Tóm tắt lí thuyết 1.. Căn bậc hai số học Định nghĩa: Với số dương a, số √ được gọi là căn bậc hai số học của a... Vậy √ √ Điều ngược lại chứng minh tương tự như trên hoặc dùng phản c
Trang 1CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA (Phần 1)
I CĂN BẬC HAI
A Tóm tắt lí thuyết
1 Căn bậc hai
Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
a > 0 : có hai căn bậc hai là √ √
a = 0 : có một căn bậc hai là √ = 0
a < 0 : không có căn bậc hai
2 Căn bậc hai số học
Định nghĩa: Với số dương a, số √ được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được
gọi là căn bậc hai số học của 0
Chú ý: Với a ≥ 0, ta có x = √ {
3 So sánh các căn bậc hai số học
Định lí: Với các số a và b không âm, ta có:
a < b √ √
B Bài tập
Bài 1: Tìm x sao cho:
a, x2 = 16 b, x2 =
c, x2 = -4
Hướng dẫn giải
a, x2 = 16 thì x = 4 hay x = -4
b, x2 =
thì x = hay x =
c, x2 = -4 thì không tồn tại số thực x
Bài 2: Tính
a √ b √ c √ d √
Trang 2e √ f √ √ g (√ √ ) : 2
Hướng dẫn giải
a √ b √ c √
d √
e √
f √ √ = 1,2 + 2.0,3 = 1,8
g (√ √ ) : 2 = ( ) : 2 = : 2 =
Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:
a √ b (3 +√ )(3 √ )
c (3√ √ d (5√ √
Hướng dẫn giải
a √ 22 - 4√ (√ ) 2 = 4 - 4√ + 5 = 9 - 4√
b (3 + √ ( 3 √ ) = 32 – (√ )2 = 9 – 2 = 7
c (3√ √ = (3√ )2 – 1 = 9(√ )2 – 1 = 9.5 – 1 = 44
d (5√ √ = (5√ )2 – 32 = 25.( √ )2 – 9 = 25.2 – 9 = 41
Bài 4: Giải phương trình:
a √ = 3 b √ √
c √ d √
Hướng dẫn giải
a √ = 3 nên x2 = 32 vậy x = 9
b √ √ nên x = (√ )2 vậy x = 5
c √ nên x = 0
Trang 3d Vô nghiệm vì √ ≥ 0
Bài 5: So sánh các số
a 2√ và 10 b 2 + √ và 3 + √
Hướng dẫn giải
a Áp dụng định lí a > b ≥ 0 √ √
Ta có 31 > 25 nên √ > 5
Hay 2√
b Áp dụng định lí a > b ≥ 0 a2
> b2
Ta có: (2 + √ )2
= 7 + 4√ (3 + √ )2 = 11 + 6√
Nhưng 4√ 6√ (vì (6√ )2 = 48 ; (6√ )2 = 72)
Nên 7 + 4√ 11 + 6√
Vậy 2 + √ < 3 + √
Bài 6: Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng:
a Nếu a = b thì √ √ và ngược lại
b Nếu a > b thì √ √ và ngược lại
Hướng dẫn giải
a Do a và b dương nên √ √ đều xác định và đều là số dương
Từ a = b (giả thiết) nên a – b = 0 Ta có:
a – b = (√ )2 – (√ )2
= (√ + √ )( √ - √ )
vì a – b = 0 và √ + √ > 0 nên suy ra √ - √ = 0 Vậy √ √
Điều ngược lại chứng minh tương tự như trên hoặc dùng phản chứng
b Dùng cách chứng minh tương tự câu a
Trang 4Bài 7:
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 1 + √
b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 5 - √
Hướng dẫn giải
a Ta có: √ ≥ 0 nên A = 1 + √ ≥ 1
Suy ra A có giá trị nhỏ nhất bằng 1 √ = 0 Hay x = 2
b Ta có : √ ≥ 0 nên √ ≤ 0 hay B = 5 - √ ≤ 5
=> B có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi √ = 0 hay x =
A Tóm tắt lí thuyết
1 Căn thức bậc hai
* Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi √ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
* √ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm Với mỗi giá trị không âm của
a thì √ lấy giá trị là căn bậc hai số học của a
2 Hằng đẳng thức √ = |A|
Định lí: Với mọi số a, ta có √ = |a|
Chú ý: Một cách tổng quát, với A là biểu thức ta có √ = |A| = {
B Bài tập
Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau:
Trang 5a √ √ b 5,4 + 7√
c √ √ d (√
√
)
Hướng dẫn giải
a √ √ = 0,2 + 0,5 = 0,7
b 5,4 + 7√ = 5,4 + 7.0,6 = 9,6
c √ √ = 0,5.10 = 5 – 0,4 = 4,6
d (√
√
) (√
√
) (√ √ ) ( ) = 0,1
Bài 9: Tìm giá trị của x để các căn thức sau có nghĩa:
a √ b √
c √ d √
Hướng dẫn giải
a √ có nghĩa a – 1 ≥ 0 a ≥ 1
b √ có nghĩa 2 – 3x ≥ 0 3x ≤ 2 x ≤
Tương tự
c x < 1
d x ≤ (vì x2 + 1 > 0 với mọi x)
Bài 10: Tính
a √ √ √ √ ;
b √ √ √ √
Trang 6Hướng dẫn giải
a √ √ √ √ = |1 - √ + |2 - √ = √ √ = 1
b √ √ √ √ = 2.(3 - √ √ = 12
Bài 11:
a Rút gọn: √ √ √ √
b Giải phương trình √ √ √ √ √
Hướng dẫn giải
a Xét 6 + 4√ = 4 + 4√ + 2 = (2 + √ )2
Tương tự 6 - 4√ = (2 - √ )2
=> √ √ √ √ = √ √ √ √ = 2 + √ √
b Từ câu a, phương trình đã cho được viết : √ = 4
|x – 1| = 4 x – 1 = ± 4 x = 5 hoặc x = -3
Bài 12: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng của hiệu hai bình phương rồi phân tích ra
thừa số:
a x2 – 2 b x – 9 với x > 0
c 4 + 3x với x < 0 d 5 – 16x2
Hướng dẫn giải
a x2 – 2 = x2 – (√ )2 = (x - √ )(x + √ )
b Với x > 0 ta có x – 9 = (√ )2 – 32 = (√ √
c Với x < 0 ta có 4 + 3x = 22 – 3.(-x) = 22 – (√ )2
= (2 - √ )(2 + √
d 5 – 16x2 = (√ )2 – (4x)2 = (√ √
Trang 7Bài 13: So sánh:
a √ √ và 7 b √ √ và √
c √ và √ d √ √ và √ √
Hướng dẫn giải
a Vì √ √ = 3 và √ √ = 4 nên √ √ < 3 + 4 = 7
b Ta có √ √ = 4; √ √ = 2 nên:
√ √ > 4 + 2 + 1 = 7 = √ > √
c √ √ = 5 = √ < √
Vậy: √ √
d Chú ý rằng: với các số dương a, b thì: a2 > b2 a > b
Giả sử √ √ > √ √ √ √ √ √ √ √
√ √ 18 > 12
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên: √ √ > √ √
Bài 14:
a Trong các số sau đây, số nào là số nguyên?
x = √ √ √ √ ; y = √ √ √ √
b Chứng minh rằng với x ≥ 1 thì
√ √ √ √ {
√
Hướng dẫn giải
a √ √ √
√ √ √
Trang 8Do đó x = 4
Vậy x là số nguyên
Ta có: y = 2√
Vậy y không phải là số nguyên
b Gọi biểu thức cần thu gọn là A, ta có:
A = |√ √
Ta luôn có |√ √ (x ≥ 1)
Với |√ ta thấy:
+ x ≥ 2 thì √ ≥ 1, do đó |√ - 1| = √ - 1
+ 1 ≤ x ≤ 2 thì √ , do đó |√ - 1| = 1 - √
Từ đó ta có √ √ √ √ {
√