toanmath com phương pháp chuẩn hóa tọa độ giải hình học phẳng oxy nguyễn tiến chinh

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

-

WWW.TOANMATH.COM

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CHU N HÓA T A Đ

K THU T I CHU N HÓA T A Đ

CÁC B C GI I TOÁN

Đ c đ phân tích d ki n Tìm các đi m t p trung

Phán đoán m i quan h gi a các đi m góc có tìm đ c không Có vuông góc

Tìm gi i pháp ch ng minh phán đoán nh lo i b b t phán đoán

Trình bày tìm ra đ u m i c a bài toán

Tìm các y u t còn l i

Chú Ý trong các b c trên phán đoán và ch ng minh phán đoán vô cùng quan tr ng nó quy t đ nh các em có th gi i quy t bài toán hay không mu n làm đi u này t t các em c n ph i rèn luy n nhi u bài toán đ có nhi u kinh nghi m nhé

- Đ CM phán đoán có th dùng m t trong các ph ng pháp sau

CM hình h c thu n túy th ng nhanh nh t nh ng ch h p v i các em v ng ki n th c

Ph ng pháp véc t

Ph ng pháp t a đ ph ng pháp này phù h p v i nhi u đ i t ng khuyên dùng tuy nhiên

đ làm b ng ph ng pháp này thì ph i tính toán nhi u và c n th n

Ph ng pháp gán đ dài cho c nh hình l n

Trong khóa h c này ta s cùng bàn v i nhau v ph ng pháp

Ph ng pháp C n n m v ng các k năng hình h c căn b n th ng là c p nh tam giác đ c bi t tính ch t các hình đ ng tròn ngo i ti p t giác n i ti p

Ph ng Pháp

- Ch n h tr c t a đ Oxy đ p nh t d tìm t a đ các đi m nh t

- Tìm t a đ các đi m c n làm sáng t các đi m t p trung

- S d ng các công th c liên quan t i phán đoán nh tích vô h ng góc

- CM d a vào k t qu trên

Ph ng pháp th ng dùng khi phán đoán liên quan t i góc

- Gán đ dài cho các c nh trong hình l n tìm đ dài các c nh còn l i

- S d ng các h th c trong tam giác vuông nh sin cos tan ho c n u tam giác không vuông thì dùng các đ nh lý hàm s sin cos

Ph ng pháp CHU N HÓA T A Đ

Các b c

Ch n h tr c t a đ th ng ch n g c t i chân góc vuông

Ch n c nh hình l n đ chu n hóa đ dài tham kh o m t vài d ng hình v và chu n hóa d i

i v i các bài toán có m t trong các t giác nh : hình vuông, hình ch nh t, tam giác vuông i v i các hình nh v y ta có th ch n h tr c t a đ có g c n m t i m t đ nh

vuông, có hai tr c Ox và Oy ch a 2 c nh t ng ng c a góc vuông đó Và ch n đ n v trên

các tr c b ng đ dài c a m t trong hai c nh góc vuông B ng cách ch n nh v y, các tham

s đ c gi m t i đa có th Và d ng hình này c ng là d ng áp d ng thu n l i nh t ph ng pháp t a đ trong m t ph ng này

y

x

C(1;1)

D(1;0)

B(0;1)

A

y

x D(1;0)

C(1;b) B(0;b)

A

y

x B(1;0)

C(0;c)

A

i v i các bài toán có ch a tam giác đ u, tam giác cân, tam giác th ng Ta có th xây d ng m t h tr c b ng cách d a vào đ ng cao C th , ta d ng đ ng cao t m t đ nh

b t k (đ i v i tam giác cân ta nên d ng đ ng cao t đ nh cân) Chân đ ng cao khi đó chính là góc t a đ , c nh đáy và đ ng cao v a d ng n m trên hai tr c t a đ

y

x

B(0; 3)

H

y

x O

C(0;h)

i v i các bài toán có ch a các đ ng tròn thì ta có th ch n góc t a đ n m t i tâm

c a đ ng tròn và đ n v c a h t a đ b ng bán kính đ ng tròn, m t ho c hai tr c ch a bán kính, đ ng kính c a đ ng tròn

y

x O

A(1;0)

BT M u trích ĐH A Trong m t ph ng Oxy cho hình ch nh t ABCD có đi m C thu c đ ng

th ng d x y và đi m A G i M là đi m đ i x ng c a B qua C N là hình chi u vuông góc

c a B trên đ ng th ng MD Tìm t a đ đi m B C bi t r ng N

Phân tích Gi i

Nh n th y d ki n t p trung vào ba đi m đó là A N C b ng tr c quan khi v hình ta phán đoán răng chúng có m i quan h vuông góc c th AN  CN

Tìm ph ng pháp ch ng minh

Ph ng pháp Hình h c thu n túy

Ta có T giác DBCN n i ti p nên  BDC BNC mà  BDC CAB nên

 

CAB BNC  ABCN n i ti p v y ANC 900

Y Hay AN vuông góc CN

Ch n h tr c t a đ nh hình v

- D A a C b B b a M b a

Y

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CHU N HÓA T A Đ

- Pt các đ ng  

 

DM bx ay

BN ax by ab

 





  



- Lúc đó N BN DM N 22a b2 2; 22ab22

a b a b

- L i có AN 22a b ab a2 2 ; 22 23 ;CN a b b22 23; 22ab22

- V y ta có  AN CN  0 AN CN

Ph ng pháp Gán đ dài cho c nh c a hình l n

Đ t AD a DC b DMC  BDM 2 

- Xét DMC ta có

a b a b

   

- Xét BDN ta có  2 2  2 2

2 2

cos2 DN DN BD cos sin b a

       



2 cos 90

2 cos

ADN AN DN AD AD DN a

CN DC DN DC DN b





- V y ta có AN2CN2 AC2  ACN vuông t i N

Nh n xét Qua c ba ph ng pháp trên ta đã th y rõ đ c u đi m và nh c đi m c a t ng ph ng pháp

- V i hình h c thu n túy r t nhanh nh ng không ph i ai cũng làm đ c vì ko nh tính ch t hình

h c

- V i Gán h tr c và gán đ dài cho c nh c a hình l n thích h p v i nhi u đ i t ng h c l c tuy nhiên nh c đi m c a hai ph ng pháp này là tính toán nhi u do v y khi ch n hai ph ng

pháp này làm bài các em nh tính toán c n th n

G i ý gi i

Ta có AN CN các em trình bày l i m t trong ba cách trên nhé

G i C a a thu c d

T ĐK AN CN ta có  AN CN  0 C1; 7 

l i có AC x y

AC DM BN DM BN AC  pt BN x : 3y17 0

Tham s hóa B b b mà AB  BC nên  AB BC  0 B 4; 7

BT M u Trong m t ph ng Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông t i A và B có BC AD Đi m H

13 9;

5 5

 

 

  là hình chi u vuông góc c a đi m B lên c nh CD Xác đ nh t a đ các đi m B và D c a hình

thang bi t A và trung đi m M c a c nh BC n m trên đ ng th ng x y

Phân tích D a vào các gi thi t c a bài toán ta nh n đ nh các đi m t p trung c a bài toán g n

nh là A H M T i đây c g ng phán đoán m i liên h gi a chúng b ng m t trong các ph ng pháp đã trình bày bài m u trên B ng tr c quan ta suy đoán r ng có m i quan h vuông góc t i H gi a đi m trên

Ph ng pháp G n h tr c t a đ nh hình v

Đ t AB a BC b ta có

- B M b C b D b a

- L i có pt DC bx ay ab

- BH  DC nên có pt ax by

- Mà H 2 2 0 42 2 2; 22 2 2



- T ng t bài trên ta cũng có  AH HM  0 nên AH vuông HM

M N

X

Đi u này nghĩa là suy đoán c a ta là chính xác

Note

Bài này các em có th chu n hóa theo m t cách khác d h n đó là cho các c nh c a hình vuông b ng

h t nhé

nhi u khó khăn nên ta ko nên dùng t i đây g n nh ch c ch n r ng t a đ hóa có s c m nh ghê

g m trong vi c chinh ph c chìa khóa gi i toán Oxy Bài này các em t chu n hóa nhé

G i ý gi i

Ch ng minh AH vuông góc MH Tìm t a đ đi m M nh sau

- Tham s hóa M a a

- S d ng đi u ki n  AH HM  0 tìm ra M

L p pt DC đi qua H và song song AM

Tham s hóa D th a mãn pt DC và dùng Đk  AD DM  0 tìm đ c D

dùng Đk

BA DM

B

BM AD

 







Chú Ý có th tìm B thông qua đi m C nh sau MC AD 

M là trung đi m BC

BT M u ĐH Trong m t ph ng Oxy cho hình vuông ABCD G i M là trung đi m c a c nh BC N là

đi m trên CD sao cho CN ND Gi s 11 1;

2 2

M  

  và đ ng th ng AN có ph ng trình x y Tìm t a đ đi m A

Phân tích Nhìn nh n v n đ ta th y bài toán cho ít d ki n nh v y

M t cách r t t nhiên ta s nghĩ t i vi c thi t l p thêm d ki n cho bài toán

Và ph i thông qua vi c tính toán các y u t trên hình v

- Bài toán cho d ki n xoay quanh ba đi m A M N Pt đ ng AN đã bi t

đi m M cũng bi t nên ta s nghĩ t i vi c tìm d ki n cho A có l vi c

xác đ nh góc a lúc này là h p lý b i các y u t trong bài liên quan m t

thi t gi a các c nh v i nhau đây tôi s dùng ph ng pháp có l i nh t

là gán tr c t a đ nh hình v

Đi m A B a C a a D a M a a N a a

- Ta có ; , ;

a a

AM  a AN a 

 

- Ta có 

2 2

4

cos

2 50

36

a a

AM AN MAN

AM AN a



 

  v y ta có MAN 450 t i đây có l m i vi c đã xong

b i bài toán ch yêu c u tìm đi m A mà thôi v y ta gi i ti p nh sau

- Tham s hóa t a đ đi m A a a ta có cos . 1 1 4

2

AN AN

AM u MAN a a

AM u

 

 

BT M u Cho tam giác ABC vuông t i B có BC BA đi m M là trung đi m c a AC Đi m N thu c BC sao cho BN BC đi m H là giao đi m c a AN và BM Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi t N n m trên đ ng th ng :x2y  6 0

PHÂN TÍCH

D ki n bài toán t p trung vào A H M N

Sau khi v hình ta phán đoán có th

S dung b A H M ho c A N M

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CHU N HÓA T A Đ

Ta s tìm m i liên h gi a các b này

b ng ph ng pháp gán tr c t a đ

xem sao

- Ch n h tr c nh hình v

- B A a C a

N a M a a

a a

AN  a BM a 

 

V y  AN BM   0 AN vuông BM t i H

- Tham s hóa N a a 4 2 ; 2

3

HN  a a 

    



dùng ĐK HN HM   0 H ?

- L p pt HM B n m trên HM nên tham s hóa B ti p t c dùng  HB HN  0 B

- L p pt HN tham s hóa đi m A và dùng Đk  AB BN  0 A

- Dùng Đk 1

4

BN  BCB

 

L u Ý Do các c nh AB và BC t l v i nhau do đó các em có th chu n hóa t a đ nh sau B A

C M N

BT M u Trong m t ph ng t a đ v i h t a đô Oxy cho tam giác ABC cân t i A G i D là m t

đi m trên c nh AB sao cho AB AD và H là hình chi u vuông góc c a B trên CD Đi m M là trung đi m c a đo n HC Xác đ nh t a đ đi m C bi t đi m B n m trên đ ng th ng x y

PHÂN TÍCH VÀ G I Ý GI I

Đ c d ki n có th nh n th y bài toán có khá nhi u đi m thu n l i trong vi c gán h tr c t a đ nh tam giác cân trung đi m t l đo n th ng do đó ta ti n hành v hình và xây d ng h tr c t a đ

nh sau d đoán A B M s cho m i quan h đ c bi t vì d ki n

t p trung vào ba đi m này nhi u nh t

Ch n h tr c t a đ nh hình v v i O

C B A a

 

1 ( 1 2; ) 4 2; 2 2;

a a

AD ABD  CD     a

  

Ta có pt CD ax y a

BH x ay vì BH  CD

Gi i h g m hai đ ng này ta đ c H 22 4 4; 2

4 4

M 2 2; 2 2)

a a

a a

T đây tìm đ c 2 2; 2 23

AM



222 4 2, 2 . 0

4 4

Tham s hóa đi m B a a dung Đk  AM BM  0 B(?)

có B ta tìm đ c D theo ĐK 1

3

AD AB

 

Có D ta tìm C d dàng vì có M là trung đi m CD

BT M u Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông t i B và C có

AB BC CD đ nh A G i M là trung đi m BC Đ ng th ng AM và BD giao nhau t i H

bi t đi m D n m trên đ ng th ng có ph ng trình x y

PHÂN TÍCH VÀ G I Ý GI I TOÁN

- Khi v hình ta s th y hình v có AM và BD c t nhau n u c hai cùng là đ ng chéo khi không có

gì ph i hoài nghi h t c tuy nhiên ta th y rõ ràng chúng s ph i có m i quan h nào đó có th

t i H vuông góc có th là t i BAM vì ABM vuông t i B T suy lu n này ta s tìm hi u th

m i quan h c a chúng b ng ph ng pháp GÁN TR C T A Đ nh hình v

- Đ t AB a thì BC a CD a do đó ta có A a B C a M a D a a

- Ta có BDa a AM;2 ,   2 ;aa BD AM   0 BD AM H 

Nh v y không c n ki m tra thêm n a m i vi c đã quá rõ ràng r i nhé t i đây nút th t c a bài toán đã

đ c tháo b các em nh th ki m tra t i A xem nhé có khi l i có thêm m t cách gi i khác

CÁC B C GI I TI P THEO

- Tham s hóa t a đ đi m D b b dùng ĐK  DH AH  0 D

- L p ph ng trình DH do B n m trên DH nên tham s hóa B l i có

- Tìm C thì quá d r i dùng ĐK BA2CD

là xong

BT M u Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho hình vuông ABCD coa C và đ nh A thu c đ ng th ng d x y G i E là đi m thu c c nh BC Đi m F là giao đi m c a đ ng th ng

AE và CD I 89 7; )

19 19



là giao đi m c a đ ng th ng ED và BF Tìm t a đ các đi m B D bi t M thu c đ ng AF Đ thi th tr ng THPT Thành Nhân

Ch n tr c t a đ và chu n hóa t a đ b ng các

C nh c a hình vuông b ng ta có

D C B A và E a

Ta có pt DC là y

Pt đt AE là a x y

L i có F AE DC 1 ;0

1

F a

   

PT đ ng DE ax y

Pt đ ng BF a x ay

I DE BF  ta có 2 1 ; 2

a I

a a a a

     

Chú ý r ng d ki n bài toán t p trung vào A C I E nên ta nghi r ng chúng s có m i quan h gì đó v i nhau Đ n đây m i vi c coi nh đã sáng t ta ch c n tìm các véc t  AE CI,

a

v y AE vuông góc v i CI đ n đây thì Nút th t

c a bài toán đã đ c g b hoàn toàn nhé các b c ti p theo s làm nh sau

- l p AF đi qua M và vuông góc CI pt AF x y

- A d AF A2;2

- O là tâm hình vuông và là trung đi m AC ta có O

- L p pt đ ng BD đi qua O và vuông góc AC cu i cùng dùng ĐK AB vuông BC ta có B

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CHU N HÓA T A Đ

M u ĐH A Trong m t ph ng Oxy cho hình vuông ABCD G i M là trung đi m c a BC N trên

CD sao cho CN DN đi m M đ ng AN có ph ng trình x y Tìm t a đ đi m A

H ng d n gi i Bài toán này th c ch t không ph i m t bài khó và cũng có khá nhi u cách gi i c a các th y cô trên c n c tuy nhiên đây tôi s trình bày m t cách gi i khá đ p d a vào công c chu n hóa t a đ

nh sau

Ta th y bài toán ch yêu c u tìm t a đ đi m A và đã cho s n ta m t đ ki n v A đó là AN ta đ t câu h i r ng li u M đã bi t mà đ bài cho tham gia vào bài toán này nh th nào có m i liên h nh

th nào v i A M N Các em theo dõi l i gi i d i đây nhé

Ch n tr c t a đ nh hình v

Chu n hóa các c nh c a hình vuông đ u b ng ta có

B C D A M N

Có 1; 1 , 1; 1

AM    AN   

 

5

45 1 10. 2

2 3

AM AN

cosMAN MAN

AM AN

 

Đ n đây m i công vi c coi nh đã hoàn t t ch còn nhi m v tìm chính xác đi m A n a mà thôi ta làm

nh sau

- Tham s hóa A a a thu c AN

- Có cos . 1 ?  ?

AN AN

AM u MAN a A

AM u

 

Xong

BT M u Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đi m C thu c đ ng x y

Đi m M thu c canh BD Hình chi u c a M lên AB AD đ u n m trên đ ng th ng x y Tìm

t a đ đi m C

H ng d n gi i

G i F G l n l t là hình chi u c a M lên AB AD

- Chon h tr c t a đ nh hình v v i D

- Không m t tính t ng quát ta ch n các c nh hình vuông

Có đ dài b ng khi đó ta có C M a a F a G a

Ta có CMa 1; a GF,a;1a

V y CM GF o   CM GF

Tham s hóa C a a

dùng ĐK CM GF o   CM u  d   0 C ?

BT M u Cho hình ch nh t ABCD có A M và N l n l t là trung đi m các c nh BC và AD H là hình chi u c a B lên CN H Bi t trung đi m M c a c nh BC n m trên đ ng th ng có

ph ng trình x y Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t trên

H NG D N GI I

Qua d ki n có th th y ngay r ng bài toán t p trung

d ki n vào ba đi m A M H b ng tr c quan hình

v ta đ xu t kh năng có quan h vuông góc gi a ba

đi m trên

Gi i pháp

Ch n h tr c t a đ nh hình v

A B C b D b M b N b

Pt đ ng NC bx b y b2

Pt BH b x by b

Gi i HPT g m hai đ ng trên ta tìm th y đi m H tuy

Nhiên s th y vi c tìm ra đi m H b ng h tr c này h i

v t v ta s cùng nhau tìm ra m t h tr c khác nhé

CH N H TR C NH HÌNH V

B A a C D a N a M

Pt NC ax y a

Pt BH x ay

T a đ H là nghi m c a HPT g m NC và BH

Gi i h ta có 422 ; 22

H

V y  AH MH  0 AH MH

T i đây nút th t đã đ c gi i quy t

- Tham s hóa M a a dùng ĐK vuông góc trên  AH MH  0 M

- L p pt AM ta suy đ c pt CN song song AM đi qua H

- Có pt CN ta có pt BH tham s hóa B dùng ĐK AB vuông BM tìm đ c B do M là trung đi m BC nên tìm đ c C Xong

Nh n xét Qua ví d này các em th y vi c đ t h tr c t a đ là vô cùng quan tr ng nó quy t đ nh

kh năng thành b i c a bài toán bài này ch n B là chính xác và h p lý h n c vì ta ch c n tìm t a

em

BT M u Cho tam giác ABC cân t i A v i A g i D thu c AB sao cho AB AD H là hình chi u

c a B lên CD M là trung đi m c a HC và M Tìm t a đ đi m C bi t C n m trên đ ng

th ng có ph ng trình x y