Giải bài tập hình học 10 nguyễn vũ thanh

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng Đường thẳng qua AB gọi là giá của vectơ AB.. Hai vectơ bằng nhau Khoảng cách giữa hai điểm A, B gọi là độ dài của vectơ AB và kí hiệu |AB| = AB.. Định n

NGUYEN VU THANH - TRAN MINH CHIEN

IẢI BÀI TẬP

sinB = cosC ; sinC = cosB ;

tanB = colC ; tanC = colB

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC GUỐC GIÁ HÀ NỘI

NHA XUAT BAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYEN VU THANH-TRAN MINH CHIEN

Giai bac tap HINH HOC 10

NANG CAO

Đơn vị liên kết :

Céng ty sack hoahéng

Lai néi déiw

Quyển sách GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 10

NÂNG CAO được biên soạn theo sách giáo khoa

Hinh học 10 dùng cho Ban Khoa học Tự nhiên

và được trình bày như sau:

— Tom tat giao khoa

~ Néu phuong phap và giải bài tập theo

sách giáo khoa

~ Bổ sung một sổ bài tập làm thêm

Cuối sách có bổ sung một số câu hỏi trắc nghiệm để học sinh làm quen với cách làm bài trắc nghiệm

Với cách trình bày như trên, chúng tôi hi vọng quyển sách này sẽ là tài liệu tham khảo tốt trong quá trình học tập, rèn luyện và ôn tập ở nhà

Quỷ thầy cô và quý phụ huynh có thể xem quyển sách này như tài liệu tham khảo thêm

Chúng tôi mong đón nhận ý kiến xây dựng từ

quý độc giả

CÁC TÁC GIẢ GBT HÌNH HỌC 10 NC - 3

Crug I VECTO

§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

A TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của

đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối

Kí hiệu vectơ AB là AB hoặc 4, b

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ — không, kí

hiệu là Õ

2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Đường thẳng qua AB gọi là giá của vectơ AB

Hai vectơ gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

Vectơ-không Ö cùng phương với mọi vectơ

Hai vecto cùng phương thì chúng có thể cùng hướng, hoặc chúng ngược hướng

3 Hai vectơ bằng nhau

Khoảng cách giữa hai điểm A, B gọi là độ dài của vectơ AB và kí

hiệu |AB| = AB

Độ dài của vectơ ä được kí hiệu là |ä|

Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Nếu hai vectơ ä và b bằng nhau ta viết ä = b

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Vectơ khác uới đoạn thẳng như thế nào?

e Trả lời: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, điểm đầu gọi là gốc, và điểm cuối gọi là ngọn

2 Các khẳng định sau đây có đúng không?

a) Hai uectơ cùng phương uới một 0ectơ thứ ba thì cùng phương

G8T HÌNH HỌC 10 NC - Õð

b) Hai uectơ cùng phương uới một 0ectơ thứ ba khác uectơ-không 0 thi

cùng phương

c) Hai uectơ cùng phương uới một 0ectơ thứ ba thì cùng hướng

đ) Hai uectơ cùng phương uới một oectơ thứ ba khác 0ectơ-không 0 thi cùng hướng

e) Hai uectơ ngược hướng uới một uectơ khác uectơ-không 0 thì cùng phương

Ð Điều kiện cần va du để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài

3 Trong hinh bén, hay chi ra

cde vecto cung phitong, cdc

vecto cing hướng va cdc vecta

Cc BAI TAP LAM THEM

Cho tam giác ABC nội tiếp

đường tròn tâm O- Gọi H là trực

tâm của tam giác ABC

a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O Chứng mình: BD = HC

b) Gọi K là trung điểm của AII uà I là trung điểm của BC Chứng

minh; OK =IH va OI = KH

®@ Hướng dẫn Chứng minh các tứ giác BDCH và KOIH là hình bình hành Cho hinh vuéng ABCD tam O Trong các 0ectơ có diểm đầu va điểm

cuối là hai trong các điểm A, B, C, D, O

a) Hay tim cdc vecto bang vdi vecta AB, OC

b) Hãy tìm các uectơ có độ dài bằng độ dài các uectơ AC, AB, OC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Vẽ AD = BC va DE =GB

Chứng mình GE =0

® Hướng dẫn Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác

§2 TỔNG HAI VECTƠ

A TÓM TẮT GIÁO KHOA

Định nghĩa tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ ä và b Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B

va C sao cho: AB=a, BC =b Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vecto a va b

a) Nếu M là trung điểm đoạn AB thì MA+MB =0

b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA +@GB+G€ = ö

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

6 Chứng minh rằng nếu AB = CŨ thì AC = BD

® Giải Áp dụng hệ thức ba điểm ta có:

AB=CD = AC + CB = CB + BD = AG = BD

7 Tứ giác ABCD là hình gì nếu AB = D và I ABI= I BI ?

e Giải Từ AB = DC suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành, còn

AB = BC thì tứ giác ABCD là hình bình hành có hai cạnh lên tiếp

bằng nhau nên ABCD là hình thoi

8 Cho bốn điểm bất kì M, N, P, Q Chứng mình các đẳng thức sai:

9 Các hệ thức sau đây đúng hay sai (Uới mọi d 0à b)

@ Gidi a) Sai lay a,b không cùng phương thì la+bl<lal+ibl

b) Dung Ap dung: la+bl<lal+lbl

Ta có: lá-bl+lIbl>läa-b+bl=lảl=lä-bl>lảl-IBbI

10 Cho hình bình hành ABCD tâm O

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?

c) Sai vi OA + OB = (OC + CA) + (OD + DB)

= (OC + OD) + (CA + DB) + OC + OD (do CA + DB = 0)

d) Ding vi : BD + AC = (BC + CD) + +(AD + DC)

= (BC + AD) + (CD + DC) = AD +BC

12 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O

a) Hay xác định các điểm M, N, P sao cho :

OM = OA+OB, ON = OB+OC, OP = OC +OA

GBT HÌNH HỌC 10NC - 9

b) Chitng minh rang : OA + OB + OC = 0

a) Theo quy tắc hình bình hành: từ

OM=OA+OB suy ra tứ giác

AOBM là hình bình hành Gọi I a °

là trọng tâm tâm giác ABC nên

Do đó O là trung điểm MC, tức MC là đường kính của đường tròn Tương tự ta cũng có : M, N, P thuộc đường tròn (O) sao cho CM, AN,

BP là các đường kính của (O)

b) O là trung điểm của MC nên OM + OC = 0

Ma OM=OA+OB nên OA + OB + O€ = 0

13 Cho hai lực F),F, cùng có điểm đặt tại O Tìm cường độ lực tổng hợp

của chúng trong các trường hợp sau :

a) F, va Ể, đều có cường độ là 100N, góc hợp bởi F, uà F; bằng 1209 b) Cường độ của F, là 40N, của Ê; là 30N va góc giữa F, uà F; bằng 90

® Giải

a) Vẽ hình bình hành AOBC thì AOBC là hình thoi

OC là phân giác góc AOB

C BAI TAP LAM THEM

1 Cho hình bình hành ABCD uà M là điểm tuỳ ý Chứng mình rằng :

MÃ + MC = MB + MD

® 1ướng dẫn Áp dụng quy tắc ba điểm

1Ö - GBT HÌNH HỌC 10 NC

Cho lục giác điều ABCDEF cà M tuỳ ý Chứng mình rằng :

MÃ + MC + ME = MB + MŨ + MỸ

@ Inésng dan: MA + MC + ME =(MB + BA) +(MD + DC) + (MF + FE)

Ching minh: BA+DC+FE=0

Cho tam gidc ABC Vé vé phia ngodi tam giác cúc hình bình hành

ABMN, BCPQ, CARS

Ching minh: QM +NR+SP =0

© Huéng dan: — QM = QB+ BM; NR = NA+ AR;SP = SC + CP

Cho hai lực F),E, đặt tại điểm O đều có cường độ là 100N, góc hợp

bởi F),E, bằng 600 Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng

1 Vectơ đối của một vectơ

« Nếu tổng của hai vectơ ä và b là vectơ - không thì ta nói ä là vectơ

đối của b hay b là vectơ đối của ä

« Vectơ đối của vectơ á ký hiệu là - ä

ä+(-ä) = (-ä) + (ả) = Ö

« Vecto déi của vectơ ä là vectơ ngược hướng với vectơ ä và có cùng

độ dài với vectơ a

« Vectơ đối của vectơ Ö là vectơ Ö

Hiệu của hai vectơ

« Hiệu của hai vectơ ả và b, kí hiệu ả-b là tổng của vectơ ä và vectơ đối của vectơ b tức là ã-b = á +(- b)

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

« _ Quy tắc về hiệu vectơ :

MN là một vectơ đã cho và O là điểm tuỳ ý

Taco: MN=ON-OM

GBT HÌNH HỌC 10 NC - 1]

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

14 Trả lời các câu hỏi sau đây:

a) Vectơ đối của uectơ -ä là uectơ nào ?

b) Vectơ đối của uectơ Ö là uectơ nào ?

c) Vectơ đối của uectơ ä+ b là uectơ nào ?

® Trả lời a) Vectơ đối của vectơ —ä là vectơ -(—-ä) = á

b) Vectơ đối của vectơ Ö là vectơ Ö

e) Vectơ đối của vectơ ä + b là vectơ -(ä+b ) =- ã - b

a-(b-é) = a-(b + (-@)] = a-b-(-@) = a- bre b

16 Cho hình bình hanh ABCD tém O Méi khdng dinh sau déy ding hay

e) Ding vi CD-CO = OD và BD - BỐ = OD nên CD - CÓ = Bồ - BÖ

17 Cho hai điểm A, B phân biệt :

12 - G8T HÌNH HỌC 10 NC

a) Tim tap hop cac diém O sao cho OA = OB

b) Tim tap hợp các điểm O sao cho OA = -OB

® Giải

a) Nếu có điểm O sao cho OA = OB thi A =B (vo li) Vay tap hợp

diểm O thỏaOA = OB là tập rỗng

b) Ta có: OA=-OB «> OA+OB=0

« O là trung điểm đoạn AB

Vậy tập hợp các điểm O sao cho OA = -OB chỉ có một điểm chung duy nhất là trung điểm của đoạn AB

(IA - 1B) + (ID -IC) = 6 > BA+CD = 6 = AB=CD

20 Che sáu điểm A, B, C, D, E, F Chúng mình rằng :

AD + BE + CF = AE+ BF +CD = AF + BD+CE

® Giỏi

Cách 1: Gọi O là điểm bất kì ta có :

AD + BE + CF = (OD - 0A) +(OE - 0B) +(OF - OC)

= OD+O0E+OF -O0A - OB -0C qa)

GBT HINH HOC 10NC - 13

AE + BF + CD = (OE - OA) +(OF - OB) +(OD - OC)

Mat khéc: AD+BE+CF = (AF + FD) +(BD + DE) + (CE + EF)

= (AF + BD + CE) +(ED + DF + FE) = AF + BD + CE (5) Tir (4) va (5) suy ra dpem

1 Cho bốn điểm A, B, C,D Chứng minh rằng AB- CŨ = AC + DBì

2 Cho hai vecto khdc 0,4 va b Tim méi quan hé gida a va b

Biét |\a+bl =1a-bl

Đáp số : ä Lb

3 Cho hình uuông ABCD cạnh a Tìm độ dài các Uectơ :

AB+AD;AB- B€ uà CB- CD

4 Cho tam giác ABC, xác định điểm I thỏa điều biện: IA - IB - IÖ = Ö

§4 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa

Tích của vectơ ã với số thực k là một vectơ, kí hiệu là kả được xác định

như sau:

e Nếu k >0 thì vectơ käã cùng hướng với vectơ a

Nếu k < 0 thì vectơ kã ngược hướng với vectơ a

14 - GBT HÌNH HỌC 10 NC

* 66 dai vecto k a= IkI.lal

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một

SỐ

2 Tỉnh chất

Với hai vectơ á,b bất kì và mọi số thực k, / ta cĩ :

k(ä) = (kl) a (k+l) da =k.atla k(a+b)=k.a+k.b;k(a - b)=k.a -k.b

»« k.ả= 0œ k=0hoặc ä = Ư

3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Vectơ b cùng phương với vectơ ä (ä z0) khi và chỉ khi cĩ số k sao cho

b=k.a

Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là cĩ số k

sao cho: AB = kAC

4 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương

Cho hai vectơ khơng củng phương a va b Khi đĩ mọi vectơ X đều cĩ

thể hiển thị được một cách duy nhất qua hai vectơ ả và b, nghĩa là cĩ duy nhất cặp số m và n sao cho x =mậ +nb

E PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

21 Cho tam giác uuơng cân OAB vdi OA = OB = a Hay dung cdc vecta sau đây va tinh độ dài của chúng :

OA+OB; OA-OB; 3Ộ + 408; Š 0Ä + 2,508; “104 -2 0B;

® Giải Về hình vuơng AOBC ta cĩ :

OA +OB=OC

=> IOA+OBI = IOỔI = a/2

OA-OB=BA

+ IƯA-OBI = IBÄI = aV2

Vẽ hình chữ nhật MONP thì:

OM + ON = OP = 30A + 40B = OP

= VOM? + ON? = V9a?+16a? =5a o A M

GBTHINH HOC toc - 15

22 Cho tam giác OAB Gọi M, N lần lượt là trung diém hai canh OA va

OB Hãy tìm những số m, n thích hợp trong các đẳng thức sau đây :

Vay 2MN = AC+ BD = AD+BC

24 Cho tam giác ABC uà diém G

a) Chứng minh rằng nếu GA+GB+GC =0 thì G là trọng tâm tam

giác ABC

b) Chứng mình rằng nếu có điểm O sao cho OG = 2(0Ä +0B -O1C)

thi G la trong tam tam gide ABC

16 - GBT HINH HOC 10 NC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

0) Goi G, la trọng tâm tam giác ABC ta có :

OG - 4 (OA + OB + OC)

= 4 (306, +G,A+G,B +G,C) -O0G, > G=G,

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

25 Goi G la trong tam tam giác ABC Dạt d : GA, b - GB Hãy biểu thị méi vecta AB,GC,BC,CA qua cdc vecto a va b

© Giải Vi G la trong tam tam gidc nén GA + GB + GC = 0

Taco: AB=GB GA=b-a=-a+b

đủ để hai tam giác ABC và A TC “có trọng tâm trùng nhau

® Giải G là trọng tâm tam giác AC nên ta có: GA+GB+GC =Ö

G là trọng tâm tam giác A'B'C' nên ta có: G'A'+G'B'+G'C =0

PQ +RS+TU = 2 AC + CB + 2 EÄ - 1(AC 2 2 2 2 + CE+ EA) - 0

Áp dụng kết quả bài 26 thì hai tam giác RU! p

PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau

Cách khác : Ta có thể giải bài 27 trực tiếp B

Lấy O bất ki và gọi K,G lần lượt là trọng

tâm tam giác PRT và QSU ta có : A

30G = OP + OR + Oi = 2(0A + OB) + (OC + OD) + > (0E + OF| 2 2 2

>(OA + OB + 06 + OB + OF + OF) (1)

ae - 00.08 00 ~ 1/08 08) lon on) oR ox

30K = 0G + OS + OU = 5 (OB + OC) + 5(OD + OF) + 5(OF + 0A)

= 5(OA +08 + 0 + OD + OF + OF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra OG = OK tite G2 K

Vậy hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau :

28 Cho tứ giác ABCD Chứng mình rằng :

a) Cé mét điểm G duy nhất sao cho GA +GB+GC+GD=0 Đim G

như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D

Tuy nhiên, người ta uẫn quen gọi G là trọng tâm của tứ giác A3CD

b) Trọng tâm G là trung điểm của các đoạn thẳng nối trung điển hai

cạnh đối uới tứ giác, nó cũng là trung điểm hai đường chéo cỉa tử

Goi M, N lan luot la trung diem cua hai A D

GA + GB+GC4 GD =(GA+ GC) + (GB GD) B J

= 2GM+2GN_ 0

=> GM+GN =0 > G là trung điểm của MN

e€ Gọi K là trọng tâm của tam giác BCD ta có :

GB+ GC+GD=3GK -> GA+38GK =0

> GA =-2GK = G, A, K thang hàng

"Tương tự cho các trường hợp còn lại Vậy G nằm trên các đoạn

tháng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi

ba đỉnh còn lại

C BÀI TẬP LÀM THÊM

1 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC va CD

Chung minh rang : AB + AI + JÄ + DA = Š D8

® Hướng dẫn Áp dụng quy tắc ba điểm

2 Cho tam giác ABC có trọng tâm GŒ Gọi I là điểm đối xứng của B qua

G, M là trung điểm BC Chứng minh rang :

5 Cho A, B cố dịnh M tuỳ y va diém P la diém xdc dinh bdéi

MP - MA +3MB Chứng mình đường thẳng MP đi qua điểm cố định

+ Hướng dẫn — Gọi [ là điểm thoả IÄ + 31B = Ö

Chứng minh M, P, I thang hang do MP = 4MI

6 Cho tứ giác ABCD

© Xác định diém I thoả 1Ä - 21B + 41C = Ö

GBT HÌNH HỌC 10NC - 19

b) Với M bất kì, chứng mình : MA- 2MB + 4MC = 3MI

c) Cho diém M théa | MA - 2MB + 4MCI = 3l MD]

Chứng mình M chạy trên đường thẳng cố định

b) Biéu dién PQ va PR theo AB va AC Từ đó suy ra P, Q, R là ba diém thdng hang

@ Huéng dẫn

«) a8 = SAB+2AC ; AQ=-2AC ; AR -

b) PQ = AQ - AP = -

Suy ra PQ = APR Ba diém P, Q, R thang hang

§5 TRUC TOA DO VA HE TRUC TOA DO

A TOM TAT GIAO KHOA

1 Trục toạ độ

e Trục toạ độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ ï có độ dài bằng 1

e Diém O goi la géc toa dé, vecto i gọi là vectơ đơn vị của trục toạ độ

se Cho trục x'Ox có vectơ đơn vị ¡ Vectơ ũ nằm trên trục thì có số a sao cho ũ = ai Số a gọi là toạ độ của vectơ ủ đối với trục x'Ox

2Ô - GBT HÌNH HỌC 10 NC

« Điểm M trên trục x'Ox thì có số m sao cho OM = mi Số m gọi là toạ

độ của điểm M đối với trục x'Ox

« - Độ dài đại số của vectơ trên trục

Nếu hai điểm A,B nằm trên trục Ox thì toạ độ của vectơ AB được kí

hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của vectơ AB trên trục Ox Vậy

AB=AB-i

Taco: a) AB =CD AB =CD

b) AB+BC = AC AB+BC = AC

Hệ trục toạ độ

Hệ trục toạ độ vuông góc bao gồm hai trục toạ độ Ox

và Oy vuông góc với nhau vectơ đơn vị trên trục Ox là

¡ ,vectơ đơn vị trên trục Oy là j O gọi là gốc toạ độ

Truc Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung

Hệ trục toạ độ được kí hiệu là Oxy hay (O, ï, j )

Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ

Đối với hệ trục toạ độ (O, ï,j), nếu ä= xỉ +yj thì cặp số (x;y) gọi là toạ

độ của vectơ ä, kí hiệu là ä = (x,y) hay ä(x,y) x gọi là hoành độ, y gọi

là tung độ của avecto

Ta có: ả(X;y)=b(X;y')© Ũ - Š,

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Cho a(x;y) = b(x';y') khi đó :

a) ả+b=(x+x;y+y) ; ả-b=(x-xy-y

b) ka =(kx;ky) vdik eR

c) Vectơ b cùng phương với vectơ ä z Õ khi và chỉ khi có số k sao cho

x’ = kx, y’ = ky

Toa d6 cua diém

Trong mat phang toa dé Oxy, toa dé ctla vecto OM dude goi là toạ độ

của điểm M kí hiệu là M(x;y) hoặc M = (x;y).x gọi là hoành độ của M, y

gọi là tung độ của M

Với M(Xu;Yw),N(xu;yN) ta có: MÑ = (Xu ~ VwzYn ~ Yụ)

Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ của trọng tâm tam giác

Giả sử M(xu;Y),N(Xu;Yn), trung điểm P(xp;yp) của đoạn MN thì:

GBT HÌNH HỌC 10NC - 2]

_XM!XN.v YM + Yu

nn LIP g

G là trọng tâm của tam giác ABC thì

x„ - XA †Xg tXC,v_ YA +Yg tÝc G=————¡Ye=— AT”

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

29 Trong mặt phẳng toa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Hai vecto G = (26;9) va b = (9;26) bằng nhau

b) Hai vecto bing nhau khi va chi khi chuing cé hodnh dé bang nhau

uà tung độ bằng nhau

e) Hai uectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau

d) Vectơ ä cùng phương uới vecto i nếu ä có hoành độ bằng 0

e) Vectơ ä có hoành độ bằng 0 thì nó cùng phương uới 0ectơ J

® Trả lời a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Dung

30 Tìm độ dòi của các uectơ sau trong mặt phẳng toạ độ

31 Cho vecto a = (2;1) ; b= (3;4); & = (7;2)

a) Tìm toạ độ của uectơ :ủ = 2ä - 3B + ẻ

b) Tìm uectơ # sao cho : #+ä =b-ẽ

® Giải Jiải Ti Ta có : ú :u=|- (2

2 u,v cing phuong <>c6 sé 1 sao cho V = lu

¡-8], v =(k;-4)

<> (k;-4) = (5:-s1) CS 2 ©

Vậy với k= = thi ủ,v cùng phương

33 Trong các mệnh đê sau mệnh đê nào dúng ?

a) Toạ độ của điểm A bang toa dé cua vecto OA, voi O là gốc toa dé b) Hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục hoành

e) Điểm A nằm trên trục tung thì A có hoành độ bằng 0

d) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi va chỉ khi hoành độ của điểm P bằng trung bình cộng các hoành độ của A,B

e) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi va chi khi:

2y =YA tyc =Yp +Yp

34 Trong mát phẳng toạ độ, cho ba điểm A (-3;4), B(1;1), C(9;-5)

a) Chung minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hang

b) Tìm toạ đô điểm D sao cho A là trung điểm của BD

c) Tim toa dé E trén trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng

® Giải

a) Ta có: AB =(xg -XA,Yg -YA) = (4;-3)

AG = (xe -Xạ,yc -yA) = (12-9)

Vi AC = 3AB nén A, B, C thang hang

b) Gọi D (xp,yp) sao cho A là trung điểm của BD

c) Giả sử E (xg,0) trên Ox sao cho A, B, E thẳng hang

35 Cho diém M(x; y) Tìm toạ độ của các điểm

a) M, đối xứng uới M qua trục Ox

b) M; đốt xúng uới M qua trục Oy

c) M; đối xứng uới M qua gốc toạ độ O

® Giải a) M, (x ; ~y); b) Mo (-x ; y); e) Mg (-x ; -y)

36 Trong mặt phẳng toạ độ, cho ba diểm A(—4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2)

a) Tim tog dé trong tam tam gidc ABC

b) Tim toa dé điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD

c) Tim toa dé điểm E sao cho ABCE là hình bình hành

Yc = qÚYA +Yp +yc)= a(I+4-2)= =1

b) Goi D(xp, yp) sao cho C la trong tâm tam giác ABD

Cc BAI TAP LAM THEM

1 Trong mat phdng toa dé vho ba diém Mol; 1), N(2; 3), P(-1; 4), lén lượt là trung diém ba canh AB, BC, CA cia tam gide ABC Tim toa dé

ba dinh va toa dé trong tam tam giac ABC

e@ Muéng dan Giải hệ phương trình

[XA + Xụ =2 Ya +¥p =2 tXp tXc =4 ;JYp tYc =6

[xe + xq = -2 lk tya =8

Suy ra A(-2; 2), B(4; 0), C(0; 6) Trọng tâm G (2.5)

33 Cho tam giác ABC có cúc đính A(I; -3), B(0; 4), C(3; 2) Tìm toạ độ điểm D thỏa một trong các trường hợp sau -

a) Dla điểm đối xứng của A qua B

® Hướng dẫn AB cùng phương với AC Suy ra m =1

Chứng mình các điểm sau đây là các đình của một hình uuông :

A(2; 2), B(-1;6), C(-5;3), D(-3;-1)

Hướng dẫn Chitng minh Spe a8 « ADP

Cho hai điểm A(2; 4), B(—2; 1) Tim diém C trén truc hoành sao cho :

a) Tam giác ABC cân tai A

b) Tam giác ABC cân tại C

ON TAP CHUONG I

A BAI TAP ON CHUONG |

1 Cho tam giác ABC Hãy xác định các uectơ : AB + BC;CB + BA;

AB + CA; BA + CB; BA + CA; CB - CA; AB - CB; BC - AB

© Gidi Ta cé6 : AB + BC = AC

CB + BA = CA

AB + CA = CA + AB = CB

BA +CB = CB + BA = CA

BA + CA = BA + AD = BD (Với D thoả CA = AD, tức D

là điểm đối xứng của C qua A) CB- CA = AB

AB - CB = AB+ BC = AG

BC - AB = BC+ BA = BE (ttc E là điểm sao cho ABCE

la hinh binh hanh )

2 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hang Tim điều biện A

cần uà đủ để uectơ OA + ÔB có giá là đường phân giác 8

4 Cho tam giác ABC

a) Tìm các điểm M uà N sao cho:

26 - G8T HÌNH HỌC 10 NC

= CM = BA <> M la điểm sao cho ABCM là hình bình hành

Gọi I là trung điểm của BC ta cĩ:

NB+ NC = 2NI suy ra 2NA +2NI =0

= NA +NÍ =0 = N là trung điểm của AI

b) Chọn A làm gốc ta sẽ biểu diễn AM và AN qua AB và AC, ta cĩ:

MA - MB + MC=0 c› -AM-(AB - AM) + AC - AM =0

<> AM = -AB+ AC

2NA +NH + NC =0 «3 -2AN + AB - AN + AC- AN =0

<2 4AN = AB + AG <> AN = 2(AB + AC) Vay: MN = AN ~ AM = “(AB + AG) + AB ~ AG = (5A - 3A€]

= AB - “AC 4 4 Do đĩ p= =o ` ;q 4

ð Cho đoạn thẳng AB va diém I sao cho 2IA + 31B =0

a) Tim s6k sao cho AI = kAB

b) Ching minh réng vdi moi diém M, ta cé: MI = 2MA + 3 MB

® Giải

a) Ta cĩ: 3IA + 31B = Ú c+ -9Ạ + 3(AB - Al) = 0

° -BAÍ - -8AB es Ạ = 3.8 Vay k = 3

b) Ty 21A + 31B = 0 suy ra 2(MA -Mi)+ 3(MB - Mi) = 6

=> SML=2MA + SMB = MÍ= MA MB

6 Cho mat phẳng tọa độ Oxy, cho ba diém A(-1; 3), B(4; 2), C(3; 5)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C khơng thẳng hang

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = -3BC

c) Tim tọa độ điểm D sao cho O là trọng tâm tam giác ABE

GBT HINH HỌC 10NC - 2Ï

® Giải

a) Ta có: ÄB =(xp -XẠ,Yp -YA) = (ð; ~1)

AC = (Xe - XA,yc —yA) = (4; 2)

Vi oe -5 nên AB và AC không cùng phương Do đó A, B, C

c) Goi E(xg; yg) ta có : 1

Yo= SỮA +Yp +yE)

1

Tư = a(3+2+ ve) 1

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Cho tam giác ABC Gọi A’, B, C' lần lượt là trung

điểm của các cạnh BC, CA, AB Vectơ AˆB` cùng

hướng uới uectơ nào trong các uectơ sau đây ? B A’ c

(A) AB, (B) AC’; (C) BA; (D) C'B

® Trả lời AB" cùng hướng với vectơ BA Chọn (C)

9 Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó

điểm N nằm giữa hai điểm M uù P Khi đó M N P

các cặp uectơ nào sau đây cùng hướng?

® Trả lời MÑ cùng hướng véi MP Chon (B)

8 Cho hình chữ nhật ABCD Trong các đẳng thức dưới đây, ddmg thức

(A) HB = HC; (B) AC = 2HC; (C)|\ AH |= a |BC\ (D) AB = AC

e Trả lời Ta biết rằng đường cao tam giác đều cạnh a bằng a Chọn (C)

5 Cho điểm B nằm giữa hai diém A va C vii AB = 2a, CB = 5a D6 dai vecto AC bang bao nhiéu ?

eee

(Alta; (B)3a; (C) s ;— (D) 108° A 8 c

@ Trả lời | AC| = AC = AB + BC = 7a Chon (A)

6 Cho bốn điểm A, B, C, D Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng ?

(A) AB + CD = AC + BD (B) AB + CD = AD + BC

(C) AB + CD = AD +CB (D) AB +CD = DA + BC

@ Trả lời Ta có: AB + CŨ = (AD + DB) +(CB + BD) = AD + CB Chon (C)

7 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Khi dé dang thức nào dưới dây đúng?

8 Cho hình thang ABCD uới hai cạnh đáy là AB = 3a A B

va CD = 6a Khi đó \ AB + CD bằng bao nhiêu ? ;

(A)9a; (B)3a; — (C) -3a; - (D)0 /

Ta có: IAB+CDI= ICD + DEI = ICEI= CE = 3a Chọn (B)

9 Cho hinh vuéng ABCD có cạnh bằng a khi đó giá trị | AC + BDI bằng

(A) 2aV2 (B)2a (C)a (D) 0

@ Trả lời Ta có: AC + BD = AB + AD + AD - AB = 2AD

= _ IAC+BDI = I2ADI = 2a Chọn (Bì B e

10 Cho ba điểm bất kì A, B, C Đẳng thức nào dưới đây đúng ?

(C) AC -CB = BA (D) CA -CB = AB

GBT HÌNH HỌC 10NC - 29

® Trả lời Ta cĩ: AB = CB - CA Chọn (A)

11 Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a Giá trị

AB - CÁ bằng bao nhiêu?

® Trẻ lời Ta cĩ : AB- CA = AB+ AC = 2AI véi I là trung điểm đoan BC,

= IAB-CAI = I2ẠI = 2 a8 | 3 Chon (©)

12 Cho hai tam giác ABC uà A'BC' lần lượt cĩ trọng tâm là Guà G’

Đẳng thức nào dưới đây là sai ?

(A)3GG' = AA' + BB' + CC” (B) 3GG' = AB' + BC' - CA’

(C)3GG' = AC' + BA' + CB’ (D) 3GG' = A’ A + BB’+CC*

® Trả lời Chọn (D)

13 Cho điểm B ở giữa hai điểm A uà C uới AB = 2a, AC = 6a Đảng thức

nào dưới đây đúng ?

(C) BC = 4AB (D) BC = -2BA 2a FB

@ Trả lời Ta cĩ: BG = 2AB = -2BA Chọn (D)

14 Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu AB =-3AC thì đẳng thíc nào

dưới đây đúng ?

(A) BC = 4AC ; (B) BC = -4AC 6 % 6 (C) BC = 2AC ; (D) BE =-2AG F—*—————*——*~——'

@ Tra lai AB = -3AC = AC + CB = -3AC = BC = 4AC Chọn ()

1ã Điều kiện nào dưới đây là cần uè đủ để điểm O là trung đi(m của đoạn AB ?

(A) OA = OB (B) OA=OB ~~ (C) AO = BO (D) Ộ + Œ =0

® Trả lời Gọi M là trung điểm BC ta cĩ :

AG = 2AM == AB+AC _ AB+ AC _ Chon (B)

30 - GBTHINH HOC 10NC

17, Goi AM la trung tuyén cua tam gide ABC va I la trung điểm của AM Dang thuc nao sau đây là đúng ?

(AVIA+1B+ IC =0 (B)-IA + IB + IC = Ö

(Œ)TA 3 IB - IC = 0 (D) 31A + 1B + IC =0

e Trả lời Ta có : IB + IC - 2IM 6 M Ẹ

=> ĐIA +IB+IC = 2A +IM) = 0 Chọn (D)

18 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(-1; 4) va B(3; -5) Khi

đó tọa độ tectơ BA là bao nhiêu?

(A) (3; -1) (B) (-4; 9) (C) (4; -9) (D) (4; 9)

@ Trả lời Ta có: BA = (xa -xp:YA -ypg) = (—1-3; 4+5) = (~4; 9) Chon (B)

19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai diém A(0; 5) va B(2; -7) Tim

tọa độ trung điểm của đoạn AB la bao nhiêu ?

(A) (2; 2) (B) (-2; 12) (C) (-1; 6) (D) (1; -1)

@ Trả lời Trung điểm của AB có tọa độ là (7.27) = (1; -1) Chon (D)

20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai diém M(8; -1), N(3; 2) Néu P la

điểm đối xứng của M qua N thì toạ độ P là bao nhiêu ?

22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vdi trong tâm G Biết

rằng A(-1; 4), B(2; 5), C(0; 7) Hỏi tọa độ điểm C là bao nhiêu ?

28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn diém A(3; 1) B(2; 2) uà C(I ;6)

D(1; -6) Hỏi điểm G(2; -1) là trọng tâm của tam giác nào sau đây ? (A) Tam giác ABC (B) Tam giác ABD

2= 23 +2+1)

© Tré lai (B) vi i

-8= 2(1+2~6)

C BÀI TẬP ÔN LÀM THÊM

1 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Chứng minh rằng :

a) OA + OB + O€ + OD + OE + ÖE = ö

b) OA + OC + OE = OB + OD + OF

c) AF+ ED+CB=0

e) Tim tap hgp diém M sao cho:

I MA + MB + MG + MD + ME + MỸ I= 6I MA - MDI

2 Cho ba điểm A, B, C và ba sé a, 0, ö Chứng minh rằng

a) Nếu œ+.+ö= 0, thì vectơ ý =œMA +pMB + õMC

Không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Nếu ơ + B + ô #0 thì tổn tại duy nhất điểm I thoả

Chung I TICH VO HUGNG CUA

$1 GIA TRI LUGNG GIAC CUA

MOT GOC BAT Ki (TU 0° DEN 180°)

A TOM TAT GIAO KHOA

cota = Xy #0); tana = Sine ; cota = s8

2 Tinh chat

sin(180° — a) = sina; cos(180°- a) = -cosa

tan(180° - a) = -tana; cot(1809~ a) = —cota (0° < a < 180°)

3 Gia tri lượng giác của một số góc đặc biệt

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1 Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số

GBT HÌNH HỌC 10NC - 33

a) (2sin30° + cos135" - 8tan 150).(cos180° - cot60°)

b) sin°®90° + cos°120° + cos°0° - tan?60° + cot?135°

e Giải

v2

a) Ta có: cos135° = cos(180°-45") = — cos45° = a?

v3

tan150° = tan(180° — 30°) = -tan30° = s1

Do đó: (2sin302 + cos138' ~ 3 tan 150°)- (cos 180° — cot 60°)

-(-#-3)(=#)-(#-#¬)(-#]

+ b) Ta có: cos120° = cos(180° - 60°) = -cos60° = =

cot135° = cot(180” — 4ð” ) = cot45° = —1

Do đó: sin2909+ cos21209 + cos?02~ tan?602 + cot21359

=l+1+1-#+1<1

9 Đơn giản các biểu thức

a) sin100° + sin80° + cos16° + cos164°

b) 2sin(180° — a ).cota-cos(180° - @).tanacot(180° - ø) uới 0< a< 90

® Giải

a) sin100° = sin(180° — 80°) = sin80°

cos164° = cos(180° - 16°) = —cos16°

sin’a +cos*a = x’ +y’=OM*%=1

a) (sina + cosa)” = 1 + 2sinacosa

b) sin‘a + cos‘a = 1 — 2sin*acos*a

e) sinŠœ + eos”œ = 1 - 3sin”œcos”ư

3sina - 4cosa

„ Cho tang = 2 Tính —

4sina +5cosa

e@ Hướng dẫn Chia tử và mẫu cho cosa

Cho tana — cota = a, tính A = tan“œ + cot?a; B = tan”œ + cot%a;

sin’ a cosa(1 + cosa)

§2 TICH VO HUGNG CUA HAI VECTO

A TOM TAT GIAO KHOA

1 Góc giửa hai vectơ

Cho hai vecto 4 va b đều khác vectơ 0 Tu O z Ậ

vé OA=a, OB=b thì số đo góc AOB gọi là số

đo góc giữa hai vectơ ä và b, kí hiệu là (ä, b) oO

Nếu (a, b) = 90° thi a va b vuông góc với #

GBT HỈNH HỌC 10NC - 35

2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

se Tích vô hướng của hai vectơ á và b là một số, kí hiệu là ả.b, được xác định bởi

ä.b= lãI.Ibl.cos(ä,b)

¢ Bình phương vô hướng: ả? = á.äã= lảl?

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của

a) Cho hai vectơ OA,OB Gọi B' là hình chiếu của B trên đường thẳng

OA thi |al= OA-OB” Vectơ OB“ gọi là hình chiếu của vectơ OB

trên đường thẳng OA công thức OA-OB = OA-OB' gọi là công thức chiếu

b) Cho đường tròn (O ; R) và M cố định Một đường thẳng A di qua M

cắt đường tròn tại A và B thì : MA.MB=MO=R? =d?-R? (với

d=OM)

Giá trị không đổi MA-MB = dÊ - R gọi là phương tích của M đối với

đường tròn (O), và kí hiệu là: ‹44

5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho ä=(x; y) và b=(x'; y') Khi đó :

a) ä-b=X-X'+y-V

b) lal= yx? +y?

c) cos(a,b) = xy (a + 0,b # 0)

36 - G8T HÌNH HỌC 10 NC

Đặc biệt á Lb co xx'+ yy'=0

Hệ quả M(xw,yw), N(XN,YN)

MN = IMNI= J(xụ ~ Xu)? + (Vy ~ Yaa)?

E PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TAP

4 Trong trường hợp nào tích uô hướng G-b có giá trị dương, có giá trị

5 Tho tam gidc ABC Téng (AB, BC)+(BC,CA)+(CA, AB) c6 thé nhén

éi@ tri nao trong cdc gid tri sau : 90°; 180°; 270°; 360° 2

0 cos(AB, BC) + sin(BA, BC) + tan =

Ò)- sin(AB,AC) + cos( BC, BÀ) + cos(CA,BÄ)

sin(AB, AC) + cos(BC, BA) + cos(CA,BA) = sin90° + cos30° + cos.9C’

Từ đó suy ra DC-AB=0 do đó DC L AB Vậy D nằm trín đường cao

CC của tam giâc, tức lă ba đường cao trong tam giâc đồng quy

8 Chúng minh rằng điều kiện cđn uò đủ để tam giâc ABC vuông tại A lă

<>Tam giâc ABC vuông tai A

9 Cho tam giâc ABC uới ba trung tuyĩn AD, BE, CF

Chitng minh rang BC.AD + CA.BE + AB.CE = 0

®Giải Ta có : AD = 2 (AB + Ồ) A

—— | mnU cm

CF = 1 (CA + CB) 2 B D Cc

Do dĩ: BC-AD + CA- BE+ AB-CF

# B6(AB + A6) + Ì 2 CA(BÔ + BỘ) + = ABCA + CB)

= 1 A CA-BA +CA-BC+AB-CA + AB-CB)

= 2IŒB6- AB + AB- CB) + BO-AC + CA BO) + (CA-BA + AB-CA)I-0

3 - G8T HÌNH HỌC 10 NC

10 Cho hai diém M, N nằm trên dường tròn đường kính AB = 2R Gọi I

là giao điểm của hai đường thẳng AM va BN

a) Chứng mình rằng AM -A] = AB-Al ; BN - BI = BA- BI

b) Ap dung cau a) ta có:

AM AI+BN-BI =AB- AI +BA-BI

= AB(AI - BI) = AB-AB = AB? = 4R?

LI Cho hai đường thẳng a va 6 cdt nhau tại M Trên a có hai điểm A uà

B, trên b có hai điểm C va D théa man MA-MB = MC-MD Ching

mình rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

e@ Giải Gọi (O) là đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC Gọi D' là giao

điểm của b với (O)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

12 Cho đoạn thẳng AB cố định AB = 2a uà một số kỀ Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA? -MBỲ = k?

e Giải Gọi O là trung điểm đoạn AB, H là

hình chiếu của M lên AB Ta có :

a asx 2 2

< HO-BA = = Suy ra H cố định nằm trên tia OB và OH = x

4a Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H, H

2 nằm trên tỉa OB sao cho OH = x

13 Trong mat phdng toa dé cho #= Sỉ - sĩ nữ ö=ki-47

a) Tinh chu vi uà diện tích của tam giác đó

b) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm E va tâm Ï của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC Từ đó hãy kiểm tra tính chết thẳng hàng của ba

diém I, G, H

® Giải

a) Ta có: AB =(6;3), AC = (6;-3), BC = (0; -6) A Suy ra AB= Ve? +3? = J45 = 35

AC = 6? +(-3)? = V45 = 3õ

BC = y0? +(-6)? = 6

Tam giác ABC cân tai A

Chu vi tam giác ABC là 35 + 35 + 6 = 6(VB + 1)

Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của tam giác ABC

Do dé: IG = —IH, suy ra I, G, H thang hang

wl

C BAI TAP LAM THEM

1 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60°

2 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tinh AB-AC va AO-BC

3 Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8

a) Tinh AB-AC va géc A

b) Tinh d6 dai trung tuyén AM

e) Xác định điểm I thoả BÏA + 3ÏC = Ö

d) Tinh AB-IA va BI

4 Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6

Tính AB: B€ + B- CA + CA - AB

GBT HÌNH HỌC 10 NC - 4]