SKKN phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về tứ giác đặc biệt trong hệ oxy

Điều đó được thể hiện qua những dạng bài về tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, đường elip trên cơ sở kết hợp với các tính chất hình học của các yếu tố trong

MỤC LỤC

I Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến 58

II Kiểm tra khảo sát sau khi áp dụng sáng kiến 59

3 Những kiến nghị 62

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học phẳng rất đa dạng và phong phú, nhất là đối với học sinh lớp 9 các

em đã làm quen với rất nhiều tính chất hình học và các loại hình cơ bản như:

tam giác, tứ giác, đường tròn, nhưng giải quyết các bài toán đó chỉ ở mức độ

hình học thuần túy Khi các em được tiếp cận với hình học giải tích thì các bài

toán giải đa dạng và gần gũi hơn, tác động tốt đến tư duy của người học hơn,

làm cho người học phát triển được tư duy sáng tạo, tìm tòi và dựa trên cái cũ mà

phát triển các điều mới đa dạng, sâu rộng và khoa học hơn Điều đó được thể

hiện qua những dạng bài về tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, phương

trình đường tròn, đường elip trên cơ sở kết hợp với các tính chất hình học của

các yếu tố trong tam giác, nhận biết các tứ giác đặc biệt, các hình đặc biệt

Đối với học sinh phổ thông hiện nay các bài toán về tìm tọa độ điểm hay viết

phương trình các đường trong hệ tọa độ oxy đang phổ biển và đa dạng, học sinh

trung bình thì ngại không tiếp cận cho rằng đây là dạng toán khó, đối với học

sinh khá và giỏi thì đam mê giải quyết hơn nhưng đôi khi thiếu định hướng để

bứt phá

Trong những năm gần đây các dạng toán này đều được đưa vào các kỳ thi: thi

đại học, thi học sinh giỏi và các yếu tố hình học ngày càng nhiều hơn, phức tạp

hơn trong khi đó chương trình ở sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức cơ bản

và các công thức nên đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng, liên hệ những kiến

thức đã học về hình học phẳng để giải quyết Ngoài ra học sinh phải khéo trong

quá trình sử dụng các tính chất hình học liên quan với các biểu thức tọa độ

tương ứng Chính vì vậy học sinh cần phải được bổ trợ kiến thức, tổng hợp dạng

toán cụ thể có thể chuyên sâu một dạng nào đó để rèn kỹ năng và vận dụng các

dạng bài tập liên quan

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh

tôi cũng dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần

dần Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng

phải đòi hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ

Trên thực tế các dạng toán trong hệ oxy rất nhiều và phong phú đòi hỏi người

học phải tự chọn cho mình học những dạng nào cho phù hợp, người dạy phải

dạy gì cho học sinh, giúp học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai thác sâu

và chắc chắn

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản hình học

phẳng và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán về

tứ giác đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải

quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài:

“ Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về tứ giác đặc biệt

trong hệ oxy ”.

Trong đề tài này , tôi hệ thống theo các dạng :Hình bình hành- Hình

thang-Hình thoi - thang-Hình chữ nhật- thang-Hình vuông Mỗi một dạng tôi trình bày một số bài

để các em tham khảo , một số bài hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự

để các em tự luyện

2 Thực trạng của vấn đề.

Bài toán hình học trong hệ oxy không phải là bài toán mới nhưng khai thác

các tính chất hình học mới là khó nên học sinh lười suy nghĩ và ngại tư duy, tuy

ứng dụng thực tế của nó rất lớn và đó là dạng toán được chọn trong các đề thi,

các đợt thi nhưng nhiều học sinh vẫn chưa làm được hoặc làm cũng không làm

chọn vẹn Trong quá trình dạy phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan

tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu tường tận lý thuyết, phân tích các tính

chất cơ bản của giả thiết hình học tìm mối liên quan với các biểu thức tọa độ

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu cách vận dụng

và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bài toán liên quan, chưa khai thác

triệt để các tích chất của tứ giác đặc biệt như của : Hình thang, hình bình hành,

hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi để áp dụng sang biểu thức tọa độ Với đề

thi đại học gần đây đề tương đối tổng hợp Các em cần phải nắm vững những

kiến thức về các hình nói trên thì mới giải ngắn gọn được

3 Mục đích yêu cầu:

- Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về biểu thức tọa độ, tổng hợp lại các kiến

thức về các tứ giác đặc biệt, vận dụng linh hoạt và phát huy tính sáng tạo của

học sinh, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan

- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi

đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà

trường và sở phát động

4 Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,

các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng, các đề thi đại học, các đề thi học

sinh giỏi …

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn

Siêu

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 10 và một

số lớp 12 ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

A VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1 Định nghĩa:véctơ là một đoạn thẳng có định hướng

● Hai vectơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài

● Hai vectơ đối nhau: ngược hướng và cùng độ dài

2 Các phép toán của vectơ:

f Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:

Với không đồng phẳng và vectơ , có duy nhất 3 số thực x 1 , x 2 , x 3 :

Và G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD

B HỆ TỌA ĐỘ – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM

1 Định nghĩa:

a Hệ tọa độ:

Hai trục tọa độ x’Ox, y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đề–các

Oxy: O là gốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung Trong đó:

là các vec tơ đơn vị trên các trục Ta có: và

b Tọa độ của vectơ:

c Tọa độ của điểm: Trong đó x là hoành độ, y là tung

độ của M.

2 Các kết quả và tính chất:

Ta có :

● Tích giữa một véctơ với một số thực:

● Tích vô hướng giữa hai véctơ:

● Tọa độ của vec tơ

● Khoảng cách:

● Điểm M chia AB theo tỉ số k (k khác 1) Khi đó, tọa độ của M

tính bởi:

Nếu M là trung điểm của AB, ta có:

3 Kiến thức về tam giác:

Cho

a Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến) :

G là trọng tâm tam giác ABC :

b.Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):

H là trực tâm của tam giác

c Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

(giao của các trung trực) :

I(a ; b) là tâm của ABC  AI = BI = CI = R

(R là bán kính của ABC)

Giải hệ  tọa độ tâm I

d Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao

của các đường phân giác trong các góc của tam

l k

y k y y

y y y

y y y y

Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm

được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia

a Hình thang (là tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau) :

● là hai véctơ ngược hướng

 (k < 0)

● S = \f(1,2 AH(AB + CD)

Hay S = SADC + SABC (chia nhỏ hình

thang ra thành các hình tam giác tùy ý)

● S = AH.CD = 2SABC= 2SABD

(chia nhỏ hình bình hành ra thành các hình tam giác tùy ý)

● Hình thoi mang đầy đủ tính chất của hình

bình hành

● Nếu hình bình hành ABCD có AB = BC

hoặc AC  BD thì sẽ trở thành hình thoi

● AC  BD, AC và BD cũng là hai đường

phân giác của góc tạo bởi hai cạnh bên, giao

điểm của chúng chính là tâm đường tròn

nội tiếp hình thoi

● S = \f(1,2AC.BD = 2SABC= 2SABD = 4SABI

● S = AB.AD = 2SABC= 2SABD = 4SABI

● Luôn có một đường tròn ẩn mình ngoại tiếp

hình chữ nhật với tâm là I = AC  BD là tâm

đường tròn ngoại tiếp HCN với bán kính là IA =

IB = IC = ID = R

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I (Ví

dụ như trong hình vẽ nếu biết tọa độ M và I  toa

độ N  CD)

e Hình vuông (là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau) :

● HV mang đầy đủ các tính chất của hình

H.thoi và HCN

● Nếu hình thoi có một góc bằng 90 hay hai

đường chéo AC và BD bằng nhau thì là Hình

vuông

● Nếu hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau

hay hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau

thì là Hình vuông

● S = (AB) = 2SABC= 4SABI

● Có đến hai đường tròn ẩn mình bên trong

hình vuông ABCD là:

(C) với tâm I = AC  BD là tâm đường tròn

ngoại tiếp hình vuông và bán kính là IA = R

(C) với tâm I = AC  BD là tâm đường tròn

nội tiếp hình vuông và bán kính là IH = R ((C)

đi qua trung điểm các cạnh của hình vuông)

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I

C PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tổng quát của : A x x(  0 ) B y y(  0 ) 0  (A2 + B2  0)

2 Phương trình tham số của :

0 0

A B C thì hai đường thẳng trùng nhau

4 Góc giữa hai đường thẳng:

- Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, đường giao điểm đó

- Quy tắc tọa độ trung điểm

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường

thẳng cho trước

- Áp dụng thuần thục công thức tính diện tích tứ giác

- Xem lại các điểm đặc biệt trong tam giác; các đường trung trực, đường trung

tuyến, đường cao và đường phân giác trong tam giác

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm

A(1;0) và điểm B(2;0) Giao điểm I của 2 đường chéo thuộc đường thẳng

d: y = x Viết phương trình các cạnh của hình bình hành, biết diện tích hình

bình hành bằng 4 và điểm C có hoành độ dương

Dựa vào mối liên hệ trên ta tham số hóa tọa độ điểm và xây dựng phương trình

– hệ phương trình để tìm ra điểm cần tìm Trên cơ sở yếu tố biết diện tích ta

chọn công thức tính nào và tham số hóa điểm nào thì thích hợp

Giả sử tọa độ tâm I(a;a)  d, do điểm C đối xứng với A qua I và điểm D đối

xứng với B qua I

Suy ra C(2a – 1: 2a), D(2a – 2; 2a)

Phương trình đường thẳng AB: y = 0, ta có d(I;AB) = |a|,AB = 1

Suy ra SABCD = 4SIAB = 2d(I;AB).AB = 2|a|

Mặt khác SABCD = 4  2|a| = 4  a =  2

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm

I(2;2) và phương trình 2 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh là 2x – y = 0;

4x – 3y = 0 Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD

Giải ( Tương tự cách phân tích ví dụ 1)

Cách 1: Giả sử hai cạnh đó là AB: 2x – y = 0; AD: 4x – 3y = 0.

Tọa độ đỉnh A = AB  AD là nghiệm của hệ phương trình

BC:4(x – 4) – 3(y – 4) = 0  BC: 4x – 3y – 4 = 0

Phương trình cạnh CD:

Vì CD // AB nên CD là đường thẳng đi qua C(4;4) và nhận n AB

= (2; – 1) làmvéc tơ pháp tuyến nên có phương trình là

CD: 2(x– 4) – 1 (y – 4) = 0  CD: 2x – y – 4 = 0

Vậy phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành là

BC: 4x – 3y – 4 = 0; CD: 2x – y – 4 = 0

Cách 2: Phương pháp đối xứng

Cạnh BC đối xứng với AD qua I((2;2) nên với mỗi điểm M(x;y)  AD tồn tại

điểm M1 (x1;y1)BC nhận I làm trung điểm, ta được

Cạnh CD đối xứng với AB qua I nên với mỗi điểm M(x;y)  AB tồn tại điểm

M1(x1;y1) thuộc CD nhận I(2;2) làm trung điểm, ta được

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm

A(0;1), B(3;4) Tìm tọa độ hai đỉnh C và D biết giao điểm I của hai đường chéo

nằm trên cung AB của parabol (P):y = (x – 1)2 sao cho diện tích tứ giác ABCD

(P), vì I  AB nên 0 < a < 3.

Ta có SABCD = 4SIAB = 2AB.d(I:AB)

Do AB không đổi nên diện tích tứ giác ABCD lớn nhất khi và chỉ khi khoảng

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích

bằng 3, hai đỉnh A(2; – 3), C(3; – 2) và trọng tâm tam giác ABC nằm trên đường

thẳng 3x – y – 8 = 0 Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD

Giải

Phân tích lời giải.

- Giả thiết bài toán cho diện tích ta cần linh hoạt phân chia diện tích hình bình

hành theo các diện tích tam giác nhỏ dễ tính

- Dựa vào mối liên hệ diện tích tam giác và diện tích hình bình hành ta tìm được

tọa độ điểm B, từ đó điểm D đối xứng với B qua tâm hình bình hành (là trung

| (3 4) 5 | | 2 1|

2

AB: 2x + y – 1 = 0; BC: x +2y – 1 = 0; CD: 2x +y – 4 = 0; và AD: x +2y +4 = 0.

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có

phương trình đường chéo AC: x – y + 1 = 0, điểm G(1;4) là trọng tâm của tam

giác ABC, điểm E(0; – 3) thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD Tìm tọa

độ các đỉnh của hình bình hành đã cho biết rằng diện tích của tứ giác AGCD

bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương

Giải

Vì DE EC nênDE: x + y + 3 = 0  D( t; – t – 3)

B B

| 1| 12 48

a a

Vậy tọa độ 4 điểm cần tìm là A(5;6), B(1;8), C(–3; – 2), D(1; – 4)

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hình bình hành ABCD có điểm C(–7;

5) và A thuộc đường thẳng d: x – y – 4 = 0 Phương trình đường trung tuyến kẻ

từ D của tam giác BCD có phương trình là: 4x – 3y + 23 = 0 Tìm tọa độ các

đỉnh A, B, D biết có hoành độ dương và cos

5

ABC 

Giải

Giả thiết bài toán cho góc giữa hai

đường thẳng hoặc góc trong tam

giác khia thác công thức và tham số

hóa điểm nào

Vì A  d  A(a;a – 4)

Gọi E là trung điểm của BC

Vậy tọa độ ba điểm cần tìm là A(5;1), B(3;5), D(–5;1)

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Điểm M(–

3;0) là trung điểm của cạnh AB, H(0; –1) là hình chiếu vuông góc của B lên AD

Phân tích tính chất song song: Tận dụng tính

chất hình bình hành có 2 cặp cạnh đối song song

với nhau khi giả thiết cho trước 2 điểm ta kéo

dài 2 điểm đó cắt 2 cạnh đối song song và vận

dụng định lý Tales để tìm tọa độ điểm thứ 3.

X

E Y

Gọi I là trung điểm của HE ta có I(1;2)

Tam giác ABH vuông tại H có M là trung điểm cạnh huyền AB nên MB = MH

Với B(0;1) loại do B trùng với H.

Với B(–2;3) vì M là trung điểm của AB nên A (–4; –3)

C C

x x

C y

2 3

Nhận xét Với giả thiết cho trước tọa độ hai điểm trên các đường thẳng của tứ

giác phương pháp được sử dụng hiệu quả là kéo dài đường thẳng đi qua hai

điểm đó cho cắt với hai cặp cạnh đối song song của tứ giác và sử dụng định lý

Talets

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích

bằng 4, biết điểm A (1;0), B(0;2) Tìm tọa độ hai điểm C và D biết giao điểm I

của hai đường chéo nằm trên đường thẳng d: x – y = 0

Hướng dẫn

Phương trình cạnh AB: 2x + y – 2 = 0, giả sử I(t;t) d thì do C và D lần lượt

đối xứng với A và B qua I nên C(2t – 1; 2t), D(2t; 2t – 2)

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABD là tam

giác vuông tại D Hình chiếu vuông góc của hai đỉnh B, D xuống đường chéo

AC lần lượt là Hãy tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành

Vì tam giác ABD vuông tại D AD BD AD: x – y – 4 = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ tâm Vì I là trung điểm của AC C(–1; 1)

TH2: Thực hiện tương tự

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh B(1;5),

gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC Phương trình đường thẳng

AH: x + 2y – 2 = 0, phương trình đường phân giác góc là d:x – y – 1 = 0

Tìm tọa độ ba đỉnh A, C, D

Hướng dẫn giải – đáp số

Nhận xét Thực chất bài toán quy về giải tam giác ABC khi biết tọa độ đỉnh B,

đường cao AH và phân giác trong góc C

Đường thẳng BC AH BC: 2x – y + 3 = 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi B1 là điểm đối xứng của B qua đường thẳng

Đường thẳng BB1 d BB1: x + y – 6 = 0

Tọa độ giao điểm của d, BB1 là nghiệm của hệ phương trình:

Vì E là trung điểm của BB1 B1(6;0)

Đường thẳng AC đi qua hai điểm B1, C nên có phương trình là:

AC: x – 2y – 6 = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có:

Vậy tọa độ ba điểm cần tìm là A(4; –1 ), C(–4; –5), D(–1 ; –1)

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I

và trọng tâm tam giác ABD là Viết phương trình các cạnh hình bình

D C

hành ABCD, biết các cạnh AB, AD là hai tiếp tuyến kẻ từ đỉnh A đến đường

tròn

2 DẠNG 2: HÌNH THANG

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song với nhau

Chú ý các dạng hình thang

- Hình thang có hai đáy song song với nhau

- Hình thang cân có hai đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau

- Sử dụng định lý Talets nếu xuất hiện yếu tố song song

- Hình thang vuông có cạnh bên là đường cao của hình thang Chú ý đến tính

chất vuông góc và kết hợp sử dụng định lý Pitago và khoảng cách điểm đến

đường thẳng

- Công thức tính diện tích hình thang: 2 .

a b

S   h

(a, b là độ dài hay đáy và h

là chiều cao của hình thang)

- Vận dụng tính chất song song, vuông góc kết hợp góc và khoảng cách, tính

diện tích nếu có

B BÀI TẬP MINH HỌA

Khai thác về vị trí của điểm lập biểu thức tọa độ, xác định giao điểm(nếu có).

Lập công thức tính góc, khoảng cách và diện tích để đưa ra phương trình,hệ

phương có ẩn là tọa độ các điểm hoặc tọa độ véc tơ.

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có

đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 3x – y = 0, đường thẳng BD có

phương trình x – 2y = 0, góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 450 Tìm tọa độ

đỉnh B, biết B có hoành độ dương và diện tích hình thang bằng 24

Giải Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

B A

AD và BD được xác định bởi:

Do góc giữa BC và AB bằng 450 nên

Suy ra tam giác BCD vuông cân tại B

Gọi điểm thuộc đường thẳng AB

Do

Vậy tọa độ điểm cần tìm là

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có đáy lớn là

CD, biết điểm A(0;2), D(-2; -2) và giao điểm I của AC, BD nằm trên đường

thẳng x + y – 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang khi biết

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và

CD, biết điểm A(0; - 4), B (4;0) Tìm tọa độ hai điểm C và D biết ABCD ngoại

CD tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi d(I, CD) = R

Đường thẳng AD: ax + b(y+4) = 0 ax + by + 4b = 0

AD tiếp xúc với (C ) khi và chỉ khi d(I; AB) = R

Tương tự viết được phương trình cạnh BC: x + 7y – 4 = 0

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại B và C có

CD = BC = AB Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB: y – 1 = 0 Gọi M

là trung điểm đoạn CD, gọi I là giao điểm của BD và AM Tìm tọa độ

điểm M biết B có hoành độ lớn hơn 1

Giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB

Gọi K là trung điểm của AB

Vì tam giác MHA = BCD

Do đó IK AB IK: x – = 0

Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có IK = suy ra phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là:

Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình

Đường thẳng AI: x – y = 0 M AI M(t;t)

Mặt khác M, I cùng phía với AB

Ta có d(M; AB) = MH = AB d(M; AB) =

2 3

Đối chiếu với điều kiện suy ra t =

Vậy điểm cần tìm là

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD, (AB// CD, CD>

AB) có diện tích bằng Phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là:

x – 3y – 3 = 0 Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại điểm I(2;3)

Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC biết C có hoành độ dương

Giải

Phân tích : Từ diện tích đã biết yêu cầu thiết lập biểu thức liên quan, hình thang

cân thì điểm I có đặc điểm gì…

Theo giả thiết các tam giác IAB, ICD là các tam giác vuông cân tại I

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có IH AB, IK CD, IH = , IK =

Ta có IK = d(I; CD) =

Điểm K chính là hình chiếu vuông góc của I trên CD

Phương trình đường thẳng IK đi qua I (2;3) và vuông góc với CD là

IK: 3(x – 2) + 1(y – 3) = 0 IK: 3x + y – 9 = 0

Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có KC = KD = KI = suy ra đường tròn (C ) có tâm K, bán kính có

phương trình là: (C ): Tọa độ điểm C, D là nghiệm của hệ

3

t t

C B

Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD // BC,

AD = 2BC, đỉnh B(4;0), phương trình đường chéo AC là 2x – y – 3 = 0, trung

điểm E của AD thuộc đường thẳng : x – 2y + 10 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn

lại của hình thang đã cho biết rằng cot

Giải

Theo giả thiết E t = 3 I(3; 3), E(2; 6)

Vì AD // BC, AD = 2BC nên BCDE là hình bình hành Suy ra Từ

Với việc vẽ chính xác hình vẽ theo giả thiết bài toán Bằng mắt quan sát ta nhận

biết được các tính chất hình học đặc biệt của bài toán như vuông góc, song song,

… Đặc biệt tính chất vuông góc

Vậy để áp dụng trong quá trình giải toán cần thực hiện 3 bước

+ Vẽ chuẩn hình phát hiện tính chất hình học

+ Chứng minh tính chất hình học đã dự đoán

+ Sử dụng công cụ giải tích để kết thúc bài toán

Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD tại A và D,

CD = 2AB có đỉnh B(1;2) Hình chiếu vuông góc hạ từ D lên AC là điểm H(-1;

0) Gọi N là trung điểm HC Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết đường thẳng DN

Ta có là trực tâm tam giác AND DN AK BN DN

Khi đó N chính là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng d

Đường thẳng BN đi qua B (1;2) và vuông góc với d có phương trình là

BN: 2(x – 1) + 1(y– 2) = 0 BN: 2x + y – 4 = 0

2

5 1

7

3

c c

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ ba điểm cần tìm là A

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có

AD = AB = Gọi E (2; 4) là điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn

3AE = AB Điểm F thuộc BC sao cho tam giác DEF cân tại E Phương trình

đường thẳng EF là 2x + y = 0 và A có hoành độ nguyên, đường thẳng d’: 3x + y

;0 8

Gọi P là điểm đối xứng của D qua A.

Ta có tam giác BDP vuông cân tại B nên EP = ED

Mặt khác tam giác DEF cân tại E nên ED = EF

Do đó ED = EF = EP nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DF

Suy ra là tứ giác nội tiếp

Suy ra

Vậy tam giác DEF vuông cân tại E

Đường thẳng DE đi qua E và vuông góc với EF có phương trình là DE: x – 2y +

6 = 0

Tọa độ điểm D = DE d là nghiệm của hệ phương trình

Xét tam giác vuông EDA có

Vì A d’ A(a;8 – 3a), a ta có phương trình

a a

Vậy tọa độ 4 điểm cần tìm là: A(1;5), B(4;2), C(4;-4), D(-2; 2)

Nhận xét: Đây là một bài toán hay và khó mấu chốt của bài toán là phát hiện

tính chất DE EF Lời giải sáng tạo với việc gọi một điểm P mới Suy nghĩ cơ

bản đi gọi P là dựa vào đẳng thức 3AE = AB nên nghĩ đến việc tạo thành 1 tam

giác mà E là trọng tâm của tam giác đó Tuy nhiên bài toán hoàn toàn thực hiện

được theo cách tương tự nếu đề bài cho AE = kAB với k dương bất kỳ.

3 DẠNG 3: HÌNH THOI

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

-Hình thoi mang đầy đủ tính chất của hình bình hành

- Hai đường chéo vuông góc với nhau

- Hai đường chéo tương ứng là phân giác của góc tạo bởi hai cạnh bên nên vận

dụng tính chất điểm đối xứng qua đường thẳng khi đề bài cho phương trình

đường chéo

- Giao điểm hai đường chéo chính là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi

- Đường nối tâm với chân đường vuông góc hạ từ tâm đến cạnh bên chính là bán

kính đường tròn nội tiếp hình thoi

Chú ý các phương pháp sử dụng như đối với hình bình hành và hình thang trong

đó đặc biệt quan trọng tính chất đối xứng qua tâm và định lý Tales

B BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD đỉnh A (1;5) và

phương trình của một đường chéo là d: x – 2y + 4 = 0 Xác định tọa độ đỉnh B,

C, D biết cạnh hình thoi có độ dài bằng 5

Giải

Nhận thấy A d đường chéo đó là BD: x – 2y + 4 = 0

Điểm C là điểm đối xứng của A qua d

Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của A trên d, ta có

Điểm B, D thuộc d và cách A một khoảng bằng 5:

AB = 5

Với t = 1 B(-2; 1) và H là trung điểm của BD D(6;5)

Với t = 5 B(6;5) và H là trung điểm của BD D (-2;1)

Điểm D thuộc đường trung trực AB nên gọi D(t; 3 – t)

Do ABCD là hình thoi nên

t t