Bài tập giải tích 12 tự luận trắc nghiệm trần minh quang

Nhưng các bạn lưu ý trọng tâm của môn Giải tích 12 vẫn là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và tích phân.. Trong phần toán tự luận các: bài tập được sắp từ cơ bản đến nâng cao c

TRẤN MINH QUANG

„32W XUẤT BẦU ĐẠt HỌC UỐC GIÁ HÀ NỘI

«+ Treo chương trình phôn ban của bộ GD & ĐT từ năm 2008

+ Tớn tốt lí thuyết - Bởi giỏi tự luận - Câu hỏi trắc nghiệm vò kỏ lời

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

(Cấu trúc của chương trình Toán Giải tích 12 có khác với các năm trước Phéin Dai số tổ hợp đã đưa xuống lớp 11, phần Mũ và Logarit đưa lên lớp

12, bổ sung phần mới là số phức: trên tập số phức do ¡? = —1 nên mọi phương trình bậc n đều có nghiệm Nhưng các bạn lưu ý trọng tâm của môn Giải tích 12 vẫn là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và tích phân

IĐể chuẩn bị cho việc có thể thi trắc nghiệm môn Toán chúng tôi biên

~ soạn cả hai phần toán tự luận và câu trắc nghiệm Trong phần toán tự luận

các: bài tập được sắp từ cơ bản đến nâng cao (có đánh dấu *), có nhiều bài

được trích từ để thi tuyển sinh Đại học của Bộ Giáo duc va Đào tạo từ năm

Néu ham sé y = f(x), lién tuc trén [a; gy a

b] va c6 dao ham trén (a, b) thi tong] i

tại ít nhất một c e (a, b) sao cho

f'(e) = f(b) - f(a) Ña)} -

Nếu fx) = 0 với mọi x e (a, b) thi f(x) = C hang sé vx e (a, b)

Dinh lý: Cho hàm số y = f(x) c6 dao ham trén (a, b)

e Nếu f'(x) > 0 Vx e (a, b) thi f(x) déng bién trên (a, b)

e Néu f’(x) < 0 vx ¢ (a, b) thi f(x) nghịch biến trên (a, b)

Dấu = xảy ra tại một số hữu hạn giá trị x trên (a, b)._-

Bài 1 Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số

"Ta có: y "= ——————y G ixia dD? -y'= y=0ox=tl =

y’ + 0 - 0 +

+0

a<0

A=b-4ac<0

f@x0vx Re | F@ <0 Vx c Re |

Vậy hàm số đồng biến trên R (nhận) (1)

s Nếu m z +1 thì hàm số đồng biến trên R

a=m’-1>0 A' =(m + 1} - 3m? -1)<0

O Bai 4 Tim a dé ham số '

= gx~ x’sin’a + (4sin’a — 3)x + 1 tang trén R

Giải - Miễn xác định: D = R

: y’ =x — 2xsina + 4sin’a — 3

Hàm s6 tang trén R <> y' = x? - 2xsin’a + 4sin’o — 3 > 0 vx ˆ

Hama itn gidm cy = m- 3 + @m + 1)sinx < 0 Vx e R

om- $+QmeD z<0VteR

Ta có: y' = 2m + 2sin2x - mcos2x - „sinx

y' = m(2 - cos2x) + sin2x(2 —cos2x) = (2 — cos2x)(m + sin2x)

x

Ta có: y=3x2>0 vậy y¡ tăng trên (0; +z)

1 y2= 2(-) (1 + 3] < 0 vậy y; giảm trên (0; +) Vậy hai đồ thị cắt nhau tại duy nhất một điểm nên x = œ e (1, 2) là nghiệm duy nhất của s) @

F(x) là hàm số liên tục trên [0, 2x] và có đạo hàm trong khoảng (0, 2)

Ta có: F'(x) = acos3x + beos2x + ccosx + sinx

` Theo định lý Lagrange: 3 œ e (0, 2x) sao cho tên co

= acos3a + bcos2a + ccosa + sina

< 0 = acos3a + bcos2a + ccosa + sina

Vay phuong trinh acos3x + bcos2x + cccosx + sinx = 0 luôn cố ngihiệm

De để y = x + msinx giảm trên R

6 Định m để các hàm số sau đây tăng trên từng khoảng xác định

m -1

x° +(m + 1)x’ + 3x — 5 luôn tăng trên R

8 | Chứng minh:

al ðainx etgx > 3x Vx € (0,5) bí xŠ + (1 — X> TC VY

C/ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 5

1 | Cho hàm số y = - _x +x+2 Kết luận nào sau đây là đúng

A/ y tăng trên R _B/ y giảm trên R

C/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng tăng và 2 khoảng giảm

D/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng

B/ y tăng trên từng khoảng xác định

€/ y có hai khoảng tăng và một khoảng giảm

'D/ y có một khoảng giảm và hai khoảng tăng

4] Cho y = PP kết luận nào gau đây là đúng:

A/ y tăng trên R B/ y giảm trên R

C/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng giảm và 2 khoảng tăng

D/ Trên bảng biến thiên y có 1 khoảng tăng và 2 khoảng giảm

A/m< 1 B/m<1 C/m>1 D/m >1

7 | Cho hàm số y = x + sinx Kết luận nào sau đây là đúng:

A/ y tăng trên R B/ y giảm trên R

C/ y có 1 khoảng tăng và nhiều khoảng giảm

D/ y không tăng và không giảm

8] Cho hàmsố y = \2x - x? Kết luận nào sau đây là sai:

A y đồng biến trên (0; 1) B/ y nghịch biến trên (1; 2) C/ Miễn xác định là D = [0; 2] D/ y tăng trên [0; 2]

`

D/ TRẢ LỜI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

§2 CUC TR] CUA HAM SO

A/ TOM TAT LY THUYET

Cho ham s6 y = f(x) lién tuc trén khodng (a, b) va xp € (a, b)

+ Dinh li Fermat:

Nếu hàm số y = fx) có đạo hàm tại xọ và đạt cực trị tại xo thi

f(xo)=0 `

+ Điêu kiện đủ để có cục trị:

e Dấu hiệu 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lên

cận của xọ (có thể trừ tại xo)

Nếu khi x đi qua xọ mà đạo hàm đổi dấu thì xạ Ìà í điểm

f(x) ae C Dai Sea f(x) ag: ‘ahd eer

e Dấu hiệu 9: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 tại

Xo Nếu:

* f'(xạ) = 0 và f”“(xạ) > 0 thì xọ là điểm sua tiểu

* f'(xạ}= 0 và f"(xo) < 0 thi xẹ là điểm cực đại

| Bài 1 Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau đầy:

al y=-x? + 3x+1 à b/y =x‘ + 2x743

4 Gidi

al y=-x° + 3x41

Miễn xác định: D = R

14

CT y= x" -2x+3

hàm đổi dấu từ dương sang âm, hàm số vẫn đạt cực đại tại x = 0

Bài 2 Cho hàm số y = x?— 2mx? —'2 Tìm m để y đạt cực tiểu tại x = 1

Đô dự bị tuyển sinh Đại Học khối B năm 210004

y' = -8inx — sin2x = -sinx(1 + 2cosx)

y'=0 > sinx = 0 v cosx’= -> exe knvxs +2 + 2m

y” = -Éosx — 2eos2x = —4cos2x — cosx + 2

Ta có: y“(km) = -2 — coskm < 0 © x = kz là các điểm cực đại

a/ Cho ham g(x) = 3x — x* Chung minh g(x) > 0 Vx e (0; 5)

b/ Tin cự đại, cực tiểu của hàm số Ñx) = Suy va g(x) = 3x — x” trên (0; Z.)

Vậy vx e (0; 5) thi sin2x <

Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực trị tại xọ và v“(xọ) = 0,

_ ư(xụ)

y cực trị vxạ)`

18

Giải u'(x)v(x) — v'(x)u(x)

Vậy hàm số có hai cực trị với vm e R

Gọi A,-B là hai điểm cực trị

Ae (C): x, =-2 >ya=m-3 Be(C)›:xp=0 =ysp=m+l

Bài 8 Cho hàm số y =

Giải

Miễn xác định: D = R\Im]|

19

y có hai cực trị © g(x) có hai nghiệm phân biệt z ¬2

(C) có hai điểm cuc trj < g(x) có 2 nghiệm phân biệt z 2

A'=4-(4-m)>0

{ -8+4-mz0

Goi Xa, Xp la hai nghiệm cua g(x)

Do A, B < (C) => OA = (xa, ya) cùng phương OB = (xs, ya)

= Xayu = XBYA

20

Khi m > 0 thì y đạt cực trị tại A, B và đường thẳng AB có phương

trình y = 2 „ ĐC 2 ~Ê (Phải chứng minh lại bài tap 5 trang 21) Vix

AB qua Q(0, 0) > 0=0+m+2>m=2

© CUC TRI CUA HAM BAC BAy = f(x) = ax? + bx? + cx + d (a + 0)

Ta có f(x) = 3ax” + 2bx +¢

« Nếu A' = b? - 3ac < 0 thì hàm số đơn điệu trên R

« Nếu A' = bỂ - 3ac > 0 thì hàm số có 2 cực trị Lúc đó lấy hàm số fx)

chia cho f‘(x) ta duge f(x) = A(x).f(x) + Bx + C

thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = Bx + C

Ứng dụng: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3:

(*) có 3 nghiệm phân biệt © Ụ lá Ycn-Yœ <0

(*) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn œ

b có 2 nghiệm phân biệt x, > x, > œ ,

Điểm cực đại A(1, 4), cực tiểu B(3, 0)

Trung điểm của AB là I2, 2)

“Ta có y' = -3x? + 6mx + 3 (1 - m?)

Do: A' = 9m? + 91 - m?) =9 >0 vm

Nền y' luôn có nghiệm phân biệt xị, x¿

Vậy y luôn có hai điểm cực trị

Lấy y chia cho ` ta được: y = (x - m) + 2x -m?+m

Do y'(x1) = y'(xq) = O nén yep = 2x, - m2? +m

Do: xị= 1— m — ÿì = (Xi — pre + 2m?x, - 2m? - 2

=> y; = 2m%(1 - m) - 2m? - 2 = -9(m + 1)

yt(x;) Do: x2 = 1 + m= yo = (x2- L) TT ®” + 2m?x — 2m? -— 2

Hàm số có 3 cực trị

© y' có 3 nghiệm phân biệt

© g(x) = 2mx” + m? - 9 có 2 nghiệm phân biệt z 0

“| Cho hàm số y = 4xŸ - mx” - 3x + m Chứng minh rằng với mọi m hàm

số luôn có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ cực đại và cực tiểu luôn trái dấu

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị Tìm m

để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

10Ì Cho hàm số y = xŸ + 2(m - 1)x?— 1 = 0 Chứng minh hàm số có nghiệm

11] Cho ham sé y = fix) = x* + ax + 2 (a tham số) Tìm tất cả các giá trị của

+ ` 2

tham số a dé đề thị hàm số y = fx) cắt trục hoành tại 1 và chỉ 1 điểm

12] Cho ham sé y = kx‘ + (k — 1)x? + (1 - 2k) Tìm tất cả các giá trị của

tham sé k dé dé thi hami sé chi c6é 1 diém cuc tri

-x” + mx - m” °

13} Cho ho đường cong y = a (Cm) Tim m dé (Cm) có cực đại

va cực tiểu Với m tìm được hãy viết phương trình đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu của (Cm)

14] Cho hàm số y = x2 Gm oe min (Hm) Tìm tất cả các giá trị của : +

tham số m để hàm số có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị này trái dấu

C/ CAU HOI TRAC NGHEM

1 | Cho hàm số y = = Kết luận nào sau đây là sai:

: Sy la ham chan B/ y' có một lần đối dấu

3] Cho y = x' - 9x? - 1 Kết luận nào sau dây là sai:

A/ y có ba cực trị B/ y có một cực đại và 2 cực tiểu C/ y có một cực tiểu và 2 cực đại D/ y cực đại bằng —1

4 ] Cho y = Ÿx? Kết luận nào sau đây là sai:

A/ Miễn xác định R B/ y không có cực trị

_/ y có 2 khoảng tăng giảm D/ y đạt cực tiểu tại x = 0

Š] Cho y = mx— : thì y có cực trị khi và chỉ khi:

TRA LO! CAU HO! TRAC NGHIEM

1] y= = hàm chẩn trên R\{0} > A đúng

9|y =—2x + 3x? + 1 => y' = -6x” + 6x = 6x(—x + 1)

y=0ex=0vx=1

Hai điểm cực trị là: A(0; 1), B(L; 2)

Phương trình đường AB: * - yt

1 Nếu D = (a, b) với a có thể là —œ, b có thể là +œ-

Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a, b)

Nếu hàm số có 1 cực trị duy nhất là cực đại (hay cực tiểu) thì giá trị

cực đại đó là giá trị lớn nhất (hay giá trị cực tiểu đó là giá trị mhỏ

nhất) của hàm số trên khoảng (a, b)

~ Tìm các điểm tới hạn xị, xạ, xn của ftx) trên [a, b]

— Tinh fla), fb), fxì), fx¿) , ftxu)

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì

M= Max fx), m = Min f(x) la, bl :

Miễn xác định: D = &

O Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

al y= x + costs tren [0,5 | b/y = —22* tran [0; x]

O Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của: y = sinŸx + cosx

O Bài ð Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = vx - 2 + V4 - x

Sử dụng kết quả đã tìm được giải phương trình

œy= |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| d) y = (x + 2)V4-x?

2] Tim a, b để y = Xˆ?3X+Ð q2: giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị mihỏ 2+1

b/y= 2+cosx với x e [; x] :

e/y = sinx + v2 — sin? x

[8] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a/ y = 4x + bái + sinx trên khoảng 0 < x < œ

x

_ b/y = 2sin”x + 4sinxcosx + võ trên R

C/ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 | Để tìm giá trị nhỏ nhất của y = xˆ - 6x + 10 một học sinh đã lập luật:

Bước 3: Miny =0 Chọn kết luận đúng:

A/ Bước 1 sai B/ Bước 2 sai

€/ Bước 3 sai D/ Cả 3 bước đều đúng

2: | Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của y = x' - 2x? + 3 trên [0; 3] là:

D/ TRA LOI CAU HOI TRAC NGHIEM

33

Dấu = xảy ra © |Ìx + 1| = gery outed

Vay Miny = 1 > chon B

§4 CUNG LOI, LOM VA DIEM UON

‘Dinh li 2: Cho ham số y = fx) liên tục trên một lân cận nào đó của xọ

và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x;) Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua xạ thì điểm Mụ(x; ftx;))! là điểm uốn của dé thi hàm số đã cho

O Bài 1 Cho y = xŸ - 3mx? + 9x + 1 (C) Tìm m để (C) có điểm uốn nằm

Vậy: -2m°+9m+l=m+l] ::2m`-8mn=z0

<> 2m(m? ~ 4) = 0 com=Ovm=#2 a

y" — 0 +

ĐU b) y = 2x4 - 6x” + 1

Vậy: ©) luôn luôn lõm, không có điểm uốn

d/ y= ~ =x-

x +1 x? +1

Tap xic dinh D=R

x? -1 (x? +1)?

yzl+

35

_ Chú ý: y không có đạo hàm cấp 2 tại x = -1; x = 2

nhưng đi qua hai giá trị này đạo hàm y“ đổi dấu đây vẫn là hoàmh: độ

Giải Tập xác định: D = &

_ -*Ẻ-2x+l (x? +1)?

37

hay ° aotr X

b = lim[f(x) - ax] x>tr

O Bai 1 Tim cdc dudng tiém c4n cia dé thị các hàm 6 sau:

Tap xac dinh D = R \ [-1; -2}

Tacé: limy= lim **2 215 TCNy=1 Day = Un es

y= Tore ete TO ee |

xl x>_l x +] 2

2

© Bai 2 Cho ham sé y = — #ằ

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (-z; 1) và (1; +)

b/ Tìm m để đường tiệm cận xièn tạo với trục hoành, trục tung một

a/ Tập xác định D = & \ [1l

x°-2x-m+l (x - 1)?

Hàm số đồng biến trong khoảng (—z; 1) +2 (1; z)

c©Sy>0Vvx#zl

©x?-9x-m+1>0Vxzl

Ũ =1>0 e om<0 A'=1-(-m+1)<0

b/ Ta có: y = x! +mx-1 =x+m+l- N

Khi m = 0 thì hàm số suy biến không có tiệm cận

Khi m z0 ta có lim -” =0 - xore Xx]

Nên có tiệm cận xiên y=x+m+l1

Giao điểm của TCX và trục tung là: A(0; m + 1)

Giao điểm cúa ïÏCX và trục noanh là: B(-(m + 1); 0)

Do điện tích AOAB bằng 8 nên:

3 0A.0B mit «co Jug ff os 8

Tacé:y'=

<o(m +1)? = 16 oom+ 1 = +4

<> m = 3 vm =-—5 (nhan so dieu kién m z 0) =

39

© Bai 8 Cho y = ree (C) ˆ

Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) cđđếến hai đường tiệm cận là hằng sô

Giải

Ta có: y = —x + 2 + hee

Do: lim y = to nên tiệm cận đứng x = 2

Do: lụm-—— = 0 nên tiệm cận xiên y =-x +2 ©x+y_— 2= 0ˆ

Ta có: yo te

x

Và "Í$) = tu >0 -

Vậy điểm cực tiểu là A(z 2 ý Vm’

Ta có: lim 1 = 0 Vậy tiệm cận xiên của (Cm) là: note y

Thì hàm số suy biến thành đường thẳng y = 2 loại bỏ điểm C8; 2)

hay đường thẳng y = -2 loại bỏ điểm (2; —2)

Vậy không có tiệm cận

+ Khi m z +2, ta có:

Bai 2 Bién luận theo m số đường tiệm cận của dé thi ham sé:

Bai 8 Tìm m sao cho các đổ thị hàm số:

aly= x? +(m + 1)x-m=1 không có tiệm cận

1 Tìm tập xác định, xét tính chất chấn, lẻ, tuần hoàn (nếu có)

2 Tìm các Éiới hạn đặc biệt — Tim tiệm cận (nếu có)

42