Chuyên đề đưa ra một phương pháp mới giải nhanh và chính xác các dạng bài tập về dao động tắt dần : + Xác định quãng đường vật đi được+ Vận tốc cực đại, vận tốc bất kì ở thời điểm t+ thời gian vật chuyển động, vị trí của vật khi dừng lại.
Trang 1I Lý Thuyết
1 Định nghĩa : Là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian
2 Nguyên nhân : Do vật chịu tác dụng của lực cản môi trường
3 Đặc điểm :
- Cơ năng chuyển hóa thành nhiệt năng
- Tùy theo lực cản của môi trường lớn hay nhỏ mà dao động tắt dần xảy ra nhanh hay chậm
4 Tác dụng :
- Có lợi : chế tạo các bộ phận giảm sóc trên ô tô , xe máy …
- Có hại : Dao động đồng hồ quả lắc bị tiêu hao năng lượng …
5 Phân tích dao động
Xét con lắc lò xo có độ cứng K và vật nặng có khối lượng m
a Khi không có ma sát :
Phương trình vi phân : x’’ + ω2x = 0 với ω2 = k/m
Có nghiệm là phương trình dao động điều hòa : x = Acos ( ωt +φ)
b Khi có ma sát : Lực ma sát tác dụng lên vật ngược chiều với chuyển động TH1: Lực cản tỉ lệ thuận với vận tốc của vật : Fc = -μv = -μx’ (μ là hệ số lực cản nhớt : Phương trình vi phân : mx’’ = -μx’ –Kx
Đặt β = μ/2m Ta được : x’’ + 2 βx’ + ω2x = 0
- Nếu β < ω thì x = A.e-βt.cos ( ω’t +φ)
Biên độ dao động giảm theo hàm mũ âm A.e-βt
- Nếu β = ω Khi vật được kéo ra vị trí biên rồi thả nhẹ thì vật sẽ trở về vị
trí cân bằng sau thời gian rất lớn mà không vượt qua khỏi vị trí ấy được
- Nếu β > ω vật không dao động vì ma sát quá lớn
TH2: Lực cản có độ lớn không thay đổi : Ví dụ : Fc = μmg
Phương trình vi phân: mx’’ = - Kx ± Fc ( cộng khi x giảm, trừ khi x tăng) (Vật cũng dao động tắt dần nhưng với quy luật khác )
Để khảo sát dao động tắt dần trong trường hợp này ta quan sát thí nghiệm sau :
Trang 2Chiều chuyể
n động
p
Nhận xét :
- P và Fc đều ngược chiều chuyển động và có độ lớn không đổi
- P không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc vậy Fc cũng không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc
- P làm cho VTCB của con lắc kéo xuống một đoạn Δl = mg/K ( vị trí mà
Fdh = P) Suy ra Fc cũng làm cho con lắc thay đổi VTCB một đoạn : Δl = μmg/K ( vị trí Fdh = Fc )
- Đối với con lắc chịu tác dụng của Fc có hai vị trí mà Fdh = Fc vì Fc luôn ngược chiều chuyển động Vậy nửa chu kì đầu con lắc dao động quanh VTCB O1 thì nửa chu kì còn lại con lắc dao động quanh VTCB O2
Ta có thể hình dung như sau :
Từ hình vẽ ta thấy :
- Khi chuyển động từ A về B con lắc dao động với VTCB là O1 và khi từ B trở lại nó dao động VTCB O2
l o
Chiều chuyển động
O1
I '
O
O2
Trang 3của con lắc.
- Hai VTCB của mỗi nửa chu kì đối xứng nhau qua O và O1O2 = 2 μmg/K
- Vật dừng lại khi nằm trong đoạn O1O2 ( Fdhmax ≤ Fc)
- Sau nửa chu kì biên độ giao động của con lắc giảm đi ΔA = OA – OB =
O1O2 = 2 μmg/K ( Sau mỗi chu kì vị trí biên lại nhích lại gần O một đoạn là
2 ΔA = 4.μmg/K)
Chú ý : Ta có thể xác định độ giảm biên độ sau nửa chu kì bằng định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng
Năng lượng ban đầu của vật : 2
0 2
1
KA
E=
Năng lượng còn lại sau nửa chu kì : 2
1 2
1
KA
E=
Năng lượng tiêu hao bằng độ lớn công của lực cản :
2 0 2
1
1 2
1
KA = μmg( A 0 + A 1 ) → ΔA = A o – A 1 = 2 μmg/K
Giả thiết tại thời điểm t = 0 vật ở vị trí biên +) Xác định thời gian vật dao động và độ giảm biên độ ở chu kì cuối :
- Ta đã nhận xét được rằng lực cản không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc vì vậy ta có thể khẳng định rằng thời gian vật dao động tỉ lệ với số nguyên lần nửa chu kì dao động của vật : t = N T/2
- Sau mỗi nửa chu kì biên độ dao động giảm ΔA, vậy sau m nửa chu kì
giảm ΔA ta có biên độ dao động còn lại :
A - m ΔA = d (d = MO < ΔA hình vẽ m = 1,2,3…)
M
M’
Nửa chu kì cuối
Nửa chu kì thứ m
Trang 4KN1 : ΔA > d > ΔA/2 tức M nằm ngoài O1O2
Vật thực hiện nửa chu kì dao động cuối cùng qua VTCB O2 về điểm M’ thuộc O1O2 Khi vị trí biên M’ nằm trong khoảng O1O2 thì vật không dao động được nữa vì Fđh max < Fc
- Vậy số nửa chu kì vật thực hiện được là : N = m +1
- Thời gian vật chuyển động là : t = (m +1) T/2
- Độ giảm biên độ chu kì cuối là: 2(d – ΔA/2 )
- Vị trí của vật sau khi dừng lại là: d – 2(d – ΔA/2 ) = ΔA – d.
KN2 : d ≤ ΔA/2 ( M trùng với O1 ,O2 hoặc nằm trong O1O2)
Vật ngừng dao động vì Fdh max ≤ Fc.
- Vậy số nửa chu kì vật thực hiện được là : N = m
- Thời gian vật chuyển động là : t = m.T/2
- Độ giảm biên độ chu kì cuối là: ΔA
- Vị trí của vật sau khi dừng lại các O một đoạn là: d
Tóm lại : Muốn xác định số nửa chu kì dao động của vật ta xác định :
A = m ΔA + d sau đó xét d theo KN1 và KN2
Hoặc để tính nhanh tìm số nửa chu kì ta làm như sau :
Lấy
A
A
∆ = m,p Nếu p > 5 số nửa chu kì là : N = m + 1.
Nếu p ≤ 5 số nửa chu kì là : N = m
+) Xác định quãng đường vật dao động: Giả sử ở thời điểm ban đầu vật bắt
đầu đi từ A
Trang 5- Nửa chu kì đầu tiên vật đi từ A đến B, đi được quãng đường là S1 = 2O1B
- Nửa chu kì tiếp theo vật đi từ B đến C, đi được quãng đường là S2 = 2O2B
Ta có S1 – S2 = 2ΔA Tương tự như vậy : Sn – Sn-1 = 2 ΔA
Vậy độ dài các quãng đường trong nửa chu kì S1, S2 , ….Sn lập thành một cấp
số cộng với công bội là - 2ΔA
Tổng quãng đường mà vật đi được :
2
N Sn) + (S
=
Sn +
… + S
+
S
+
S
=
S = NS 1 – N(N – 1).ΔA = 2AN – N 2 ΔA ( S1 = 2A – ΔA)
Chú ý : Trường hợp
A
A
∆ = m ( m = 1, 2, 3…) Thì khi dừng lại vật sẽ ở VTCB O
Khi đó năng lượng dao động của vật bị triệt tiêu hoàn toàn bởi công của lực ma
sát
mg
KA s mgs KA
µ
µ
2 2
VTCB).
+) Xác định vận tốc cực đại.
Sau khi thực hiện được ( N-1) nửa chu kì thì con lắc dao động với biên độ dao
động : [A− (N− 1 ) ∆A] và đạt giá trị cực đại tại VTCB O1 hoặc O2 cách O một đoạn ∆2
A
Vậy vận tốc cực đại tại nửa chu kì thứ N :
V max = −( −1).∆ −∆2
A A N
A
ω
II Bài tập.
Trang 6ài 1 ( ĐH 2010) Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m Vật
nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén l0 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy
g = l0 m/s 2 Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu ?
Giải :
Vận tốc vật đạt giá trị cực đại tại nửa chu kì đầu tiên :
Vmax = −( −1).∆ −∆2
A A N
A
Suy ra : Vmax = ω ( A – ΔA/2)
Trong đó :
5 2 (rad/s)
m
k
=
=
ω
, A = 10 cm, ΔA = 2 μmg/K = 4 cm
Suy ra : Vmax = 40 2 (cm/s)
B
ài 2: Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng l00g gắn vào lò xo có độ cứng 0,01N/cm dao
động tắt dần chậm từ thời điểm t = 0 với biên độ ban đầu là l0cm Trong quá trình dao động, lực cản tác dụng vào vật có độ lớn không đổi 10 -3 N Tính tốc độ lớn nhất của vật sau thời điểm t = 21,4s Lấy
π2 = l0.
Giải :
Ta tính được :
m (rad/s)
k
π
ω = =
, T = 2 ( s) mỗi nửa chu kì là 1s, A = 100 mm
Độ giảm biên độ sau nửa chu kì : ΔA = 2 F c /K = 2mm.
Sau 21 s vật thực hiện được 21 nửa chu kì Sau 0,5s ( một phần tư chu kì) tiếp theo vật có vận tốc cực đại tại nửa chu kì thứ N = 22
Áp dụng công thức :
Vmax = −( −1).∆ −∆2
A A N
A
Chú ý : Kết quả sẽ khác nếu tính vận tốc cực đại sau thời gian t = 21,6s
Trang 7nằm ngang, ban đầu kéo m ra khỏi VTCB một đoạn 10 cm rồi thả nhẹ cho nó dao động Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là µ = 0,1 và g = 10m/s 2 Xác định
a. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì
b. Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại
c. Tìm thời gian vật dao động
Giải :
a Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
cm m K
mg A
80
10 2 , 0 1 , 0 4 2
2 2
b Số nửa chu kì mà con lắc thực hiện được.
N A
A
=
=
=
∆ 0 , 5 20
10
( vật dừng ở VTCB O)
Vậy quãng đường vật đi được :
cm A
N NA
s= 2 − 2 ∆ = 2 20 10 − 20 2 0 , 5 = 200
Trong trường hợp này ta cũng có thể áp dụng công thức:
cm m
mg
KA s mgs
10 2 , 0 1 , 0 2
1 , 0 80 2
2
µ µ
c. Thời gian vật dao động :
s K
m T
N
2
2 20 2
Câu 4 : Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 100g và lò xo có
độ cứng k = 10N/m Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt sàn là 0,1 Ban đầu đưa
lò xo đến vị trí lò xo bị nén một đoạn 7 cm
a Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại Lấy g = 10m/s2
b Vị trí của vật khi dừng lại?
Giải:
a. Áp dụng công thức : s= 2NA−N2 ∆A
3 5
,
3
2
7
2 02 , 0 10
10 1 , 0 1 , 0 2 2
=
⇒
=
=
∆
=
=
=
=
∆
N A
A
cm m K
mg
cm A
N NA
s= 2 − 2 ∆ = 2 3 7 − 3 2 2 = 24
⇒
Trang 8Sẽ là sai khi áp dụng công thức :
cm m
mg
KA s mgs
10 1 , 0 1 , 0 2
07 , 0 10 2
2
µ µ
Xem tiếp câu b ta sẽ hiểu được rõ hơn vì sao
b Vị trí vật khi dừng lại cách O một khoảng : d = A - NΔA = 7-3.2 = 1cm( d = ΔA/2) Vật đứng tại vị trí mà Fm s = Fd h năng lượng của vật vẫn còn nhưng ko đủ lớn để sinh công thắng công cản lực ma sát.
Câu 5 * Một con lắc lò xo nằm ngang, k = 40N/m, m = 0,4kg, g =10m/s2, hệ số
ma sát giữa quả nặng và mặt tiếp xúc là µ = 0 , 2 Tại VTCB truyền cho con lắc một vận tốc 20 3cm / s Xác định vị trí vật có vận tốc bằng 0 lần đầu tiên ?
Giải:
Nhận xét: Ta đã biết khi dao động con lắc có hai vị trí cân bằng O1 và O2 trong từng nửa chu kì Giả sử trong nửa chu kì đầu con lắc nhận O1 làm VTCB ta có:
k
mg OO
40
10 4 , 0 2 , 0
= µ
, v = 20 3cm / s,
s rad
m
k
w= = 10 /
10
) 3 20
2
2 2
2
2
4cm tức cách O một khoảng là 2cm
Chú ý : Vật chuyển động từ trái qua phải nhận O1 làm VTCB, chuyển động từ phải qua trái nhận O2 làm VTCB
Cách 2 : ta cũng có thể áp dụng định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng
mv kx mgx 20x 0 , 8x 0 , 48 0 x 2cm
2
1 2