skkn sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Trong những năm gần đây các bài toán d ng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học s

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị Trương THPT Bình Sơn

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2014-2015

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

8 Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8:

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị : Cử nhân :

- Năm nhận bằng: 2005

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học

Số năm có kinh nghiệm: 9

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

- Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh

- 2 Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán

- 3 Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

và được bộ khuyến khích Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông

Trong những năm gần đây các bài toán d ng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh gi i Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không c n mới

m Tuy nhiên đa số học sinh c n lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương

pháp để giải toán Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: " n h n h

đ đ m n h n nh, h h n nh h n nh"

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh

Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành ch m bài toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh c n rất hạn chế

Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em c n rất ít, khả năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh c n lúng túng, bỡ ngỡ

b Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng

Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình

thành ch m bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu quả thì vẫn c n gặp nhiều khó khăn

Trong đề thi học kì Học sinh gi i, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó c n cần sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức tạp Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động vì thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức rất khó khăn

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì

vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ n e đ đ h n nh,

h h n nh, h n nh đẳn hứ ” Nhằm giúp học sinh bổ sung

thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói

riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung

III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Giải pháp

-T y vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, ph hợp với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học một cách thành thạo Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp cho một tiết bài tập

a.Đối với lý thuyết:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây

là một quá trình rất khó khăn đ i h i người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực

Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viên cần thực hiện các bước sau

Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu

Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm

Bước 3: Khắc sau kiến thức

b Đối với bài tập

Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức

đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán và diễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tính cách của học sinh Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát

Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ

Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập

Bước 2: Thực hiện chương trình giải

-Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài

-Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu

biết của học sinh Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy

sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị

và dự đoán trước

b.Tích vô hướng của hai vec tơ :

Cho hai véc tơ a = (a ;a ), b = (b ;b )r 1 2 r 1 2

a.b = a br r 1 1a b2 2

c.Độ dài vec tơ:

Cho véc tơ a = a ;ar  1 2 khi đó độ dài vec tơ ar là :

a = a + a12 22

r

d Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ:

Với hai điểm A(x ; y ), B(x ; y )A A B B thì AB = (x - x ; y - y ) uuur B A B A

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1x-1 = k(5 - x) k =

Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2

Vậy x=2 là nghiệm của phương trình

Bài 2: Giải phương trình : x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5 (1)

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

Bài 4: Giải phương trình: 2 2

3x- 2 = k(2 - x)

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

Bài 5: Giải phương trình: x-1 + x = 3 + 2(x- 3) + 2 x- 2(1) 2

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+ 2 và x=1- 2

Bài 7: Giải phương trình: x 2 2 2

Theo BĐT vectơ a.br r  a br r ta có: x 1 + x + 8 - x2 2 3 x +12

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,br r cùng hướng

Vậy nghiệm của phương trình : x=0

Bài 9 : Giải phương trình:

x - 2 x+ 2 + 4 x +12 x+ 25 = 9 x +12 x+ 29 (1)

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)

Bài 2: Giải hệ phương trình: 2 x+ 5 + 2 y+ 3 = 6

Theo BĐT vec tơ ta có : a + br r  a + br r

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)

Bài 3: Giải hệ phương trình:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)

Bài 4:Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)

Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)

10 - x +1



x = 3(x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*)

f’(x) <0 ,x>0 => phương trình (*) vô nghiệm

Vậy nghiệm hệ phương trình : (3;3)

Theo đề bài ta có: a.br r  2 a br r

Theo BĐT vec tơ ta có: a.br r  a br r

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2

Bài 2: Giải bất phương trình: x 1 2 3 x 10

Giải :

Điều kiện :1 x 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: a =r  x-1; 3 - x ,b = 1;2 r  

Ta có: ar  2, br  5

Theo đề bài ta có: a.br r  10  a br r

Theo BĐT vec tơ ta có: a.br r  a br r

Theo bài ra ta có: a.br r  a br r luôn đúng

Vậy nghiệm bất phương trình:   3 x 7

Theo BĐT vec tơ a - br r  a - br r ta có

Bài 6 : Đề thi đại học khối A 2003

Cho x, y, z là ba số thực dương và x+ y+ z£ 1 Chứng minh rằng:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

2 2

Ta có AB+ AC  BCvới 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây

IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

1.Kinh nghiệm thực tiễn

- Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc kết và rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học,” Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình” vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT Bình Sơn"

- Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt những ví dụ minh họa

ph hợp với trình độ học sinh Một số bài tập chọn lọc về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình” nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng của mình

- Bên cạnh đó việc nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu, v ng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

- Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nh vào kinh nghiệm dạy học toán,

để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục

- Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài c n nhiều hạn chế và thiếu sót Rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hơn

2 6%

8 24,3%

15 45,5%

19 57,6%

16 48,5%

4 12,1

%

V.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Trong năm qua tôi đã vận dụng “ véc tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình

và bất phương trình”cho đối tượng học sinh trung bình (với những bài đơn giản), học sinh khá gi i (với những bài từ cơ bản đến nâng cao) của trường THPT Bình Sơn trong các tiết dạy, đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng và thấy

rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động; tích cực và hứng thú học tập, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các bài tập

Trong quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi thấy đề tài này có phạm vi áp dụng trong thực tế giảng dạy toán đạt hiệu quả tại đơn vị trường THPT Bình Sơn Vận dụng sáng kiến này giúp học sinh tư duy tốt, nâng cao khả năng sáng tạo, hiểu rõ bản chất từ những dạng bài đơn giản đến nâng cao, có khả năng phân tích và giải thích tốt

Từ đó, làm cơ sở cho học sinh tiếp tục phát huy khả năng học trong các dạng bài tập khác nhằm giúp các em có cái nhìn rộng lớn và tổng quát hơn; các em đạt kết quả tốt trong học tập và các kì thi Do đó, đề tài này có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng đạt hiệu quả

Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp c ng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như rèn luyện cho học

sinh tính năng động, tích cực, tư duy, sáng tạo và vận dụng sau này

Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh kh i những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để các đề tài sau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập 10 ; Nhà xuất bản Đại học quốc gia

Hà Nội Th.s Nguyễn Kiếm-Lê Thị Hương

2 Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB tr -Võ Đại Mau

3 Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Trần Đình

Thì

4 Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10 : NXB Đại học quốc gia Hà Nội –Hà Văn

Chương

5 Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB tr -Võ Đại Mau

6 Tuyển tập các bài toán hay và kh đại số 1, NXB Đại học quốc gia Thành Phố Hồ

Chí Minh- PGS TS Đậu Thế Cấp

VII PHỤ LỤC

1 Ph ếu hăm ò ý k ến ủ h nh h n

Học sinh: Số phiếu phát ra là 386; Số hiếu thu về hợp lệ: 318

Câu 1: Hứng thú học tập môn toán của em?

- Tuy nhiên cũng có 23% HS rất yêu thích môn toán, điều này cho thấy môn toán là một môn học rất hấp dẫn với các em

Câu 2: Thời gian tự học bộ môn toán mỗi ngày của em?

Bảng 2 Thời gian tự học toán mỗi ngày

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Câu 3: Mức độ chuẩn bị bài của em trước khi học bài mới?

Bảng 3 Mức độ chuẩn bị bài của học sinh

Không chuẩn bị Chuẩn bị bài theo hướng

dẫn của thầy cô

Chuẩn bị theo hướng dẫn và đọc thêm tài liệu khác

Ý kiến khác

- Tỉ lệ HS có chuẩn bị bài chiếm khá cao, chứng t các em đã có ý thức học tập, việc

chuẩn bị bài theo hướng dẫn của GV là có tỉ lệ cao nhất

- Tỉ lệ HS không chuẩn bị bài cũng là một con số không nh nên việc tạo hứng thú cho các em học tập là rất cần thiết

Câu 4: Cách giải quyết của em khi gặp bài tập khó?

Bảng 4 Giải quyết của HS khi gặp bài tập kh

H i bạn bè, anh

chị hoặc thầy cô

Mượn bài giải của bạn để chép

Chờ thầy cô sửa bài

Đọc lại lý thuyết, tìm tài liệu để giải

Ý kiến khác

- Đa số các em đều cố gắng tìm cách để làm được bài, điều này cho thấy HS đã có ý

thức học tập, cố gắng để hoàn thành nhiệm vụ được giao, có 2,2% HS không làm bài tập

- Có khoảng 12,9% HS khảo sát đã tự cố gắng tìm t i cách giải quyết, các em đã chủ động khám phá kiến thức, chứng t các em rất yêu thích môn toán

Câu 5: Lý do em yêu thích bộ môn toán?

Bảng 5 Lý do thích học toán

Là môn học có tính Có nhiều ứng dụng thiết Giáo viên dạy hay, Ý kiến

logic thực trong cuộc sống dễ hiểu khác

- Các em đều yêu thích môn học vì toán là môn có tính lôgic và có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, đây là yếu tố cần khai thác để tạo hứng thú lâu dài trong học tập cho các em

Câu 6: Những khó khăn thường gặp khi học tập môn toán?

Bảng 6 Kh khăn thường gặp khi học toán

Khối lượng bài

nhiều, ít thời gian

Thiếu tài liệu

hỗ trợ

Giáo viên dạy khó hiểu

Chưa yêu thích

Ý kiến khác

Câu 7: Em có tham khảo thêm các tài liệu ngoài tài liệu thầy cô cho không?

Bảng 7 Mức độ tìm hiểu thêm tài liệu

- Phần lớn các em không tham khảo thêm các tài liệu khác lý do là thời gian học tập ít

mà khối lượng bài học rất nhiều, hơn nữa các em chưa thấy hứng thú với môn học nên ít đọc thêm các tài liệu khác Tuy nhiên cũng có một số em đã thường xuyên xem thêm tài liệu khác, điều đó cho thấy những em này rất yêu thích môn hóa

Câu 8: Những dạng bài tập mà em đã được làm?

Bảng 9 Bảng những dạng bài tập HS đã được làm

Thường xuyên Thỉnh thoảng Chưa bao giờ

BT có sử dụng thí nghiệm 65-20.4% 253-79.6% 0

BT sử dụng hình ảnh, sơ đồ, bảng biểu 103-32.4% 215-67.6% 0

BT có nội dung gắn với thực tiễn và bảo 68-21.4% 217-68.2% 33-10.4%