Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán tọa độ phẳng trong môi trường hình học động

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---NGUYỄN TRUNG HẬU CÁC DẠNG SUY LUẬN NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH KHI KHẢO SÁT BÀI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG MÔI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG Chuyên ngành: Lý luận và

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-NGUYỄN TRUNG HẬU

CÁC DẠNG SUY LUẬN NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH KHI KHẢO SÁT BÀI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG MÔI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẨN KHOA HỌC

TS Nguyễn Đăng Minh Phúc

Thừa Thiên Huế, năm 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả luận văn

Nguyễn Trung Hậu

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công

bố trong bất kỳ một công trình nào khác

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo,

TS Nguyễn Đăng Minh Phúc đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình cho tôihoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

+ Khoa Toán Trường Đại Học Huế, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại Học Sư Phạm Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốtthời gian học tập tại trường;

-+ Các thầy giáo, cô giáo đã giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa họccủa lớp cao học K23 Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại Trường Đạihọc Sư phạm, Đại Học Huế;

+ Thầy Huỳnh Hữu Hiền, tập thể lớp 10A8 Ban Giám Hiệu trườngTHPT Long Xuyên đã nhiệt tình giúp tôi chuẩn bị cơ sở vật chất;

+ Gia đình, bạn bè và các anh các chị học viên lớp cao học K23 đãquan tâm, giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sựtrao đổi và góp ý của quý thầy cô và bạn đọc

An Giang, năm 2016

Tác giả

Nguyễn Trung Hậu

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii

MỤC LỤC 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4

DANH MỤC CÁC BẢNG 5

Trang 5 DANH MỤC CÁC HÌNH 7

Trang 7 Chương 1 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 81.1 Giới thiệu 8

1.2 Nhu cầu nghiên cứu 9

1.3 Đề tài nghiên cứu 10

1.4 Mục đích nghiên cứu 10

1.5 Câu hỏi nghiên cứu 10

1.6 Ý nghĩa của việc nghiên cứu 10

1.7 Các thuật ngữ dùng trong luận văn 11

1.8 Cấu trúc luận văn 12

Tóm tắt chương 1 13

Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 142.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 14

2.1.1 Khái niệm hình học động 14

2.1.2 Xu hướng kết toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toánbằng phần mềm hình học động 14

2.2 Khung lý thuyết 15

2.2.1 Tác động của môi trường hình học động đến tư duy 15

2.2.2 Bài toán tọa độ phẳng 16

2.2.2.1 Phương trình đường thẳng 16

2.2.2.2 Phương trình đường tròn 16

2.2.2.3 Phép đối xứng trục 16

2.2.2.4 Phép đối xứng tâm 18

2.2.2.5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 18

2.2.3 Suy luận ngoại suy 18

2.2.3.1 Chọn lựa 19

2.2.3.2 Sáng tạo 19

2.2.3.3 Quan sát 20

2.2.3.4 Thao tác 21

2.2.4 Sự phổ dụng của suy luận ngoại suy 22

2.2.5 Phát triển suy luận ngoại suy thông qua các mô hình toán thao tácđiện tử 23

2.2.6 Các kết quả nghiên cứu liên quan 25

3.4 Công cụ nghiên cứu 29

3.4.1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 29

3.4.2 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 34

3.4.3 Phiếu điều tra (xem phụ lục) 42

3.5 Quá trình thu thập và phân tích dữ liệu 43

4.2.2 Kết quả thu được từ phiếu điều tra 51

4.2.2.1 Thái độ của HS khi tiếp cận với bài toán tọa độ phẳng trong môitrường hình học động 53

4.2.2.2 Các bài toán tọa độ phẳng đặt trong môi trường hình học động đểphát triển suy luận ngoại suy 53

4.2.2.3 Các dạng suy luận ngoại suy của HS 53

4.3 Tóm tắt 53

Chương 5 LÝ GIẢI , KẾT LUẬN VÀ VẬN DỤNG 555.1 Giới thiệu 55

5.2 Kết luận và lý giải 55

5.2.1 Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu 1 55

5.2.2 Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu 2 56

5.2.3 Kết luận và lý giải cho câu hỏi nghiên cứu 3 57

5.3 Vận dụng 57

KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Geometer’s Sketchpad

Dynamic Geometry System(Hệ thống hình học động)Dynamic Geometry Environment (Môi trường hình học động)Công nghệ thông tin

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 2.1 Suy luận ngoại suy trên nhiều lĩnh vực 23

Bảng 2.2.Các thuộc tính của M, N 30 Bảng 2.3.Tìm ảnh của M, N 30 Bảng 2.4 Tìm ảnh của I qua phép đối xứng tâm 30

Bảng 2.5 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox

31 Bảng 2.6 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy

31 Bảng 2.7 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M

31 Bảng 3.1 Bài toán 1 34 Bảng 3.2 Mô hình 1 35 Bảng 3.3 Mô hình 2 36

Bảng 3.4 Mô hình 3 37 Bảng 4.1 Bảng tổng hợp kết quả của phiếu học tập số 1 47 Bảng 4.2 Bảng tổng hợp kết quả của phiếu học tập số 2 51

DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang Hình 2.1 Đường tròn 16

Hình 2.2 Biểu diễn trên mặt phẳng 20

Hình 2.3 Biểu diễn trên mặt cầu 20 Hình 2.4 Hai hình vuông 21 Hình 2.5 Tổng không đổi 22 Hình 2.6 Quá trình suy luận ngoại suy 23

Hình 27 Kết hợp ba loại suy luận với biểu diễn trực quan

động 24 Hình 2.8 Tạo vết cho tam giác cho MNP 25

Hình 3.1 Bài toán 1 34 Hình 3.2 Kéo dài AH cắt (C) tại 35 Hình 3.3 Kéo dài AI cắt (C) tại 36 Hình 3.4 Không kẻ thêm đường phụ 36

Chương 1 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1 Giới thiệu

Môi trường hình học động đang phổ biến ở trường học Có nhiều tranh luậnkhác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học củahọc sinh Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ được sự hữu íchtrong việc phát triển suy luận của các em “Theo Borba và Villarreal, một thựcnghiệm nhằm để phát hiện một kết quả chưa biết trước, để kiểm chứng một sự thậtcủa một giả thuyết, để chấp nhận hoặc bác bỏ nó hoặc để tạo nên một ví dụ minhhọa cho một kết quả đúng” [1], chúng ta thấy được sự hỗ trợ tốt cho việc tạo ra cácgiả thuyết, thực nghiệm chúng thông qua khảo sát toán giúp học sinh hình thànhnhững giả thuyết và đưa ra suy luận ngoại suy

Suy luận ngoại suy được giới thiệu lần đầu tiên theo quan điểm triết học bởiCharles Sanders Peirce (10/9/1839 - 19/4/1914), một nhà triết gia, nhà toán học,logic học người Mỹ Ngoại suy xuất hiện một cách tự nhiên qua những lý giải củacon người về các hiện tượng hoặc các sự kiện trong đời sống hằng ngày.J.Josephson & S.Josephson phát triển mô hình ngoại suy của Peirce thêm một giaiđoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất Với sự hỗ trợ mạnh mẽ của các phần mềmhình học động, HS có thể khám phá các thuộc tính, tính chất hình học trước khi đưa

ra đáp án Đối với môn toán ở trường Trung học, ngoại suy xuất hiện ẩn tàng trongquá trình dạy học các khái niệm mới thông qua quan sát các tình huống, hiện tượng

để đưa ra các lý thuyết giải thích hoặc quá trình tìm kiếm các định lý, công thứcmới…Từ việc hỗ trợ đưa ra các giả thuyết tốt, suy luận ngoại suy được ứng dụngvào các chủ đề số học, đại số, thống kê

Trong chương trình hình học cấp THPT, hình học tọa độ phẳng của lớp 10được xem như nền tảng ban đầu, mang bản chất của một bài toán hình học phẳng.Tuy nhiên, khi đứng trước một bài toán hình học tọa độ phẳng HS thường lo ngại vìtính trừu tượng của hình học “Theo Jean Piaget (1896 -1980) - nhà Tâm lí học, nhàSinh học, người Thụy Sĩ đã nghiên cứu và đi đến kết luận: Tri thức không phải

truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức được chính cá thể xâydựng, thông qua hoạt động” [2] Vì vậy, cần phải trang bị cho HS một hệ thống suyluận ngoại suy từ các hình ảnh trực quan động để giúp các em có được tư duy và tựtin vận dụng kiến thức có được để giải bài toán hình học tọa độ phẳng một cáchchắc chắn Vì thế trong đề tài này, chúng tôi phân tích khả năng vận dụng tư duy đểđưa ra các dạng suy luận ngoại suy của học sinh với sự hỗ trợ của môi trường hìnhhọc động.

1.2 Nhu cầu nghiên cứu

“J.S Bruner được xem là người đầu tiên đưa ra khái niệm “dạy học khámphá” trong công trình “The Process of Education” vào năm 1960 Bruner cho rằngviệc học tập phải là một quá trình tích cực trong đó học sinh kiến tạo ý tưởng mớihay khái niệm mới trên cơ sở vốn kiến thức của họ Ông đề nghị rằng, việc dạy họcphải làm sao khuyến khích người học khám phá ra các dữ kiện và các mối liên hệcho chính họ” [3]

Với sự hỗ trợ của các phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP), Cabri,…Giáoviên có thể thiết kế các bài toán hình học phẳng trong DGE, cụ thể là GSP giúp họcsinh giải quyết các bài toán hình học ở trường Từ đó tạo ra các bài toán có mối quan

hệ dựa trên suy luận ngoại suy- một loại bài toán được thiết kế trên DGE giúp họcsinh khám phá, giải quyết các bài toán một cách trực quan và sâu sắc hơn

Ở cấp THPT, tọa độ phẳng là một chủ đề hay và hấp dẫn trong chương trìnhToán phổ thông và nó là tiền đề cho học sinh làm quen và tìm hiểu về hình họckhông gian trong chương trình phổ thông Tuy nhiên, kiến thức về tọa độ tương đốiphức tạp và trừu tượng với HS, vì vậy trong quá trình dạy học hình học về tọa độphẳng thì việc làm thế nào để HS hiểu được tọa độ là việc làm cần thiết Ngày nayvới sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ thông tin, rất nhiều chủ đề toán học được giảngdạy rất hấp dẫn, thú vị và đạt hiệu quả cao Chính vì vậy, việc khai thác tiềm năngthế mạnh của CNTT mà cụ thể là nghiên cứu, thiết kế các biểu diễn bội động giúphọc sinh phát triển khả năng suy luận ngoại suy về các bài toán tọa độ phẳng là mộtvấn đề đáng quan tâm

1.3 Đề tài nghiên cứu

Việc sử dụng biểu diễn bội động để phát triển suy luận ngoại suy tỏ ra cóhiệu quả trong việc kiến tạo tri thức cho học sinh và đã có nhiều nghiên cứu về lĩnhvực này Để phân tích sâu hơn về khả năng suy luận ngoại suy của HS nên chúng

tôi chọn đề tài: “ Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán

tọa độ phẳng trong môi trường hình học động”

1.4 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu này là:

(1) Xác định vai trò của các biểu diễn bội động trong hỗ trợ học sinh khảosát các bài toán tọa độ phẳng

(2) Xác định xây dựng các biểu diễn bội động để GV và HS có thể sửdụng nhằm phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh trong dạy học các bài toántọa độ phẳng

(3) Tìm hiểu các dạng suy luận ngoại suy khi khảo sát các nội dung hình họctrong tọa độ phẳng của học sinh dưới sự hỗ trợ của các biểu diễn bội động

1.5 Câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích đã nêu ở trên, nghiên cứu này nhằm trả lời những câu hỏi sau:

• Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Môi trường hình học động hỗ trợ học sinh

sử dụng suy luận ngoại suy khi khảo sát các bài toán tọa độ phẳng như thế nào?

• Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Thiết kế các bài toán tọa độ phẳng trong môi

trường hình học động như thế nào để học sinh có thể sử dụng nhằm phát triển suy luận ngoại suy trong khảo sát các bài toán tọa độ phẳng ?

• Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Phân biệt các dạng suy luận ngoại suy của

học sinh như thế nào?

1.6 Ý nghĩa của việc nghiên cứu

Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ:

+ Cho ta thấy các biểu diễn bội động có tác động tích cực trong việc hỗ trợhọc đưa ra suy luận ngoại suy cho các bài toán tọa độ phẳng

+ Cung cấp cho người dạy những biểu diễn bội động phục vụ trong việcgiúp học sinh khám phá các bài toán tọa độ phẳng cũng như cách xây dựng các biểu

diễn bội động tạo ra tính tương tác cao giữa giáo viên và học sinh.

+ GV có thể nắm bắt được khả năng vận dụng tư duy và các dạng suy luậnngoại suy của HS khi khảo sát các bài toán tọa độ phẳng để thiết kế các bài toán phùhợp năng lực các em

1.7 Các thuật ngữ dùng trong luận văn

• Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục

toán Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong vàbiểu diễn ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặckhái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ … và biểu diễn trong làcác mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ (Minh Phúc, 2010)

• Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng

và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau(Minh Phúc, 2010)

• Tọa độ phẳng: Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng Gọi nó

là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó Khi

ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại Số thực

đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng

• Trực quan: Là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải

thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ởtrong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mụcđích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó

để đi đến việc hiểu toán ( Arcavi, (2003))

• Mô hình động: Mô hình toán có thể thao tác được bằng tay hoặc bằng

chuột bởi người học để thay đổi, thêm bớt các điều kiện, biến dạng mô hình nhằmkhám phá các tính chất toán học của mô hình

• Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các

chủ thể và khách thể Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin,kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV-HS, HS-HS

• Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề Tư duy là quá

trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng,

các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.

• Suy luận: Một quá trình sử dụng các tri thức đã biết để đi đến kết luận,

đưa ra dự đoán hay xây dựng các giải thích (Minh Phúc, 2010)

• Suy luận ngoại suy: Quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để

giải thích cho một kết quả quan sát được

1.8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụlục, luận văn được trình bày trong năm chương:

Chương 1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu, nêu nhu cầu nghiên cứu, đề tàinghiên cứu, mục đích nghiên cứu và đưa ra các câu hỏi nghiên cứu cho luận văn.Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày ý nghĩa của nghiên cứu và định nghĩa một sốthuật ngữ dùng trong luận văn

Chương 2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch sử các vấn đề nghiên cứu; đưa rakhung lý thuyết làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu; giới thiệu một số kết quả đãthu được từ các đề tài nghiên cứu

Chương 3 Thiết kế nghiên cứu.

Chương này giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu cho luận văngồm các mục: thiết kế nghiên cứu, xác định đối tượng thực nghiệm sư phạm, cáchthức tổ chức thực nghiệm, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, trình bàyquá trình thu thập và phân tích dữ liệu, các hạn chế khi thực hiện theo phương pháp

và quy trình nghiên cứu đó

Chương 4 Các kết quả nghiên cứu

Chương này sẽ nêu các kết quả thu được trên từng vấn đề toán học để lầnlượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu

Chương 5 Kết luận, lý giải và vận dụng

Chương này đưa ra các lý giải và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu củaluận văn Phần vận dụng của luận văn cũng được trình bày trong chương này

Tóm tắt chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của đề

tài:“Các dạng suy luận ngoại suy của học sinh khi khảo sát bài toán tọa độ phẳng

trong môi trường hình học động”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi

nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ của luận văn Chúng tôi sẽ trình bàytổng quan vấn đề nghiên cứu làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu ở chương 2

Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Mục đích của chương này là xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơlược các nghiên cứu liên quan đến đề tài

2.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

2.1.1 Khái niệm hình học động

Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi.Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phầnmềm như Sketchpad, Cabri và Casyopee Các phần mềm này thực thi với công cụ

cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử

Các bản vẽ Sketchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các công

cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc Sketchpad nhớ các mối liên

hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc khi rê các đối tượng tự do Chẳnghạn, nó nhớ M là trung điểm đoạn thẳng AB, nhớ đường tròn ( )C có tâm O và

luôn đi qua điểm P…

Môi trường hình học động luôn phổ biến ở trường học Có nhiều tranh luậnkhác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học củahọc sinh Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việcphát triển suy luận của các em Việc phổ biến phần mềm tới tận các giáo viên giảngdạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã

có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụngphần mềm động hoặc các mô hình thiết kế sẵn trong dạy và học Toán

2.1.2 Xu hướng kết toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán bằng phần mềm hình học động

Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thờigian dài Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnhđến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ýtưởng toán học và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnhthực, bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc

sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh.

PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tậptrung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đềtrong cuộc sống thực PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá kiếnthức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, dichuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm

vụ và thách thức thường ngày” (OECD,2003, [27,tr.11]) PISA cũng nhấn mạnhđến quá trình toán học hóa theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sửdụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những côngdân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vàothế giới thực

2.2 Khung lý thuyết

Phần này trình bày khung lý thuyết cho nghiên cứu của chúng tôi Chúng tôicăn cứ vào các nghiên cứu trước đó của các nhà giáo dục toán học về các bài toántọa độ phẳng, môi trường hình học động, suy luận ngoại suy Các lý thuyết mớiđược đưa ra và phát triển trong những năm qua được chúng tôi tham khảo và bổsung theo nhu cầu nghiên cứu của mình

2.2.1 Tác động của môi trường hình học động đến tư duy

Phần mềm GSP là công cụ chủ yếu để tiến hành nghiên cứu của chúng tôikhi tiến hành trong môi trường hình học động Chúng tôi thiết kế các bài toán trênGSP để giúp cho HS nhận biết kiến thức toán một cách trực quan, giúp các em hiểuđược ý nghĩa, bản chất hình học và vận dụng kiến thức để thực hiện suy luận ngoạisuy và đưa ra giả thuyết toán học Môi trường hình học động với khả năng tương táctrực quan đã tác động tích cực đến tư duy học sinh và thúc đẩy tham gia vào quátrình làm chủ các ý tưởng toán học trừu tượng

Theo Baccaglini - Frank và Mariotti (2010): “nhìn chung, chúng ta có thểxem xét hai thế giới khác nhau: thế giới toán học của hình học Euclide, và thế giớimang tính kinh nghiệm, trong đó bao gồm kinh nghiệm trong một DGS Tuynhiên, một DGS có thể trở thành cầu nối tiềm năng giữa hai thế giới, cung cấp giáoviên với những hiểu biết và công cụ mới để khắc phục khó khăn của học sinh”

2.2.2 Bài toán tọa độ phẳng

Các bài toán được xây dựng trong mặt phẳng Oxy với các số bộ phận tạo

thành như điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, góc, hình phẳng để nghiên cứu về hìnhdạng, kích thước các hình được dựng nên để so sánh, đo đạc thông qua việc tính độdài các đoạn thẳng, số đo các góc hay tính diện tích các hình phẳng

2.2.2.5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M x y đến đường thẳng :( 0; 0) d ax by c+ + =0là:

2.2.3 Suy luận ngoại suy

Nhà triết học Mỹ, C S Peirce đã sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” để chỉ loạisuy luận liên quan đến việc tạo dựng và đánh giá của việc giải thích các giả thuyết.Thuật ngữ này ít quen thuộc so với “suy diễn”, “quy nạp” Ngoại suy là một loạicủa suy luận quy nạp trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiệntượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn

Một cách tổng quát,ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được Một quy trình cho suy luận

ngoại suy được thể hiện qua các bước như sau:

(1) Một sự kiện (hiện tượng, kết quả…)Sđược quan sát(2) Xuất hiện giả thuyếtGgiải thích choS

(3) Không có giả thuyết nào khác giải thích tốt choSnhưG

—————————————————————————(4) VậyGlà lời giải thích tốt nhất choS

Chẳng hạn, nếu nhìn ra cửa sổ và thấy bầu trời đen kịt, tôi có thể giả định rằngđang xảy ra nhật thực Tuy nhiên có nhiều giải thích “có lý” khác, chẳng hạn như sắp

có một cơn bão lớn hoặc thậm chí là sự xuất hiện của một phi thuyền khổng lồ

Erkki Patokorpi phân chia ngoại suy thành 4 dạng cơ bản: chọn lựa, sáng tạo,quan sát và thao tác Chúng tôi mô tả các dạng suy luận ngoại suy và minh họatrong toán qua các ví dụ

2.2.3.1 Chọn lựa

Chọn trong số các trường hợp có sẵn một trường hợp có thể lý giải cho kếtluận có được

Ví dụ 1 Một công nhân đi làm và về trên cùng một đoạn đường Vận tốc lúc

đi là 30 km/h, lúc về là 60 km/h Hỏi vận tốc trung bình của người đó?

Giải Các giá trị trung bình của hai số là trung bình cộng, trung bình nhân và

trung bình điều hòa Gọi quãng đường đi và về là 2s; đặt v1=30;v2 =60; thời gian

lúc đi và về tương ứng là t t1; 2 Gọi v là vận tốc trung bình, ta có:

Ví dụ 2 Một người đứng ở cực Bắc của trái đất, đi về hướng nam 80km rồi

đi về hướng Đông 30 km Người đó tiếp tục đi về hướng Bắc 40 km Hỏi người đócách cực Bắc bao nhiêu km?

Giải Trên mặt phẳng, hành trình của người đó đi có thể biểu diễn bằng

đường gấp khúc ABCD với AB = 80, BC = 30, CD = 40 Gọi E là trung điểm của

AB, ta có BCDE là hình chữ nhật còn tam giác AED vuông tại E Như thế AD sẽbằng 50 hay người đó cách cực Bắc 50 km

Hình 2.2 Biểu diễn trên mặt phẳng

Tuy nhiên, kết quả đó chưa lý giải được rằng trong thực tế người đó ở gầncực Bắc hơn Thật vậy, trên bề mặt trái đất, quãng đường AB là một phần kinhtuyến đi qua hai điểm A và B Tương tự, quãng đường BC sẽ là một phần của vĩtuyến đi qua hai điểm B và C Do cung AB bằng cung AC nên độ dài cung AD sẽbằng 40 Vậy, người đó đi chính xác sẽ cách cực Bắc 40km

Hình 2.3 Biểu diễn trên mặt cầu

2.2.3.3 Quan sát

Thực hiện quan sát trong quá trình ngoại suy để có trường hợp có thể lý giảicho kết luận có được

Ví dụ 3 Trên trang hình phần mềm The Geometer’s Sketchpad (GSP) dựng

hai hình vuông ABCD và EFGH cạnh a, được đặt sao cho đỉnh E trùng với tâm củaABCD, đỉnh F có thể di chuyển được Hãy đánh giá diện tích phần giao của haihình vuông (phần màu đậm)

Giải Sử dụng tính năng tính diện tích để tính diện tích phần chung ( tứ giác

EMCN) Khi đỉnh F di chuyển ta thấy rằng giá trị diện tích này không đổi và phụthuộc vào a

Bằng quan sát, khi điểm M đến trùng với B thì N trùng với C Lúc đó, diện

tích của phần chung sẽ bằng diện tích tam giác EBC và bằng 1 2

4a Trong trườnghợp tổng quát, nối EC và EB sao cho∆NEC= ∆MEB g c g( − − ) Vậy diện tích phần

giao của hai hình vuông bằng 1

4diện tích hình vuông ban đầu

Hình 2.4 Hai hình vuông

2.2.3.4 Thao tác

Sử dụng các thao tác có thể lên đối tượng trong quá trình suy luận để tìmkiếm các lý giải thích hợp

Ví dụ 4.Trên tranh hình GSP dựng tam giác đều ABC cạnh a và một điểm P

tùy ý trong tam giác Gọi x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ P đến các cạnh AB,

AC, BC Có nhận xét gì về tổng x + y + z ?

Giải Bằng cách tính các khoảng cách x PE y PF z PG= ; = ; = ; tính tổng

m x y z= + + thay đổi vị trí điểm P trong tam giác, ta thấy tổng m không thay đổi.Tiếp tục khảo sát bằng cách kéo rê điểm P đến trùng điểm A Lúc đó x và y triệttiêu còn z bằng độ dài đường cao h của tam giác đều

Hình 2.5 Tổng x y z+ + không đổi

Để chứng minh x y z h+ + = , ta dựng các đoạn thẳng AP, BP, CP Lúc đó, từ

S∆ =S∆ +S∆ +S∆ , ta được12ah=12a x y z( + + ).Vậy tổng x y z+ + không đổi

và bằng đường cao h

Việc biểu diễn mặt cầu trong ví dụ 2 có thể dẫn tới việc xem xét khái niệm

“đoạn thẳng” Liệu nó có phải là một cung trên mặt cầu có bán kính rất lớn? Suy luậnnhư trên có thể là kết quả của một ngoại suy sáng tạo Nhưng ngoại suy sáng tạo cóliên quan đến sự phát triển của kiến thức khoa học? Lý thuyết về ngoại suy đã mô tảnhiều về tầm quan trọng của ngoại suy sáng tạo đối với con người và chương trìnhmáy tính, nhưng thất bại trong việc lý giải các trường hợp trong khoa học khi mà cáckết quả có được đều chủ yếu từ các thực nghiệm hoặc thao tác lên đối tượng nghiêncứu ( Magnani, 2002) Khái niệm ngoại suy thao tác khi đó bao quát một phần rộnglớn các phát hiện khoa học nơi mà vai trò của hoạt động là trung tâm và những kếtquả có được đôi khi nằm ở dạng ẩn tàng và khó lý giải: hoạt động có thể cung cấpnhững thông tin cho phép nhà nghiên cứu giải quyết vấn đề bằng cách thực hiện mộttiến trình ngoại suy phù hợp để xây dựng hoặc chọn giả thuyết

2.2.4 Sự phổ dụng của suy luận ngoại suy

Suy luận ngoại suy là một phần quan trọng trong cuộc sống tinh thần của conngười Khi các nhà nghiên cứu hình thành nên một giả thuyết để giải thích vấn đề

mà mà họ quan sát được, họ đang suy luận ngoại suy Trong cuộc sống hàng ngày,suy luận ngoại suy có mặt hầu khắp nơi Chẳng hạn, khi con người tạo ra giả thuyết

để lý giải cho hiện tượng thiên nhiên, giải thích cho các sự kiện…

Tác giả Paul Thagard (trong Aidan Feeney & Evan Heit (2007)) đưa ra mộttổng kết các loại suy luận ngoại suy xảy ra trong nhiều lĩnh vực khác nhau, liênquan đến mục tiêu cần giải thích và giả thuyết tạo ra để giải thích chúng.

Bảng 2.1 Suy luận ngoại suy trên nhiều lĩnh vực Lĩnh vực Mục tiêu cần giải thích Giả thuyết để giải thích

Khoa học Các kết quả thực nghiệm Lý thuyết về các cấu trúc và quá trình

Y khoa Các triệu chứng Bệnh tật

Tội phạm Bằng chứng, dấu vết Bị cáo, động cơ gây án

Máy móc Hoạt động, hư hỏng Đứt gãy, tương tác, nứt

Xã hội Hành vi, ứng xử Trạng thái tinh thần, đặc điểm

Pierce lưu ý rằng ngoại suy bắt đầu khi có cảm giác bối rối do đối mặt vớimột tình huống không quen thuộc cần phải giải thích Các biểu diễn bội động phùhợp để tạo ra những bối cảnh có thể gây ngạc nhiên, bất ngờ thú vị cho học sinh khihọc toán Tiếp theo, trí óc sẽ tìm kiếm những giả thuyết thích hợp để có thể giảithích sự kiện gây bất ngờ, ngạc nhiên đó Mô hình tạo nên những sự kiện gây ngạcnhiên và học sinh có thể dùng những tri thức vừa tiếp thu được để giải thích

Việc tạo ra được một giả thuyết giải thích chấp nhận được nằm ở giai đoạnthứ ba của suy luận ngoại suy Nếu bằng lòng với giả thuyết đó, quá trình ngoại suy

sẽ kết thúc Tuy nhiên, họ thường không chấp nhận một giả thuyết giải thích trừ phi

nó được đánh giá với những giả thuyết khác và với tất cả những bằng chứng cóđược Những triết gia gọi đây là giai đoạn thứ tư để có được lời giải thích tốt nhất(Lipton, 2004)

Hình 2.6 Quá trình suy luận ngoại suy 2.2.5 Phát triển suy luận ngoại suy thông qua các mô hình toán thao tác điện tử

Quan sát và thao tác là các thành tố trung tâm của suy luận ngoại suy Trongdạy học toán, các mô hình thiết kế trên các phần mềm hình học động như The

Bối rối hoặc

ngạc nhiên

Tìm kiếmgiải thích

Hình thànhgiả thuyết

Đánh giá và chấp nhận giả thuyết

Hài lòng hoặc thỏa mãn

Geometer’s Sketchpad và Cabri hỗ trợ tốt cho việc quan sát và thực hiện các thaotác lên các đối tượng toán học có trong mô hình Những thao tác động như: thay đổigiá trị của biến số, thay đổi vị trí của đối tượng để quan sát đối tượng ở những góc

độ khác nhau, dựng thêm các đối tượng mới hoặc thực hiện các phép đo đạc và tínhtoán… là những thao tác cơ bản và diễn ra thường xuyên trong các giờ học có sửdụng các mô hình thao tác động điện tử Một kết hợp của 3 loại suy luận với cácbiểu diễn trực quan động có thể minh họa qua sơ đồ sau:

Hình 27 Kết hợp ba loại suy luận với biểu diễn trực quan động

Một mô hình thao tác động điện tử giúp HS phát triển suy luận ngoại suyphải hỗ trợ HS thực hiện các bước như hình 2.5 Với khả năng sáng tạo riêng biệtcủa từng cá nhân, các GV có thể thiết kế các mô hình theo từng bài học của mìnhphụ trách Ở đây, chúng tôi giới thiệu mô hình hỗ trợ HS phát triển suy luận ngoạisuy được thiết kế trên phần mềm GSP

Mô hình Dựng tam giác ABC, trên AB lấy điểm M tùy ý rồi đo tỷ số

ABC và MNP có chung điểm đặc biệt nào?

HS quan sát và thao tác trên hình bằng cách bằng cách kéo rê điểm M trênđoạn AB để đưa ra giả thuyết về điểm đặc biệt chung của hai tam giác Nếu lấy(trace) các cạnh của tam giác MNP rồi cho điểm M chuyển động trên AB, ta có thểthu được như hình dưới Từ đây, điểm chung đặc biệt của hai tam giác sẽ nằm trongvùng trống chung của hai tam giác khi M thay đổi

Hình 2.8 Tạo vết cho tam giác cho MNP

Điểm chung đặc biệt từ đó có thể được dự đoán là trọng tâm, tâm đường trònngoại tiếp Tiếp tục với các quan sát và thao tác bằng cách dựng các điểm đặc biệtcủa hai tam giác, HS ngoại suy được giả thuyết điểm chung đặc biệt là trọng tâm

Để chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm, ta dựng hệ trục tọa độ(B BC BA, uuur uuur , )

2.2.6 Các kết quả nghiên cứu liên quan

Có nhiều nghiên cứu liên quan đến việc phát triển khả năng suy luận ngoạisuy cho HS Tôi xin đề cập một số nghiên cứu có liên quan nhất định đến luận văn

“Phát triển suy luận ngoại suy thông qua mô hình toán thao tác động điện tử”của thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010)

“Tích hợp các mô hình thao tác động điện với môi trường dạy học toán điện

Tóm tắt chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu về lịch sử của vấn đề nghiên cứu,giới thiệu sơ lược về các bài toán hình học phẳng để người đọc có thể hiểu rõ hơn

về các bài toán này, ngoài ra, chúng tôi trình bày nền tảng lý thuyết của một số vấn

đề nghiên cứu Chúng tôi cũng đã trình bày qua về các nghiên cứu liên quan đến đềtài Chúng tôi lấy đó làm tiền đề, đề ra mục tiêu nghiên cứu cũng như thiết kế quátrình nghiên cứu của mình

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

Dựa vào mục đích của nghiên cứu đã nêu ra ở chương I, chúng tôi tiến hànhthiết kế nghiên cứu ở chương III Trong chương III chúng tôi giới thiệu phương pháp

và quy trình nghiên cứu cho luận văn bao gồm các nội dung: thiết kế quá trình nghiêncứu, xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứubao gồm phương pháp nghiên cứu lý thuyết và phương pháp nghiên cứu thực tiễn,tiếp đó chúng tôi thiết kế quy trình thu thập dữ liệu, quy trình phân tích dữ liệu và dựkiến các hạn chế khi thực hiện theo phương pháp và quy trình nghiên cứu đó

3.1 Thiết kế nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, chúng tôi thiết kế nghiên cứu như sau:

- Thông qua các nghiên cứu, bài báo, kết quả nghiên cứu đã có từ trước đểthực hiện những nghiên cứu để phát triển khả năng suy luận ngoại suy dưới sự hỗtrợ các mô hình động trong việc khảo sát bài toán tọa độ phẳng của HS

- Nghiên cứu sử dụng phần mềm The Geometer’s Sketchad để thiết kế các môhình động giúp HS có thể sử dụng nhằm phát triển khả năng suy luận ngoại suy trongquá trình khảo sát các bài toán tọa độ phẳng Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến suyluận ngoại suy, hình học động, bài toán tọa độ phẳng … để thiết kế các bài toán tọa độphẳng nhằm hỗ trợ cho HS sử dụng các bài toán này để phát triển khả năng suy luậnngoại suy khi khảo sát các bài toán tọa độ phẳng trong môi trường hình học động

- Khi tiến hành thực nghiệm, trước tiên chúng tôi cho HS quan sát các hình

vẽ đã được vẽ sẵn trong phần mềm GSP Sau đó, chúng tôi dẫn dắt HS đi vào nộidung thực nghiệm, HS sẽ được làm việc theo nhóm để thu thập thông tin, tìm hiểuquá trình khảo sát, giải quyết các bài toán tọa độ phẳng HS làm việc trên phiếu họctập được chuẩn bị sẵn

- Nội dung phiếu học tập đề cập đến các bài toán được thiết kế trong phầnmềm GSP, HS sẽ phải vận dụng kiến thức và khả năng suy luận ngoại suy để khảosát các bài toán tọa độ phẳng Quy trình sẽ được hỗ trợ bởi các thống kê dựa trêncác phiếu học tập, các phiếu điều tra thăm dò ý kiến của HS

3.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm đã được tiến hành tại trường THPT Long Xuyên, Thành PhốLong Xuyên ,tỉnh An Giang Được sự đồng ý của ban giám hiệu nhà trường và GV bộmôn chúng tôi chọn thực nghiệm trên lớp 10 Chúng tôi chọn tổng cộng 30 HS lớp 10.Đây là các HS có thành tích học tập môn toán tương đối đồng đều nhau Bối cảnh tiếnhành thực nghiệm là học kì 2 của năm học 2015- 2016, khi đó các em đã được học vềtọa độ phẳng Nội dung thực nghiệm là các bài toán trong tọa độ phẳng bằng cách sửdụng biểu diễn bội động nhằm phát triển suy luận ngoại suy để giải các bài toán này

3.3 Cách thức tổ chức thực nghiệm

Trước khi tiến hành thực nghiệm trên HS, chúng tôi đã đến và làm quen vớilớp Chúng tôi chia các em HS thành 7 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 đến 5 HS để các emtrao đổi, thảo luận và tìm kiếm các phương án khi giải quyết các bài toán được đặt

ra Ngoài ra, chúng tôi nói rõ mục đích nghiên cứu cho HS hiểu và trả lời một sốthắc mắc của các em về nội dung thực nghiệm Trong luận văn này chúng tôi đã sửdụng những bài toán được thiết kế sẵn trên GSP, bao gồm các bài toán phù hợp với

mô hình nghiên cứu Các bài toán này liên quan đến việc phát triển khả năng suyluận ngoại suy để khảo sát các bài toán tọa độ phẳng có liên quan trong chươngtrình hình học lớp 10 và chương trình thi tuyển sinh Đại học

3.4 Công cụ nghiên cứu

Công cụ mà chúng tôi dùng để tiến hành nghiên cứu là phiếu học tập, phiếuđiều tra, dụng cụ học tập là các hình vẽ được thiết kế trên phần mềm hình họcđộng GSP

Bài toán 1 Sự kiện S: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M( )2;1

, N(−2;3) HS qua sát hình ảnh của M, N qua phép đối xứng trục Ox, Oy và đối xứng tâm O:

Bảng 2.2.Các thuộc tính của M, N

Sự kiện S

Giá trịthay đổi

Giá trịkhôngthay đổi

Giá trịthay đổi

Giá trịkhôngthay đổiĐối xứng

qua

Ox Oy

Tâm O

Giả thuyết G

Tìm ảnh của M, N qua phép đối xứng trục Ox, Oy và đối xứng tâm O( )0;0

Các em hãy tìm giả thuyết G.

tâm O

Giả thuyết G

Bài toán 2 Sự kiện S: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

(C) x2+y2−2x+4y+ =1 0 Xác định bán kính R và tâm I của (C) Tìm giả thuyết

G Dựa vào sự kiện S hoàn thành các yêu cầu sau:

Tìm ảnh của I qua phép đối xứng tâm O( )0;0 .

Bảng 2.4 Tìm ảnh của I qua phép đối xứng tâm O( )0;0

Mô hình 1 (Sự kiện S) Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Quan sát trên màn hình GSP được dựng sẵn

Bảng 2.5 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox

Giả thuyết G

Mô hình 2 (Sự kiện S) Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Quan sát trên màn hình GSP được dựng sẵn

Em hãy đưa ra giả thuyết G.

Bảng 2.6 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy

Giả thuyết G

Mô hình 3 (Sự kiện S) Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M.

Quan sát trên màn hình GSP được dựng sẵn

Em hãy đưa ra giả thuyết G.

Bảng 2.7 Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M

Giả thuyết G Phân tích tiên nghiệm

Mục đích:

Qua phép đối xứng trục Ox, Oy hình thành các ý tưởng trong suy nghĩ các

HS Qua phép đối xứng tâm O để HS suy luận được O là trung điểm của đoạn MM′

, từ đó hình thành giả thuyết xác định tọa độ điểm đối xứng qua điểm cho trước làdựa vào công thức xác định tọa độ trung điểm

Giá trịkhông thayđổi

Giá trịthay đổi

Giá trịkhông thayđổiĐối xứng

3.4.2 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Nhóm:

Lớp: ………… Trường:

Bài toán 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có

đỉnh A( )6;6 , đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình là

( )d x y: + − =4 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết điểm E(1; 3− ) nằm trên đườngcao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho [4]

Hình 3.1 Bài toán 1 Dựa vào đề bài, em hãy tìm giả thuyết G Dựa vào giả thuyết G trình bày lời

giải chi tiết bài toán

Bảng 3.1 Bài toán 1

Gọi M,N là trung điểm AB, AC.

Gọi H là trung điểm BC.

Gọi K là trung điểm MN.

E thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C.

Bài toán 2 Sự kiện S: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có