Một số dạng toán thường gặp về giao điểm của đồ thị hàm số phân thức

Xác định m để đt d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị thoả mãn điều kiệnTìm m để đt d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2,1)xác định m để....góc AOB nhọn

Trang 1

VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC y ax b

cx d







Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.

Phương pháp giải:

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm: mx n cx ax d b













c d x

C Bx Ax

/

(*) 0

2

2 Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

Xảy ra các khả năng:

* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c

* d cắt (C) tại một điểm  thỏa mãn một trong hai trường hợp:

- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -d/c

- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c

* d không cắt (C)  thỏa mãn một trong hai trường hợp:

- phương trình (*) vô nghiệm

- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c

Bài tập giải mẫu:

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2 3







x

x m













 2

0 2 2 ) 1 (

2

x

m x m x

(C) cắt d tại hai điểm phân biệt  2 ( 1 ) 2 2 0









 

















0 2 2 ) 1 (

2

4

0 ) 1 ( 8 ) 1

m m

 m2  10m 9  0  m(-; 1)( 9; +)

Vậy m(-; 1)( 9; +)

Chú ý: giả sử d cắt (C) tại hai điểm A( x1, y1), B(x2,y2)

* A, B cùng nhánh  x1 x2  d/c hoặc  d/cx1 x2

 ( 1 )( 2  )  0

c

d x c

d

2 1 2

1 2





 cd x x d x

x c

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số

2

2 3





x

y (C) cắt đường thẳng d: y = x + m tại hai điểm

phân biệt

Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d:2x ym 0 luôn cắt đồ thị hàm số

1







x

tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

Trang 2

* A, B khác nhánh  x1  d/cx2

 ( 1 )( 2  )  0

c

d x c

d

2 1 2

1 2





 cd x x d x

x c

Lời giải: TXĐ: R\{1}.

1

1 2









x

x m







 1

0 1 )

3 (

2 2

x

m x m x

(1)

2 2 17 ( 1 ) 2 16 0











 (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A, B

Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1.x2 = - m21, x1 + x2 = - m2 3

Xét = -

2

1



m

+ 2

3



m + 1 = - 1 < 0  x1 < 1 < x2

Vậy A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

Chú ý: Dấu về nghiệm của phương trình: 2 0





bx c

ax , a 0

* Phương trình có 2 nghiệm dương  









0 0

P

* Phương trình có 2 nghiệm âm  









0 0

P S

* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  P < 0

m(x 2 ) x x 1  







 0

0 1 ) 1 2 (

2

x

x m mx

(1)

do m khác 0,   4m2  1  0 với mọi m  (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.

Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 = (2m + 1)/m, x1 x2 = 1/m

Nếu m > 0: x1 + x2 > 0 và x1.x2 > 0 Suy ra x1 , x2 dương

Nếu m < 0: x1.x2 < 0  x1, x2 trái dấu nên có ít nhất một số dương.

Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y = x 1 x luôn cắt đường thẳng y = m(x-2), (m khác 0) tại

2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất 1 điểm có hoành độ dương

Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số

2







x

y (C) có hai điểm phân biệt A(x1,y1), B(

)

, 2

2 y

x thuộc cùng một nhánh của (C) sao cho: 















0 0

2 2 1 1

m y x

Trang 3

Hai điểm A(x1,y1), B(x2,y2)thỏa mãn: 















0 0

2 2 1 1

m y x

thì A, B thuộc đường thẳng

d: x - y + m = 0  y = x + m Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm trên giao điểm của (C) và d

Khi đó phương trình :

2









x

x m

x có hai nghiệm phân biệt  2

x  m x m  có hai nghiệm phân biệt khác -2



2 6 7 0



  m  1 hoặc m 7

A, B cùng nhánh khi (x1 + 2)( x2 + 2) >0  x1.x2 + 2( x1 + x2) + 4 > 0

 2m + 2 + 2(-m - 2) + 4 > 0: luôn đúng

Vậy m  1 hoặc m 7

Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

2 Gọi giao điểm là A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*).

1 2 2 2 1

(x  x m x  x = ( 1 )[( ) 2 4 2 1]

1 2



3 Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 và x1.x2 theo tham số

 khoảng cách AB biểu thị theo tham số

4 Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.

* Định lý Viet: Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình 2 0 ,





bx c

x1x2   a b, x1.x2 a c

Trang 4

* 1 2

2 2 1

2

1 x (x x ) 2x x

2 2 1

2 2

(x  x  x x  x x

12









x

x m











 1

0 2 2

x

m mx x

(1) (C) cắt d tại hai điểm phân biệt  phương trình: 2 2 0







 mx m

khác 1  

















0 2 1

0 ) 2 ( 4

2

m m

luôn đúng.

Gọi giao điểm là A(x1; -x1 + m), B(x2; -x2 + m), với x1, x2 là nghiệm của (1)

1 2 2 1

(x  x  x x = 2 [( ) 2 4 2 1]

1

do x1 + x2 = m, x1.x2 = m - 2 nên AB = 2 2 8 16



m

1 AB = 4  2 2 8 16



m = 4  m = 0, m = 4.

2 AB = 2 ( 2 ) 2 8 2 2







m Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.

Lời giải: TXĐ: R\{- 4}

S = 21 d(O, ).AB Ta có d(O, ) = 12 Do đó: S = 2  AB = 4

Áp dụng cách giải bài 3.1 ta tìm được m = 9/4

Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số 12





x

y (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:

1 độ dài đoạn AB bằng 4

2 độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Bài 2: Tìm m để đường thẳng: y = - x + 1 cắt đồ thị 2 4







x

m x

y (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2

Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số

2

2 3





x

y (1) tại hai điểm A và B Xác

định m để đường thẳng d: y = x  cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là m

hình bình hành

Trang 5

Ta tìm được A(-1; -1), B(2; 2)  AB = 3 2

ABCD là hình bình hành  AB//CD và AB = CD

* AB//CD khi đường thẳng y = x song song với y = x  m  m0

* CD = AB  CD = 3 2:

3 22







x

x m















 2

0 2 2 ) 1 (

2

x

m x m x

(1) cắt d tại hai điểm phân biệt  2 2 0







 mx m

x có hai nghiệm phân biệt khác - 2 























0 2 2 2

2

4

0 9 10

2

m m

 m < 1 hoặc m > 9.

Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m) Khi đó AB = 2 [( ) 2 4 2 1]

1

do x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - 2 nên CD = 2 2 20 18



m

CD = 3 2  2 2 20 18



m = 3 2  m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn).

Vậy m = 10.

Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm cho trước.

Cho hai điểm A(x1,y1), B(x2,y2)

* A, B đối xứng nhau qua điểm I(x0,y0) 













0 2

1

0 2

1

2 2

y y

y

x x

x

* A, B cách đều điểm M  MA = MB

A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O  d đi qua O  b = 2

Khi đó d: y = ax Phương trình hoành độ giao điểm:

3 22





x

ax  









 2

0 2 ) 3 2 (

2

x

x a ax

(1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  























0 2 6 4

4

0 8

) 3 2

( 0

2

a a

a

: luôn đúng

Gọi A(x1; ax1), B(x2; ax2 )

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax 2 b 4 cắt đồ thị hàm số 3 22





x

hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Trang 6

A, B đối xứng nhau qua O  O là trung điểm của AB  1 2

0 0

x x

ax ax







 x1+ x2 = 0  a = 3/2.

2 2 11











x

x m











 1

0 3 2

2

x

m mx mx

(1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  





















0 3 2

0 ) 3 (

' 0 2

m m m

m

 m > 0.

Khi đó A(x1; mx1 + 2 - m), B(x2; mx2 + 2 - m), x1, x2 là nghiệm của (1).

Tam giác ABM cân tại M  MA = MB và A, B, M không thẳng hàng

* A, B, M không thẳng hàng: M d: 12m + 2 - m  m-1

2

2 2

2 1

2

1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) (x   mx   m  x   mx   m

 ( 1 2 )( 1 2) 2 ( 1 ) 4 0







m x x m thay x 1 x2= 2  ( 1 2 ) 2 2 ( 1 ) 4 0







m m nghiệm m = 0(loại), m = 2: thỏa mãn Vậy m = 2

Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số 2 11







x

y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2; 1)

Trang 7

Bài toán 4: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một đường thẳng.

1) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng   thỏa mãn cả hai điều kiện:

* AB

* trung điểm I của đoạn AB thuộc 

2) A, B cách đều đường thẳng d  thỏa mãn một trong hai điều kiện:

* AB// 

* trung điểm I của đoạn AB thuộc 

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}

2

1

 y x A, B đối xứng nhau qua đường thẳng  thì d   Suy ra a = -2.

Khi đó d: y = -2x + b Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):









x

x b









 2

0 2 ) 5 (

2 2

x

b x b x

(1) Ta có:





















0 2 ) 5

(

2

4

0 8 )

5

b b

với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)

Gọi I là trung điểm của AB  I(x1x2 ; x1 x2 b

4

b

)

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng   I thuộc   b = -3.

Vậy a = -2, b = -3.

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax  bcắt đồ thị hàm số

2





x

y (C) tại hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng  :x 2y 4  0

Bài 2: Cho hàm số

1

2







x

m x

y và đường thẳng d: y = mx + 2.

1 Tìm m để đồ thị hàm số và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, C sao cho khoảng cách từ

A, C đến trục hoành bằng nhau

2 Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C là các đỉnh đối diện và các cạnh song song với các

trục tọa độ Xác định m để diện tích hình chữ nhật bằng 20.

Trang 8

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 1









x

m x







 1

0 2 2

x

m mx mx

d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, C  

















0 2

0 ) 2 (

4 0

2

m m m

m

 









 0 5 8

m m

Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2)  trung điểm AB: I(

2

4 ) (

; 2

2 1 2

1 x m x x 

x

)

1 A, C cách đều Ox khi:

TH1: d//Ox  m = 0: không thỏa mãn (*)

TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox: m(x1x2)  4  0 m = - 4: thỏa mãn (*)

2 B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1 + 2)

AB = x 1 x2 , AD = m x 1 x2

S = m (x 1 x2)2 = m

m

m 8

5 

S = 20 khi:

* m > 0: 5m + 8 = 20  m = 12/5

* m < 0: 5m + 8 = -20  m = -28/5

y

O

Trang 9

Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc

1 Góc AOB tù khi: OA2 + OB2 < AB2 hoặc  .  0

OB

2 Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 hoặc  .  0

OB

3 Góc AOB nhọn khi: OA2 + OB2 > AB2 hoặc  .  0

OB

Tam giác OMN vuông tại O khi  .  0

ON

3 2 21









x







 2

0 7 ) 1 2 (

2

x

x m mx

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N  



















0 5 4

4

0 28

) 1 2

( 0

2

m m

m

(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (*), ta có M(x1, mx1 + 3), N(x2, mx2 + 3).

0



ON

OM  x1 x2 + (mx1 + 3)( mx2 + 3) = 0.

 (1 + m2) x1 x2 + 3m(x1 + x2 ) + 9 = 0,

thay x1 + x2 = (2m - 1)/m, x1 x2 = -7/m ta có m2 - 6m + 7 = 0  m = 3  2: tm (*)

Góc AOB nhọn khi  .  0

OB

OA Phương trình hoành độ giao điểm:

Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị hàm số 2 21







x

điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O

Bài 2: Cho hàm số 23







x

y có đồ thị (C) Tìm m sao cho đường thẳng d: y = - x + m +1 cắt

đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB nhọn

Trang 10

2

3 1











x

x m







 2

0 5 2 ) 2 (

2

x

m x m x

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N  2 4 16 0





 m

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 + m + 1).

0



OB

OA  x1 x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > 0.

 2 x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1) 2 > 0

thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + 5 ta có m > - 3.

Kết hợp (*) có -3 < m < 2  3 hoặc m > 2  3

Đường tròn đường kính AB đi qua O  góc AOB vuông   .  0

OB

Phương trình hoành độ giao điểm  x2  mxm 2  0, x1 (1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  2 4 8 0





 m

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), A(x1, - x1 + m), B(x2, - x2 + m).

0



OB

OA  x1 x2 + (- x1 + m)( - x2 + m ) = 0.

 2 x1x2 - m(x1 + x2 ) + m 2 = 0

thay x1 + x2 = m, x1 x2 = m + 2 ta có m = - 2: thỏa mãn điều kiện

Vậy m = - 2.

Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số

1

2







x

y tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho đường tròn đường kính AB đi qua gốc tọa độ O

Trang 11

* Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

* Gọi giao điểm là A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*)

* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2)

* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.

Chú ý:

- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2).

- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau  thì y'(x1) y'(x2) = - 1.

2 11









x

x m







 1

0 1 )

3 (

2 2

x

m x m x

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  



















0 1 3

2

0 ) 1 ( 8 ) 3

m m

: luôn đúng

Khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m)

Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc y'(x1) = 2

1 1 ) (

2



Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc y'(x2) = 2

2 1 ) (

2



Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2) 

2 2

2

1 1 ) ( 1 )

(x   x   x1x2  2  2

2

3





 m

 m = - 1.

Thử lại: tiếp tuyến của đồ thị tại A: y = -2x - 1, tiếp tuyến tại B: y = - 2x + 7: thỏa mãn

Vậy m = - 1.

Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = 2x  mcắt đồ thị hàm số 11







x

y tại hai điểm

A, B sao tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x  luôn cắt đồ thị hàm số m

1 2

1









x

x y

tại 2 điểm A, B Gọi k1, k2lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B Tìm m để

2

k  đạt giá trị lớn nhất

Trang 12

Lời giải: TXĐ: R\{1/2}

Phương trình hoành độ giao điểm  2x2  2mx m 1  0, x1/2 (1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  

















0 1 2

/ 1

0 2 2 2

m m m m

: luôn đúng

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1 x2 = - (m + 1)/2

khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m)

Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k 1 = 2

1 1 ) 2 (

1



Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k 2 = 2

2 1 ) 2 (

1



k 1 + k 2 = 2

1 1 )

2

(

1



2 1 ) 2 (

1



2 1 2 1

2 2 1

] 1 ) (

2 4

[

2 ) (

4 8

) (

4













x x x x

x x x x x

x

= 4 2 8 6









Vậy k 1 + k 2 lớn nhất khi m = -1.

Bài toán 7: Một vài bài toán khác Bài 1: Cho hàm số 2 1







mx

m x

y (m 0) có đồ thị (C) và đường thẳng: y = 2x -2m  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B  cắt Ox, Oy tại C, D

Trang 13

Lời giải:

SOAB = 21 d(O, ).AB với d(O, ) = 2 m5

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)  2 2 2 1 0





 mx

ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m)

AB = 5 [( ) 2 4 2 1]

1

x   = 5 ( 2 2 )



m  SOAB = 2 2



m m

 cắt Ox tại C(m; 0),  cắt Oy tại D(0; -2m)  SOCD = m2

SOAB = 3SOCD  2 2



m

m = 3 m2  m = 1/2 và m = -1/2

Lời giải:

Phương trình : y = k(x - 1).

Phương trình hoành độ giao điểm của và (C)  kx2 (2k1)x k  2 0 , x1 (1)

cắt (C) tại hai điểm phân biệt  k > -1/12, k  0 Khi đó M(x1, kx1 - k), N(x2, kx2 - k).

* M và N khác nhánh  k > 0: ta có AM 2AN





 Theo ĐL Viét: 1 2

2k 1

x x

k



   x1= (k + 2)/k, x2= (k -1)/k,

Thay vào 1 2

2

k

x x

k



 có k = 2/3: thoả mãn < M(4; 2) N(-1/2; -1)>

* M và N cùng nhánh  -1/12 <k < 0: ta có AM 2AN

1 2( 1)





 Theo ĐL Viét: 1 2

2k 1

x x

k



   x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k,

Thay vào 1 2

2

k

x x

k



 có k = -2/27: thoả mãn < M(-8; 2/3) N(-7/2; 1/3)>

Vậy k = 2/3 và k = -2/27

Bài 2: Cho hàm số 12







x

y có đồ thị (C) và đường thẳngđi qua A(1; 0) và có hệ số góc

k Tìm k để  cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và AM = 2AN

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	665,5 KB