Phương pháp giải toán hình học không gian theo chủ đề trần minh quang

Định lí : Nếu một đường thẳng qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.. Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau T

D6 £3016

PH S61 P

, TRAN MINH QUANG

(Giáo uiên chuyên Toán - Trung tâm luyện thì Vĩnh Viễn

TP Hô Chí Minh)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TUÁN

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

THEO CHỦ ĐỀ Dành cho học sinh II - 12

Và luyện thi Dai hoc

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NHA XUAT BAN BAI HOC QUOC GIA HA NOI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng — Ha Noi

Điện thoại: Biên tập ~ Chế bản: (04) 39714896

Hành chính: (04) 39714899; Tổng Biên tập: (04)39715011;

Fax: (04) 39729436

tks

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc - Tổng biên tập: 'TS PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: LAN HƯƠNG

Sửa bài: THÁI VĂN

Trình bày bìa: THAI HOC

Đối tác liên kết xuất bản:

Quyết định xuất bản số: 377LK - TN/0Đ - NXBĐH0GHN ngày 27/6/2014 #

In xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2014

LOI NOI DAU

Qui doc gid than mén!

Theo chương trình Phân ban của Bộ Giáo dục và Đào tạo, từ năm 2009 để thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, bài toán hình học không gian là bài bắt buộc Đề toán chủ yếu ở phần tính thể tích các khối đa diện và khối tròn xoay Điều rất cần thiết để làm được các bài toán này là học sinh phải nắm vững các dang toán quan hệ song song, vuông góc của lớp 11

Hình học không gian là một dạng toán khó, là nỗi ám ảnh của nhiễu học sinh THPT trước các kì thi Chúng tôi biên soạn cuốn sách

này nhằm giúp các em giảm tải được khó khăn khi làm toán Hình học không gian Cuốn sách được trình bày dưới dang 27 chi để toán hình không gian Các chủ để đầu nhằm giúp học sinh nắm vững các dạng

toán cơ bản ở lớp 11: tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,

góc phẳng nhị diện, nhằm để trích dẫn học sinh 12 có thể giải quyết các bài toán thể tích một cách dễ dàng

Chúng tôi dẫn dắt các bài tập đã có trong các để thi tốt nghiệp THPT, đề thi chính thức và dự bị tuyển sinh vào Đại học nhiều năm

qua, để các bạn học sinh có thể chuẩn bị kĩ hơn cho kì thi tốt nghiệp,

tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới

Mặc dù đã rất cố gắng biên soạn trong lần tái bản này, song cuốn sách có thể còn một số sai sót, rất mong bạn đọc góp ý thêm để cuốn sách được hoàn thiện hơn cho lần tái bản sau

Xin chân thành cảm ơn quí đọc giả

TP Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Phương phâp giải toán hình không gian theo chủ để 723 3

Chi dé 1 ,

TIM GIAO TUYEN CUA HAI MAT PHANG CAT NHAU

1 Tiên để

4ø) Có một oà chỉ một đường thằng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

b) Có một uà chỉ một mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

cho trước

e) Tôn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

d) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chưng thì chúng có

một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả điểm chung của

hai mặt phẳng đó

2 Định lí : Nếu một đường thẳng qua hai điểm phân biệt của một

mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt

phẳng đó

3 Một mặt phẳng được xác định nếu :

a) Quø ba điểm không thằng hàng

b)_ Qua một đường thẳng oà một điểm không thuộc đường thẳng đó e)_ Qua hai đường thẳng cắt nhau

4 Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau

Ta đi tìm hơi điểm A, B đồng thời nằm trên hai mặt phẳng đã cho Giao tuyến cần tìm là đường thẳng AB

BTI Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm AC và BC Lấy K trên

cạnh BD sao cho KD < KB Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với mp (ACD) và mp (ABD)

a) Trén mp (BCD) do KD < KB nén JK

cắt CD tại M

Ta có:I e AC => le mp (ACD)

MeCD >Me mp(ACD)

Mặt khác, hiển nhiên I va M © mp (IJK)

Vậy mp (IJK) 4 mp (ACD) = IM

BT2 Cho tứ diện ABCD Gọi M va N lan lugt 1a hai diém bén trong của

AABD và AACD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA)

b) Lấy I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD)

a) 'Ta có : M e (MBC)

M e AD nên M ec (NDA)

N « (NDA)

N e BC nên N e (MBC)

Vay MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA)

b) Trong mp (ABD) gọi K là giao điểm A

He MC = He (MBC) Vay HK = (MBC) (JD) M

6 7Ý Trần Minh Quang

BT4 Cho hình chóp 8.ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối không

song song Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD Tìm giao

tuyến của hai mặt phẳng :

JeCD =Jcmp(SCD)

Vậy giao tuyến của hai mp (ABM) và mp

|BT5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hanh Goi M, N

lần lượt là trung điểm SB và SD Lấy P trên cạnh SC mà SP > PC

Tìm giao tuyến của mp (MNP) lân lượt với các mặt phẳng (SAC),

(SAB), (SAD) va (ABCD)

* Trên mp (SBD), goi {I} = MN 7 SO

Ma SOc mp (SAC) nén I < mp (SAC)

Vậy PI = mp (MNP) 4 mp (SAC)

* Trên mp (SAC), goi (J) = PLO SA

Phương pháp giải toán hinh khOng gian theo chi a6 3 7

BT6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) va (SCD)

BT7 Cho hình chóp 8.ABCD có đáy là hình thang AB // CD Lay M trén

cạnh 8C, Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a) (SAC) và (SBD) b) (SAD) va (SBO)

c) (ADM) va (SBC)

a) Trong mp(ABCD) goi O 1a giao diém AC va BD s

Hiển nhiên § c (SAC) ¬ (SBD)

Ta có: O 6 AC = O < (SAC)

O ¢ BD > 0 < (SBD)

Vay SO = (SAC) 4 (SBD)

b) Trong mp(ABCD) goi I 1a giao diém AD va BC

Hiển nhiên: S e (SAD) 9 (SBC)

Ta có: I c AD = 1 < (SAD)

Ic (BC) = Te (SBC)

Vay SI = (SAD) 4 (SBC)

811 Trdn Minh Quang

e) Hiển nhiên: M e (ADM) (SBC)

Ta có: LỄ AD => I © (ADM)

1e BC =1 (SBC) Vay IM = (ADM) 4 (SBC) =

BT8 Cho tứ diện ABCD Lấy O là điểm bên trong ABCD, M trên AO

a) Tìm giao tuyến của mp(MCD) với mp(ABO); mp(ABC) và mp(ABD) b) Lấy I trên BC, J trên BD Tìm giao tuyến của (IJM) va (ACD)

a) e Trong mp(BCD) gọi H là giao điểm OB và CD

Vay MH = (ABO) 4 (MCD)

+ Trong mp(ABO) goi N 1a giao diém HM va AB

Hiển nhiên Ơ e (MCD) ¬ (ABC)

NeAB >N c (ABC) Vay CN = (MCD) 4 (ABC)

° Dé dang thay ND = (MCD) ¬ (ABD)

b) s Trong mp(BCP) gọi K 1a giao

Vay K < (MIJ) 4 (ACD) (1) 1

* Goi R la giao diém IJ va OB thì

Tix (1) va (2) => KQ = (MIJ) 4 (ACD) =

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để F1j 9.

Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N là trung điểm AC

và BC Trên BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MKN) và (ABD)

Cho hình chép S.ABCD có AB và CD cất nhau Lấy A' là điểm nằm giữa

§ và A Tìm giao tuyến của mặt phẳng (A'CD) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), SBC), (SCD), (SDA)

Cho tit dign ABCD Lay O 1a diém bén trong ACBD, M trén AO Lay I,

J trén BC va BD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(MCD) và (ABD) b) (IJM) va (ACD)

Cho tf dign ABCD Goi I, K 1a trung diém của AD và BC Lấy M, N trén đoạn AB, AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(IBC) va (KAD) b) (BC) va (DMN)

Trong mặt phẳng (œ) cho hai đường thẳng dị, d; cắt nhau tại O, A là

đường thẳng cắt (œ) tại I khác O

Xác định giao tuyến của mặt phẳng (O, A) va (a)

Lấy điểm M di động trên A Tìm giao tuyến của mặt phẳng (A, dị) và (M, d;) Chứng minh giao tuyến này nằm trong mặt phẳng cố định

Cho tứ diện ABCD Lấy hai điểm M, N trên SB, SC sao cho MN khong song song với BC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(AMN) và (ABC) b) (ABN) và (ACM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với AB là đáy lớn Lấy

M trên đoạn 8D Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(MBC) va (SAC) b) (MBC) va (SAD)

10 ï 1 Trần Minh Quang.

Chit dé 2 «

TÌM GIAO DIEM CUA DUONG THANG d VA MAT PHANG (a)

Phuong phap

~ Tìm mặt phẳng (Ø chứa d

~ Xác định giao tuyến c của hai mặt

phẳng (a) oà (Ø) theo chủ dé 1

~ Tìm giao điểm A cảu d nà e thì A Á

chính là giao điểm của d va mp (a

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm BC, BD và (OMN)

a) Trong mp(ACD) gọi I là giao điểm NM và CD

Hién nhién OI = (OMN) 4 (BCD)

b) Trong mp(BCD) goi H, K la giao

a) Xét mặt phẳng phụ (SAC) chứa AM

Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm

a) Tìm giao điểm I của AM va mp (SBD) Chiing minh IA = 21M

b) Tim giao diém F cia SD va mp (ABM) Chimg minh F 1a trung diém

SD

c)_ Lay N tay y trén cạnh AB Tìm giao điểm của MN va mp (SBD)

a) Goi O la tam hinh binh hanh ABCD

Trong mặt phẳng (SAC), AM cắt SO tai I thi I là giao điểm của AM và

mp (SBD)

Do [ là trọng tâm ASAC nén IA = 2M ’

12.04 Trần Minh Quang

b) Xét'mp (SBD) chifa SD thi BI là giao tuyén cilia mp (SBD) va mp (ABM) Trong mp (SBD), BI cắt SD tại F thi Ậ

(Fl = SD ¬ mp (ABM)

Do I cũng là trọng tâm ASBD nên F é M

là trung điểm SD

e) Xét mp (MAB) chứa MN thì BI là giao

tuyến của mp (MAB) và mp (SBD) C

Trong mặt phẳng (MAB), MN cắt BI

tại J thì J là giao điểm của MN và mp

(SBD)m A NB

BT6 Cho tứ diện ABCD Goi M, N lan lugt 1a trung diém của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD

a) Tìm giao điểm của CD và mặt phẳng (MNK)

b) ‘Tim giao tuyén hai mat phang (MNK) va (ABD)

a) Tìm giao điểm E của CD và mp (IJK)

b) Tìm giao điểm F của AD và mp (IJK)

e) Lấy M,N trên AB, CD Tìm giao điểm cia MN va mp (IJK)

a) Trong mp (BCD) gọi E là giao điểm của CD va KJ thi E = CD ¬ (IJK) b) Trong mp (ACD) gọi F là giao điểm của EI và AD

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để 73j 13.

BT8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB Lấy I, Y, K

lan lượt trên SA, AB, BC Tìm giao điểm của:

Trong mp(ABCD) gọi Q là giao điểm

YK và AD thi IQ = (SAD) 9 (IYK)

Trong mp(SAD) gọi M là giao điểm

BT9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi

M là trung điểm SB, G là trọng tâm ASAD

a) Tìm giao điểm I của MG và mp (ABCD) Chitng minh IC = 2ID

b) Tìm giao điểm J của AD va mp (OMG) Tinh ti sé mm

e) Tìm giao điểm K của SA va mp (OMG)

| Mà giao tuyến của mp (MN, CD) va mp (ABCD) là CD nên I e CD

Do HD là đường trung bình của AIBC nên IC = 21D

b) Xét mp (ABCD) chứa AD, <

Ta có OI là giao tuyến của mp (OMG) và mp (ABCD)

'TTrên mp (ABCD), OI c&t AD tai J thi J là giao điểm của AD và mp (OMG) AAIC có IO và AD là hai đường trung tuyến nên J là trọng tâm AAIC

JA

e) Xét mp (SDA) chứa 8A thì GJ là giao

Trong mp (8AD), GJ cắt SA tại K thì

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để 3) 15

Tim giao tuyén ctia (IMN) va (BCD)

Tìm giao điểm của BC và BD với (CMN)

Cho hình chóp S.ABCD Lay điểm M trén SC, N trên BC Tìm giao điểm của :

AM và (SBD) b) SD va (AMN)

Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N trên AC, AD Lấy O là điểm bên trong ABCD Tìm giao điểm của :

MN và (ABD) b) OA và (BMN)

Cho tứ diện ABCD Lấy I, J là hai điểm bên trong AABC và AABD, M

là điểm trên CD Tìm giao điểm của IJ và (ABM)

Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC Lấy K trên đoạn SB Tìm giao điểm của :

BC và (SAD) b) SC và (AKD)

Cho tứ diện S.ABC Gọi I, H là trung điểm của SA, AB Trên SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS

“Tìm giao điểm của BC và (THK)

Gọi M là trung điểm của IH Tìm giao điểm của KM và (ABC)

16 ?ï Trần Minh Quang.

Chi dé 3 «

CHUNG MINH BA DIEM THANG HANG

Phuong phap

Muốn chứng mình ba điểm thẳng hàng, ta chứng mình ba điểm

đó là ba điểm chưng của hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm

này cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

BTI Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng nằm ngoài mặt phẳng (ơ)

Các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cất mặt phẳng (ơ) tại D, E, F

BT2 Cho tứ diện SABC Trên SA, SB, SƠ lần lượt lấy các điểm D, E, F

sao cho DE cắt AB tai I, EF cắt BC tai J, FD cắt AC tại K Chứng

BTS Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các cặp điểm A va A’, B và B, € và C' sao cho BC cất | BC' tại M, CA cắt CA' tại N, AB cắt A'B' tại 1 Chứng minh ba điểm

Lập luận tương tự N và K cùng nằm trên

hai mặt phẳng (ABC) va (A'BC)

Vậy Ñ, K cùng nằm trên giao tuyến của

hai mặt phẳng (ABC) va (A'B'C)

Do đó M, N, K thẳng hàng m j

BT4 Cho hình chóp S.ABCD c6 ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M,

Ñ lần lượt là trung điểm của SA.và SƠ Tìm giao điểm E, F của DA,

Trong mp (SDC) gọi F là giao điểm

của NK và CD thì F là giao điểm của

CD va (MNB) #

Ta có E, F, B déng thời nằm trên hai mặt phẳng (MNB) và (ABCD), vậy chúng thẳng hàng

BTð Cho hình chóp S.ABCD Lấy hai điểm I và J lần lượt nằm trên cạnh

AD và SB Gọi O là giao điểm AD và BC

a) Tìm giao điểm K, L của IJ và DJ với mp (SAC)

b) Gọi M là giao điểm SC và OJ Chứng minh bốn điểm A, K, L, M

8 ï 1 Trần Minh Quang

a) Trén mp (ABCD) goi N là giao điểm của BI và AC

Xét mp (SBI) chứa IJ thi SN = mp (SBI) ¬ mp (SAC)

Trên mp (SBI), SN cất IJ tại K thì [K) = 1J ¬ mp (SAO)

Trên mp (ABCD), gọi H là giao điểm của AC và BD

Xét hai mặt phẳng (SAC) va (ADJ)

Hiển nhiên A © mp (SAC) 4 mp (ADJ)

Tacó: KelJ => Ke mp (ADJ)

K <« SN = Ke mp (SAC)

Vay K © mp (SAC) 9 mp (ADJ)

Ta có: Le DJ = Le mp(ADJ)

LeS§H =Le mp (SAC)

Vậy L c mp (ADJ) ¬ mp (SAC)

Ta có: MeOJ Me mp(ADJ)

M < SC = Me mp (SAC)

Vậy M © mp (ADJ) 9 mp (SAC)

Do đó A, K, L, M thẳng hàng vì cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt

phẳng (SAC) va (ADJ) =

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ aé (3) 19

BT6 Cho hai điểm cố định A, B nằm ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB,

không song song (œ) Lấy M di động trong không gian sao cho MA,

MB cắt (œ) tại A', B' Chứng minh AB luôn đi qua 1 điểm cố định

Vay A’, B’, I < (P) ¬ (MAB)

Do đó A*B' di động nhưng luôn

a) Trén (ABCD) gọi H là giao điểm AC và BI

#

Xét mặt phẳng phụ (SBI) chứa IY

Dé thay SH = (SBI) ¬ (SAC)

Trong mp(SBI) gọi K là giao điểm IY và SH thì K là giao điểm IY và (SAC)

* Trong mp(ABCD) gọi N là giao điểm BD và AC

Xét mặt phẳng phy (SDB) chtta YD

Thi SN = (SAC) > (SBD)

Trong mp(SBD) goi L 1a giao diém YD va SN thì L là giao điểm DY và (SAC)

b) Xét hai mp(SAC) va (ODM)

« Hiển nhiên M e (SAC) ¬ (ODM)

« Hiển nhiên A e (SAC) ¬ (ODM) (1)

a) Xét hai mp(ABN) va (AMD)

« Ci nhién A € (ABN) 4 (AMD)

+ 0, « MD = 0, e(AMD) Oo, AMD) AB

Cho tứ diện ABCD Lấy điểm I trên BD sao cho D nằm giữa I và B

Trong mặt phẳng (ABD) vẽ đường thẳng qua I cắt đoạn AB, AD tai K

và L Trong mặt phẳng (BCD) vẽ đường thẳng qua I cắt đoạn CD, CB

tại M và N Giả sử BN cắt DM tai O, BL cắt DK tại H, LM cắt KN tại J

Chứng minh ba điểm A, J, O thẳng hang và ba điểm C, J, H thẳng hàng

Cho tứ điện ABCD Gọi O 1a trong tam cia AACD Lay M, N, P trên AB,

ÁO LÁT dan hoa ae aha ae narihiae MB NA PA 2 IN gio diem cae

MN với BC, MP với BD

Ching minh MG, PI, NJ đồng phẳng

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD, NI H là giao điểm của MG với

BE, K là giao điểm của GF với (BCD) Chứng minh H, K, I, J thẳng hàng

Cho hình chóp 8.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M,

N là trung điểm của SA, SC

‘Tim giao tuyén cia (MNP) va (SAB), (SBC)

Tìm giao điểm I, K của SO, SD với (MNP)

Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAD) và (SDG)

Tìm giao điểm E„;F của DA, DO với (MNP) Chứng tỏ E, B, F thẳng hàng

Cho hai mặt phẳng (ơ), (ð) có giao tuyến a, d là đường thẳng cất (ơ) tại

A, cắt (ð) tại B, Trên d lấy hai điểm cố định S¡, 8; (# A) Lấy M di

động trên (B) MS;, MS; cắt (œ) tại Mì, Mạ

Chứng minh M;M; qua một điểm cố định

a cắt MìM; tại K Chứng minh K, M, B thẳng hàng

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d Lấy A, B trên

(P) (A, B £ d) và O £ (P) và (Q) Hai đường thẳng OA, OB cắt (Q) tại

A¿, Bị và AB cắt d tại O Chứng minh O, A, B không thẳng hàng

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để ©) 23

Chit dé 4

CHUNG MINH BA DUONG THANG DONG QUY

Phuong phap

Muốn chứng mình ba đường thẳng d„ d„ dạ đồng quy ta :

~ Tim giao điểm ï của d, oà dạ

- Tim hai mặt phẳng phân biệt mà có dạ là giao tuyến Chứng mình 1 là điểm chung của hai mặt phẳng này

BTI Cho tứ diện ABCD Lấy ba điểm E, F, G lần lượt trên ba cạnh AB,

AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H Chứng minh ba

b) Gọi L Màn điểm của IM và JÑ §

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: 8O = (SAC) ¬ (SBD)

Tacó: LeIM =>Lec (SAC)

LeJN = Le (SBD) Vậy khi (œ) đi động qua IJ thì L Ai

a) Tìm giao điểm F của SD và mp (ABE)

b) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy

a) Trong mp (ABCP) gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mp (SAC) : SO cất AE tại I Ầ

Trong mp (SBD) : BI cắt SD tại F F

Ta có F e BI mà BI « (ABE) = F (ABE)

Vay SD m (ABE) tai F

song song nên cắt nhau tai J

ˆ Xét hai mặt phẳng (ABE) và (SCD) ta + É

thấy ba điểm E, F, J đồng thời nằm

trên hai mặt phẳng trên vậy chúng

phải nằm trên giao tuyến

Do đó ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy tạiJ =

là mặt phẳng di động quanh IJ, (œ) cắt SB tại M, cắt SD tại N

a) Chứng minh ba đường thẳng IJ, MN và SO đồng quy

b) AD cất BƠ tại E, IN cắt MJ tại F Chứng minh ba điểm S, E, F thẳng hàng

e) IN cất AD tại P, MJ cắt BC tại Q Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để ï 1 25.

a) Trong mp (SBD), MN cat SO tai L s

Vay IJ khong cong cong AC

Goi K 1a giao diém cia AC va IJ thi K cé dinh Ta cé P, Q, K 1a diém

chung của hai mặt phẳng (o) và mp (ABCD) nên P, Q, K thẳng hàng

Vậy PQ di động nhưng luòn quá điểm K cố định M

BTð Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Lấy

B,, Ơ, D' lần lượt trén SB, SC, SD sao cho 28 - 1, SC _2 SD’ _1 SB 3" 8C.23 "SD "2:

a) Tim giao diém M, N của BC và CD với (BŒD)

b) Tìm giao điểm A' của SA véi (B'C'D’)

c) Tim giao diém I cia B'D' véi (SAC)

d) Chứng minh §, I, O thang hang

e)_ Chứng minh ba đường thẳng MN, AD và A'D' đồng quy

b) Trong mp (ABCD), MN cắt AC tại J

Trong mp (SAC), JC’ c&t SA tai A’

thi A’ = SA 4 (B'C'D’)

¢) Trong mp (SBD), B'D' cắt SO tại I

Do I « 8O nên I e mp (SAC)

26 ` Trần Minh Quang

a) S, E, E' thẳng hàng

b) A'C', B'D', SO đồng quy

a) Ta có: (BỊ = BN CD = E e (SAB) ¬ (SCD)

(E) = A'B' ¬ CD' = E' e (SAB) ¬ (SCD)

Hiển nhiên: S e (SAB) ¬ (SCD) 8

Do đó: SO, A'C', B'D' đồng quy tại C' m

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ đế ï1ý 27'

BT7 Cho hinh chép S.ABC có SA < SB < SC Trén SA, SB, SC lay M, N,

P sao cho SM = SN = SP

a) Tim giao diém K của MP va (ABC), giao diém L cia CB va (MNP)

b) Lấy điểm I trên MN Goi J là giao điểm của SI và AB Chứng minh

AO,, SO’, BC đồng quy

Chứng minh AA; và BB; cùng thuộc một mặt phẳng

Gọi 1 là giao điểm của AA; và BB;, Chứng mình a “nh

Chứng minh AA;, BB¡, CC;, DD, déng quy

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lắn lượt là trung điểm của BC, BD Lấy

R, 8 lần lượt là các điểm trên AD, AC sao cho An = SP, as - 40

Chứng minh ba đường thẳng AB, MS, NR đồng quy

Cho tứ diện ABCD Lấy M, N, P lần lượt là các điểm trên AB, AC, BD

MN cắt BC tại I, MP cắt AD tại J Chứng minh ba đường thang PI, NJ,

CD đồng quy

Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng (P) không chứa AB và CD cắt AC, BD,

BC, AD tại M, N, R, S Chứng minh ba đường thẳng sau đồng quy :

AB, MR, NS b) CD, MS, NR

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để F1 29

- Tìm các giao điểm của giao tuyến này uới các cạnh của mặt đó,

từ các giao điểm này xác định các giao tuyến mới uới các mặt con lai

- Tiếp tục đến khi nào các đoạn giao tuyến khép kín ta được mặt cắt (hay thiết diện)

BT1 Cho hình chép S.ABCD có ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD,

và AB > CD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SƠ Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp (AMN)

Trong mp (ABCD) : AD cắt BC tại I

Trong mp (SBI) : MN cat SI tai J 1a

trung điểm của SI

Trong mp (SAD) : AJ cắt 8D tại H

Ta có: (SBC) (AMN) = MN

(SCD) > (AMN) = NH (SAD) 4 (AMN) = HA (SAB) > (AMN) = AM Vay thiét dién 1a tit giac AMNH @

BT2 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đều bằng a Kéo dài BC một đoạn CE = a,

kéo dài BD một đoạn DF = a Gọi M là trung điểm AB

a) Tim mat ct cia mp (MEF) va tứ diện

b) Tính diện tích của thiết diện này

b) AMBE | > ME? = MB? + BE? — 2MB.BE.cos60°,

2 2

=> ME? = Ê—+4a?_— of} 20{2) oe 4 S) aa) eae

AABE có H là trọng tâm nên A

MH - 1p - 3⁄18 3 6 Tacé:: AMBE = AMBF (c.g.c) M

BT8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB Gọi G là trọng tâm ASAD

a) Tìm giao điểm I của GM và mp (ABCD)

b) Tìm thiết diện của hình chóp và mp (AGM)

B a) Goi J va H lần lượt là trung điểm AD và SD

Trén mp (SBJ), MG cét BJ tai I thi I = MG mp (ABCD)

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để 717 3†

b) Hién nhién: mp (AGM) > mp (SAB) = AM

mp (AGM) 4) mp (SAD) = AH Goi O là tâm hình bình hành ABCD

'Trong mp (SBD), MH cắt SO tại L

Trong mp (SAC), goi K là giao điểm AL và SC

“Thiết điện là tứ giác AMKH M

BT4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Lấy ba

điểm M, N, I lần lượt trên AD, CD, SO Tim mặt cắt của hình chóp

mp (MNI) cắt mp (ABCD) theo đoạn MN

mp (MNI) cắt mp (SAD) theo đoạn MP

mp (MIN) cắt mp (SAB) theo đoạn HP

Trong mp (SBC), RH cắt SC tai S thi

Trong mp (ABCD), A edt AB va AD

tai H va K

Trong mp (SAB) : MH cat SB tai N

Trong mp (SAD) : MK cắt 8D tại R

Ta cé: (M, A) > (ABCD) = 1d

(M, A) 9 (SAB) = MN (M, A) 9 (GAD) = MR (M, A) ¬ (SD€) = RJ

Do đó thiết diện là ngũ giác INMRJ

BT6 Cho high chép S.ABCD Lay N trén cạnh BC (N # B, C) Lấy K và

1 lần lượt là hai điểm thuộc mién trong của tam giác SAB và

SCD Xác định mặt cắt của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (NKL)

và hình chóp

Trong mp (SAB), SK cắt AB tại K'

Trong mp (SƠD), SL cắt CD tại L

Gọi I là giao điểm của NP va BC

Gọi J là giao điểm của NP và CD

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ đề `1 38

Trong mp(SƠD) gọi K là giao điểm cia MJ va SD

Đoạn giao tuyến của (MNP) và (SƠD) là MK

Đoạn giao tuyến của (MNP) và (SAD) là KP

Trong mp(SBC) gọi H là giao điểm IM và SB thì đoạn giao tuyến của (MNP) va (SBC) la HM, đoạn giao tuyến của (MNP) và (SAB) là HN

Do đó: mặt cắt của (MNP) và chóp (8.ABCD) là ngũ giác NPKMH M

BT8 Cho hình chóp S.ABCD, Lấy điểm M trong ASBC Lấy điểm N trong ASCD

a) Tìm giao điểm của MN và (SAC) của SƠ và (AMN)

b) Tìm mặt cắt của (AMN) và hình chép (S.ABCD)

a) « Trong mp(SBC) gọi H là giao điểm SM và BC

Trong mp(SCD) gọi K là giao điểm SN và CD

chứa SC gọi L là giao

điểm cia AO va SC thi

Trong mp(SBC) goi Q 1a giao diém ML va SB

Vậy mạt cắt của (AMN) và 8.ABCD là tứ giác ARLQ

BT9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi

M, N, K lần lượt là trung điểm SB, SD, OC

a) Tìm giao điểm SA và mp(MNK)

b) Xác định mặt cắt của (MNK) và hình chóp

344 ˆ ` Trần Minh Quang

Trong mp(SAD) gọi J là giao điểm PN va AD

Trong mp(ABCD): KJ cắt CD tại L, cắt BC tại H thì

NL = (MKN) = (SCD)

va HK = (MNK) 4 (ABCD)

Do đó mặt cắt của (MNK) và hình chóp S.ABCD có ngũ giác PMHLN M

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để ï+' 35

Cho hình chóp S.ABC Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA, BC Lấy

Ñ trên AB sao cho aS Xác định mặt cất của (MNP) va hinh chép

Cho hình chóp 8.ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của AB, AD, SC Xác định mặt cắt của mặt phẳng

(MNP) và hình chóp

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD Tính diện tích thiết điện tạo bởi tứ diện và mặt phẳng (BGG’)

Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểm M trên SƠ Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm mặt cắt của hình chóp và mặt phẳng (MNP) Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M, trong tam giác SCD lấy điểm N

Tìm giao điểm của MN và (SAC)

'Tìm giao điểm của SC và (AMN)

Tìm mặt cắt của hình chóp va (AMN)

Cho tứ điện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm

đối xứng của D qua C, K là điểm đối xứng của D qua B Xác định và tính

diện tích mặt cắt của tứ diện và (IJK)

Cho hình chóp S.ABGD có ABCD là hình bình hành tâm O Goi M, N,

P lần lượt là trung điểm của SB, CD, OC

Tim giao tuyén cia (MNP) va (SAC) Tìm giao điểm của SA và (MNP) Xác định mặt cắt của hình chóp S.ABCD và (MNP) Tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD

36 ` Ý Trần Minh Quang

Chit dé 6 «

HAI DUONG THANG SONG SONG

Định nghĩa : Hai đường thằng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng uà không có điểm chung

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

Sử dụng một trong các cách sau đây :

1 Chứng mình chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định li đường

trung bình, ThaÌès đảo quen thuộc trong hình học phẳng

Ð Chứng mình chúng cùng song song uới đường thẳng thứ ba

3 Dùng hệ quả : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai

đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc

trùng uới một trong hai đường thẳng đó

BTI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

a) 'Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) va (SCD)

b) Đường thẳng qua D và song song SC cắt mp (SAB) tai I Ching minh

Al song song SB

a) Mp (SAB) chứa AB, mp (SCD) chứa CD mà

AB / GD nên St = mp (SCD) = mp (SAB) với

St // AB // CD

b) Trong mp (SCD), dudng thang qua D va song ¢

song SC cat St tai I

Do St < mp (SAB) => I € mp (SAB)

Ta có SI / CD và 8C // DI nên SIDC là hình D bình hành Do đó : SI / =.CD,

Ma CD // = AB nén SI // = AB 8

Tứ giác SIAB là hình bình hành nên AI//SB M

BT2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB song song CD va AB > CD Goi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB

a) Chứng minh MN song song CD

b) Tìm giao điểm J của SC và mp (ADN)

©)_AN và DJ cắt nhau tại I Chứng minh SI / AB và SA // 1B

a) Ta cé MN là đường trung bình của ASAB nên MN // AB, mà AB / CD nên MN // CD

b) Trong mp (ABCD), AD cắt BC tại E

Trong mp (SBC), NE cắt SC tại J

JeNE =Jcmp(ADN)

Vậy J là giao điểm SC và (ADN)

c) Tacé: ABc mp (SAB)

Vay ABIS là hình bình hành = SA//1B m

BT8 Cho tứ diện ABCD Gọi A;, B¡, C¡, D; lần lượt là trọng tâm các ABCD, AACD, AABD, AABC Gọi G là giao điểm AA; và BB¡ Chứng

a) a -3 b) AA¿, BB;, CƠ; đồng quy

a) Gọi là trung điểm CD Trén mp (IAB), ta có :

AA; AA, AA,

BT4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy M, N, P,

Q lân lugt trén BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // AB a) Chứng minh PQ / SA

b) Gọi K là giao điểm MN và PQ Chứng minh SK // AD // BC

BTS Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O Goi M va

N lần lượt là trung điểm của SC va OB Gọi ï là giao điểm của SD và

IeME =Ie mp(AMN)

Vay I 1a giao điểm của SD và mp (AMN)

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để ï1/ 39

1 ĐT top ton

BT6 Cho hình lập phương ABCD.A'BŒD' cạnh a Gọi M, N, P, Q lần lượt

là trung điểm của A'B', CB', CC’, AA’

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân

b) Tính chu vi và diện tích tứ giác MNPQ theo a