TỔNG KẾT MÔN NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC THỐNG KÊ

Câu 1: Giả thiết De Broglie và các hệ thức De Broglie.Giả thiết De Broglie :+Các electron chuyển động theo sóng đứng trong quỹ đạo của nó.+Ánh sáng có những biểu hiên của tính chất hạt, vậy có thể các hạt cũng có thể có đặc trưng của một sóng+Mọi vật chất đều có một bước sóng liên kết với nó, tương tự như mọi sóng đều có.+1924, ông đề xuất rằng : photon có cả tính chất hạt và sóng, vật có thể mọi dạng vật chất đều có thể mang 2 tính chất sóng hạt.1 vi hạt tự do ≈ Các sóng phẳng chạy đơn sắcCác hệ thức De Broglie Theo De Broglie thì hệ thức trên là đúng đối với mọi hạt, và bước sóng cũng như tần số sóng của mỗi vật chất là đặc trưng riêng (đồng thời tuân theo mối liên hê của Enstein)Câu 2: Hàm sóng, ý nghĩa và các tính chất của hàm sóng. Xác suất tìm thấy hạt và hệ hạt trong không gian. Điều kiện chuẩn hóa.Hàm sóng: Người ta dùng hàm sóng để miêu tả trạng thái của 1 vi hạtBình phương module của hàm sóng cho ta xác suất tìm thấy hạt (ứng với 1 đơn vị thể tích).Xác suất Xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian được cho là 1 và đó là điều kiện chuẩn hoá.Một số tính chất khác của hàm sóng: hàm sóng liên tục, đơn trị và giới nộiCâu 3: Các toán tử của các đại lượng vật lý. Toán tử Hamilton. Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng.Các toán tử của các đại lượng vật líToán tử Hamilton Để diễn tả trạng thái của một hệ vật lý, người ta thường dùng phương trình Schrodinger: là toán tử Hamilton đối với hệ gồm N hạt đồng nhất: T: động năng.V thế năng tương tác giữa các hạt , Đối với trạng thái dừng, phương trình Schrodinger được viết dưới dạng: : Các trị riêng của toán tử Hamilton. : Các hàm riêng.Toán tử động lượng: với Toán tử E Toán tử toạ độ xx

TỔNG KẾT MÔN NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC THỐNG KÊ

Câu 1: Giả thiết De Broglie và các hệ thức De Broglie.

-Giả thiết De Broglie :

+Các electron chuyển động theo sóng đứng trong quỹ đạo của nó

+Ánh sáng có những biểu hiên của tính chất hạt, vậy có thể các hạt cũng có thể có đặc trưng của một sóng

+Mọi vật chất đều có một bước sóng liên kết với nó, tương tự như mọi sóng đều có

+1924, ông đề xuất rằng : photon có cả tính chất hạt và sóng, vật có thể mọi dạng vật chất đều có thể mang 2 tính chất sóng hạt

1 vi hạt tự do ≈ Các sóng phẳng chạy đơn sắc

-Các hệ thức De Broglie

Theo De Broglie thì hệ thức trên là đúng đối với mọi hạt, và bước sóng cũng như tần số sóng của mỗi vật chất là đặc trưng riêng (đồng thời tuân theo mối liên hê của Enstein)

Câu 2: Hàm sóng, ý nghĩa và các tính chất của hàm sóng Xác suất tìm thấy hạt và hệ hạt trong

không gian Điều kiện chuẩn hóa

0

i wt k r

e

ψ ψ= − −r r

-Người ta dùng hàm sóng để miêu tả trạng thái của 1 vi hạt

-Bình phương module của hàm sóng cho ta xác suất tìm thấy hạt (ứng với 1 đơn vị thể tích).

Xác suất dP=ψ( , )r tr 2dv

-Xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian được cho là 1 và đó là điều kiện chuẩn hoá -Một số tính chất khác của hàm sóng: hàm sóng liên tục, đơn trị và giới nội

Câu 3: Các toán tử của các đại lượng vật lý Toán tử Hamilton Phương trình Schrodinger ở

trạng thái dừng

hc

E hf

λ

c cλ λ

p

λ =

h mv

h

=

Các toán tử của các đại lượng vật lí

Toán tử Hamilton H∧ψ( , )r tr =Eψ( , )r tr

Để diễn tả trạng thái của một hệ vật lý, người ta thường dùng phương trình Schrodinger:

ψ

t

i = ˆ

∂

∂



Hˆ là toán tử Hamilton đối với hệ gồm N hạt đồng nhất:

V T x x V m

p

i

=∑ ( , , ) 2

ˆ

T: động năng.V thế năng tương tác giữa các hạt

2

T

m

∧

= − h ∆, V V r∧ = ( )r

Đối với trạng thái dừng, phương trình Schrodinger được viết dưới dạng:

n n

Hˆψ = ψ

n

E : Các trị riêng của toán tử Hamilton

n

ψ : Các hàm riêng

Toán tử động lượng: p→ − ∇ih với

2

h

π

= h

Toán tử E E i

t

∂

→

∂ h

Toán tử toạ độ xx

Câu 4: Hệ thức bất định Heisenberg.

Nguyên lý bất định là một nguyên lý quan trọng của cơ học lượng tử, do nhà Vật lý lý

thuyết người Đức Werner Heisenberg phát triển Nguyên lý này phát biểu rằng ta không bao giờ

có thể xác định chính xác cả vị trí lẫn vận tốc (hay động lượng, hoặc xung lượng) của một hạt vào cùng một lúc Nếu ta biết một đại lượng càng chính xác thì ta biết đại lượng kia càng kém chính xác Electron không di chuyển trên một quỹ đạo xác định

Về mặt toán học, hạn chế đó được biểu hiện bằng bất đẳng thức sau:

( ) ( )x p 4h

π

∆ ∆ ≥

Trong công thức trên, là sai số của phép đo vị trí, là sai số của phép đo động lượng và h là hằng số Planck

Trị số của hằng số Planck h trong hệ đo lường quốc tế :

J.s

Sai số tương đối trên trị số này là 1,7×10-7, đưa đến sai số tuyệt đối là 1,1×10-40 J.s

Ý nghĩa: Các hạt vi mô khác với các vật vĩ mô thông thường Các hạt vi mô vừa có tính

chất sóng lại vừa có tính chất hạt, đó là một thực tế khách quan Việc không đo được chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng của hạt là do bản chất của sự việc chứ không phải do trí tuệ của con người bị hạn chế Kĩ thuật đo lường của ta có tinh vi đến mấy đi nữa cũng không đo được chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng của hạt Hệ thức bất định Heisenberg là biểu thức toán học của lưỡng tính sóng hạt của vật chất

Câu 5: Hệ các hạt đồng nhất (không phân biệt) Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất

Hệ các hạt được gọi là đồng nhất nếu khi ta thay đổi vị trí của 2 hạt xác định bất kì thì ta được một hệ mới tương đương hệ cũ

1

( , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , )

i

ψ

≡

=

Với e iδ = ±1

Câu 6: Các hạt bosons, fermions Hàm sóng của hệ các hạt bosons và fermions Nguyên lý Pauli.

Các hạt bosons:

Xét e iδ =1, ta có hàm sóng của hệ hạt bosons

( , , , , , )x x i x j x n ( , , , , , )x x j x i x n

Các hạt fermions

Xét e iδ = −1, ta có hàm sóng của hệ hạt bosons

( , , , , , )x x i x j x n ( , , , , , )x x j x i x n

Nguyên lí Pauli: Pauli đã chứng minh được mối liên hệ giữa các hạt bosons, fermions và spin của chúng:

spin nguyên € hảm sóng đối xứng € bosons

spin âm € hàm sóng phản đối xứng € fermions

từ đó ông rút ra được nguyên lí loại trừ Pauli : Không tồn tại 2 fermions có chung trạng thái lượng từ.(Il ne peut y avoir plus d’unm fermion par etat quantitique.)

Câu 7: Toán tử Hamilton của hệ hạt đồng nhất Phép gần đúng của hệ các hạt không tương tác

Điều kiện bảo toàn số hạt của hệ

-Toán tử Hamilton của hệ hạt đồng nhất

Hˆ là toán tử Hamilton đối với hệ gồm N hạt đồng nhất:

V T x x V m

p

i

=∑ ( , , ) 2

ˆ ˆ

1

2





T: động năng.V thế năng tương tác giữa các hạt

-Phép gần đúng của hệ các hạt không tương tác

Giả sử V <<T và bỏ qua sự tương tác giữa các hạt, năng lượng của mỗi hạt chỉ thuần túy là động năng:

m

p i

i

2

ˆ2

= ε

Đó là phép gần đúng của các hạt không tương tác (các hạt độc lập) Trong vật lý thống

kê, khi tính đến sự tương tác giữa các hạt,người ta chỉ đưa vào năng lượng toàn phần của hệ có giá trị xác định và bằng nội năng =∑

i i

U ε

Trong phép gần đúng của các hệ hạt độc lập, một hạt thông thường có một dãy gián đoạn các mức năng lượng, ký hiệu là εi (i ở đây là số thứ tự các mức năng lượng) Có khả năng tồn tại

i

g mức năng lượng trùng nhau g là độ suy biến i

-Điều kiện bảo toàn số hạt của hệ ???

Câu 8: Các mức năng lượng của vi hạt Sự suy biến Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô.

Trong vật lý thống kê, khi tính đến sự tương tác giữa các hạt,người ta chỉ đưa vào năng lượng toàn phần của hệ có giá trị xác định và bằng nội năng =∑

i i

U ε

Trong phép gần đúng của các hệ hạt độc lập, một hạt thông thường có một dãy gián đoạn các mức năng lượng, ký hiệu là εi (i ở đây là số thứ tự các mức năng lượng) Có khả năng tồn tại g i

mức năng lượng trùng nhau g là độ suy biến Với i

m

p i

i

2

ˆ2

=

ε (công thức gần đúng giữa các hạt không tương tác)

-Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô

Số hạt phân bố trên một mức con được gọi là trạng thái vi mô.

Số hạt được phân bố trên một mức năng lượng được gọi là trạng thái vĩ mô.

Câu 9: Không gian pha của tọa độ và động lượng Thể tích nguyên tố của không gian pha, vùng

∆ Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô trong không gian pha

-Đối với một hạt có tọa độ x và động lượng p, người ta thường dùng không gian 6 chiều để mô

tả trạng thái của hạt ( x, p) được gọi là không gi-an pha.

- Khi tính đến hệ thức bất định Heisenberg, ta không thể định vị một điểm ( x, p) trong không

gian pha trong một thể tích nhỏ hơn hoặc cùng bậc với h3 (h: hằng số Planck) Như vậy ta có thể

chia không gian pha thành những ô có thể tích δ =h3 Một hạt ở trong một ô xác định sẽ có một trạng thái lượng tử xác định và năng lượng xác định

Một phân bố các hạt trong các ô được gọi là một trạnng thái vi mô (các ô tương ứng với các mức năng lượng con)

Người ta chia các ô thành từng nhóm, một nhóm các ô tạo thành một vùng không gian pha Giả sử ∆i là một vùng thể tích mà g là số ô trong vùng i ∆i : 3

h

i

∆

= Giả sử g >>1 Một trạng thái vĩ mô tương ứng với sự phân bố vùng (N i 1,N2, ,Ni, ) với Ni là số hạt trong vùng ∆i Các vùng ∆i tương ứng với các mức năng lượng εi được xác định tại tâm của ∆i(xi,pi).

Mỗi trạng thái vĩ mô được tạo thành bởi số Ni trong vùng ∆i hay trên mức εi, tương ứng với trạng thái vi mô khác nhau bởi sự phân bố các số Ni trong các ô hoặc ở các mức năng lượng con

Tất cả các trạng thái vi mô đều có xác suất như nhau.

Câu 10: Thống kê Bose-Einstein Xác suất nhiệt động, phân bố ở trạng thái cân bằng.

Xác suất nhiệt động:

∏

−

− +

=

!

!

)!

( )!

1 (

)!

1 (

i i

i i

i i

g N

g N g

N

g N W

i

g >>1(giả sử)

Ta hãy tìm những giá trị nào của N ( i N ) thì xác suất nhiệt động W là cực đại, tương i

ứng logW cực đại

Như vậy điều kiện: d(log W)=0.

Nếu g và i N lớn, ta có thể sử dụng công thức Stirling: i

) 1 ( 0

ln )

(ln

! ln

! ln )

ln(

) (ln

log ) (log

log

! log

=

+

=

−

− +

=

⇒

=

⇒

−

=

∑

∑

i i

i

i

i i

i

N

N g W

d

g d N

d g

N d W

d

x x

dx d

x x x x

Ngoài ra còn phải thỏa mãn các điều kiện về sự bảo toàn tổng số hạt và năng lượng toàn phần của hệ:

N

N i =

Lấy vi phân các điều kiện trên

0

=

∑dN i (2) và ∑εi dN i =0 (3)

Ta tìm cực trị có điều kiện, đưa vào hệ số bất định Lagrange:

(1) + λ(2) + λ’(3) = 0

0 )

'

⇒∑

i

i i i

i

N

g N

ε λ

λ (coi các dN i là độc lập)

1

' ln

' −

=

−

−

=

+

⇒

−

e e

g N

N

g N

i i

i i

i i

ε λ λ

ε λ λ



Đặt λ’=-β và e-λ = B =>

1 ) exp( −

=

i

i i

B

g N

βε

 (Phân bố ở trạng thái cân bằng)

B được xác định bởi điều kiện ∑N i = N

Trong trường hợp số hạt không xác định, B =1.

Ta chứng minh được

kT

1

=

β k: hằng số Boltzman.

Câu 11: Thống kê Fermi-Dirac Xác suất nhiệt động, phân bố ở trạng thái cân bằng

) (

)!

(

!

i i

N g N

g

−

=∏

0 ln

) ln(

) ln

)

i

i i

i

i i

i i i

i

N

N g dN

N g g

dN N W

d

i

i i

N

N g

ε λ

λ '

1 ) exp(

1

=

−

−

i

i i

i

B

g e

e

g N

ε λ λ

B được xác định từ điều kiện ∑N i =N

KT

1

= β

Câu 12: Liên hệ giữa xác suất nhiệt động và entropy (định luật Boltzmann).

Theo Boltzman, tồn tại một mối quan hệ giữa entropie và xác suất nhiệt động:

S = f(W) Entropie có tính cộng được: S = S 1 + S 2

Đối với xác suất nhiệt động: W = W 1 + W 2

f(W 1 W 2 ) = f(W 1 ) + f(W 2)

S = k logW

Câu 13: Giới hạn chung của các thống kê lượng tử Tổng trạng thái Thống kê

Maxwell-Boltzmann hiệu chỉnh

Nếu mật độ trung bình của các hạt trên một mức con là nhỏ (

i

i

q

N

)

1 ) exp(

1 1 ) exp(

>>

⇒

>>

±

i

i

B

B

βε βε

Sự phân bố cân bằng của 2 thống kê lượng tử sẽ tiến đến một giới hạn chung:

) exp( i

i i

B

g

N = −βε với

kT

1

= β

B được xác định từ điều kiện ∑N i =N ⇒B= N Z

i

i e

g

Z =∑ β được gọi là hàm phân bố.

) exp( i

i

N

Z

⇒  (Ni << g i)

Có thể chứng minh rằng xác suất nhiệt động của các thống kê lượng tử =∏

N i

N

g

!

!

Thống kê Maxwell-Boltzmann hiệu chỉnh =∏

N i

N

g

!

!

Câu 14: Các điều kiện cơ sở của thống kê Maxwell-Boltzmann không suy biến.

- Tính phân biệt giữa các hạt

- Không có sự lượng tử hóa năng lượng và hệ thức bất định Heisenberg

- Bỏ qua sự tương tác giữa các hạt và chỉ đưa vào sự bảo toàn năng lượng toàn phần

- Một trạng thái vĩ mô được đặc trưng bởi số hạt Ni ở trên mức εihoặc trong vùng ∆i (không tính tới số thứ tự của các hạt) Giả sử các hạt là phân biệt,một trạng thái của hệ cho biết rõ những hạt nào ở trong mỗi vùng ∆i được gọi là complexion

Câu 15: Thống kê Maxwell-Boltzmann không suy biến Xác suất nhiệt động, phân bố ở

trạng thái cân bằng

Ta chia vùng thể tích ∆i thành những ô có thể tích δ

δi

i

g = ∆

: số ô trong vùng ∆i

Trạng thái vĩ mô: số hạt Ni chứa trong vùng ∆i

Trạng thái vi mô: số hạt Nik trong ô thứ k của vùng thứ i (chưa tính tới số thứ tự của các hạt (các complexion có xác suất như nhau))

Xác suất nhiệt động của một trạng thái vĩ mô (N 1 , N 2 , …, N i, …) :

=

N i

N

g

!

!

+

=

⇒

i

i i

N N

W ln ! ln ln !

ln

0 ln

ln ln

)

i

i

i

i i

i i

N

g dN

N dN

g W

d

Đưa vào 2 hệ số Lagrange :

ε λ λ

ε λ

N

g N

g

i

i i i

i

ư

Đặt λ’=- β (β>0) => N i = g i eλ−β'ε

Số hạng eλ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa ∑N i =N

=

⇒

i

i e g e

Đặt =∑ −

i

i e g

được gọi là tổng trạng thái (tổng thống kê)

(Z được xác định khi ta biết các mức năng lượng εi và các trọng số g ) i

ε

β '

−

=

Z

N

Ni i (phân bố ở trạng thái cân bằng)

Ta có thể tìm được

kT

1

= β

Câu 16: Dao động tử lượng tử Phương trình Schrodinger, năng lượng, tổng trạng thái, nội năng,

nhiệt dung của dao động tử

*Vi hạt chuyển động theo phương x trong trường thế 2

2

1

kx

U = được gọi là dao động tử điều hòa.

Thế năng của dao động tử điều hòa một chiều 2 2

2

1

x m

U = ω

*Phương trình Schrodinger:

0 ) 2

1 (

2 2

2

=

−

dx d



*Giải phương trình ta tìm được biểu thức năng lượng của dao động tử:

) 2

1 ( +

=h n

Như vậy, năng lượng của dao động tử bị lượng tử hóa Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tương ứng n=0:

2 0 υ

h

E =

Eo được gọi là năng lượng “không” tương ứng với dao động “không”

Dao động tử có thể nằm trong các trạng thái không suy biến khác nhau với các số lượng tử n bất

kì

*Tổng thống kê đối với một dao động tử của hệ:

1 ) exp(

) 2 exp(

) exp(

1

) 2

exp(

) exp(

) 2 exp(

) exp(

0

−

=

−

−

=

−

=

∞

=

kT

h kT h

kT h kT

h n

kT

h kT

h kT

E Z

n n

n

υ

υ υ

υ υ

υ

*Năng lượng trung bình

T

Z Z

kT Z

kT Z

kT E kT

E E

E

n

n n

n n

∂

∂

=

∂

∂

−

=

−

−

=

∑

∑

∞

=

∞

1

) exp(

) exp(

1 ) exp(

=

kT h

h h

E

υ

υ

υ

khi

2 :

E

E kT

k

h

T >> υ : →

*Nhiệt dung ứng với một dao động tử CV có thể xác định theo công thức:

V V

T

E

∂

∂

=

Khi T → 0 nhiệt dung sẽ dần tiến về 0, còn đối với nhiệt độ cao nó bằng trị số cổ điển (định luật Dulong-Petit: Cv ≈ 3R ứng với một mol)

Năng lượng trung bình của một hệ N dao động tử E N sẽ là nội năng của hệ đó Đối

với hệ N dao động tuyến tính độc lập, cùng tần số thì năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ

sẽ N lần lớn hơn

Câu 17: Bức xạ nhiệt cân bằng Công thức Rayleigh-Jeans Công thức Planck Định luật

Stefan-Boltzmann và định luật Wein

Bằng một cách nào đó kích thích các phân tử, nguyên tử làm cho chúng từ trạng thái cơ bản chuyển sang trạng thái kích thích Khi chúng từ trạng thái kích thích trở về trạng thái cơ bản, năng lượng thu được được trả về cho môi trường, thường là ở dạng năng lượng sóng điện từ Nếu năng lượng cung cấp ở dạng nhiệt thì bức xạ phát ra sẽ là bức xạ nhiệt

Bức xạ nhiệt là một bức xạ cân bằng: năng lượng bức xạ do vật phát ra đúng bằng năng lượng dưới dạng nhiệt mà vật thu vào bằng hấp thu bức xạ Khi đó vật ở trạng thái cân bằng ứng với một nhiệt độ xác định.

Năng lượng dạng bức xạ dE(υ)trong khoảng từ tần số υ đến tần số υ +dυ :

υ υ ε

dE( )= ( ) )

(υ

ε :mật độ phổ bức xạ.

Năng lượng bức xạ toàn phần: =∫∞ =∫∞

0 0

) ( ) (υ ε υ dυ

dE E

Vật đen tuyệt đối là một vật hấp thu toàn bộ năng lượng tới nó dưới dạng sóng điện từ

*Công thức cổ điển của Rayleigh-Jeans:

3

2 8 ) , (

c

V E

υ

E : năng lượng trung bình của sóng điện từ.

Ta cần thay vào công thức trên biểu thức năng lượng trung bình của dao động tử lượng tử:

) , ( ) ( ) , (υ T ε0 υ εp υ T

Trong đó :

3

3 0

4 )

(

c

hυ

π υ

*Công thức Plank

] 1 ) [exp(

8 )

, (

3

3

−

=

kT

h c

h T

ε

1 ) exp(

1 8

) ,

(

) , ( ] 1 ) [exp(

8 )

, ( ) ,

(

5

3

3

−

=

=

−

=

=

λ λ

π λ

ε

λ λ ε

υυ

υ π υ

υ ε υ

kT h

hc T

d T kT

h c

d h d

T T

dE

p

p p

• Năng lượng toàn phần của bức xạ cân bằng trong thể tích V:

∫

∞

−

=

=

0

3 3

8 )

, (

kT h

d h c

T dE

E

υ υ

υ π υ υ

Đặt

kT

h

x= υ

,

15 1 4 0

−

=∫∞e x

dx E

h c

V T k

3 3

4 4 4 15

8

=

4 2 8

3 3

4

10 67 , 5 15

5 8

K m

W h

c

k

a = π = −

Từ đó ta có định luật Stefan-Boltzmann: aT4

V

E =

Định luật Wein: ( , ) =0

∂

∂ λ

λ

ε T

max λ

kT

hc

x= ⇒phương trình siêu việt: yexp(y)=5exp(y)−5

Nghiệm y= 4,9650

T kT

hc 0.2898 10

max ≈ − =

Câu 19: Bức xạ điện từ cân bằng xem như sóng dừng.

Theo quan điểm lượng tử, các hạt bosons chứa trong thể tích V có thể xem như các sóng đứng De Broglie

Xét một thể tích hình lập phương cạnh L Muốn cho sóng đứng xuất hiện trên đoạn chiều dài L thì vectơ sóng kphải thỏa điều kiện: