skkn PHƢƠNG PHÁP GIẢI một số bài TOÁN HÌNH học PHẲNG TRONG các kỳ THI học SINH GIỎI

TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Hình học phẳng à nội dung qu n trọng trong chương trình giảng dạy cho p 10 chuyên Trong giảng dạy, ồi dư ng học sinh gi i nhất à HSG dự thi quốc

KỲ THI HỌC SINH GIỎI

Người thực hiện: Đậu Thế Tâm

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học : 2015 - 2016

I THÔNG TIN CÁ NHÂN:

1 Họ và tên: Đậu Thế Tâm

2 Ngày tháng năm sinh: 21 - 3 – 1974

3 Chức vụ: P Hiệu trưởng

4 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

Trình độ: Thạc sĩ

Tốt nghiệp: 2003

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

Giảng dạy 21 năm

Chuyên đề trong những năm gần đây:

2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học phẳng à nội dung qu n trọng trong các thi học sinh gi i cấp Tỉnh, cấp quốc gi các ài tập cũng thường sử dụng đến các định Mene eus, Cev , P sc , Ch nh vì

do đ mà ch ng tôi muốn đi sâu vào chuyên đề này

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Cơ sở lý luận

Hình học phẳng à nội dung qu n trọng trong chương trình giảng dạy cho p 10 chuyên Trong giảng dạy, ồi dư ng học sinh gi i nhất à HSG dự thi quốc gi thì đề thi về hình học phẳng này hầu như hông thiếu trong các thi hàng năm ì vậy nghiên cứu sâu về hình học phẳng à một việc àm cần thiết trong việc chu n ị iến thức năng cho việc ồi

Cho t m giác ABC và A’, B’, C’ à các điểm lần ượt nằm trên đường thẳng chứa các cạnh

BC, CA, AB B đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại một điểm khi và chỉ khi

Cho t m giác ABC và A’, B’, C’ à các điểm lần ượt nằm trên đường thẳng chứa các cạnh

BC, CA, AB s o cho hông c điểm nào trùng v i các đỉnh và c hông quá h i điểm thuộc hai cạnh B điểm A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi ' ' ' 1

A B B C C A

A C B A C B 

2.2 Định lí Cêva mở rộng:

Cho t m giác ABC và A’, B’, C’ à các điểm lần ượt nằm trên đường thẳng chứa các cạnh

BC, CA, AB B điểm A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi ' . ' . ' 1

+) Khi 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng thì định lí Ptoleme mở rộng vẫn đ ng

+) Định lí Ptoleme mở rộng vẫn đ ng hi cho 4 điểm A, B, C, D nằm trong khơng gian

4 Định lí Simson, (Nhà tốn học Scotland sinh 14/10/1687 mất 1/10/1768)

Định lí: Từ một điểm P trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta lần ượt hạ các đường

vuơng gĩc xuống BC, CA, AB, chúng cắt BC, CA, AB lần ượt tại A1, B1, C1 Khi đ các điểm A1, B1, C1 thẳng hàng

5 Đường thẳng Euler, (Nhà tốn học Thụy Sĩ, sinh 1707-1783)

Định lí: Gọi H, G, O lần ượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp của tam

giác ABC Khi đ các điểm G, G, O thẳng hàng (Đường thẳng đi qua ba điểm này được

gọi là đường thẳng Euler)

6 Đường trịn Euler, (Đường trịn 9 điểm)

Định lí: Trong một t m giác chân đương c o, chân đường trung tuyến, trung điểm

củ các đoạn thẳng nối trực tâm v i các đỉnh của tam giác cùng nằm trên một đường trịn

(Đường trịn này được gọi là đường trịn Euler hay đường trịn chín điểm)

7 Hệ Thức Euler

Định lí: Gọi (O; R) và (I; r) lần ượt à đường trịn ngoại tiếp và đường trịn nội tiếp tam

giác ABC, hi đ t c IO2 = R2 – 2Rr

8 Đường thẳng Stainơ, (Nhà tốn học Thụy Sĩ, sinh 1796-1863)

Định lí: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đườnh trịn (O), M là một điểm th y đổi trên (O)

Gọi A1, B1, C1 lần ượt à các điểm đối xứng của M lần ượt qua các cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng (Đường thẳng đi qua ba điểm này được gọi là đường thẳng Stai-nơ)

b) Chứng minh rằng đường thẳng Stai-nơ uơn đi qu một điểm cố định

9 Định lí com Bướm, (Butterfly Theorem)

Định lí: Cho đường trịn (O) v i dây cung AB Gọi I à trung điểm của AB, qua I dựng hai

dây cung MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB lần ượt tại E và F Chứng minh rằng I là trung điểm củ đoạn thẳng EF

10 Định lí Pascal, (Nhà tốn học Pháp, sinh 1623-1662)

Định lí: Cho ABCDEF là một lục giác nội tiếp trong một đường trịn Khi đ gi o điểm của

các cặp đường thẳng s u đây thẳng hàng: AB và DE, BC và EF, CD và FA

11 Định lý Newton (Nhà vật , nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên, nhà tốn học vĩ đại người Anh)

Định lý: Một đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD lần ượt tiếp xúc v i các cạnh

AB BC CD DA tại E F G H, , , Khi đ các đường thẳng AC EG BD FH, , , đồng quy

12 Một số kiến thức về tọa độ

a) Công thức toạ độ điểm chia

Cho hai điểm A, B phân biệt và số thực k k(  1) Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MAk MB Khi đó

d) Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M x( ; )0 y0 đến đường thẳng ( ) :  AxBy C  0

CÁC DẠNG TỐN Dạng 1 Các bài tốn tính tốn và chứng minh

Bài 1: (IMO Shortlist 1991) P thay đổi trong tam giác ABC cố định Gọi P’, P” là hình chiếu

vuơng gĩc của P trên AC, BC, Q’, Q” là hình chiếu vuơng gĩc của C trên AP, BP, gọi

X P 'Q" P"Q' Chứng minh rằng: X di chuyển trên một đường cố định

Giải:

Ta cĩ:

0

CP ' P CP"P CQ' P CQ"P 90

Nên các điểm C, P ', Q", P, Q', P" cùng thuộc một đường trịn

Áp dụng định P sc cho sáu điểm C, P ', Q", P, Q', P" ta cĩ:

CP ' PQ' A, P 'Q" Q' P" X, Q"P P"C B.

Vậy A, X, B thẳng hàng

Vậy X di chuyển trên đường thẳng AB cố định

Bài 2 Cho ba điểm A B C1, 1, 1theo thứ tự nằm trên các cạnh BC CA AB, , của tam giác ABC sao cho AA BB CC1, 1, 1đồng quy Đường trịn ngoại tiếp tam giác A B C1 1 1 cắt BC CA AB, , tại A B C2, 2, 2 Chứng minh rằng AA BB CC2, 2, 2đồng quy

Giải

X

Q"

Q' P"

P' A

P

Áp dụng định Cev cho đường thẳng AA BB CC1, 1, 1, ta có 1 1 1

Vậy AA BB CC2, 2, 2đồng quy (theo định lý Ceva)

Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng đường tròn cắt cạnh BC CA AB, , củ t m giác tại các điểm

, '; , '; , '.

D D E E F F Gọi L M N, , ần ượt à gi o điểm củ DEvà D F' ',EFvà E D' ', FD và

' '

F D Chứng minh rằng các đường thẳng AL BM CN, , đồng quy

Giải: Áp dụng định lý Ceva dạng ượng giác cho t m giác AF’E v i F’D’, ED, AL đồng quy

tại L ta có:sin D sin. A sin. ' 1

Tương tự cho các t m giác CDE’ và BFD’ t c :

F

6

Suy ra B, X, Othẳng hàng.Từ đ t được B, O, Dthẳng hàng

Vậy EG, FH, BD đồng quy tại O

Chứng minh tương tự đối v i đường thẳng AC t được điều phải chứng minh

Bài 5: (Australia 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao đỉnh A, B, C

lần lượt cắt (O) tại A’, B’, C’ D nằm trên (O),

DA' BC A", DB' CA B", DC' AB C".Chứng minh rằng: A”, B”, C”, trực tâm H thẳng hàng

Giải:

Áp dụng định P sc cho sáu điểm A, A ', D, C', C, B, ta có:

AA ' C'C H, A ' D CB A", DC' BA C".

Vậy H, A",C" thẳng hàng

Tương tự suy r A”, B”, C”, H thẳng hàng

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOA’, BOB’, COC’ thẳng hàng

Giải:

Gọi A”, B”, C” à trung điểm của OA, OB, OC I, J, K là

tâm các đường tròn ngoại tiếp các t m giác AOA’, BOB’,

COC’ Khi đ I à gi o điểm của các trung trực của OA và

OA’, h y ch nh à gi o điểm củ B”C” và tiếp tuyến của

đường tròn (O;OA”) tại A” Tương tự v i J, K

Áp dụng định P sc cho sáu điểm A", A", B", B", C", C"

I B"

FE D F R, E D F E Q, D D E F Z.

Suy ra Q, R, Z thẳng hàng

Tương tự P, Q, Y thẳng hàng, Z, P, X thẳng hàng

Xét các tam giác ABC, PQR có: X  CA  RP, Y  AB  PQ, Z  BC  QR

Áp dụng định Des rgues suy r các đường thẳng AP  AL, BQ  BM, CR  CN đồng quy

Bài 8: (Định lý Brianchon) Lục giác ABCDEF ngoại tiếp một đường tròn Khi đó AD, BE, CF

đồng quy

Giải:

Ta sẽ chứng minh định lý này bằng cực và đối cực để thấy rằng Pascal và Brianchon là hai kết quả liên hợp của nhau

Gọi các tiếp điểm trên các cạnh lần ượt là G, H, I, J, K,

L Khi đ GH, HI, IJ, JK, KL, LG ần ượt à đối cực

của B, C, D, E, F, A

Gọi GH  JK  N, HI  KL  P, IJ  LG=M

Theo Pascal cho lục giác GHIJKL ta có M, N, P thẳng

hàng

Mà M, N, P lần ượt à đối cực của AD, BE, CF nên suy

r AD, BE, CF đồng quy tại cực củ đường thẳng MNP

Bài 9: Cho tam giác ABC, các phân giác và đường cao tại đỉnh B, C là BD, CE, BB’, CC’

Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC tại N, M Chứng minh rằng MN, DE, B’C’ đồng quy

Giải:

Z

R Q

P

L F2

F1

E2

E1

D2 D1

Vậy S, E, D thẳng hàng, h y à MN, DE, B’C’ đồng quy tại S

Vậy, theo định lý Carnot   A, B, Cđồng quy

Bài 10: Cho tam giác ABC Dựng các tam giác BCA CAB ABC', ', 'cân tại A B C', ', '. Gọi D E F, ,

lần ượt à trung điểm củ đoạn BC CA AB, , Gọi x y z, , theo thứ tự à các đường thẳng qua

C D C E F D F E (Do t m giác C’AB cân nên

C’F vuông g c AB, ED à đường trung bình của tam giác

ABC nên C’F vuong g c v i DE)

Từ đ suy r (1) đ ng, vậy t c điều phải chứng minh

Bài 11: (HSG Đồng Nai 2011-2012 Vòng 2) Cho tam giác ABC ở bên ngoài tam giác ABC

vẽ ba tam giác cân gồm tam giác A 1 BC cân tại A 1 , tam giác B 1 CA cân tại B 1 , tam giác C 1 AB cân tại C 1 (biết hai điểm A và A 1 nằm khác phía đối với đường thẳng BC, biết hai điểm B và B 1 nằm khác phía đối với đường thẳng AC, biết hai điểm C và C 1 nằm khác phía đối với đường thẳng AB ) Gọi a là đường thẳng đi qua A vuông góc với B 1 C 1 , gọi b là đường thẳng đi qua B vuông góc với A 1 C 1 , gọi c là đường thẳng đi qua C vuông góc với A 1 B 1 Chứng minh rằng a, b,

c đồng quy

Giải:

Các tam giác A1BC cân tại A1, tam giác B1CA cân tại B1, tam

giác C1AB cân tại C1 nên ta có:

S

C'

B' N

M

I E

D A

Bài 12: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm

của AB, BC, CD, DA Đặt K ADBC , L ABDC , EQMPN , FQPMN Chứng minh rằng 4 điểm K, L, E, F cùng nằm trên một đường thẳng

Giải: Gọi I à gi o điểm giữa BD v i AC, E’ à gi o điểm DB v i KL, T à gi o điểm CE’ v i

DK, theo bài toán 1 thì (TAKD)   1 suy ra (CT CA CK CD, , , )   1 theo định chùm điều hòa suy ra ( 'E IBD)   1 Mặt hác t đã c (EIBD)   1

Do vậy E' E suy ra E, K, L thẳng hàng (1)

Lập luận tương tự cũng có F, K, L thẳng hàng (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra đpcm

Bài 13 (IMO 95/1) Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đ ) Đường tròn

đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy P là một điểm trên XY hác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng

qui

Giải:

Gọi Q, Q’ ần ượt à gi o điểm của DN và AM v i XY Ta cần chứng minh QQ

Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra PM PC PQ PZ.

Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra PQ PZ PN PB.

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương củ đường tròn

đường nh AC và đường tròn đường kính BD nên

O K

D

C

L E'

T

A

M

N Q

P

10

Bài 14: Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta lấy các điểm M, N, P tương ứng sao

cho các đường thẳng AM, BN, CP đồng quy tại O Đường thẳng vẽ qua O song song với AC cắt các đường thẳngMN và NP lần lượt tại I,J CMR: OI = OJ

Giải: Gọi K à gi o điểm của AJ và BN

Áp dụng định lý Meneleus trong tam giác BPN v i đường thẳng

Bài 15: Đường tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với BC,AB,AC theo thứ tự ở D,E,F Qua E

kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD và DF theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng M là trung điểm của EN

Giải:

Gọi gi o điểm của AN và BC là J Từ đề cho ta suy ra:

Bài này có thể dùng định C rnot để chứng minh

Bài 16: (Poland 1997) Ngũ giác ABCDE lồi thỏa mãn: 0

CD DE, BCD DEA 90 Điểm F trong đoạn AB sao cho AF AE

BF BC Chứng minh rằng: FCE ADE, FEC BDC

O A

B

C

sin GQD

DA GQS

DB GR

DGS

Từ đ dễ dàng có FCE ADE, FEC BDC

Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại S

Một cát tuyến quay quanh S cắt CA, CB tại M, N, cắt (O) tại P, Q Chứng minh rằng M, N, P,

Q là hàng điểm điều hòa

Giải:

Vẽ tiếp tuyến ME, MD của (O) cắt SA, SB tại K, L

Áp dụng định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếp SKML ta

c BE, AD, SM, KL đồng quy

Áp dụng định P sc cho sáu điểm A, D, E, E, B, C, ta

có:

Vậy I, N ', M thẳng hàng, hay N  N ', tức là N  DE

Do DE à đối cực củ M đối v i (O) nên M, N, P, Q là

hàng điểm điều hòa

Bài 18 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua

H cắt đường tròn tại C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần ượt tại D, E và F a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy

b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) tại P và Q Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng hàng

Giải:

a) Ta có CA CD CH2 CB CE. , suy ra ADEB nội tiếp

Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường tròn đường

kính CH, thì DE, AB và CF lần ượt là các trục đẳng

phương của các cặp đường tròn trên nên ch ng đồng quy

b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và (O) nên

B

C P

P

Q

M E

D

C

O

Bài 19 (MOP 95) Cho t m giác ABC c đường cao BD và CE cắt nhau tai H M à trung điểm

củ BC, N à gi o điểm của DE và BC Chứng minh rằng NH vuông góc v i AM

Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp

Từ đ t c NE ND NF NM. , suy ra N nằm trên trục đẳng phương củ đường tròn đường

nh MH và đường tròn đường kính AH

Mặt hác H à gi o điểm của (O) và (I), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I)

Suy ra NHOI, rõ r ng OI // AM, do đ NH AM

Bài 20 (India, 1995) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song v i BC cắt AB,

AC tại D và E Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE v i BP

và CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp t m giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q Chứng minh rằng AQOI

j F I

O

H

M N

E

D A

Gọi M à gi o điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)

Ta có AMPPGD và PGDPCB (đồng vị), suy ra AMPPCB, suy ra BMPC nội tiếp Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra AM AB  AN AC.

AB  AC (Định lý Thalet)

Suy ra AM AD  AN AE.

Do đ A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQOI

Bài 21 (HongKong TST 2000) Tam giác ABCvuông có BCCA AB Gọi D là một điểm trên cạnh BC , E là một điểm trên cạnh AB kéo dài về ph điểm A sao cho

BDBECA Gọi P là một điểm trên cạnh ACsao cho E B D P, , , nằm trên một đường tròn

Q à gi o điểm thứ hai của BP v i đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Chứng minh rằng:

AQ CQ BP

Giải: Xét các tứ giác nội tiếp ABCQvà BEPD, ta có:

CAQCBQDEP( cùng chắn các cung tròn )

108

AQC ABCEPD

Xét hai tam giácAQCvà EPD, ta có:

AQCEPD và CAQDEP

Vậy AQC EPD g g( )

14

Bài 22 (China League 1989) Tam giác ABC (AB>AC) nội tiếp (O) Phân giác ngoài tại A cắt

(O) tại E Gọi F là hình chiếu của E trên AB Chứng minh rằng:

Lại có tứ giác AEBC nội tiếp, áp dụng đẳng thức Ptolemy ta có:

Từ đ suy r : 2 (R ABAC).cos 2 2R AF.cos hay AB - AC = 2AF

Vậy t c điều phải chứng minh

* Giả sử v i trường hợp đặc biệt, AB = 3AC, ta có bài toán m i:

Cho tam giác ABC có AB = 3AC nội tiếp (O), phân giác ngoài tại A cắt (O) tại E F hình chiếu của E trên AB Chứng minh tam giác AFC cân

Bài 23 (China TST 2002) Cho tứ giác ồi ABCD , gọi E, F, P ần ượt à gi o điểm củ AD và

rằng

Giải

R

F E

D O A

Gọi à gi o điểm củ và và à gi o điểm củ v i

Ta cĩ (DCJF) = -1 (hàng điều hị tứ giác tồn phần)

nên E(DCJF) = -1 suy ra E(DBPI) = -1 suy ra O(DBPI) = -1

Hồn tồn tương tự t c

Từ đ

Đây à điều phải chứng minh

Bài 24 (Đề nghị Olympic 30/4/99) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I à tâm đường trịn ngoại

tiếp t m giác ABC, D à trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IECD

Bài 25(APMO, 1998) Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A Gọi E, F là các

điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho AEBE, AFCF, E, F không trùng D Giả sử

M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF Chứng minh rằng AN NM

Giải Chọn hệ toạ độ vuông góc A, D, E, F có các toạ độ A(0;0), ( ; ), ( ; ), ( ; )B d b E e b F f b

x

y

E I D

C O

A

B

16

Vì hệ số góc của đường thẳng AE là b

e nên hệ số góc của đường thẳng BE là e

CDM DAN Chứng minh các trung điểm của KL LM MN NK, , , và các trung điểm của AK,

BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN lập thành một đa giác đều 12 cạnh

Giải Gọi O là tâm của hình vuông, lập hệ trục toạ độ Oxy sao

K M

Bài 27(APMO, 2000) Cho tam giác ABC, các đuờng trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M, N Từ N kẻ đường vuông góc với NA cắt BA và MA tương ứng tại P, Q Từ P kẻ đường vuông góc với BA cắt NA tại O Chứng minh QOBC

Giải

Chọn hệ thống trục toạ độ vuông góc tại N, NO là trục

hoành và PN là trục tung Khi đó, PT đường thẳng AB

là yax b

Vì trục hoành NO là phân giác của góc A nên đt AC

đối xứng với AB qua trục hoành  (AC) :y  ax b

Theo giả thiết POAB nên PO có hệ số góc 1

Dễ tính được toạ độ các giao điểm B, C của đường

thẳng AB và BC, AC và BC tương ứng B b ; bc ,C b ; bc

c a c a c a c a

trung điểm M của BC là M 2ab 2; 2bc 2

Q

O

P

N M

B C

A

Giải Thiết lập hệ trục toạ độ vuông góc sao cho CA

nằm trên trục hoành và C(0;0)

Giả sử A a( ;0) với a > 0, F(1;0) và 1; 3 ,

1

3 0

3

y

x

P k

2 2 4

2 2

2 2 4

E B

C D

2 2 4

k GP

Giải Gọi 2 à độ dài cạnh của tam giác ABC

Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho C a( ;0), (B a;0)

))(

c

m c b a J

c b a

)

c

b a m IJ

Dạng 2 Các bài toán quỹ tích, tìm điểm cố định

Bài 1 Cho tam giác ABC và D là một điểm cố định trên tia đối của tia BC. Điểm F nằm trên cạnh AC , E AB DF. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BF CE, Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định

Giải

x

y

M A

C O

B N

I

I E

Vậy đường thẳng MN uôn đi qu điểm Lcố định (đpcm)

Bài 2 (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC là tam giác nhọn và không phải

tam giác cân nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R Một đường thẳng d th y đổi sao cho vuông góc v i OA và luôn cắt tia AB, AC Gọi M, N lần ượt à gi o điểm của d và AB, AC Giả sử BN và CN cắt nhau tại K, AK cắt BC

a) Gọi P là giao của AK và BC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp t m giác MNP uôn đi qua một điểm cố định

b)Gọi H là trực tâm củ t m giác AMN Đặt BC = a và l là khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH đi qu trực tâm của tam giác ABC, từ đ suy r : 2 2

D I

L

K

X H

M

N

O A

Y

Từ đ suy r QM QN QP QE. , suy ra tứ giác MNIP nội tiếp, suy r đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP uôn đi qu điểm E cố định

b) Giả sử 3 đường cao AD, BF và CJ của tam giác ABC cắt nhau tại I; đường cao MX, AY,

NZ của tam giác AMN cắt nhau tại H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng

Xét đường tròn tâm (O1) đường kính BN và tâm (O2) đường kính CM

Bài 3: (IMO Shortlist 1991) P thay đổi trong tam giác ABC cố định Gọi P’, P” là hình chiếu

vuông góc của P trên AC, BC, Q’, Q” là hình chiếu vuông góc của C trên AP, BP, gọi

X P 'Q" P"Q' Chứng minh rằng: X di chuyển trên một đường cố định

Giải: Ta có:

0

CP ' P CP"P CQ' P CQ"P 90

Nên các điểm C, P ', Q", P, Q', P" cùng thuộc một đường tròn

Áp dụng định P sc cho sáu điểm C, P ', Q", P, Q', P" ta có:

CP ' PQ' A, P 'Q" Q'P" X, Q"P P"C B.

Vậy A, X, B thẳng hàng

Vậy X di chuyển trên đường thẳng AB cố định

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A M là một điểm di động trên đường thẳng BC (M

khác B và C) hình chiếu của M ên các đường thẳng AB và AC là H và K tương ứng Gọi I là

gi o điểm củ các đường thẳng CH và BK Chứng minh rằng các đường thẳng MI uôn đi qu

D C

M

X

Q"

Q' P"

P' A

P