toanmath com áp dụng kỹ thuật hệ số bất định giải bất đẳng thức vũ hoàng vs bá cẩn

có kiến thức sơ bộ về bất đẳng thức giúp học sinh hiểu và nắm các dạng cũng như các phương pháp giải bất đẳng thức côsi ,tài liệu phổ thông ,toán học phục vụ nhu cầu học tập,nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Có bao nhiêu đi u bí n mà b n ch a bi t đ n ?! Câu tr l i là r t r t nhi u và đôi khi b n

c m th y b c b i, khó chu khi không th tìm ra m t l i gi i thích th a đáng cho bí n nào đó Nh ng b n hãy quan ni m r ng đ ng sau b t kì m t đi u gì luôn hàm ch a m t ý ngha nh t đ nh Và c ng không ph i ng u nhiên mà s lí gi i l i đ c hình thành Trong

th gi i b t đ ng th c c ng v y ôi khi b n không th hi u đ c t i sao ng i ta l i có

th tìm ra m t l i gi i trông có v “kì c c” nh th !!! Ph i ch ng là l n mò và may r i

l m m i tìm ra đ c ?

Câu tr l i l i m t l n n a đ c nh c l i: m i l i gi i đ u có s gi i thích c a riêng b n thân nó Vi c tìm ra l i gi i đó ph i đi qua m t quá trình l p lu n, th , sai và đ́ng Trong chuyên đ nho nh này ch́ng tôi mu n gi i thi u đ n các b n m t k thu t c b n nh ng không ḱm ph n hi u qu trong vi c ch ng minh m t s d ng c a b t đ ng th c Nó không giúp ta gi i quy t t t c các bài toán mà ch gíp ta tìm ra nh ng l i gi i ng n g n

và n t ng trong m t l p bài toán nào đó M t s bài toán tuy d đ i v i ph ng pháp này nh ng l i là khó đ i v i k thu t kia ây c ng là đi u hi n nhiên và d hi u

M c l c

 Ph n 1 Bài toán m đ u

 Ph n 2 Kh i đ u cùng m t s bài toán c b n

 Ph n 3 K thu t chu n hóa và U.C.T

 Ph n 4 U.C.T và k thu t phân tách các tr ng h p

 Ph n 5 K t h p b t đ ng th c Vornicu Schur v i U.C.T

UCT

WWW.TOANMATH.COM

2

2 2

ch ng là d đoán m t cách “vô h ng” Ho c c ng có ng i s ngh bài toán trên đ c

t o ra t chính b t đ ng th c ph đó Câu tr l i là hoàn toàn không ph i T t c đ u đi theo 1 qui lu t c a nó các ph n ti p theo ch́ng tôi s phân tích v m t k thu t phân tích gíp tìm ra các b t đ ng th c ph và m r ng v n đ này theo chi u h ng khá m i

m K thu t này có tên là U.C.T, là vi t t t c a 3 ch cái đ u c a c m t ti ng Anh Undefined Coefficient Technique Hay còn g i là K Thu t H s b t đ nh ây là m t k

thu t c b n và là n n t ng quan tr ng trên con đ ng tìm ki m l i gi i cho nh ng b t

đ ng th c khó

Ph n 2 Kh i đ u c̀ng m t s bài toán c b n

Ch́ng ta s kh i đ u k thu t này b ng vi c đ a ra cách gi i thích cho vi c tìm ra b t

đ ng th c ph trên và nó c ng chính là cách gi i thích cho các bài toán sau này c a ch́ng ta

Bài toán trên các bi n trong c 2 v và đi u ki n đ u không ràng bu c nhau đi u này khi n ta ngh ngay s tách theo t ng bi n đ ch ng minh đ c đ n gi n h n n u có th

Nh ng r̃ ràng ta ch t ng đó thôi là không đ N u ta ch ng minh b t đ ng th c sau

03

)32)(

1)(

1(3

53

21

2

2 2

a

aa

aa

a

Rõ ràng không hoàn toàn đ́ng v i a th c d ng

ng b cu c t i đây b i vì cách trên ta ch a s d ng đi u ki n a b c   3

Nh v y ta s không đi theo đ ng l i suy ngh đ n gi n ban đ u n a mà s đi tìm h s

đ b t đ ng th c sau là đ́ng

nmaa

a    

3

53

53)(

3

53

22211

2 2

cb

a             

Nh v y đây 2 h s m và n ph i th a mãn đi u ki n mn0nm Th vào (1)

d n đ n

)1(3

53

)32)(

1()1()1(3

53

21

2

2 2

aa

ma

a

Khi cho a thì ta có 1

3

23

)32)(

1(

aa

(a1) trong bi u th c T đó ta s ch ng minh b t đ ng

th c ph

2 2

h u hi u và đ n gi n v m t tr c quan c ng nh th c hi n Tuy nhiên t t c c ng ch là

s d đoán Nó không đ m b o r ng sau khi tìm ra b t đ ng th c ph r i thì bài toán s

đ c gi i quy t M t s d ng toán nh v y s đ c đ c p trong các ph n ti p theo c a chuyên đ này ph n 1 này ch́ng ta s ch ng minh m t s b t đ ng th c c b n đ hình thành trong đ u k thu t qua đó thành th c trong vi c phân tích Ta ti p t c đ n v i bài toán sau

Bài toán 1 [Vasile Cirtoaje]

Cho a b c d, , , là các s th c d ng th a mãn a b c d   4 Ch ng minh r ng

21

11

11

11

1

2 2

Ch ng minh Ta s xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau là đ́ng

01

1)

1()1(1

)1)(

1()1(11

2

2 2

ama

aaa

ma

)1(2

1

2

2 2

T ng t v i các bi n còn l i C ng v theo v ta có đi u ph i ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi a    b c d 1

Nh n x́t

Ta có th s d ng k thu t “Côsi ng c d u” đ tìm ra b t đ ng th c ph trên

12

11

11

1

2 2

aa

aa

11

2 2

Ch ng minh đây ta c n tìm m đ b t đ ng th c d i là đ́ng

)1()3(

3

)1()

1(3

13

11

2 2

ma

acba

3

)()1(0)3(

3

)3()1(099

43

1

2 2

2 2

aa

aa

aa

Bài toán 3 [Nguy n Th́c V Hoàng]

Cho a b c d, , , là các s th c không âm th a a2 b2 c2 d2 4 Ch ng minh r ng

dcbdbc

a d

a c

a bd

cb

a      2     

2

32)(

2

32)(

2 a3 b3 c3 d3   abcd

Ta c n xác đ nh h s m đ b t đ ng th c sau đ́ng

)1(2

)1()12()1(2

132

2

3  a m a  a a m aa

)1(92

13

2a3  a  a  a 2 a 

i u này hi n nhiên đ́ng ng th c x y ra khi và ch khi a     b c d 1

Nh n x́t Bài toán này v i hình th c khá “c ng k nh” vì ch a c n th c Tuy nhiên n u

nh n ra đi m m u ch t c a bài toán ta d dàng đ a v đ n l ng theo bi n đ gi i quy t Bài toán trên còn có th gi i quy t theo cách khác b ng cách ch ng minh tr c ti p v i 4

bi n Nh ng dù sao vi c gi i quy t theo t ng bi n riêng bi t v n d dàng h n r t nhi u Bài toán 4

Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn a3 b3 c3 3 Ch ng minh r ng

27)(

5111

Ch ng minh

Ta c n tìm h s m sao cho

)1)(

1()455)(

1()1(95

ama

()1(2

75

4 2   3   2  2   

a

aaa

aa

na

an

53(8

)1)(

35()1(8

15

i

i

ama

aaa

ma

)1)(

5(032

)1(8

15

i

i

a

aaa

aa

i u này hi n nhiên đ́ng ng th c x y ra khi và ch khi các bi n b ng nhau và b ng 1

Nh n x́t Qua các bài toán trên ta có th th y r ng b t đ ng th c không h quan tâm đ n

s bi n Ta hoàn toàn có th t ng quát v i n bi n mà không làm nh h ng đ n cách gi i

ây là m t đi m th́ v c a U.C.T

M t cách t ng quát ta đ a ra cách gi i quy t cho l p bài toán có d ng sau

Bài toán t ng quát

Cho các s th c không âm a a1, 2, ,an th a mãn

L p bài toán này có th đ c gi i quy t b ng cách phân tách đ ch ng minh theo t ng

bi n Vì các bi u th c mang tính đ i x ng v i nhau nên th ng thì đi m c c tr đ t đ c

t i các bi n b ng nhau Ta s ph i xác đ nh h s m sao cho

)()

(ai m h ai

́ng v i m i bi n th a mãn đi u ki n đ t ra V i cách gi i này ta s gi i quy t đ c m t

l ng l n các b t đ ng th c mà các bi n không ràng bu c l n nhau m t cách “m t thi t”

2 ( )i ( )i ( )i k ( )i 0

f a   m h a  g a p a Trong đó g(ai)(ai xk) v i xk là đi m c c tr c a b t đ ng th c

Bài toán s đ c gi i quy t n u p a ( )i  0 Trong tr ng h p p a ( )i  0 ch đ́ng trong m t

mi n nghi m nào đó thì ta s ti n hành chia tr ng h p đ gi i quy t bài toán Tuy nhiên trong ph n 1 này ta s không đ c p đ n nh ng bài toán nh v y mà s đ c p ph n sau

Sau khi đã tìm ra b t đ ng th c ph V i nhi u công c nh đ o hàm, kh o sát hàm s hay đ n gi n ch là phân tích nhân t ta đ u có th gi i quy t không quá khó kh n Trong phép ch ng minh cho các b t đ ng th c ph trên ta bi n đ i và qui v vi c phân tích nhân t c a đa th c 1 2

Qua m t vài ví d nho nh h n ph n nào các b n đã hi u đ c U.C.T các ph n ti p

theo vi c xác đ nh h s s đ c trình bày m t cách s l c b i vì nh ng bài toán đó

mang tính ph c t p nhi u h n mà U.C.T ch đ n thu n là b c đ m đ đi đ n l i gi i ch

không th đ a ta cách ch ng minh tr c ti p

Ph n 3 K thu t chu n h́a và U.C.T

Bây gi ch́ng ta s b c sang m t kho ng không gian m i v i l p b t đ ng th c thu n

nh t đ i x ng ba bi n và k thu t chu n hóa k t h p v i U.C.T

a th c f a b c( , , ) đ i x ng đ nh ngha d i d ng: / / / /

( , , ) ( , , )

f a b c  f a b c trong đó / / /

( ,a b c, ) là m t hoán v tùy ý c a ( , , )a b c Hay nói cách khác là

),,(),,(),,(a b c f b c a f c a b

Tính thu n nh t c a m t đa th c đ i x ng ba bi n trên mi n D có ngha là

),,()

,,(ka kb kc k f a b c

f  n v i m i k a b c, , , D n, const ch ph thu c vào hàm

( , , )

f a b c Hi u m t cách đ n gi n đa th c thu n nh t n u nó là t ng c a các đ n th c

đ ng b c Do m t s tính ch t c a hàm thu n nh t ta có th chu n hóa đi u ki n c a bi n

đ đ n gi n hóa vi c ch ng minh Ta có th chu n hóa m t đa th c thu n nh t đ i x ng

ba bi n b ng cách đ t an bn cn k,abc p,abbcca r, ây là k thu t r t quan tr ng gíp ta đ n gi n hóa và qui b t đ ng th c v ch ng minh theo t ng bi n Hãy cùng đ n v i m t s b t đ ng th c thu n nh t đ i x ng ba bi n đ th y công d ng c a

U.C.T

Bài toán 6 [B t đ ng th c Nesbit]

Cho a b c, , là các s th c không âm Ch ng minh r ng

32

a b c

b cc a a b

  

Ch ng minh Không m t tính t ng quát chu n hóa a b c   3

Bài toán qui v vi c ch ng minh

2 2

2

2 2

2

2 2

2

)(

)(

3)(2

)(

)(2

)(

)(2

)(

cba

cbaa

bc

cbac

ab

bcac

ba

acb

2 2

2 2

2

32

)23(232

)23(232

)23(2

cbac

c

cb

b

ba

2

)23(

a

a

Ta l i có

32

)64)(

3)(

1(3

2

)23(2

2

2 2

aaaaa

aa

(

)()

(

)()

(

)(

2 2 2

2 2

bacb

ac

acba

cb

cba

Ch ng minh Không m t tính t ng quát, chu n hóa a b c  3 Ta có b t đ ng th c c n

ch ng minh t ng đ ng v i

5

6269

)3(2

69

)3(2

69

)3(

2 2

ccb

b

bba

a

aa

i u này hi n nhiên đ́ng ng th c x y ra khi và ch khi a   b c

Nh n x́t Có th th y r ng hai l i gi i cho các bài toán m đ u ph n 2 r t đ n gi n và

ng n g n ây c ng có th xem là m t k thu t chính th ng Gíp ta gi i quy t m t s bài toán “cùng lo i” và đã r t quen thu c sau

Bài toán 9 [Darij Grinberg, Old and New Inequalities]

Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng

9( ) ( ) ( ) 4( )

Ch ng minh Không m t tính t ng quát, chu n hóa a b c  1 Khi đó ta có b t đ ng

i u này hi n nhiên đ́ng ng th c x y ra khi và ch khi a   b c

Ph n 4 U.C.T và k thu t phân tách các tr ng h p

các ph n trên ta đã làm quen v i m t s bài toán khi đ a v d ng

2( )i ( )i ( )i k ( )i 0

f a  m h a g a p a Thì có ngay đi u ph i ch ng minh Tuy nhiên không ph i bao gi nó c ng xu t hi n ( )i 0

p a  Trong tr ng h p ( ) 0p ai  ch đ́ng v i m t mi n nghi m nào đó thì vi c

ch ng minh s ph i đi qua m t chi u h ng khác, đó là x́t thêm tr ng h p bi n aingoài mi n xác đ nh đ ( ) 0p ai  Th ng thì b c này ph c t p và đòi h i ng i làm

ph i có nh ng đánh giá mang s tinh t nhi u h n Ch́ng ta s đ n v i m t s bài toán tiêu bi u cho k thu t này

Do f a( ) đ ng bi n trên (0,3] nên đi u này hi n nhiên đ́ng

V y bài toán đ c ch ng minh ng th c x y ra khi và ch khi ba bi n b ng nhau

Bài toán 13 [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method]

06(2 2 3)

Không m t tính t ng quát gi s x    y z x 1 z X́t hai tr ng h p

2 3

1 3 2(2 2 3) 5( 1) 2 3 2 2

V y bài toán đ c gi i quy t hoàn toàn ng th c x y ra khi và ch khi a    b c 1

Nh n x́t ây là m t k t qu “m nh h n” cho bài toán 3 trong kì thi IMO 2005 c a tác

gi Vasile Cirtoaje Bài toán g c ban đ u là v i đi u ki n abc  1 i u ki n c a bài toán trên ch t h n vì theo b t đ ng th c AM-GM ta có

3 3 ( ) 3 1

a b c   abc  abc

Ch́ng ta hãy đ n v i l i gi i c a chính tác gi bài toán trên, đ c trích t quy n

“Algebraic Inequalities, Old and New Method”

Ta qui v vi c ch ng minh bài toán sau:

Nh v y bài toán đ c gi i quy t ng th c x y ra khi và ch khi a b c   1

L i gi i c a tác gi Vasile Cirtoaje ngay t đ u c ng đã s d ng U.C.T nh ng nó l i đ a

ta đ n cách x́t tr ng h p khá l vì ph i so sánh bi n v i 2 ây là m t bài toán đ p

2 2(x1) (x   x 1) 0 (đúng)

Ph n 5 K t h p b t đ ng th c Vornicu Schur v i U.C.T

Trong ph n này chúng tôi s gi i thi u đ n các b n vi c k t h p U.C.T v i b t đ ng th c

Vornicu Schur Có th nói r ng khi ta k t h p nhu n nhuy n hai k thu t trên thì s nh n

ph ng pháp S.O.S và b t đ ng th c Vornicu Schur là r t m t thi t Tuy nhiên trong bài

vi t này không đ c p đ n v n đ này mà ch́ng ta s xem x́t d ng 2 trên Vì tính ng

d ng c a nó trong U.C.T là nhi u h n và nó c ng là m t s k t h p mang nhi u ý ngha

l i gi i n u không ch n đ́ng đ ng đi

Bài toán 18 [Vasile Cirtoaje]

Cho a b c, , là các s th c không âm th a mãn a b c   Ch ng minh r ng 3

Theo đ nh lí 1 ta có đi u ph i ch ng minh ng th c x y ra khi và ch khi a    b c 1

c n ch́ ý m t đi u là đ ng th c c a bài toán này x y ra t i hai đi m c c tr vì v y không

th áp d ng m i U.C.T vì d ng phát bi u c a k thu t này s cho ta duy nh t m t đi m

c c tr c n tìm Nh v y vi c k t h p gi a U.C.T và b t đ ng th c Vornicu Schur không

đ n thu n là gi i quy t bài toán m t cách đ p m t mà còn h ng ta đ n vi c gi i quy t

tr ng h p đ ng th c x y ra khi có hai bi n b ng nhau và khác bi n còn l i

Bài toán 19 [Nguy n Th́c V Hoàng]

Nh n x́t L i m t bài toán đ n gi n nh ng đi u th́ v bài toán này là đ ng th c đ t

đ c t i 2 đi m N u nh gi i m t cách thông th ng b ng U.C.T thì không th gi i

quy t bài toán m t cách tri t đ và m t l n n a b t đ ng th c Vornicu Schur l i phát huy tác d ng c a nó

Bài toán 20 [Vasile Cirtoaje, Romania TST 2006]

2 2 2

Theo đ nh lí 1 ta có đi u ph i ch ng minh ng th c x y ra khi và ch khi a    b c 1

Nh n x́t bài toán này ch́ng ta v n có th chia tr ng h p đ gi i quy t D i đây là

l i gi i c a tác gi bài toán Vasile Cirtoaje

Sau khi đã đ a bài toán v d ng

2

( 1) (1 2 )

0cyc

a

Không m t tính t ng quát gi s r ng a   b c khi đó áp d ng đ nh lí v d u c a tam

th c b c 2 ta chia nh bài toán thành hai tr ng h p

+ Tr ng h p 1 a 1 2    c b a 1 2t đó d n đ n

1 2 aa 0,1 2 b b 0,1 2 c c 0+ Tr ng h p 2 1 2 3 2 2 2

Bài toán đ c gi i quy t ng th c x y ra khi và ch khi a    b c 1

Còn nhi u l i gi i b ng các k thu t khác cho b t đ ng th c trên Tuy nhiên khuôn kh chuyên đ có h n nên xin không nêu ra đây

Ph n 6 M t d ng bi u di n thú v

đây ch́ng tôi mu n nói đ n d ng bi u di n theo t ng c a 1 ây là m t t t ng tuy

đ n gi n nh ng s gíp ta tìm ra nhi u l i gi i n t ng Bây gi ta hãy ch́ ý đ n đ ng

ng th c t ng ch ng nh là m t đi u hi n nhiên, không mang nhi u ý ngha nh ng

l i có vai trò khá quan tr ng trong vi c ch ng minh m t l p b t đ ng th c mà ch́ng tôi

s nêu ra d i đây ph n này k thu t xác đ nh h s không còn có th th c hi n nh

f x 

nh lí Roll Gi s f :[ , ]a b  liên t c và kh vi trong ( , )a b N u f a( ) f b( ) thì

t n t i x0( , )a b sao cho /

0( ) 0

c n xác đ nh h s k sao cho

28