HƯỚNG dẫn ôn tập kỳ THI TRUNG học PHỔ THÔNG QUỐC GIA THPT QUỐC GIA môn TOÁN

Lai giới, thiệu, Ngày 09 tháng 9 năm 2014 Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đảo tạo ban hành Quyết định số 3538/QĐ~BGDĐT về việc Phê duyệt phương án thi tỗt nghiệp Trung học phô thông và tuyên si

| yal ch 2 hủy Mp key, DOAN QUYNH (Chi bién)

DOAN MINH CUONG - NGUYEN KHAC MINH - PHAM ĐỨC TÀI

HUGNG DAN ON TAP

Ki THI TRUNG HOC PHO THONG QUOC GIA

Người đọc góp ý:

PGS TS PHAN DOAN THOẠI

TS TRAN HOU NAM ThS NGUYEN TH] THANH XUAN

Lai giới, thiệu,

Ngày 09 tháng 9 năm 2014 Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đảo tạo ban hành Quyết định số 3538/QĐ~BGDĐT về việc Phê duyệt phương

án thi tỗt nghiệp Trung học phô thông và tuyên sinh đại học, cao đẳng lừ năm 2015 nêu rõ ; "Tứ năm 2015, tổ chức một kỉ thí Quốc gia (gọi là kì thi Trung học phổ thông Quốc gia) lẫy kết quả để xét công nhận tốt nghiệp Trung học phổ thông vả làm căn cử xét tuyển sinh đại học, cao đẳng” "Để được xét công nhận tốt nghiệp Trung học phổ thông vả xét tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng, thí sinh phải thi 4 môn (gọi là

4 môn thị tối thiểu) gồm 3 môn bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ

và 1 môn tự chọn trong số các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học, Lich str va Dial’ “Cac môn Toản, Ngữ van, Lịch sử, Địa li : Thi tự luận, thời gian thi 180 phút "Các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học Ngoại ngữ : Thi trac nghiệm, thời gian thi 90 phút" “Đề thị đánh giá thí sinh ở 4 mức độ : nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao, đảm bảo phân hoá trình độ thi sinh"

Để giúp học sinh có tài liệu ôn thi dap ung yêu cầu của Bộ Giáo dục

và Đào tạo đối với kì thị Trung học phé thông Quốc gia, Công ty CP Bau tu

va Phát triển Giáo dục Hả Nội - NXB Giáo dục Việt Nam xuất bản bộ sách Hướng dẫn ôn tập kì thí Trung học phô thông Quốc gia năm học 2014

- 2015 Bộ sách gồm 8 cuốn, tương ứng với 8 môn học : Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Lich sử và Địa lỉ

Cấu trúc của mỗi cuốn đều gồm 2 phần lớn sau đây :

Phần một Ôn tập theo chủ đề

Trinh bay các chủ đề cần ôn tập ; trong đó ngoài các chủ đề ở lớp 12, côn có một số chủ để ở lớp 10 và lớp 11 Mỗi chủ để đều trình bảy những kiến thức, kĩ năng đáp ứng sự phát triển năng lực của học sinh và một hệ thống các câu hỏi, bải tập ôn luyện nhằm bồi dưỡng cho học sinh ở cả 4 mức độ : nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Ngoài ra, trong một số chủ đề, sách còn nêu một số bai tập ở mức độ nâng cao, giúp học sinh thi vào một số trưởng đại học lớn

Phan hai Miột số đề tự luyện

Mỗi cuốn đưa ra khoảng 10 dé cho học sinh rên luyện và thứ sức

trước ki thi này

Các bài tập và đề tự luyện đều có hướng dẫn giải cùng với những

điều phân tích, lưu ÿ sư phạm lÍ thu Trong quá trình ôn tập, học sinh tự

tìm thêm những cách giải khác

Các tác giả của bộ sách là tác giả, chủ biên, tổng chủ biên SGK ;

giáo viên giỏi ở các trường phổ thông ; giảng viên các trưởng Đại học ;

chuyên viên của một số cơ quan chuyên môn và các chuyên gia giàu

kinh nghiệm trong lĩnh vực khảo thí

Hi vọng bộ sách đáp ứng tốt nhu cầu về tài liệu ôn tập kì thi Trung

học phổ thông Quốc gia năm học 2014 - 2015 của học sinh

Xin chân thành cảm ơn các em học sinh, các thây cô giáo, các bậc

cha mẹ học sinh và bạn đọc về những ý kiến đóng góp cho Bộ sách

này Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về : Công tỉ Gỗ phần Đâu tư và

Phát triển Giáo dục Hà Nội, Tòa nhà văn phòng HEID, Ngõ †12, Láng Ha,

Ba Đình, Hà Nội

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

giáo Trun

( nghiệ trên

cu bd mot ¢ đọc v dạng đăng thuộc bải tc chu d toán (

\

I nhằm dượt,

dé kik

(thời

se ae a

L£6i néi daw

Cuốn sách được biên soạn nhằm cung cấp cho các em học sinh, các thầy, cô

giáo một tài liệu tham khảo hữu ích trong quá trình ôn luyện chuẩn bị cho kì thí

Trung học phd théng (THPT) Quốc gia năm 2015

Nội dụng sách gồm hai phần:

— Phần mội Các bài toán ôn tập theo chủ dé:

~ Phân hai Một số đề tự luyện

Các chủ để trong Phần một được xây dựng theo khung ma trận để thi tốt nghiệp THPT môn Toán và khung ma trận để thi tuyển sinh đại học, cao ding mén Toan năm 2014 Trong mỗi chủ dễ, cùng với việc hệ thống hoá các kiến thức

cơ bản, cần thiết và các phương pháp giải toán thông dụng, chúng tôi có để xuất một số bài tập chọh lọc nhằm thông qua lời giải các bài tập đó, trao đổi với bạn đọc việc vận dụng các kiến thức và sử dụng các phương pháp đã nêu để xử lí các dạng toán thường gặp trong các ki thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học, cao dang Vi trong các kì thì vừa nêu, các thí sinh được phép sử dụng các kiến thức thuộc pham vi Chương trình Nâng cao môn Toán cấp THIPT hiện hành để giải các bai toán trong đề thi (theo quy định của Bộ Giáo dục và Đảo tạö) nên ở một số chủ đề, chủng tôi có đề cập đến các kiến thức lí thuyết và các phương pháp giải toán thuộc phạm vi cla Chương trình đó

Việc biên soạn nội dung các chủ đề được phân công trong nhóm tác giả như sau;

- GS Đoàn Quỳnh: Các chủ đề 5, 6 và 7;

_ Ông Doãn Minh Cường: Các chủ đề 3, 4 và 9;

~ Ông Nguyễn Khắc Minh: Các chủ đề 8 và 10;

~ Ông Phạm Đức Tài: Các chủ để 1 và 2

Phần hai gồm 10 để tự huyện (có lời giải hoặc hướng dẫn giải kèm thea), nhằm giúp các em học sinh tự đánh giá kết quả ôn tận của mình, đồng thời tập đượi, rèn luyện cách thức, kĩ năng giải quyết các bài toán đa dang, thuộc các chủ

để kiến thức khác nhau, có mức độ để - khó khác nhau, trong thời gian 180 phủt (thời gian làm bài của buổi thi môn Toán, ki thi THPT Quốc gia)

Bằng vốn hiểu biết và kinh nghiệm trong lĩnh vực khảo thí cac năm qua, lập thể nhóm tác giá đã xây dựng các đề tự luyện dựa trên các căn cứ chính dưới dây:

¬ Các yêu cầu dối với để thị của kì thi THPT Quốc gia (theo Dự thảo Quy

chế thí THPT Quốc gia cua Bộ Giáo dục và Đảo tạo);

~ Định dạng đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán (Giáo dục phổ thông và Giáo

dục thường xuyên) và dé thì tuyển sinh đại học, cao đăng môn Toán (các khối) nam 2014

Nội dụng cua mỗi dễ tự luyện chủ yếu thuộc phạm vi nội dung chương trình lớp 12 THPT môn Toán (chương trình Chuẩn), đảm bảo bám sát Chuẩn kiến thức,

kĩ năng của Chương trình Chuẩn Giáo dục phổ thông môn Toán cấp THPT hiện hành (có tính đến các nội dung “giảm tải” đã được Bộ GD&ĐT bạn hành) và gồm hai phan: phan co ban va phan nang cao (được trình bay dan xen nhau trong dé) Các bài toán (câu hỏi) thuộc phần cơ bản được xây dựng theo tiêu chí đảm bảo đánh giá được năng lực, kết quả học tập của người học theo mức “tốt nghiệp phê thông”, sau khí học hết chương trình THPT hoặc chương trình Giáo dục thường xuyên cấp THPT hiện hành Các bài toán (câu hỏi) thuộc phân nâng cao được xây dựng theo tiêu chỉ đám báo phân loại được năng lực, trình độ cua các thí sinh, làm căn cử cho việc xét tuyên vào các trưởng đại học, cao đăng

Nhằm tạo diều kiện thuận lợi cho việc theo đối của các học sinh có năng lực học tập ở mức trung bình khá, lời giải của một số bài toán trong các để tự luyện dược trình bày chỉ tiết hơn mức cần thiết (khi làm bai thi)

Các tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Phan Doãn Thoại, TS Trần Hữu Nam, T8 Nguyễn Thánh Anh, Th§ Nguyễn Thị Thanh Xuân, Th$ Phạm Bảo Khuê và các biên tập viên Hoàng Việt, Nguyễn Trọng Thiệp về những góp ý rất quý báu cho cuốn sách

Chúng tôi mong rang cuốn sách sẽ góp phần tích cực vào việc nâng cao hiệu

quả ôn luyện chuẩn bị cho ki thi THPT Quéc gia năm 2015 của các em học sinh

và chúc các em có một kỉ thi thành công như ý

Tháng 02 năm 2015

CÁC TÁC GIÁ

Phén mot

CAc BAI TOAN ON The THEO CHU DE

hy

Chủ đề ï

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, KHẢO SÁT VÀ VỆ ĐỎ THỊ HAM SO

A Các kiến thức, lj năng định hướng phát triển năng lực

1 Tỉnh đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y # fx) xác định có dao hàm trên Ð (D là một đoạn một khoảng hoặc nưa khoảng) và đạo hàm chỉ triệt tiêu tại một số hữu hạn diém

~ Hamsé ï dồng biến trên D œf'@}>0, xe D

— lầm sẽ f nghịch bién én D @ I(x) $0, Vx € D

Các dạng toán thường gặp

—_ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

— Tim điều kiện của tham số để hàm số đẳng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước

— Sư dụng tính đơn điệu cua ham số để giải phương trình bất phương trình hoặc ching minh bất đăng thức

2, Cực trị của hàm số

~ Nếu hàm sế f{x) xác định trên (a; b), đạt cực trị tại xạ € (4; b) và có đạo hàm

tại Xo thi (xo) =0

— Gidsirham sé f(x) liên tục trên (a; b) Khi đó:

~ Gia su ham số f{x) xác định trên (a; b) và xạ œ (a, b) Khi đó:

a) P@,)=9

£"(x,) > 0

b) f(xy) =0

f(x) <0

| => xạ là điểm cực tiểu của f(x);

=> xy ladiém cực đại của f(x)

Các dạng toán thường gặp

— Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho hước

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

a) Cho ham sé y = f(x) xac dinh trên tập D 1

Số M= max fix) néu Wx ED, fx) <M va tổn tại Xụ €D sao cho fx¿)=M

sé

o m= min {(x) néu Wx eD, f(x) 2m va tén tai X, €D sao cho {(x,) =m

ð)_ Cách tìm GTLN, GINN: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có dạo hàm

trên (a; b), có thê trừ một số hữu hạn điểm Nêu f'{x) = 0 chỉ tại một sô hữu

hạn điểm thuộc (a; b) thi có thể tìm GTLN và GINN của hảm sô f{x) trên {a; b]

theo các bước sau :

1 Tìm các điểm xị, Xa, Xa thuộc (a; b) mã tại đó hàm số f{x) không có dạo t hảm hoặc dao ham bang 0;

~_ Đường thăng x =x, là tiệm cận đứng của dé thị hàm số y = f(x) néu it nhất,

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

limf(x) = teo; lim F(x) = ~eo; lim Í(x) = +eo¡ lim Í(x) = ~co

XNg NOON NƯNG NOXy

~_ Đường thăng y = yạ là tiệm cận ngang của đồ thị ham sé y = [{x) nêu tt nhất

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: limÏ(x)= ¬¬ Vere limf(x) * yy

Các dạng toán thường gặp

—_ Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đô thị hàm số

—_ Tìm giá trị của tham số để đề thị hàm sô có tiệm cận thỏa mãn diều kiện cho trước

+ Chiều biến thiên: Tính y' ; tìm các điểm mà tại đó y' = 0, xét dau y' và suy

ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

+_ Tìm cực trị

+ Tim các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực vả tìm tiệm cận (nêu có}

+ Lập bảng biển thiên

co) Vẽ đề thị

2 Một số bài toán liên quan

a) Tim giao điểm của hai đồ thị

Số giao điểm của đỗ thị hàm số y=f(x) và dé thị hàm số y = g(x) bang số nghiệm phân biệt của phương trình f{x) = g(); hoành độ giao điểm là nghiệm c3a phương trình đó

b) Uiễt phương 0! ink Hiép tuyén

Giả sử hàm số y = {09 có để thị là (C) và M(x,;fx,))e(C); f(x) có đạo ham tai x = x, Phuong trinh tiép tuyển của (C) tại M là :

yYrYu” MX MS ~ Ny)

€) Xót sự tiếp xúc của hai đường cong

Hlai đường công y =Í(X) vay = g(x) tiếp xúc với nhau tai (xu; yo) khi và

Tìm giao điểm cua hai đô thị

B Mội số bồi toền ôn tập

Tình đơn điệu của hàm số

1 XéL sự đồng biến, nghịch biên của hàm số :

„+

x 2

b)y= ——xÌ—4; ) Y 2 xÌ+x+2

x«l

2 Tìm các khoảng đồng biên, nghich bién cua ham số :

x-l a) y= 2x3 +3x°—-1; b)ìy=—: cẶẶìy=GC T20! —1

xt]

3 Ching minh rang 3c05)X +05 X tS > 0 vdi moi gia tri cua x

4 Timm dé ham sé y = 2x3 -3(2m-+1)x? + 6m(m+i)x +] đồng biến trên khoảng (2; + 2)

9 Timmdé ham sé y = xo~mx? +3x—2 đạt cực tiêu tại x= 2 ọ

10 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đô thị hàm số

y#————~ luôn buôn có điểm cực tr]

x+m

` a we ˆ ~ A _ a 3 2

11 Tìm các giá trị của m để hàm số y = 2x3 +9mx? +12m7x +1 đạt cực đại tại ®cp,

cực tiểu tại xcr thỏa mãn: xÝcp = Xcr

12 Tìm m để để thị hàm số y=x' 43x? +m có hai điểm cực tị A B sao cho

AOB =120° (O là gốc tọa độ)

ry Aad ape pa £ m Ao gtk + oak xả

13 Tìm m đề đồ thị hàm số y =xtm toc có cả điểm cực đại điểm cực tiêu x-2

và hai điểm này cách đều đường thăng (đ):x—y +2=0

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

14, Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hảm số :

a) y=2x2+3x?~12x +2 trên đoạn [~l;2];

19 Tìm giá trị lớn nhật và giá trị nhỏ nhật của hàm sô y = 2 my]

-Ì sao cho khoảng cách từ ,

: 4 : 2

20 Tìm tọa độ điểm M thuộc đỗ thị hàm số y = =

điểm I(-l;2) tới tiệp tuyển cua dé thi ham số tại M là lớn nhất

Đuờng tiệm cận

21 Tìm các đương tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đô thị hàm sỐ y = To ~2x

22 Tim các đường tiệm cận cua để thị hàm SỐ:

25 Việt phương trình tiếp tuyến của đỗ thị hàm số:

a) y= ~x' +3x? +4 tai điểm có hoành độ bằng -V2;

I 3 5 ag wa ata AA phi b) y= -ae + Sx “7 tại điểm cực tiêu của đô thị ;

Viết phương trình tiếp tuyển của dé thị hàm số y= x-2 „ biết tiếp tuyển di

qua diém A(-6;5)

Cho ham sé y = 5 có để thị (C) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho

x2 tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thắng (d):y=~Áx tÍ

Xác định m để đường thằng y = 2x +m cất đồ thị (C) của hảm sé y= _ X~ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Tìm tất cả các điểm nằm trên trục Oy sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp kak ak ape ST š Rt te act

tuyển đến đồ thị y = xe mà hai tiếp điểm năm về hai phía của trục Ôx

Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan

31, Khao sat su bién thién va vé dé thi ham SỐ:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ để thị (C) của hàm số ;

b) Goi Ala diém thuộc () có hoành độ bằng 4, viết phương trình tiếp tuyên của (C) tai diém A Tiép tuyến nảy cất (C) tại điểm B (B khác A), thm toa

độ điểm B

4 a) Khảo sát sự biến thiên và vé dé thi (C) của ham sé:

b) Viét phuong tinh tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với true Ox ;

4

c) Biện luận theo k số giao điểm cua để thị hàm số y = Ta va dé thi ham

sé y= 2x? +k

Cho hàm số: y = —x” + 4x? — 3

a) Khảo sát sự biển thiên và vẽ dé thi (C) cua ham sé ;

b) Viét phương tink tiếp tuyến cua (C) tai điểm có hoành độ bằng V3 ;

c) Dựa vào (C), biện luận số nghiệm của phương trình x) dx? +4 3+2m = 0 Cho ham sé: y = x? + (m+ )x? - 2m — Ï y (1 a) Khao sat su biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1;

b} Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị,

Le wk ca oe me aR Lt pa £ x+3

Khao sat su bién thiên va vé dé thị hàm số y = wo Xe

: =x43 Cho ham sô y =

2x-l a) Khao sat su biển thiên va vé dé thi (C) của hàm SỐ ;

b) Chứng mình răng đường thang (d) y = x + m luôn cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)

C Giải - Hướng dễn - Đớp số ve

1 a) Tap xac dinh: D= &

Dao ham: y’ =3x7-6x+3; yl=0e 3x7 -6xt+3=O0@x=1

14

Dao ham: y‘ = 2x” = 2x; y= OQ 2x°-2x = 0 x= ¿Ị

Bang bién thién:

d) Tap xac dinh D = RA{H

Taco: y = 6x° +6x; ¥ = 0 & 6x +6x =0 xe-l

Bang bién thién:

Hàm số đông biến trên mỗi khoảng (=e ; -1) va (0; to), nghịch biển trên

1(x+l)~I@=Ù 2 amen > 0, Wx € D

b) Tập xác định D= R \{-I} ) Tap xdc dinh fl} y@ y0)“ qr? j cu

16

Căn cử bảng biển thiên ta có y > 0, te [—1; l]

Vậy 4 cos? X+CO8” X et >0, Vx 3 2

Ham số đồng biến trên (2;+ee) @ m+1<2 œ mál,.„

5 Tacó y'==3x? tốx+3m,

y= -3x? +6x +3m <0,.7x €(0; too) > ms x°~2x, Wx €(0;+00) Xét f(x) =x? -2x voi Wx Ee (0; +00) ; M&)=Ix-2=0x=l

18 2+ HOOTKTTHPT-MT-B

Qua bang bién thién ta thay ms x? ~ 2x ¬= (0;+00) œ m <-]

Vậy với m< ~L, ham số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +22)

a) Hàm số đã cho xác định với mọi xe

Áo BÀ ‘A eur atk Pow, oe a has 1 31

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = ro giá trị cực đại của hàm số là y| ~ | = 3 `

Ham số đạt cực tiểu tại điểm x =1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = |

Hàm số đạt cực đại tại Xep = 3 Và Yep “ 4;

Hàm số đạt cực tiểu tại Xe; =Ỉ VÀ Yop = 0

b) Tập xác định: D = R

Ta có =2xÌ—~2x; y=0$®2x —2x=0« x= 1,

Muy

Ham sé dat cực đại tại Xep ” Ova yey = 4

Hàm số đạt cực tiểu tại xà OS ONY = #Ì và aye 22 2

Véix#2tacdy =1- aD Ham số có cực đại và cực tiêu x-2}

«œ phương trình (X — 2~ m= 0(1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

<sm>0

Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là: x, = 2- VmịN; = 3+xm

Véi x,=2-Vin = y,=2+m-2Vm; x;=2+Ím = y, =2+m +2 vÍm

Hai diểm cực trị của đỗ thị hàm số là

y(-1) = 15; y(1) =-5 5 y2) = 6

Do dé ‘0 do may yq) min y= y(1)=-5, max y= y(-D max y y=D = 15

b) Ta có y~30-2)- C32)» 12, T +> 0X zeẺ

Do dé ham số đẳng biến trên đoạn [2; 3]

Suy ra: max y= y(3)= -3; miay= y(2)=-7 bai [>3]

€) Ta có Í{x) = cos'x + sin’x ~ 2 = cos"x +1-cos’x— 2 = cos'x ~ cos’x — 1

23

Dat (= cos’x (ĐK: C€ƒ0;1]) thì f(x) thanh g(t) = t-t-l

gí0 là hàm số liên tục trên đoạn {0;!]

Bang bién thién:

dime la duéng thang x= 1

` x A À pee ` Aon CA gem A ` `

Vị lim xi nên đổ thị của hàm số có một tiệm cận ngang là đường sort coy =

2 kat os a oh ah Ad tid pat `

=1 nên đỗ thị của hàm số có một tiệm cận ngang là

_== SN -4 đường thăng y= Ì

23, a) Tap xac dinh: D= R

sorta x +2 ft vai dợa 2 4 ? ga cen x [319 arte 2

thị hàm số có tiệm cận đứng là x =— n, do đó — n= 2 hay n= ~2 (thỏa mãn

điều kiện (*)) Vậym = 2 và n = ~2 thỏa mãn bài ra

„ 8) Ta có xy =—9 = yạ =6

y=~4x) tốx, y0) = y2) =22

Vậy phương tinh tiếp tuyển cần tìm là:

y—6 = Wax +2) @ y = 22x +10 ay

b) Ta có viÍx}=—x +3x=0 T ng y'(x) = -3x? +3;

26

iw

26

vì (0) =3;y [=5) = 6

Điểm cực tiển của để thị là [=| ; y(0)=0

Vậy tiếp tuyên tại điểm cực tiêu của đồ thị hàm số là:

ylsax? ~3x Voi x, = O=> y'(x,) = 0

Phuong trinh tiếp tuyển la: y — 0 = O(x — 0) hay y = 0

a) Gọi (xạ; yu) là tọa độ tiếp điểm

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng ~4 nên y xạ) = ~4

3

21

2

29

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là : y = ~4x +2 va y= —4x +10,

b) Tiếp tuyến song song với A : y = 3x nên có hệ số góc k = y(y) =3

+ Véi x, = 0 thì yụ = 0 nên phương trình tiếp tuyến là:

y—0=3(x — 0) hay y = 3x (loại, vì trung với A) 2!

> Voi x, = 2 thi y, = 2 nên phương trình tiếp tuyến là:

y~2=3(x — 2) hay y = 3x — 4

Vậy có một tiếp tuyến thoả mãn dé bài là: y = 3x ~ 4

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thắng A:y =x +! nên có hệ số góc

Phuong trinh tiép tuyén la: y #1 = —1(x ~ 2) hay y= —x +1,

* Voi xy =0= yy =-3

Phương trình tiếp tuyến là: y +3 = ~—1(k -0) hay y=—x-3

Vậy có hai tiếp tuyến là: y =—x +l;y =—x #3 ¬

Phương trình đường thang di qua A(-6;5) voi hệ số góc k là

(dry =k(x+6)4+5

(d) tiếp xúc với dé thi ham số khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

Vậy có bai tiếp tuyến là: (đ,):y ==x— (4,):y=~Š+2

38 Gọi m là hoành độ của điểm M Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:

Với m=2 ta có |3} ~1 Ta được điểm M[Š¡-) £ (đ)

Với m == ta có 3} Ta được điểm M(3:3] # (4)

Vay m= 3 hoặc m = 2 thỏa mãn bải ra

30

32

Jas(m-3y +8(m+1)=(m+l} +16 >0,m

Ìs()=-2=0.Vm

nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1 Do đó (đ) luôn cất

(C) tai hai điểm phân biệt A và B

Gọi k là hệ số gốc cua đường thang (d) di qua A(0;a) Phương trình đường

thang (d) co dang y = kx+a

x+2

=kx+a (d) là tiếp tuyên của (C) © hệ phương trình ~ 3 có nghiệm

k=#=———

(1?

« Phuong trinh (1 - ax +2(a + 2)x — (a + 2) =0 (1) có nghiệm x # 1

Theo bài ra, qua A có hai tiếp tuyến thì phương trình (1) có hai nghiệm xị ; X¿

Khi đó theo dinh li Viết ta có 2x; +x = a-l 2, ¬ = ot a-l aye

Ta có yị = ow, y,=l+ 3

xprb O° x, 71

Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục Ox thi y1.y2 <0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=l và ycr=— 3

e Cac giới bạn tại vô cực : lim y=~eo; paren ty ta lim y=+e© : Bảng biến thiên :

Hình T

3+ HDÔTKTTHPT-MT-A 33

Đô thị cất trục tung tại điểm [2- 3

.a) + Tap xac dinh D= R Hình 2

+ Sự biến thiên :

ø Chiều biến thiên:

y' =-3x7+ 12x -9

x=l

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3); nghịch biến trên mỗi khoảng (—s;1) và

b) Điểm A thuộc (C) cé hoanh d6 bang 4, suy ra A(4;—1)

Cé y'(4) = -9 Phong trinh tiếp tuyén với (C) tại A là y = -9(x — 4) ~1 hay

ø Chiều biển thiên: y'=x”~4x = x(X ~4); y'=0 @ x =0 hoặc x= +2

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (~2; 0) và (2 ; +22), nghịch biến trên mỗi khoảng (—œ ; =2) và (0 ; 2)

Dé thi cắt Ox tại (+3; 0), cắt Oy tại [0-3]

b) Taco: y(-3)=-15, y@)=15

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có

hoành độ x = —3 và x =3 lần lượt là :

y=~l§(x+3) và y=l§ãQ&-~3)

e) Phương trình xác định hoành độ giao điểm: 4

Số giao điểm của hai dé thi bang số giao điểm

của đường thăng (d) y = k và đồ thị (C)

Nếu k> - thi (C) va (d) co 2 giao điểm

Hàm số đông biến trên mỗi khoảng (~no;—3).(042) nghịch biến trên mỗi

b)Tacó xạ=vVÃ=>y,=0; YK) = vo) = -4V3

Phương trình tiếp tuyển cần tìm là:

y ~0 = —4V3(x — V3) hay y = ~4y3x +12

x'—~4x) t3+?m =0 © Hyi 44x? -3 = 2m (*) c) Xét phương trình :

„ Số nghiệm của (*) bằng số giao điểm của (C):y = ax + 4x? —3 va dường thing (d): y = 2m

37

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+eo), nghịch biến trên khoang (-co;0)

a Cite tri: Ham sé đạt cực tiểu tại Xey =O, yer = -3

o-m-1>0em<-+1

Vậy, với m < —] thì hàm số (1) có ba điểm cực trị

+ Tập xác định: D= 1}

+ Sự biến thiên :

2 Chiều biến thiên:

Ta có y`= <0, Wx 1, y' không xác định khi x =1

VỊ lim y= lim x3 Ly nên đường thắng y =1 là tiệm cận ngang xe x¬‡t2 MN—

o Bang bién thién:

+ £96 thi (1.7): Giao điểm với Ox : (~3 ; 0)

Giao điểm với Oy : (0 ; =3)

Ham số nghịch biến trên mỗi khoảng [=s] và si reo]

© Cue ui: Ham sô không có cực trị