SKKN TIẾP tục HƯỚNG dẫn học SINH KHÁ, GIỎI vận DỤNG KIẾN THỨC TOÁN học vào VIỆC GIẢI các bài tập vật lí NÂNG CAO

Chính vì lẽ đó, tôi đã sưu tầm và mạo muội nêu ra một số bài tập Vật lí nâng cao, có vận dụng những kiến thức Toán học vào trong bài giải, nhằm củng cố lại một số kiến thức toán học thườ

sử dụng đúng loại kiến thức toán thì bài giải sẽ trong sáng và rút ngắn bài giải đáng kể

Chính vì lẽ đó, tôi đã sưu tầm và mạo muội nêu ra một số bài tập Vật lí nâng cao, có vận dụng những kiến thức Toán học vào trong bài giải, nhằm củng

cố lại một số kiến thức toán học thường gặp để giúp học sinh vận dụng có hiệu quả vào việc giải bài tập Vật lí nâng cao trong uá tr nh b i dư ng học sinh giỏi

Đề tài này giới hạn trong phạm vi nghiên cứu những kiến thức Toán học

cơ bản nhất, có nâng cao đúng mức ở chương trình THCS, mang tính chất điển hình, thường được vận dụng trong các dạng bài tập Vật lí nâng cao; nhằm mục

đích phục vụ dạy b i dư ng học sinh giỏi nên t i chọn đề tài này “TIẾP TỤC

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI VẬN DỤNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP VẬT NÂNG CAO ”

II C S ẬN VÀ THỤC TI N :

C S ẬN:

Để thực hiện mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, b i

dư ng nhân tài” thì công tác b i dư ng học sinh giỏi là một trong những công tác quan trọng bậc nhất mà chúng ta cần thực hiện; nhằm ươm mầm

và phát triển những tài năng tương lai của đất nước

Vật lí học là một trong các bộ môn được tham gia tổ chức dạy b i

dư ng để học sinh dự thi học sinh giỏi các cấp Đối với một học sinh giỏi Vật lí cần phải hội đủ hai yếu tố đó là: giỏi về kiến thức Vật lí đ ng thời nắm chắc và đầy đủ các kiến thức Toán học Nếu thiếu một trong hai yếu

tố trên thì không thể trở thành một học sinh giỏi Vật lí; hay nói cách

khác, một học sinh giỏi Vật lí phải sở hữu một kiến thức Toán học phong phú và biết cách vận dụng kiến thức đó để giải các bài tập Vật lí nâng cao một cách có hiệu quả nhất Như vậy Toán học là cơ sở, là tiền đề để nghiên cứu Vật lí học Trong để tài này, các cơ sở Toán học được l ng ghép vào từng nội dung nghiên cứu

-2-

C S TH C TI N:

Những kiến thức toán học như: Hệ thức Vi-et, tính chất dãy tỉ số bằng nhau, hằng đẳng thức, bất đẳng thức Côsi, hệ số góc của một đường thẳng, phương tr nh bậc 2 một ẩn, định lý Pitago v.v…là những kiến thức

cơ bản thường gặp trong việc giải bài tập Vật lí nâng cao Chúng là kiến thức cơ sở để vận dụng vào trong từng bài tập cơ, nhiệt, điện, quang

Hiện nay một bộ phận học sinh bị mai một đi, một số kiến thức Toán học cơ bản; hoặc cũng có một số học sinh chưa biết cách vận dụng Toán học vào trong bài giải Vật lí Mặt khác có một số kiến thức Toán học nâng cao, trong chương trình chính khoá không có, nhưng học sinh giỏi được phép vận dụng để làm bài thi Do đó nếu học sinh được trang

bị lại một cách có hệ thống và nắm chắc cách vận dụng kiến thức Toán vào trong bài tập Vật lí thì tôi tin chắc rằng việc giải các bài tập Vật lí trở nên dễ dàng hơn và như vậy hiệu quả học tập của học sinh sẽ khả quan hơn

Trước đây việc giải bài tập Vật lí, tự thân mỗi người chúng ta đều huy động những kiến thức Vật lí và những kiến thức toán học thích hợp

để giải chứ chưa có ai đi sưu tầm, nghiên cứu, liệt kê xem những kiến thức Toán nào thường được vận dụng vào bài tập Vật lí hay bài tập Vật lí này thì nên dùng những kiến thức Toán nào thì tốt hơn

Qua nhiều năm dạy b i dư ng HS giỏi, tôi đã sưu tầm các bài tập nâng cao, các đề thi HS giỏi, đề thi vào các trường chuyên Sau khi giải, phân tích xem những kiến thức Toán học nào được vận dụng trong bài tập đó

và tìm xem kiến thức Toán nào là điển hình nhất để từ đó phân loại về mặt kiến thức Toán được vận dụng Trong quá trình dạy chúng ta có thể lần lượt đưa ra từng dạng kiến thức Toán học trước, sau đó cung cấp các bài tập Vật lí có áp dụng kiến thức Toán tương ứng để học sinh giải

III T CHỨC TH C HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:

G :

Có một số bài tập Vật lí khi giải, nếu chúng ta không sử dụng một kiến thức toán học nào đó thì có thể dẫn đến bài giải rất dài hoặc có thể không giải được nên t i đã áp dụng các kiến thức toán học vào việc giải một số bài tập vật lí nâng cao, đối tượng áp dụng ban đầu là những học sinh khá giỏi được đi b i dư ng

T i bắt đầu áp dụng giải pháp này từ năm học 2 2 – 2 cho đến nay Sau đây là một số ví dụ vận dụng kiến thức Toán học vào việc giải bài tập Vật lí nâng cao Nó chỉ mang tính chất gợi ý, tham khảo, nhằm giúp học sinh khi bắt gặp các dạng bài tập tương tự thì có thể vận dụng kiến thức toán học thích hợp để giải

-3-

C : a-Vậ ệ t V -et :

a1) Cơ sở toán học để lí luận:

Nếu hai số x1, x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1.x2 = P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

-Hai cách mắc khác nhau chỉ có thể là nối tiếp và song song

-Từ cách mắc nối tiếp ta tính được tổng của hai điện trở, kết hợp với cách mắc song song ta tính được tích của hai điện trở Vận dụng định lí Viet

để tính R1, R2 Giải: Cách mắc nối tiếp có điện trở tư,ơng đương lớn hơn, nên ta suy ra được cường độ dòng điện qua mạch nối tiếp là 0,27A, qua mạch song song là 3A

Điện trở mạch nối tiếp: R1 + R2 =

I

U

= 27 , 0

4 , 5 = 2 Ω

Điện trở mạch song song:

2 1

2 1 R

.R R

R

 = I'

U

= 3

4 , 5 = ,8Ω

R R

2 1 2

) (

R R

R R

(2)

Thay các giá trị bằng số vào (1) và (2), 6 =

2 1

6 36

R

R => R1.R2 = 8

Áp dụng hệ thức Viet ta được phương trình R2 – 6R + 8 = 0

ta phân tích phương tr nh bậc 2 và đưa về dạng phương tr nh tích

(3) (R1-4)*(R1-2) = 0 Giải phương trình ta được : R1 = Ω hoặc R1 = 2Ω Thay R1 vào ( ta được R2 = 2 hoặc R2 = 4

Các nghiệm đều thoả mãn bài toán

n

b2 Bài tập vật lí áp dụng

Một xe mô tô chuyển động xem như thẳng đều từ A đến B với

AB = 40,5(km), xe bắt đầu đi từ A và cứ sau 15 phút chuyển động, xe dừng lại nghỉ 5 phút, cho rằng trong 15 phút đầu tiên xe chuyển động với vận tốc v1 = 3,6(km/h) và các khoảng thời gian chuyển động kế tiếp sau

-5-

-Xác định s1, s2, s3, … sn

- AB = s = s1+s2+s3+…+sn-Thế số và biến đổi để được dạng tổng của n số tự nhiên đầu tiên

-Từ đó tính được số đoạn đường n xe đã đi và bài toán trở nên dễ dàng Giải: Quãng đường xe đi trong 15 phút đầu tiên :

S1 = v1t = 3,6.1/4 = 0,9 km

Do đó v2 = 2v1 = 3,6.2 = 7,2 km/h Quãng đường xe đi với vận tốc v2 (trong 15 phút)

S2 = v2t = 7,2.1/4 = 1,8 km Tương tự V3 = 3v1 = 3.3,6 = 10,8 km/h Quãng đường xe đi với vận tốc v3 (trong 15 phút)

t1 = n.15 = 9.15 = 135 phút Tổng thời gian mô tô nghỉ:

t2 = (n – 1)5 = (9 – 1)5 = 40 phút Vận tốc trung bình của mô tô là:

vtb = s/(t1 + t2) = 40500/10500 = 3,857 m/s

c-Hệ số ó ủa đườ t ẳ :

c1)Cơ sở toán học để lí luận:

-Đ thị hàm số y = ax + b (a ≠ là đường thẳng có hệ số góc tgα = a ( a >0) Cho 2 đường thẳng có hàm số tương ứng là:

y = a1x + b1 và y = a2x + b2

-6-

2 đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a1 = a2; b1  b2

-Liên hệ đ thị chuyển động trong Vật lí:

Trên đường thẳng có hai vật chuyển động thẳng đều Biểu thức quãng đường chuyển động của hai vật là : s1 = v1t và s2 = v2t Nếu hai vật có vận tốc bằng nhau (v1 = v2) và chuyển động cùng chiều thì đ thị chuyển động của hai vật là hai đường thẳng song song với nhau Ngược lại nếu đ thị chuyển động của hai vật là hai đường thẳng song song nhau thì hai vật đó có cùng vận tốc chuyển động thẳng đều

c2)Bài tập áp dụng:

Đoạn đường AB dài 36 km Có ba người đi từ A đến B nhưng chỉ có một

xe đạp nên đi như sau : Ba người xuất phát từ A cùng một lúc Người thứ nhất chở người thứ hai đến điểm C và để người thứ hai tiếp tục đi bộ đến B Người thứ nhất quay lại gặp người thứ ba tại D và chở người thứ ba đến B

Cả ba người đến B cùng một lúc Biết rằng vận tốc đi bộ là 5 km/h và vận tốc đi xe đạp là 15 km/h

a Dùng đ thị biểu diễn chuyển động của ba người để chứng tỏ quãng đường đi bộ của người thứ hai và người thứ ba bằng nhau

b Tính tổng quãng đường mà người thứ nhất đã đi

(III)

D’

E

(I) (II)

-7-

a) Đoạn AD’ biểu diễn chuyển động (đi bộ) của người thứ III

Đoạn C’B’ biểu diễn chuyển động (đi bộ) của người thứ II Do vận tốc đi bộ bằng nhau nên hệ số góc của hai đường thẳng đi qua hai đoạn thẳng trên bằng nhau Suy ra AD’ // C’B’

-Tương tự như trên ta có AC’ // D’B’ suy ra tứ giác AC’B’D’ là hình bình hành, nên AD’ = C’B’ do đó các hình chiếu tương ứng trên trục tung cũng bằng nhau Tức là AD = BC Vậy quãng đường đi bộ của người thứ II và người thứ III bằng nhau

b) Khi người thứ I đến C thì người thứ III đến E, có AC = 3AE (cùng thời gian, vận tốc gấp 3 thì quãng đường gấp 3)

Khi người thứ I quay lại gặp người thứIII tại D, có DC = DE → EC = ED

d1)Cơ sở toán học để lí luận:

Cho các số: a1, a2, a3, …, an Trung bình cộng của n số đó là:

atb =

n

a a

a1 2   n

-8-

Trong Vật lí học, ta thường gặp nhiều biểu thức mà trong đó, đại lượng này được biểu diễn dưới dạng một hàm số, có chứa biến số là một đại lượng kia Việc tính giá trị trung bình của một đại lượng biến thiên có ý nghĩa hết sức quan trọng; bởi vì giá trị trung bình của một đại lượng biến thiên, đựơc xem như độ lớn của đại lượng đó và được dùng để tính toán trong các biểu thức nhằm xác định một đại lượng khác cần tìm

Đối với các biểu thức Vật lí dưới dạng hàm số bậc nhất, biến thiên theo biến số; khi tính giá trị trung bình ta chỉ cần tính trung bình cộng của giá trị đầu tiên và giá trị cuối cùng

d2) Bài tập vận dụng:

Người ta đun 2kg nước trong một ấm điện có công suất 600W, ở nhiệt độ

250C Cho rằng khi đun thì công suất hao phí do trao đổi với bên ngoài biến đổi theo thời gian đun bởi biểu thức: P = 100+t; trong đó t tính bằng giây, P tính bằng Watt; biết nhiệt dung riêng của nước c = 4200J/kgK Tính thời gian đun để nước trong ấm tăng đến 350C Cho rằng thời gian đun không vượt quá 10 phút

là công suất hao phí do trao đổi với bên ngoài

-Công suất hao phí biến thiên theo thời gian nên có thể tính giá trị trung bình của P

Giải:

Nhiệt lượng cần thiết để nước trong ấm tăng từ 25→ 50C

Q = c.m.(t2-t1) = 4200.2.(35-25) = 84000J Công của dòng điện thực hiện trên ấm điện:

là công suất hao phí do trao đổi với bên ngoài Hàm số

P = 100+t biểu diễn công suất hao phí, biến thiên theo thời gian, nên ta tính giá trị trung bình Ptb từ giây thứ 0 đến giây thứ t:

+ Ở giây thứ 0: P0 = 100+t = 100(W) + Ở giây thứ t: Pt = 100+t (W)

Ptb =

2

200 2

2

200 t

.Thế số và biến đổi ta được phương trình bậc 2:

t2-1000t+168000 = 0

Bài 1: Hai xe máy chạy theo hai con đường vuông góc với nhau, cùng tiến

về phía ngã tư giao điểm của hai con đường Xe A chạy từ hướng Đ ng về hướng Tây với vận tốc 50km/h Xe B chạy từ hướng Bắc về hướng Nam với vận tốc 30km/h Lúc 8h sáng xe A và xe B còn cách ngã tư lần lượt là 4,4km

và 4km Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe:

1t  ) + 1,36

10

1 3400

Vậy thời điểm để hai xe cách nhau ngắn nhất là 8h 06phút

b) Vào lúc 8h hai xe cách nhau một đoạn l:

Ta có: l2 = AB2 = OA2 + OB2 = 4,42 + 42 = 35,36 Vậy ta cần tìm t để bình phương khoảng cách giữa hai xe là 35,36km Tức là AB2 = 3400t2 – 680t + 35,36 = 35,36

t

t

12 2 , 0 3400 680 0

Vậy thời điểm để khoảng cách giữa hai xe bằng khoảng cách lúc 8h sáng là: 8h + 12phút = 8h 12phút

a) Tìm giá trị của điện trở R1 b) Tính công suất toả nhiệt lớn nhất trên biến trở Biết rằng mạch điện được mắc vào hiệu điện thế U không đổi

-11-

Nhận xét:

Biểu diễn công suất toả nhiệt trên Rx dưới dạng : Px = RxI2 Biến đổi để tử thức là hằng số, mẫu thức là một tổng có chứa biến số Tích giữa hai số hạng có chứa biến số là một hằng số thì áp dụng được bất đẳng thức Côsi

Giải hệ phương trình trên ta được: R1 = Ω ; U = 5V

b) Gọi Rx là phần điện trở của biến trở từ A đến C, thì công suất toả nhiệt trên phần đó là:

Px = RxI2 = Rx

1

2 1 2

1 2 2 1

2

2 1 2

2

2

R R R R U

R

R R R

R

U R

R U

x x x

x x

R

R

x x x

2R

R R

R

x x

g Một số ấ đề ề lý t uyết:

g1) Khái niệm về biến trở:

-12-

Biến trở là điện trở có thể thay đổi được trị số và có thể được sử dụng để điều chỉnh cường độ dòng điện trong mạch

Biến trở có thể mắc nối tiếp, mắc song song hoặc mắc hỗn hợp với các thiết bị trong mạch điện

Có nhiều loại biến trở như biến trở con chạy, biến trở than hay biến trở

có tay quay

Biến trở là dụng cụ có nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống và kĩ thuật như biến trở hộp trong các thiết bị điện đài, ti vi,

g2) Cách mắc biến trở vào mạch điện + Biến trở được mắc nối tiếp : A C B R

+ Biến trở được mắc vừa nối tiếp vừa song song C A C

A B

C B

+ Biến trở được mắc vào mạch cầu: R1 R 2

A C B

h Một số ạ bà tậ ề ạ đ ệ ó b ế trở à

Dạng 1: Biến trở được mắc nối tiếp với phụ tải Ví dụ 1: ( Bài 2 sgk vật lí 9 trang 2

Một bóng đèn khi sáng b nh thường

có điện trở là R1 = 7,5  và cường độ dòng điện chạy ua khi đó I = ,6 A Bóng đèn được mắc nối tiếp với biến trở và .  M N N M Đ Đ N M M N D

Đ

B

U

A

C

-13-

chúng được mắc vào hiệu điện thế U = 2 V Phải điều chỉnh con chạy C

để RAC có giá trị R2 = ?để đèn sáng b nh thường?

Hướng dẫn Khi đèn sáng b nh thường => Iđ = 0,6 A => Itm = ,6 A (v mạch nt

Để đèn sáng b nh thường  Iđ = 0,6A Vì Đ nối tiếp với RAC => I tm = 0,6 A

Áp dụng định luật m cho mạch nối tiếp ta có

Ví dụ 2: Cho mạch điện (như h nh vẽ

có UAB = 12 V, khi dịch chuyển con M R1 A c B N chạy C th số chỉ của am pe kế thay đổi từ ,2 A đến , A Hãy tính giá trị R1

và giá trị lớn nhất của biến trở ?

Hướng dẫn Khi C dịch chuyển => số đo của ampe kế thay đổi từ ,2 A đến , A nghĩa là

gì?

+) Khi C trùng A => RAC = 0 => RMN = R1 (nhỏ nhất => I = , A là giá trị

lớn nhất Lúc đó Rtđ = R1 Biết I & U ta tính được R1

Ngược lại

+ Khi c trùng với B I = ,2 A là giá trị nhỏ nhất

=> Rtđ = R1 + Ro vậy biết U , R1 và I ta sẽ tính được Ro là điện trở lớn nhất

của biến trở

A

2 Tính điện trở lớn nhất của biến trở:

Khi C trùng với B => Rtđ = R1 + Ro có giá trị lớn nhất => I đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 3 : Cho mạch điện ( như h nh vẽ M R A C B N

Khi con chạy C ở vị trí A th v n kế chỉ 2 V Rx khi con chạy C ở vị trí B th v n kế chỉ 7,2 V

Tính giá trị điện trở R (Biết trên biến trở có ghi 2  - 1 A )

Hướng dẫn:

Tương tự như VD2 khi c trùng với A => v n kế chỉ giá trị lớn nhất nghĩa là chỉ

UMN và khi đó Rtđ chỉ còn là R (RAC = Khi C trùng với B => RAC bằng số ghi trên biến trở => HS dễ dàng giải được bài toán

AC AC

U R I

V

-15-

B

C

Trên đây là một số ví dụ tiêu biểu cho dạng mạch điện có biến trở mắc nối

tiếp với phụ tải Song để thành thạo loại bài tập này HS cần phải rút ra cho

mình một vài kinh nghiệm sau:

1 - R tđ = R tải + R x trong đó R x là phần điện trở tham gia của biến trở

2 - I Rx là cường độ dòng điện trong mạch chính và U Rx = U tm - U tải

3 - Khi C trùng với điểm đầu lúc đó R x = 0 & R tđ = R tải (là giá trị nhỏ nhất của điện trở toàn mạch ) và khi đó I đạt giá trị lớn nhất ( vì U MN không đổi )

4 - Ngược lại khi C trùng với điểm cuối lúc đó R tđ = R tải + R x ( là giá trị lớn

nhất của R tđ ) và khi đó I đạt giá trị nhỏ nhất ( vì U MN không đổi )

Dạng 2: Biến trở được mắc vừa nối tiếp, vừa song song

Với loại bài tập này biến trở được dùng như một điện trở biến đổi, ta phải sử

dụng bất đẳng thức ( 0 R x R o)trong đó Ro là điện trở toàn phần của biến trở

Và HS phải biết vẽ lại mạch điện để dễ dàng sử dụng định luât m trong mạch

nối tiếp cũng như mạch song song

Ví dụ 4: (Bài 11.4 b SBT L9)

Cho mạch điện (như h nh vẽ , đèn sáng b nh thường Đ

Uđm = 6 V và Iđm = 0,75A Đèn được mắc với biến trở

Có điện trở lớn nhất băng 6  và UMN kh ng đổi băng 2V

Tính R1 của biến trở để đèn sáng b nh thường?

Hướng dẫn + Trước hết HS phải vẽ lại được mạch điện & khi đó (Đ// RAC) nt RCB