ung dung phuong phap toa do de giai bai toan hinh hoc khong gian cao van tuan

b Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB và AC... Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SM và BC.. Khi đó hãy tính th tích kh i chóp S.ABC.

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian” Cao V n Tu n – 097530627

Cao V n Tu n – 0975306275

1 Ph ng pháp

+ B c 1: Ch n h tr c t a đ Oxyz trong không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau t ng

đôi m t nên n u hình v bài toán cho có ch a các c nh vuông góc thì ta u tiên ch n các c nh đó làm tr c t a đ

+ B c 2: Suy ra t a đ c a các đ nh, đi m trên h tr c t a đ v a ghép.

+ B c 3: S d ng các ki n th c v t a đ không gian đ gi i quy t bài toán

2 Các bƠi toán ghép tr c t a đ th ng g p vƠ cách suy ra t a đ các đ nh

Các bƠi toán th ng g p Cách ghép tr c T a đ các đi m

th v n d ng linh ho t các ph ng pháp sao cho bài gi i c a mình khoa h c nh t, hay nh t

i v i m t s lo i hình chóp, hình l ng tr trong m t s bài toán ta có th s d ng vi c đ t m t h

tr c t a đ thích h p, đ chuy n t vi c gi i hình h c không gian t ng h p thu n túy (mà vi c này có th

g p nhi u khó kh n trong d ng hình, tính toán v i các em h c sinh) sang vi c tính toán d a vào t a đ

Cách gi i bài toán nh v y g i là ph ng pháp t a đ hóa

i v i ph ng pháp t a đ hóa, vi c tính toán có th s dài dòng và ph c t p h n ph ng pháp hình h c không gian thu n túy, tuy nhiên cách gi i này th c s r t h u ích cho nhi u b n h c sinh mà

vi c n m v ng nh ng ph ng pháp trong cách gi i hình h c không gian còn y u ho c nh ng bài toán hình không gian v kho ng cách khó; v xác đ nh GTLN, GTNN; các bài toán v qu tích đi m,

có th làn t t đ c các bài toán gi i b ng ph ng pháp t a đ hóa thì các em h c sinh ph i n m

ch c các ki n th c (c th là các công th c tính) c a ph n “Ph ng pháp t a đ trong không gian” và

nh ng ki n th c c b n nh t c a hình h c không gian

Sau đây th y s trình bày c th ph ng pháp: “ ng d ng ph ng pháp t a đ đ gi i toán hình h c không gian”

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian” Cao V n Tu n – 097530627

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, m t ph ng (SBC) t o v i đáy góc 600 M t

bên (SAB) vuông góc v i đáy, tam giác SAB cân t i S Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách

gi a hai đ ng th ng SA, BC

Bình lu n: Rõ ràng r ng vi c tính th tích c a kh i chóp này là không quá khó kh n, ch c n các em n m

đ c cách xác đ nh góc gi a hai m t ph ng là xác đ nh đ c Vì v y, ý tính th tích th y đ các em t suy ngh và th c hi n

V i câu h i tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau này, các em hoàn toàn có th th c hi n theo hình t ng h p đây chúng ta bàn lu n v vi c đ t h tr c t a đ đ th c hi n ý th hai này

Tr c h t các em c n l u ý: Xác đ nh chi u cao c a hình chóp này nh th nào?

i u này là không quá khó: Vì sao? Hãy nh : “N u hai m t ph ng vuông góc v i nhau, trong m t này

d ng m t đ ng th ng vuông góc v i giao tuy n thì đ ng th ng đó vuông góc v i m t ph ng kia”

G n vào hình chóp này: Ta th y m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t đáy, mà giao tuy n c a hai m t

ph ng này là AB Ta c n tìm chi u cao cho nên, các em ch c n t S d ng SH vuông góc v i AB, (H 

AB) vì tam giác SAB cân t i S cho nên H là trung đi m AB T c là các em đã xác đ nh đ c chi u cao

và chân đ ng vuông góc

Trên đây là m t s d ng c b n c a m t s lo i hình kh i mà chúng ta có th t a đ hóa m t cách

đ n gi n Các em l u ý r ng chúng ta có th t a đ hóa m t kh i đa di n b t k Ch c n chúng ta xác

đ nh đ c đ ng cao c a kh i đa di n đó và thông th ng trên lý thuy t ta đ u đ t g c t a đ là chân

đ ng cao c a kh i đa di n; tr c cao (tr c Oz) là đ ng cao, sau đó ta d ng hai tia còn l i Nh ng trong

th c hành gi i toán chúng ta c n c tùy bài toán đ đ t h tr c mi n sao chúng ta có th tìm các t a đ các đ nh liên quan đ n hình kh i c n tính có th tìm đ c m t cách d dàng ho c không quá ph c t p

Ví d nh bài toán sau: (Các em hãy xem và suy ngh nên đ t h tr c ra sao)

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian” Cao V n Tu n – 097530627

B

C S

Tính toán t a đ các đi m (c n c vào ph n tr c), ta có:

Áp d ng công th c tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau: SA, BC ta có:

SA,BC SA,BC AB

SA,BCd

K ra thì c ng không quá ph c t p đúng không các em Các em hãy suy ngh có cách đ t h tr c t a đ

nào khác không? m c s 4 Ví d minh h a, th y s trình bày thêm m t s ví d c th v các d ng toán đ các em hi u rõ h n v ph ng pháp này

3 S d ng các ki n th c v t a đ đ gi i quy t bƠi toán

t A đ n đ ng th ng  đ c tính b i công th c:

 A, 

, AMud

d) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song

nh ngh a: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song là kho ng cách t m t đi m b t kì c a

m t ph ng này đ n m t ph ng kia.

Cho hai đ ng th ng chéo nhau 1 và 2, bi t:

+ 1 đi qua M và có m t vect ch ph ng u1

+ 2 đi qua N và có m t vect ch ph ng u2

Cách 1: Kho ng cách gi a hai đ ng th ng 1 và 2 đ c tính b ng công th c:

,

u ud

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian” Cao V n Tu n – 097530627

Ví d 1: Cho hình l p ph ng ABCD.A B C D    c nh là a G i N là trung đi m c a B C 

a) Ch ng minh r ng: AC vuông góc v i  A BD  

Các em l u ý, đây là m t bài tính toán và ch ng minh các y u t liên quan đ n hình l p ph ng, chúng ta

có th th c hi n b ng ph ng pháp t ng h p, th y không trình bày ph ng pháp đó n a, mà gi i bài toán này theo ph ng pháp t a đ hóa

Nh đã nói ph n tr c, v i hình l p ph ng và hình h p ch nh t thì vi c ch n h tr c t a đ là r t d

dàng Th y ch n h tr c nh sau (Các em hãy ch n h tr c khác đi và gi i nó theo cách c a các em)

Khi đó ta có t a đ các đ nh c a hình l p ph ng nh sau:

V i a b, là các véc t ch ph ng c a đ ng th ng a và b ng th ng a,b l n l t đi qua hai

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian” Cao V n Tu n – 097530627

Ví d 3: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh BD 2 2  M t bên t o v i m t đáy góc 0

60 a) Tính th tích kh i chóp, xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.

b) Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB và AC.

Sau đây chúng ta xét m t s kh i đa di n mà vi c t a đ và tính toán ph c t p h n

Ví d 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh là 5 tâm O, SO vuông góc v i đáy; các c nh bên SA2 3,SB3 G i M là trung đi m c a c nh SC

Ta có: S.ABMN S.AMB S.AMN

A

D

B

J I

BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, SA  a 2 G i M là trung

đi m c a AB Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SM và BC

S:

6

a

d 

BƠi 2: Cho hình vuông ABCD c nh a T đi m H c a c nh AB d ng SH vuông góc v i (ABCD), bi t

góc gi a hai m t ph ng (SAD) và m t đáy b ng 600

a) Tính SH và kho ng cách t H đ n (SCD).

b) Tính góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (SCK) bi t K là trung đi m c a c nh AD.

BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O c nh a, AC = a Tam giác SAB cân t i

S, và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, c nh bên SA t o v i đáy m t góc  sao cho tan2

BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, đ ng cao AB, BC = 2a, SA = a SA

vuông góc v i đáy Bi t SC vuông góc v i BD

a) Tính đ dài đo n th ng AD.

2 D

2

a khi x a a

a) Tính th tích kh i chóp S.ABC.

b) G i M là đi m di đ ng trên c nh AC sao cho AM = x,  0   x a 3  Tính kho ng cách t S đ n

BM theo a, x Tìm x đ kho ng cách trên đ t giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.

BƠi 6 ( H Ơ N ng kh i A n m 2001): Cho t di n S.ABC có SC CA AB    a 2 SC vuông góc

v i (ABC), tam giác ABC vuông t i A, các đi m M, N l n l t thu c SA và BC sao cho AMCNt

v i  0   t 2 a 

a) Tính đ dài đo n MN, tìm t đ đ dài đo n MN nh nh t.

b) Khi MN nh nh t, ch ng minh r ng MN là đ ng vuông góc chung c a BC và SA.

BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, các c nh bên c a hình chóp b ng

nhau Bi t kho ng cách t S đ n (ABC) là h Tìm đi u ki n c a h đ hai m t ph ng (SAB) và (SAC) vuông góc Khi đó hãy tính th tích kh i chóp S.ABC

BƠi 8 ( H kh i B n m 2002): Cho hình l p ph ng ABCD.A B C D1 1 1 1 c nh là a

a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng A B1 và B D 1

b) G i M, N, P theo th t là trung đi m c a các c nh BB ,CD, A D 1 1 1 Tính góc gi a MP và C N 1

BƠi 9 ( HSP TPHCM n m 1992): Cho hình l p ph ng ABCD.A B C D1 1 1 1 c nh là a G i M, N theo

th t là trung đi m c a AD và CD L y P trên c nh BB1 sao cho BP = 3PB1 Xác đ nh và tính di n tích thi t di n c a hình l p ph ng c t b i m t ph ng (MNP)

S: S7a2 6

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian” Cao V n Tu n – 097530627

BƠi 10: Cho hình h p ch nh t ABCD.A B C D1 1 1 1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a

a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD1 và B1 C.

b) G i M là đi m chia đo n AD theo t s AM 3

MD Hãy tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (AB1C).

c) Tính th tích kh i t di n AB1 D1C.

BƠi 11: Cho l ng tr đ ng ABC.A B C   có đáy là tam giác ABC vuông cân t i B , bi t BA=a c nh bên

AA '  a 2 G i M là trung đi m c a c nh BC Tính th tích kh i l ng tr và kho ng cách gi a hai

đ ng th ng AM, B C

BƠi 12: Cho hình l ng tr ABC.A B C   có đ dài c nh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i A,

ABa, AC  a 3 , hình chi u vuông góc c a A lên (ABC) là trung đi m c a BC Tính theo a th tích

kh i chóp A ABC và tính cos c a góc gi a hai đ ng th ng AA và B C 

BƠi 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA =a, SBa 3 M t ph ng (SAB) vuông góc v i đáy G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC Tính th tích kh i chóp S.ABCD và cos c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN.

GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KH4NG GIAN B NG PH NG PHÁP T A Đ

Bài Cho hình lăng tr đ ng “”C “ ” C đ{y “”C l| tam gi{c vuông t i A, AB a,AC 2a,AA' b  

Ch n h tr c t a đ Oxyz có O A c{c tia Ox Oy Oz l n l t đi

qua c c đi m ” C “ Khi đó A 0;0;0 ,   B a;0;0 ,  

Bài Cho hai hình ch nh t “”CD v| “”EF trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau,

AB 2a,BC BE a   ởrên đ ng chéo “E l y đi m M v| trên đ ng chéo ”D l t đi m N sao cho

AM BN k

AE BD  v i k 0;1 ởính k đ MN l| đo n vuông góc chung c a “E v| ”D

Gi i

Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho A O c{c tia Ox Oy Oz

l n l t đi qua D ” F Khi đó A 0;0;0 , 

F

B M

N

Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D c nh b ng a ởrên c{c c nh ”” CD “ D l n l t l y c{c

đi m M, N, P sao cho B'M CN D'P x   , x 0;a .

a Ch ng minh AC'MNP

b X{c đ nh v trí c a M N P đ tam gi{c MNP có di n tích bé nh t

Gi i

Ch n h tr c t a đ Oxyz có O A c{c tia Ox Oy Oz l n l t đi

qua c{c đi m ” D “ Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ,     C a;a;0 , 

D 0;a;0 , A' 0;0;a ,   B' a;0;a , 

C' a;a;a , D' 0;a;a , M a;0;a x , N a x;a;0 , P 0;a x;a     

a ởa có AC'a;a;a

 khi M, N, P l n l t l| trung đi m c a c{c c nh ”” CD “ D

Bài Cho hình l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a G i M v| N l n l t l| trung đi m c a AD

v| ”” Ch ng minh AC'AB'D' v| tính th tích c a kh i t di n “ CMN

P

N

13

Ch n h tr c t a đ Oxyz có nh hình v ta có A 0;0;0 , B a;0;0 ,    C a;a;0 , 

D 0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a

a ởa có A'Ca;a; a , AB'a;0;a, AD'0;a;a

Bài Cho t di n Ở“”C có SC CA AB a 2, SC   ABC tam gi{c “”C vuông t i “ C{c đi m

M SA, N BC  sao cho AM CN t 0 t 2a      ởính t đ MN ng n nh t ởrong tr ng h p n|y ch ngminh MN l| đo n vuông góc chung c a ”C v| Ở“ đ ng th i tính th tích c a kh i t di n ABMN

Gi i

Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho A O 0;0;0  , tia Ox ch a

AC, tia Oy ch a “” v| tia Oz cùng h ng v i vec-t CS

G i O l| trung đi m c a AC

Ch n h tr c t a đ có g c t a đ l| O tia Ox đi qua “ tia Oy đi qua ”

z

x

t A C

S

M K

H

y

x t B

N J

I

15

Bài Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y “”CD l| hình vuông c nh

a, m t bên Ở“D l| tam gi{c đ u v| n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABCD) G i M, N, P l n l t l|trung đi m c a SB, BC, CD Ch ng minh r ng AM BP v| tính th tích c a kh i t di n CMNP

Gi i

z

y

x O

A'

B'

A C'

y

x

z

P N

Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 6

Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i “ tia Ox đi

qua ” tia Oy đi qua D tia Oz cùng h ng v i vec-t HS

H l| trung đi m c a AD) khi đó A 0;0;0 ,   B a;0;0 , 

T v| suy ra IO l| đo n vuông góc chung c a IJ v| “C

b Góc gi a c nh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO 45 0

 ởam gi{c ỞOD vuông c}n t i O

x

O

P N

K

O C

A

D B

S

17

V y b{n kính m t c u ngo i ti p t di n ”C MN l| R 2 2 2 a2 a2 a2 2a2 a 35

16 16 16 6

        

Bài Cho hình chóp t gi{c đ u Ở “”CD có c nh đ{y b ng a v| chi u cao b ng h G i I l| trung đi m

c a c nh bên ỞC ởính kho ng c{ch t Ở đ n m t ph ng (ABI)

Gi i

Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho g c t a đ l| t}m O c a hình

vuông “”CD tia Ox ch a OA, tia Oy ch a O” v| tia Oz ch a

D'

B'

C' A'

z

y x

x E

M

D' C'

N

O A

C

B

D

S

21

Bài Cho hình chóp Ở “”CD có đ{y “”CD l| hình vuông c nh a, c nh bên SAABCD v| SA 2a

G i M, N l n l t l| trung đi m c a SA, SD

a ởính kho ng c{ch t “ đ n mp ”CM v| kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng Ở” v| CN

24

C

B

S

v i

2 2

BD a;a;0 , BM 0;a; BD,BM ; ; a

3a bBA' a;0;b BD,BM BA'

Ch n h tr c t a đô Oxyz sao cho O A c{c tia Ox Oy

Oz l n l t đi qua c{c đi m ” D Ở Khi đó

z

F

C

E A

D S

B

Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 14

M t c u đi qua Ở C D E nên

2

2 2 2 2

a 2Pa Q 0

a a 2Ma 2Na Q 04a 4Na Q 0

Bài Cho t di n O“”C có c{c tam gi{c O“” O”C v| OC“ l| c{c tam gi{c vuông đ nh O G i , ,

l n l t l| góc gi a m t ph ng “”C v| c{c m t ph ng (OBC), (OCA), (OAB) B ng ph ng ph{p t a

25

Bài Cho hình lăng tr tam gi{c đ u “”C “ ” C có c nh đ{y b ng a v| mp C “” h p v i m t đ{y(ABC) m t góc b ng 00 900

a 3 a 3A'B',A'C 0; tan ;

C'

B A'

Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 16

1 2ABC'  A'B'C n n   0 tan   1 0 tan 1 0  90  45

Bài Cho hai hình ch nh t “”CD v| “”EF trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau,

Bài Cho hình chóp Ở “”CD đ{y “”CD l| hình ch nh t, c nh bên SAABCD,

AB a, SA AD 2a   G i H v| K l n l t l| hình chi u vuông góc c a “ trên Ở” v| ỞD ởính theo a đ d|i đo n th ng HK v| th tích c a kh i t di n ACHK

C D

F

B

27

ởính HK

ởa có SAABCD v| SA AD 2a   SAD vuông c}n

t i A

M| AK SD K SD    nên K l| trung đi m c a SD

Ch n h tr c t a đ Oxyz có O A tia Ox đi qua ” tia Oy

đi qua D tia Oz đi qua Ở Khi đó A 0;0;0 ,  

5

SB SD BD 5a 8a 5a 2cosHSK cosBSD

Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 18

V y

3 3

Gi i

Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho g c O trùng v i ” tia Ox đi

qua “ tia Oy đi qua C tia Oz đi qua ” Khi đó

b ởính góc gi a hai đ ng th ng MP v| C N tính góc gi a hai m t ph ng P“I v| DCC D

N

M

29

ởa có A'B 1;0; 1 , B'D     1;1; 1 v| A'B' 1;0;0 

Ta ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O trùng v i A, tia Ox ch a AB,

tia Oy ch a AD, tia Oz ch a ““ Khi đó

A' B'

D

B

C A

y z

N

Tr n Đình C Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT 20

2 2

0 2

Bài Cho hình h p đ ng “”C “ ” C đ{y “”C l| tam gi{c vuông c}n AA' 2a , AB AC a  G i G,

G l n l t l| tr ng t}m c a tam gi{c “”C v| tam gi{c “ ” C I l| t}m c a hình ch nh t ““ ” ”

a Ch ng minh hai đ ng th ng IG v| G C song song v i nhau đ ng th i tính kho ng c{ch gi a hai đ ng th ng n|y

31

Ch n h t a đ Oxyz có g c O trùng v i “ v| ba tia Ox Oy Oz l n l t đi

qua ” D “ nh hình v Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 ,      

C'

B A'

y z

x

D' C' A'

B'

D

A