn khoa học đối với vấn đề nghiên cứu, cụ thể hóa mục tiêu và là cơ sở cho việcphân tích dữ liệu thực nghiệm

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu

Nghiên cứu này được thực hiện trong ngữ cảnh tìm hiểu quan niệm và sự hiểu biếtcủa sinh viên sư phạm toán về số phức, một khái niệm mà sinh viên đã tiếp cận ởbậc phổ thông, cụ thể là ở học kì 2 lớp 12 và ở Đại học Nghiên cứu được thực hiệntrên đối tượng là sinh viên ngành sư phạm toán năm thứ hai Cụ thể là lớp DH15TO

ở Đại học An Giang, với sĩ số lớp là 34 sinh viên gồm 11 sinh viên nam, 23 sinhviên nữ Thời gian thu thập dữ liệu vào tháng 3 năm 2016

3.2 Tổ chức thu thập dữ liệu

Đối tượng nghiên cứu gồm 34 sinh viên ở lớp DH15TO (Đại học sư phạm toán

khóa 15) ở trường Đại Học An Giang, thành phố Long Xuyên tỉnh An Giang Dữliệu được thu thập bằng cách sử dụng phiếu học tập

Các nhiệm vụ toán liên quan đến số phức và các dạng khác nhau của số phứcđược thiết kế dựa trên việc kế thừa nền tảng của các nghiên cứu được nêu ở chương

1, đặc biệt là chú trọng đến việc hiểu khái niệm số phức và năng lực chuyển đổi qualại giữa các dạng khác nhau của số phức Trong phiếu học tập ngoài các dạng bàitập, chúng tôi còn đưa ra các câu hỏi để sinh viên trình bày quan điểm cá nhânnhằm mục đích tìm hiểu sự thông hiểu về số phức, những thuận lợi và khó khăn khilàm việc trên các dạng biểu diễn khác nhau của số phức

3.3 Phiếu học tập

3.3.1 Nội dung phiếu học tập

Phiếu học tập gồm 6 bài toán liên quan đến các dạng khác nhau của số phức và 3

bài hỏi về nhận thức cá nhân về khái niệm và các dạng biểu diễn của số phức Nộidung chính của phiếu học tập nhằm xem xét khả năng hiểu khái niệm số phức, mốiliên hệ và năng lực chuyển đổi qua lại giữa các dạng biểu diễn Chuyển đổi từ dạngđại số sang dạng hình học gồm bài 1, bài 6 câu a Chuyển đổi từ dạng hình học sang

6 câu b Sử dụng biểu diễn hình học để chứng minh biểu thức đại số ở bài 3 Sửdụng dạng đại số, dạng mũ, và dạng hình học để chứng minh mệnh đề số phức ở bài

4 Bài 7 hỏi về quan điểm cá nhân hiểu thế nào là một số phức Bài 8 yêu cầu chobiết những khó khăn khi học về số phức Bài 9 hỏi về quan điểm cá nhân thích làmviệc trên dạng biểu diễn nào nhất trong các dạng của số phức

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm

Trong phần này chúng tôi trình bày phân tích tiên nghiệm các bài toán đưa ra trong phiếu học tập Mục đích của phân tích tiên nghiệm là làm rõ mục tiêu từng bài toán đưa ra, dự kiến các phương án giải của sinh viên, những khó khăn mà sinh viên có thể gặp phải trong quá trình trả lời nhiệm vụ toán trong phiếu học tập.

Bài 1:

Biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ, biết z 2 và:

a) Phần thực không vượt quá phần ảo

b) Phần ảo lớn hơn 1

Bài tập này mục đích nhằm để sinh viên kết nối dạng đại số của số phức sangbiểu diễn hình học và thể hiện nó qua hình vẽ biểu diễn trên mặt phẳng phức Từ kếtquả phân tích ở dạng đại số, sinh viên sử dụng các kết quả đạt được thể hiện nóbằng hình ảnh Dựa vào dạng đại số, sinh viên phân tích và mối liên hệ giữa phầnthực, phần ảo ở từng câu a, câu b để thể hiện hình ảnh của số phức đó lên mặt phẳngphức

Dựa vào cách phân tích từ tính chất môđun của số phức: Nếu z a bi  (a, bR)

Hình biểu diễn là một đường tròn tâm tại gốc tọa độ, với bán kính bằng 2

Ở câu a) với điều kiện phần thực không vượt quá phần ảo thì đáp án đúng là:

y

x

Ở câu b) với điều kiện phần ảo lớn hơn 1 đáp án đúng là:

Tuy nhiên sinh viên sẽ gặp khó khăn trong cách biểu diễn qua hình ảnh này Sinhviên có thể tìm được ảnh biểu diễn là một đường tròn, nhưng sẽ gặp khó khăn khixác định mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo Sinh viên có thể không xác địnhhoặc xác định sai miền biểu diễn

a) Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho

2

z  z là một số thực

Bài tập 6 câu a) nhằm mục đích để sinh viên sử dụng các tính chất trong dạng đại

số để tìm mối liên hệ với dạng biểu diễn hình học Sinh viên thực hiện các biến đổi

ở dạng đại số để rút ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất củabài toán Sinh viên cần nắm vững kiến thức dạng hình học của số phức để đưa rađúng tập hợp biểu diễn của đối tượng cần xác định

Dựa vào kiến thức tính toán ở dạng đại số, biến đổi dữ kiện z2 z là số thực Gọi

2 2

2 2

22

2 1 0

2

y y

x O

1 3

-1 -2 -3

- Gốc O biểu diễn số 0

- Trục hoành biểu diễn số thực (kí hiệu Re)

- Trục tung biểu diễn số ảo (kí hiệu Im)

Dựa vào kiến thức biểu diễn hình học với quan sát ở câu a nhận thấy rằng phầnthực bị giới hạn bởi hai đường thẳng x2;x3 và phần ảo giới hạn bởi haiđường thẳng y1;y3 Phần tô đậm là phần giao của bốn đường thẳng trên Từ đóđưa ra kết luận: số phức z x yi với   3 x 2;1 y 3

Dựa vào trực quan, phân tích ở câu b có hai đường tròn cùng tâm O bán kính là 1

và 2 Và trực quan quan sát được số phức được biểu diễn thỏa điều kiện 1z 2,

và thêm điều kiện phần ảo của z bị ràng buộc bởi đường thẳng 1

2

y  Đáp ánđúng là số phức z thỏa điều kiện 1z 2, và phần thực của znhỏ hơn hoặc bằng

b