Tổng hợp phần lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn toán

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC I, Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan 1.Bảng các đạo hàm   x n.x n n 1      u n.u .u n n 1       x   2 x 1   u   2 u u 2 1 1 x x         2 1 u u u            x 1   , c 0   ,   k.u k.u      u v u v         uv u v uv      2 u u v uv v v             sinx cos x     sin u u .cos u      cos x sinx      cos u u .sin u       tan x 12 cos x     tan u u 2 cos u      cot x 1 2 sin x     cot u u2 sin u     2. Xét dấu biểu thức.  Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất y f x =ax b a 0        x  b a   y af x 0    0 af x 0     Định lý về dấu của tam thức bậc hai y ax bx c a 0     2   b 4ac b ac ,b 2  2 b 4 2                   +) Nếu     0 0    phương trình y 0  vô nghiệm. x   y af x 0    +) Nếu     0 0    phương trình y=0 có nghiệm kép x1,2 b 2a   x  b 2a   y af x 0    0 af x 0    +) Nếu   0    0 phương trình y 0  có hai nghiệm phân biệt b b x 2a a           , sắp xếp hai nghiệm x x 1 2  x  x1 x2  y af x 0    0 af x 0    0 af x 0     Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 2       có hai nghiệm x ; x 1 2 ta có 1 2 1 2 b x x a c x .x a           3. Phương trình tiếp tuyến ( PT3 )  PT3 với đồ thị hàm số y f x    tại điểm M x ; y  0 0 có hệ số góc là f x  0   PT3 với đồ thị hàm số y f x    tại điểm M x ; y  0 0 có dạng : y f x x x y     0 0 0   , y f x 0 0    M được gọi là tiếp điểm x0 được gọi là hoành độ của tiếp điểm y0 được gọi là tung độ của tiếp điểmLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath f '' x  0  được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến.  Nếu PT3 song song với đường thẳng y ax b   thì f x a  0   Nếu PT3 vuông góc với đường thẳng y ax b   thì f x   0 1 a     Nếu PT3 tạo với trục 0x một góc  thì f x tan  0     Nếu PT3 cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân thì f x 1  0    4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số  Tìm tập xác định của hàm số  Tính đạo hàn f x   , tìm các điểm x i 1, 2...n i    mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.  Sắp xếp xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.  Nêu các kết luận về sự đồng biến nghịch biến của hàm số 5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số  Tìm tập xác định của hàm số  Tính f x   , tìm các điểm x i 1, 2...n i    mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.  Sắp xếp xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số. 6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số  Tìm tập xác định  Tính f x   , giải phương trình f x 0    và kí hiệu x i 1, 2...n i    là các nghiệm của nó.  Tính f x   và f x  i  Nếu f x 0  0  thì x0 là điểm cực tiểu.  Nếu f x 0  0  thì x0 là điểm cực đại. Chú ý nếu f x  0  0 thì ta không kết luận được về tính cực trị hàm số tại x0 7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn.  Tìm các điểm x ; x ; ...; x 1 2 n trên a;b mà tại đó f x 0    hoặc không xác định.  Tính f a ; f x ; f x ;...;f x ;f b .    1 2 n         Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:         a;b a;b M max f x , m min f x   Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết luận. Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN. 8. Đường tiệm cận  Đường tiệm cân ngang: y y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x    nếu:   0 x lim f x y    Đường tiệm cận đứng: x x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x    nếu x x0 lim     9. Sơ đồ khảo sát hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.  Xét chiều biến thiên của hàm số +Tìm y’ +Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định +Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số (đồng biến,ngịch biến).  Tìm cực trị  Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có).  Lập bảng biến thiên  Vẽ đồ thị.Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 10. Tương giao của hai đồ thị.  Xét hai hàm số y f x    và y g x    tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình.     y f x y g x         Đường thẳng y ax b   là PT3 của đồ thị hàm số y f x    , khi và chỉ khi phương trình     f x ax b f x a          có nghiệm. II, Lượng giác 1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản 2 2 2 2 2 2 sin x cos x 1 1 1 1 tan x ,1 cot x cos x sin x sin x cos x t anx ,cot x , tan x cot x 1 cos x sinx          2.Công thức cộng lượng giác       sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b t ana tan b tan a b 1 tan a tan b           3.Công thức cung nhân đôi 2 2 2 sin 2a 2sin a cos a cos2a cos a sin a 2cos a 1        1 2sin a 2 2 2 tan a tan 2a 1 tan a   Chú ý: Nếu đặt tan t x 2  thì ta có: 2 2 2 2 2 2t 1 t sinx ; cos x 1 t 1 t 2t 1 t t anx ; cot x 1 t 2t          4.Công thức hạ bậc 2 2 1 cos2a 1 cos2a cos a ; sin a 2 2     5. Công thức cung nhân ba 3 3 sin 3a 3sin a 4sin a; cos3a 4cos a 3cosa     6.Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cos a cos b 2cos cos 2 2 a b a b cosa-cos b 2sin sin 2 2                                 a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 a b a b sin a sin b 2cos sin 2 2                                 7.Công thức biến đổi tích thành tổng. cos a cos b cos a b cos a b 1     2                 1 sin a sin b cos a b cos a b 2 1 sin a cos b sin a b sin a b 2                 8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan. Góc GTLG     2      sin   sin sin  cos   sin cos cos   cos sin    cos tan   tan   tan cot  tan  cot   cot   cot tan  cot  9.Phương trình sinx=a  a 1  phương trình vô nghiệm  a 1  có góc sin a : 2 2              Được gọi là arcsin a             sin f x sin g x f x g x k2 , k f x g x k2                Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath  Các trường hợp đặc biệt sinx 1 x k2 ,k 2 sinx 0 x k , k sinx 1 x k2 , k 2                          Bảng sin các góc đặc biệt Góc 2  3  4  6  900 600 450 300 sin -1 3 2  2 2  1 2  Góc 0 6 4 3 2 00 300 450 600 900 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 10.Phương trình cosx=a  a 1  phương trình vô nghiệm  a 1  có góc cos a : 0           Được gọi là arccosa  cosf x cosg x              f x g x k2 , k f x g x k2                Các trường hợp đặc biệt cosx 1 x k2 ,k cosx 0 x k ,k 2 cosx 1 x k2 , k                         Bảng cos các góc đặc biệt Góc 0 6 4 3 2 00 300 450 600 900 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 Góc 2 3 34 56  1200 1350 1500 1800 cos 1 2  2 2  3 2  1 11.Phương trình tanx=a  Đk: x k , k 2      Luôn có góc tan a : 2 2              được gọi là arctana          tan f x tan g x f x g x k , k        Bảng tan các góc đặc biệt Góc 3  4  6  0 600 450 300 00 tan  3 1 3 3  0 Góc 6 4 3 300 450 600 tan 3 3 1 3 12.Phương trình cotx=a  Đk: x k , k     Luôn có góc cot a : 0           được gọi là arccota  cot f x cot g x           f x g x k , k     Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath  Bảng cot các góc đặc biệt Góc 6 4 3 2 300 450 600 900 cot 3 1 3 3 0 Góc 3  4  6  600 450 300 cot 3 3  1 - 3 III, Số phức  Số phức Z a bi   , a là phần thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số 2i 1  Mô đun của số phức Z a bi   được tính bởi công thức Z a b   2 2  Cho số phức Z a bi   thì số phức Z a bi   được gọi là số phức liên hợp của Z a bi    Cho Z a bi, Z c di 1 2     Z Z a c b d i 1 2          Z Z ac bd ad bc i 1 2         2     2 2 2 2 1 Z ac bd ad bc i Z a b a b        Z 0 1    Nếu a là một số thực âm thì căn bậc hai của a là: i a  Các nghiệm của phương trình ax bx c 0 a 0 2       khi   0 là: 1,2 b i x 2a     . IV, Mũ, Lô-ga 1. Bảng các đạo hàm  x '' x      1 u '' u .u ''      1   x 1   c 0   2 1 1 '' x x         2 1 u '' '' u u          x ''   2 x 1  u ''   2 u u '' u v '' u '' v ''     uv '' u ''v v''u    2 u u ''v v ''u '' v v         ku '' k. u ''       sinx cos x       sin u cos u. u      cos x sinx        cos u sin u. u       t anx 12 cos x     tan u u 12   cos u      cot x 1 2 sin x      cot u '' u 1 2   sin u    e '' e x x   e '' e .u '' u u   a '' a ln a x x   a '' a .ln a.u '' u u     ln x '' 1 x    ln u '' u '' u    log x '' a 1 x ln a    log u '' a u '' u ln a  2. Các công thức lũy thừa  n n a a.a...a  , a 1 0  n n 1 a a   m n n m a a  a a a     a a a     a a       ab a b     a a b b          3. Các công thức Loogarít log b a b a      , log 1 0a a a b log b Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath log a a      e 10 ln a log a; lg b log b log b    log b b log b log b a 1 2 a 1 a 2     1 a a 1 a 2 2 b log log b log b b         log b log b a a    n a a 1 log b log b n  c a a b a c log b log b ;log b.log c log c log a   , a b 1 log b log a  a a 1 log b log b    , 4. Phương trình- Bất phương trình mũ. a)Phương trình mũ  Dạng cơ bản: a b x  a 0,a 1    nếu b 0 phương trình vô nghiệm, nếu b>0 phương trình có nghiệm duy nhất x log ba Đưa về cùng cơ số a a f (x) g(x) f (x) g(x)     Đặt ẩn phụ Dạng 1: A.a B.a C 0 2x x    đặt t a t 0   x   phương trình trở thành A.t Bt C 0 2    Dạng 2: A.a B ab C.b 0 2x 2x     x 2x x a a A. B C 0 b b                 Đặt x a t b        t 0   Dạng 3: A.a B.b C 0 x x    với ab 1  hoặc a .b 1 x x  ta đặt t a t 0   x   . Khi đó bx 1 t   Loogarít hóa Với M, N 0  và a 0, a 1       a a f x a M N log M log N a M f x log M        Dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. b)Bất phương trình mũ  a 1: a a f (x) g(x)     f (x) g(x)  0 a 1   a a f (x) g(x) f (x) g(x)     Chú ý b a  log b a 5. Phương trình- Bất phương trình lôgarít a)Phương trình lôgarit  Dạng cơ bản log x b x a a 0,a 1 a      b   Chú ý: điều kiện log f (x) a là f (x) 0 a 0; a 1        Đưa về cùng cơ số     a a f (x) g(x) log f (x) log g(x) f x 0 f (x) g(x) g x 0                   Đặt ẩn phụ Dạng 1: A(log x) B log x C 0 a a 2      đặt t log x  a     At Bt C 0 2 , chú ý   log b log b a a 2  2Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Dạng 2: A log x Blog a C 0 a x    đặt a x 1 t log x log a t    x 0, x 1     Mũ hóa c log b c b a  a Dùng tính đơn điệu Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất. b)Bất phương trình lôgarit  a>1 a a f (x) g(x) log f (x) log g(x) f (x) 0         0 a 1   a a f (x) g(x) log f (x) log g(x) g(x) 0        V, Phương trình, bất phương trình đại số 1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ               2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 A B A 2AB B A B C A B C 2AB 2BC 2AC A B A B A B A B A B A AB B A B A 3A B 3AB B                           2. Phương trình ax b 0   ax b 0 1     Hệ số Kết luận a 0  (1) có nghiệm duy nhất x b a   a 0  b 0  (1) vô nghiệm b 0  (1) nghiệm đúng với mọi x 3. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2)  = b2 – 4ac 2 b '' b '' ac, b'' 2           Kết luận  > 0   '' 0 (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2=        b b'' '' 2a a  = 0   '' 0 (2) có nghiệm kép b b '' x 2a a      < 0   '' 0 (2) vô nghiệm 4. Định lý Vi-ét  Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 2 2         có hai nghiệm x ; x 1 2 thì x x , x x 1 2 1 2 b c a a      Nếu hai số u, v có tổng S=u+v và tích P=uv thì u và v là các nghiệm của phương trình x Sx P 0 2     (2) có hai nghiệm phân biệt   a 0 0 '' 0            (2) có hai nghiệm trái dấu   ac 0  (2) có hai nghiệm cùng âm   1 2 1 2 a 0 0 '' 0 x x 0 x x 0                 (2) có hai nghiệm cùng dương   1 2 1 2 a 0 0 '' 0 x x 0 x x 0                3. Phương trình bậc cao Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình Phương trình: n n 1 a x a x ...a x a 0 n n 1 1 0       với các hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ p q thì p là ước của a0 và q là ước của a nLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Dạng 2: Phương trình trùng phương ax bx c 0 4 2    đặt x t t 0 2     chuyển về phương trình bậc hai. Dạng 3: Phương trình hồi quy: ax bx cx dx e 0 4 3 2      với a 0  và 2 e d , e 0 a b         Nhận xét x 0  không là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x2 ta có: 2 2 e 1 b 1 a x b x c 0 a x d x                    Đặt t x b 1 d x    phương trình trở thành phương trình bậc hai. Dạng 4: Phương trình: x a x b x c x d m          , với a b c d    . Biến đổi phương trình về dạng:         x a b x ab x c d x cd m 2 2            Đặt t x a b x ab     2   biến đổi về phương trình bậc hai. Dạng 5: Phương trình: x a x b x c x d mx          2 với a.b c.d  . Biến đổi phương trình về:         x a b x ab x c d x cd mx 2 2 2            xét x 0  ; x 0  chia hai vế cho x2 ta có : x a b x c d m   ab cd   x x                    Đặt t x ab x   biến đổi phương trình về phương trình bậc hai. 4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Để giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối của phương trình, có hai cách phá dấu giá trị tuyệt đối của phương trình là xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai vế của phương trình ta cần phải chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0. A, A 0 A A, A 0       ; 2 2 A A                  2 2     f x g x f x g x f x g x f x g x                                  2 2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g x 5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thông thường ta bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai vế của phương trình ta cần chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0                               2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g x f(x) 0 f x g x f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) 6. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn x, y là hệ phương trình gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x Đối với hệ phương trình dạng này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ S x y P xy       , điều kiện: S 4P 0 2   7. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình nếu thay đổi x cho y và yLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath cho x thì phương trình này chuyển về phương trình kia của hệ. Đối với hệ phương trình này ta thường trừ từng vế của phương trình cho nhau, bao giờ cũng phân tích được thành nhân tử x y   8. Hệ phương trình đẳng cấp: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d            Cách giải:  Cách 1: Đặt x ty  tìm t và giải phương trình.  Cách 2: Chuyển phương trình về dạng Ax Bxy Cy 0 2 2    Xét y 0  thay vào phương trình Xét y 0  chia 2 vế của phương trình ta được phương trình bậc hai với x y 9. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất: y f x =ax b a 0        x  b a   y af x 0    0 af x 0    10. Định lý về dấu của tam thức bậc hai: y ax bx c a 0     2   b 4ac b ac ,b 2  2 b 4 2                   +) Nếu +) Nếu     0 0    phương trình y 0  vô nghiệm. x   y af x 0    +) Nếu     0 0    phương trình y=0 có nghiệm kép x1,2 b 2a   x  b 2a   y af x 0    0 af x 0    +) Nếu   0    0 phương trình y 0  có hai nghiệm phân biệt b b x 2a a           , sắp xếp hai nghiệm x x 1 2  x  x1 x2  y af x 0    0 af x 0    0 af x 0    11. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối          g(x) 0 f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)                   g(x) 0 f(x) coù nghóa f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x)  Với B > 0 ta có : A B B A B      ;    A B    A B A B  .  Ta thường dùng cách bình phương hai vế của phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu.Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 12. Bất phương trình chứa ẩn trong căn               2 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x)                     2 g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x)  Ta thường dùng cách bình phương hai vế của phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu. VI, Tích Phân và ứng dụng 1. Bảng các nguyên hàm- tích phân  Các nguyên hàm cơ bản 1 x x dx C, 1, 1              1 dx ln x C x    ,  dx x c   , 2 1 1 dx C x x      cosxdx sin x C    sin xdx cosx C    2 1 dx tan x C cos x    2 1 dx co t x C sin x      tan xdx ln cosx C     co t xdx ln sin x C    e dx e C x x   x xdx C ln       ,  > 0,  1  Các nguyên hàm thường dùng 1 (ax b) 1 (ax b) dx C, 1, a 1                 1 ln ax b dx C ax b a      sin(ax b) cos(ax b)dx C a      cos(ax b) sin(ax b)dx C a       2 1 1 dx tan(ax b) C cos (ax b) a      2 1 1 dx co t(ax b) C sin (ax b) a       1 tan(ax b)dx ln cos(ax b) C a       1 co t(ax b)dx ln sin(ax b) C a      ax b ax b 1 e dx e C a           ax b ax bdx C a ln    ,  > 0,  1 dx 2 x C x    2 2 dx 1 x arctan C x a a a     2 2 dx 1 x a ln C x a 2a x a       2 2 dx 1 a x ln C a x 2a a x       2 2 dx ln x x p C x p      Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 2 2 dx x arcsin C a x a     b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì     b a b f x dx F x F(b) F(a) a     c) Tính tích phân.  Phương pháp đổi biến số dạng 1       b b I f x . x dx      Đặt t x    . Khi đó           b b b a I f x . x dx f t dt          Chú ý:           t x dt x dx g(t) x g t dt x dx              Phương pháp đổi biến số dạng 2.   b a I f x dx   Đặt x t    . Với  là hàm số có đạo hàm liên tục trên   ; , trong đó a ;b           .Khi đó       b a I f x dx f (t) t dt          2 2 a x  x asint  2 2 1 a x  a=tant 2 2 x a  a x sin t   Phương pháp tích phân từng phần b b a a b udv uv vdu a     Chú ý:         u f x du f x dx dv g x dx v g x dx                   dx P(x)sinx P(x)cosx u P(x) P(x) dv Sinxdx Cosxdx  dx P(x) ex P(x)lnx u P(x) lnx dv ex dx P(x)dx d) Ứng dụng của tích phân.  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x    liên tục và trục hoành,x=a; x=b (a r  (P) và (S) không có điểm chung.  h = r  (P) tiếp xúc với (S).  h < r  (P) cắt (S) theo đường tròn tâm H, bán kính r r h    2 2 . Chú ý:  Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với S(O; r) tại H là (P) vuông góc với OH tại H và OH=r . Khi đó ta gọi H là tiếp điểm và mặt phẳng (P) đượng gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.  Nếu h = 0 thì (P) cắt (S) theo đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này đgl đường tròn lớn và (P) đgl mặt phẳng kính của mặt cầu (S). 3. Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp  Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.  Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, vuông góc với mặt phẳng đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. 4. Các hình thường gặp:  Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và đỉnh là một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa đáy. Tùy theo đáyLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath là tam giác, tứ giác… mà ta gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác…  Hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đáy.  Hình chóp cụt là hình tạo bởi thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp và đáy.  Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt hình thành do cắt hình chóp đều.  Hình tứ diện là hình chóp tam giác  Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác có bốn mặt là các tam giác đều.  Hình lăng trụ là hình gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau. Tùy theo đáy của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác ....ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác…  Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng.  Tùy theo đáy của hình lăng trụ đứng là tam giác, tứ giác… ta có hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác…  Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.  Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.  Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật  Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương. Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các cạnh và các góc bằng nhau. 5. Các kiến thức về quan hệ vuông góc  Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng  Hai mặt phẳng vuông góc khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng vuông góc thì đường thẳng nào nằm trong mặt này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.  Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng +) Để tính khoảng cách từ một điểm M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện: B1: Chọn trong (P) một đường thẳng a và dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với a B2: Xác định giao tuyến b của (Q) và (P). B3: Dựng MH vuông góc với b thì MH là khoảng cách từ M đến (P). +) Chú ý: . Trước khi thực hiện chọn a và mặt phẳng (Q) ta cần xem đường thẳng a và (Q) đã có trong hình chưa. . Ta chọn đường thẳng a sao cho mặt phẳng (Q) dễ dựng nhất. . Nếu có sẵn đường thẳng vuông góc với (P) thì ta chỉ cần kẻ đường thẳng qua M và song song với đường thẳng đó. VIII, Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1. Tọa độ véc tơ, các phép toán véc tơ  Cho hai điểm A x ; y  A A  và B x ; y  B B  . Ta có: AB x x ; y y     B A B A    Cho u u ;u , v(v ; v )  1 2 1 2    . Khi đó u v u u ; v v ;ku ku ;ku , k       1 2 1 2 1 2        1 1 2 2 u v u v u v          2. Tọa độ trung điểm, trọng tâmLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath  Cho A, B, C. A x ; y ,B x ; y ,  A A B B    C(x ; y ) C C . Tọa độ trung điểm I của AB, trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo công thức. A B I A B I x x x 2 y y y  2           , A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3              3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng  Trong mặt phẳng tọa độ cho a a ;a    1 2  và b b ; b    1 2  . Khi đó tích vô hướng của hai véc tơ a  và b  là: a.b a .a b .b   1 2 1 2    Hai véc tơ a (a ;a )   1 2 và b b ; b    1 2   0  vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.b a .a b .b 0    1 2 1 2    Độ dài của véc tơ a a ;a    1 2  được tính theo công thức: 2 2 a a a   1 2   Khoảng cách giữa hai điểm A x ;y ;B x ; y  A A B B    được dính bởi công thức: AB x x y y         B A B A 2 2  Cho a  và b  đều khác véc tơ 0  thì ta có: os        1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a .b a .b c a; b a a . b b 4. Phương trình tham số của đường thẳng.  Đường thẳng  qua điểm M x ; y  0 0  có VTCP u u ;u  1 2   thì  có phương trình tham số 0 1 0 2 x x u t : , t y y u t           (1)  Một số chú ý: 1.VTCP là véc tơ  0  có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. 2.Nếu  có VTPT n a;b     thì  có VTCP u b;a      3.Nếu  có hệ số góc k thì  có một VTCP u 1;k     4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (1) thì nó có một VTCP u u ;u   1 2   5.Hai đường thẳng song song có cùng VTCP 6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường này là VTCP của đường thẳng kia. 7.Phương trinh các trục tọa độ: x t x 0 0x : ; 0y : y 0 y t           5. Phương trình tổng quát của đường thẳng  Phương trình  : ax+by+c=0 (2) đgl phương trình tổng quát của đường thẳng  Đường thẳng  qua điểm M x ; y  0 0  có VTPT n a;b     thì  có phương trình tổng quát      : a x x b y y 0  0 0     Một số chú ý: 1.VTPT là véc tơ  0  và vuông góc với VTCP. 2.Nếu  có VTCP u a;b     thì  có VTPT n b;a      . 3.Nếu  có hệ số góc k thì  có một VTPT u k; 1     Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Phương trình đường thẳng  qua M x ; y  0 0  có hệ số góc k có dạng y k x x y     0 0  4.Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng (2) thì nó có một VTPT n a;b     5.Hai đường thẳng song song có cùng VTPT. Phương trình  : ax+by+c=0 , nếu    '' thì phương trình  '': ax+by+m=0 , m c  6.Hai đường thẳng vuông góc thì VTCP của đường này là VTPT của đường thẳng kia. 7.Phương trình các trục tọa độ: 0x : y 0; 0y : x 0   6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng: 1: a1x + b1y + c1 = 0 và 2: a2x + b2y + c2 = 0 Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ : 1 1 1 2 2 2 0 ( ) 0 a x b y c I a x b y c           1 cắt 2  (I) có 1 nghiệm  1 // 2  (I) vô nghiệm  1  2  (I) có VSN. Chú ý: Trong trường hợp có một hoặc cả hai phương trình cho ở dạng tham số ta vẫn xét hệ phương trình và có ba trường hợp trên. 7. Góc giữa hai đường thẳng  Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó + 1  2  (1, 2) = 900 + 1 // 2  (1, 2) = 00 00  (1, 2)  900  Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0 2: a2x + b2y + c2 = 0  = (1, 2). cos = cos(n ,n )   1 2 = 1 2 1 2 n .n n . n      cos = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a a b b a b . a b     1  2  a1a2 + b1b2 = 0 8. Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng Cho : ax + by + c = 0 và M0(x0; y0). d M;   ax by c 0 0 2 2 a b      d M;0x y    0 ; d M;0y x    0 9. Phương trình đường tròn  Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2  Phương trình đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R: x2 + y 2 = R2 Phương trình: x 2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R = 2 2 a b c   .  Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0)  (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(x0; y0): (x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0 Nhận xét : là tiếp tuyến của (C)  d(I, ) = R 10. Phương trình Elip Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. M  (E)  F1M + F2M = 2a F1, F2: các tiêu điểm F1F2 = 2c: Tiêu cự . Phương trình E :  2 2 2 2 x y 1 a b   (b2 = a2 – c2) Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) B1(0; –b), B2(0; b) A1A2 = 2a : Trục lớn B B 1 2 =2b trục nhỏ F c;0 ; F c;0 1 2    Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath IX, Phương pháp tọa độ trong không gian 1.Các công thức véc tơ a a a a b b b b   ( ; ; ), ( ; ; ) 1 2 3 1 2 3   . a b a b a b a b      ( ; ; ) 1 1 2 2 3 3   a b a b a b a b      ( ; ; ) 1 1 2 2 3 3   ka k a a a ka ka ka    ( ; ; ) ( ; ; ) 1 2 3 1 2 3 (k  R)  a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3              Với b  0   : a b cuøng phöông a kb k R a kb a kb 1 1 2 2 3 3 , :              Nếu: A x ; y ;z , B x ; y ;z , C x ; y ;z A A A B B B C C C      M là trung điểm AB, G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: AB x x ; y y ;z z      B A B A B A   A B M A B M A B M x x x 2 y y y 2 z z z  2               ; A B C G A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3 z z z z 3                   2. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng  a a a a b b b b   ( ; ; ), ( ; ; ) 1 2 3 1 2 3   . a b a b a b a b .    1 1 2 2 3 3    a a a a 2 2 2    1 2 3   AB x x y y z z       ( ) ( ) ( ) B A B A B A 2 2 2  ab a b ab a b a a a b b b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos( , ) .          a b a b a b a b      1 1 2 2 3 3 0   3. Tích có hướng của hai véc tơ  Cho a a ;a ;a  1 2 3  và p b b ;b ;b   1 2 3  . 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a;b ; ; b b b b b b              Là véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ n  và n ''  4. Phương trình mặt cầu  Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c   bán kính R là:       x a y b z c R       2 2 2 2 5. Phương trình mặt phẳng:  Phương trình mặt phẳng  qua M(x ; y ;z ) 0 0 0 có VTPT n A;B;C     là A x x B y y C z z 0        0 0 0      Chú ý: .VTPT là véc tơ  0  có giá vuông góc với mặt phẳng, . Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì VTCP của đường thẳng là VTPT của mặt phẳng . Mặt phẳng qua A, B , C thì nó có một VTPT n AB;AC         .Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT . Phương trình mặt phẳng đặc biệt. 0xy : z 0; 0yz : x 0; 0xz : y 0         6. Phương trình đường thẳng  Phương trình đường thẳng qua M(x ; y ;z ) 0 0 0 có VTCP u u ;u ;u   1 2 3  là d: 0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z x u t            là phương trình tham số hoặc 0 0 0 1 2 3 x x y y z z u u u      là phương trình chính tắc; u , u , u 0 1 2 3   , Chú ý: .VTCP là véc tơ  0  có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. . Đường thẳng qua A, B thì nó có một VTCP là AB Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath . Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó có VTCP là VTPT của mặt phẳng, . Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP. . Phương trình đường thẳng đặc biệt: x t x 0 x 0 0x : y 0; 0y : y t ; 0z : y 0 z 0 z 0 z t                         7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M x ; y ;z  0 0 o  đến mặt phẳng      :Ax By Cz D 0 là d M;     Ax By Cz D 0 0 0 2 2 2 A B C        8. Góc  Nếu      :Ax By Cz D 0 thì  có một VTPT n A;B;C      Nếu d: 0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z x u t            hoặc 0 0 0 1 2 3 x x y y z z u u u      thì d có một VTCP u u ;u ;u   1 2 3    cos d;d '' cos u ;u       d d''  cos ; cos n ;n                    sin d; cos u ;n          d   9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng  Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 0 1 0 2 0 3 x x u t d : y y u t z z u t            , có VTCP u u ;u ;u   1 2 3   , qua M x ; y ;z  0 0 0  0 1 0 2 0 3 x x '' u '' t '' d '': y y '' u '' t '' z z '' u '' t ''            ,có VTCP u '' u '' ;u '' ;u ''   1 2 3   ta làm theo các bước: Bước 1. Nếu u '' ku M d ''          thì d trùng d’ Nếu u '' ku M d ''          thì d song song với d’. Nếu u '' ku    chuyển sang bước 2. Bước 2. Xét hê phương trình 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 x u t x '' u '' t '' y u t y '' u '' t '' z u t z '' u '' t ''               -Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau - Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất t, t’ thì hai đường thẳng cắt nhau.  Cho 0 1 0 2 0 3 x x u t d : y y u t z z u t            và      :Ax By Cz D 0 để xét vị trí tương đối của d và  ta xét hệ phương trình 0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z z u t Ax By Cz D 0                  -Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d song song  -Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d nằm trong  -Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath X, Tổ hợp xác suất 1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m n  cách thực hiện 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực thiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành. 3. Hoán vị Cho tập hợp a gồm n phần tử n 1   . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là P n n 1 ...2.1 n! n      4. Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1   . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:   kn n! A n k !   5. Tổ hợp Giải sử tập hợp A có n phần tử n 1   . Mỗi tập con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là :   kn n! C k! n k !   k n k k 1 k k C C ; C C C n n n 1 n 1 n        6. Công thức nhị thức Niu-Tơn  n 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n 1 n 1 n n k n k k n n n k 0 a b C a C a b ... C a b ... C ab C b C a b                  Nhắc lại các công thức lũy thừa  n n a a.a...a  , a 1 0  n n 1 a a   m n n m a a  a a a     a a a     a a       ab a b     a a b b          7. Phép thử và biến cố Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố  Không gian mẫu A   A là biến cố A   A là biến cố không A   A là biến cố chắc chắn C A B   C là biến cố: “A hoặc B” C A B   C là biến cố: “A và B” A B    A và B xung khắc B A \ A    A và B đối nhau 8. Xác suất của biến cố        n A P A n   P A   : Xác suất của biến cố A. n A   : Số phần tử của A; n  : số các kết quả xảy ra của một phép thử.  P 0, P 1         0 P A 1      A, B xung khắc: P A B P A P B           P A 1 P A        A và B là hai biến cố độc lập:   P A.B P A .P B      

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC

I, Khảo sát hàm số và các vấn đề liên

quan

1.Bảng các đạo hàm

 xn  n.xn 1   un  n.u un 1  

2 x

2 u



  2



   

 

   

 

 

 x   , c 01   ,

 k.u  k.u

u v   u v 

 uv  u v uv  

2

  

 

 

sinx cos x sin uu cosu

cos x  sinx cosu  u sin u

tan x 12

cos x

cos u

 

cot x 12

sin x

sin u

  

2 Xét dấu biểu thức

 Định lý về dấu của nhị thức

bậc nhất y f x =ax b a 0      

x  b

a

 

y af x 0  0 af x 0 

 Định lý về dấu của tam thức bậc

hai y ax bx c a 0 2    

 2



+) Nếu    0  0 phương trình

y 0 vô nghiệm

x  

y af x 0 

+) Nếu    0  0phương trình y=0

có nghiệm kép x1,2 b

2a

 

x  b

2a

 

y af x 0  0 af x 0 

+) Nếu  0  0 phương trình

y 0 có hai nghiệm phân biệt

x

     

nghiệm x x1 2

x  x 1 x 2 

y af x 0  0 af x 0  0 af x 0 

 Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai

2

ax bx c 0 a 0    có hai nghiệm

1 2

x ;x ta có 1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

   







3 Phương trình tiếp tuyến (PT ) 3

 PT với đồ thị hàm số 3 y f x  

tại điểm M x ;y 0 0 có hệ số góc là

 0

f x

 PT với đồ thị hàm số 3 y f x  

tại điểm M x ;y 0 0 có dạng :

 0 0 0

y f x x x   y , y f x0   0

M được gọi là tiếp điểm 0

x được gọi là hoành độ của tiếp điểm 0

y được gọi là tung độ của tiếp điểm

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

 0

f ' x được gọi là hệ số góc của tiếp

tuyến

 Nếu PT song song với đường 3

thẳng y ax b  thì f x 0 a

 Nếu PT vuông góc với đường 3

thẳng y ax b  thì f x 0 1

a

 Nếu PT tạo với trục 0x một góc 3

 thì f x 0  tan

 Nếu PT cắt hai trục tọa độ tạo 3

thành một tam giác vuông cân thì

 0

f x  1

4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính đạo hàn f x , tìm các

điểm x i 1,2 ni   mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định

 Sắp xếp x theo thứ tự tăng dần i

và lập bảng biến thiên

 Nêu các kết luận về sự đồng biến

nghịch biến của hàm số

5 Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính f x  , tìm các

điểm x i 1,2 ni   mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định

 Sắp xếp x theo thứ tự tăng dần i

và lập bảng biến thiên

 Từ bảng biến thiên suy ra các

điểm cực trị của hàm số

6 Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

 Tìm tập xác định

 Tính f x , giải phương trình

 

f x 0  và kí hiệu x i 1,2 ni   là các

nghiệm của nó

 Tính f x  và f x i

 Nếu f x 0 0 thì x là điểm 0

cực tiểu

 Nếu f x 0 0 thì x là điểm 0

cực đại

Chú ý nếu f x 0 0 thì ta không kết luận được về tính cực trị hàm số tại x 0 7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm

số liên tục trên một đoạn

 Tìm các điểm x ; x ; ;x trên 1 2 n

 a;b mà tại đó f x 0  hoặc không xác định

 Tính

     1 2    n

f a ; f x ; f x ; ;f x ;f b

 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Khi đó:

 a;b    a;b  

M max f x , m min f x  Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết luận Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN

8 Đường tiệm cận

 Đường tiệm cân ngang: y y là 0 tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

y f x nếu: xlim f x   y0

 Đường tiệm cận đứng: x x là 0 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

y f x nếu

0

x xlim

  

9 Sơ đồ khảo sát hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét chiều biến thiên của hàm số +Tìm y’

+Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số (đồng biến,ngịch biến)

 Tìm cực trị

 Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên

 Vẽ đồ thị

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

10 Tương giao của hai đồ thị

 Xét hai hàm số y f x   và

 

y g x tọa độ giao điểm của đồ thị hai

hàm số là nghiệm của hệ phương trình

 

 

y f x

y g x





 



 Đường thẳng y ax b  là PT3

của đồ thị hàm số y f x  , khi và chỉ khi

phương trình  

 

f x ax b

f x a

 



  

 có nghiệm

II, Lượng giác

1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ

bản

sin x cos x 1

t anx ,cot x ,tan x cot x 1

2.Công thức cộng lượng giác

sin a b sin a cosb cosa sin b

cos a b cosa cosb sin a sin b

t ana tan b tan a b

1 tan a tan b

 



 



 3.Công thức cung nhân đôi

sin 2a 2sin a cosa

cos2a cos a sin a 2cos a 1



 1 2sin a2

2

2tan a

tan 2a

1 tan a





Chú ý: Nếu đặt tanx t

2  thì ta có:

2

2 2

sinx ; cos x

t anx ; cot x







4.Công thức hạ bậc

5 Công thức cung nhân ba

3 3

sin3a 3sin a 4sin a;

cos3a 4cos a 3cosa

6.Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa-cosb 2sin sin

sin a sin b 2sin cos

sin a sin b 2cos sin

7.Công thức biến đổi tích thành tổng

1 cosa cos b cos a b cos a b

2

1 sin a sin b cos a b cos a b

2 1 sin a cos b sin a b sin a b

2

8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan

Góc

GTLG

2

   sin sin sin  cos sin cos cos  cos sin   cos

tan tan tan cot  tan  cot cot cot tan  cot  9.Phương trình sinx=a

 a 1 phương trình vô nghiệm

 a 1 có góc : sin a

 



      



Được gọi là arcsin a

   

sin f x sin g x

f x g x k2

,k





https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

 Các trường hợp đặc biệt

2 sinx 0 x k ,k

2



     

    



       







 Bảng sin các góc đặc biệt

Góc

2





3





4





6



 0

90

 600 450 300

sin

-1 3

2

 2

2

 1

2



Góc 0

6



4

 3



2

 0

0 300 450 600 900

sin

0 1

2 22 32 1

10.Phương trình cosx=a

 a 1 phương trình vô nghiệm

 a 1 có góc : cos a

0

 



     Được gọi là arccosa

 cosf x cosg x   

   

f x g x k2

,k



 Các trường hợp đặc biệt

cosx 1 x k2 ,k

2

    



     

       







 Bảng cos các góc đặc biệt

Góc 0

6



4



3

 2

 0

0 300 450 600 900

cos

1 3

2 22 12 0

Góc 2

3 3

4 5

6 

1200 1350 1500 1800 cos

1 2

 2

2

 3

2

 1 11.Phương trình tanx=a

 Đk: x k ,k

2



   

 Luôn có góc : tan a

 



     



được gọi là arctana

   

tan f x tan g x

f x g x k ,k



 Bảng tan các góc đặc biệt

Góc

3





4





6



 0 600 450 300 00 tan

3 1 3

3

 0

Góc

6



4



3



300 450 600 tan

3

3 1 3 12.Phương trình cotx=a

 Đk: x k ,k  

 Luôn có góc : cot a

0

 



     được gọi là arccota

 cot f x cot g x   

f x g x k ,k      

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

 Bảng cot các góc đặc biệt

Góc

6



4



3

 2



300 450 600 900

cot

3 1 3

3 0 Góc

3





4





6



 600 450 300

cot

3

3

 1 - 3

III, Số phức

 Số phức Z a bi  , a là phần

thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số

2

i  1

 Mô đun của số phức Z a bi 

được tính bởi công thức

Z  a b

 Cho số phức Z a bi  thì số

phức Z a bi  được gọi là số phức liên

hợp của Z a bi 

 Cho Z a bi, Z c di1  2  

Z Z    a c b d i

1 2

Z Z  ac bd  ad bc i

2

1

  Z 01 

 Nếu a là một số thực âm thì căn

bậc hai của a là: i a

 Các nghiệm của phương trình

2

ax bx c 0 a 0    khi  0

là: 1,2 b i

x

2a

  

IV, Mũ, Lô-ga

1 Bảng các đạo hàm

 x '  x 1  u '  u u ' 1

 x   1 c 0 

2

   

 

   

 

 

 x ' 1

2 x

2 u



u v ' u ' v'     uv ' u 'v v'u 

2

u ' u 'v v'u

  

 

sinx cos x sin ucos u u 

cos x  sinx cosu  sin u u 

t anx 12

cos x

  tan u 12  u

cos u

cot x 12

sin x

   cot u ' 12  u

sin u 

 

 e ' ex  x  e ' e u 'u  u

 a ' a ln ax  x  a ' a ln a.u 'u  u

 ln x ' 1

x

  ln u ' u '

u



log x 'a  1

x ln a

 log u 'a  u '

u ln a



2 Các công thức lũy thừa



n n

a a.a a, a 10  n

n

1 a a

  m

m n n

a  a a a  a

a





 ab a b  a a



  

 

 

3 Các công thức Loogarít a

log b  ab, log 1 0a 

a log b

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

 

a

log a  

e

10

ln a log a;

lg b log b log b



 

log b b log b log b

1

2

b

b

 

 

log b  log b

n

log b log b

n



c

c

log b

log b ;log b.log c log c

log a

a

b

1

log b

log a



a a

1

log b  log b

4 Phương trình- Bất phương trình

mũ

a)Phương trình mũ

 Dạng cơ bản:

x

a b a 0,a 1  

nếu b0 phương trình vô nghiệm, nếu

b>0 phương trình có nghiệm duy nhất

a

x log b

 Đưa về cùng cơ số

f (x) g(x)

a a f (x) g(x)

 Đặt ẩn phụ

Dạng 1: A.a2x B.a C 0x  đặt

x

t a t 0  phương trình trở thành

2

A.t Bt C 0  

Dạng 2:

 x

A.a B ab C.b 0

Đặt t a x

b

 

    t 0 

Dạng 3:

A.a B.b C 0   với ab 1

hoặc a b 1x x  ta đặt t a t 0 x    Khi

đó bx 1

t



 Loogarít hóa Với M, N 0 và a 0, a 1 

f x

a

 Dùng tính đơn điệu:

Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó

là duy nhất

b)Bất phương trình mũ

 a 1:a f (x) ag(x) f (x) g(x)

 0 a 1 

f (x) g(x)

a a f (x) g(x)

 Chú ý b a log b a

5 Phương trình- Bất phương trình lôgarít

a)Phương trình lôgarit

 Dạng cơ bản

b a

log x b  x a a 0,a 1 

Chú ý: điều kiện log f (x) là a

f (x) 0

a 0; a 1





  



 Đưa về cùng cơ số

 

 

f (x) g(x) log f (x) log g(x) f x 0

f (x) g(x)

g x 0













 Đặt ẩn phụ Dạng 1:

2

A(log x) B log x C 0   đặt t log x a At Bt C 02   , chú ý  2 2

log b log b

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

Dạng 2:

Alog x Blog a C 0   đặt

t log x log a

t

 Mũ hóa

c a

log b c  b a

 Dùng tính đơn điệu

Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng

tính đơn điệu để chứng minh nghiệm đó

là duy nhất

b)Bất phương trình lôgarit

 a>1

log f (x) log g(x)a a f (x) g(x)

f (x) 0







 0 a 1 

log f (x) log g(x)

g(x) 0







V, Phương trình, bất phương trình đại

số

1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ



2 Phương trình ax b 0 

 

ax b 0 1 

a 0 (1) có nghiệm duy nhất x b

a

 

b 0 (1) vô nghiệm

a 0 

b 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

3 Phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2)

 = b2 – 4ac

' b' ac,b'

2

 > 0

 ' 0

(2) có hai nghiệm phân biệt

x1,2=

      b  b' '

 = 0

 ' 0

(2) có nghiệm kép

x

   

 < 0

 ' 0 (2) vô nghiệm

4 Định lý Vi-ét

 Nếu phương trình bậc hai

  

2

ax bx c 0 a 0 2    có hai nghiệm

1 2

x ;x thì x x1 2 b,x x1 2 c

 Nếu hai số u, v có tổng S=u+v và tích P=uv thì u và v là các nghiệm của phương trình x Sx P 02  

 (2) có hai nghiệm phân biệt

a 0

0 ' 0





    

 (2) có hai nghiệm trái dấu ac 0 

 (2) có hai nghiệm cùng âm

1 2

a 0

0 ' 0

x x 0

x x 0





   





  



 (2) có hai nghiệm cùng dương

1 2

a 0

0 ' 0

x x 0





   





  



3 Phương trình bậc cao Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình Phương trình:

a x a x  a x a 0



hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ p

q thì p

là ước của a và q là ước của 0 a n

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

Dạng 2: Phương trình trùng phương

ax bx c 0   đặt x2 t t 0  

chuyển về phương trình bậc hai

Dạng 3: Phương trình hồi quy:

ax bx cx dx e 0     với a 0 và

2

a    b 

Nhận xét x 0 không là nghiệm của

phương trình, chia hai vế cho x ta có: 2

2

2

        

Đặt t x b 1

d x

   phương trình trở thành

phương trình bậc hai

Dạng 4: Phương trình:

x a x b x c x d m        , với

a b c d   Biến đổi phương trình về

dạng:

Đặt t x  2 a b x ab  biến đổi về

phương trình bậc hai

Dạng 5: Phương trình:

x a x b x c x d mx        2 với

a.b c.d Biến đổi phương trình về:

x a b x ab x c d x cd mx

         

xét x 0 ; x 0 chia hai vế cho x ta 2

có :

         

Đặt t x ab

x

  biến đổi phương trình về

phương trình bậc hai

4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt

đối:

Để giải các phương trình có chứa dấu giá

trị tuyệt đối ta tìm cách phá dấu giá trị

tuyệt đối của phương trình, có hai cách

phá dấu giá trị tuyệt đối của phương

trình là xét dấu biểu thức trong dấu giá

trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai vế của phương trình ta cần phải chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0

A, A 0 A

A, A 0





   ; A2 A2

           

 

f x g x







     





g(x) 0 f(x) g(x)

f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g x

5 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thông thường ta bình phương hai vế của phương trình, khi bình phương hai

vế của phương trình ta cần chú ý điều kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0

 

 

   









2

g(x) 0 f(x) g(x)

f(x) g x f(x) 0

f(x) g(x) g(x) 0

f(x) g(x)

6 Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn

x, y là hệ phương trình gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y

và y bởi x Đối với hệ phương trình dạng này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ

S x y

P xy

 



 

 , điều kiện:

2

S 4P 0 

7 Hệ phương trình đối xứng loại 2:

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình nếu thay đổi x cho y và y

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

cho x thì phương trình này chuyển về

phương trình kia của hệ

Đối với hệ phương trình này ta thường

trừ từng vế của phương trình cho nhau,

bao giờ cũng phân tích được thành nhân

tử x y 

8 Hệ phương trình đẳng cấp:

Phương trình đẳng cấp bậc hai cĩ dạng:

a x b xy c y d

a x b xy c y d





Cách giải:

 Cách 1: Đặt x ty tìm t và giải

phương trình

 Cách 2: Chuyển phương trình về

dạng

Ax Bxy Cy 0  

Xét y 0 thay vào phương trình

Xét y 0 chia 2 vế của phương trình ta

được phương trình bậc hai với x

y

9 Định lý về dấu của nhị thức bậc

nhất:

y f x =ax b a 0  

x  b

a

 

y af x 0  0 af x 0 

10 Định lý về dấu của tam thức bậc

hai: y ax bx c a 0 2    

 2



+) Nếu +) Nếu    0  0 phương

trình y 0 vơ nghiệm

x  

y af x 0 

+) Nếu    0  0phương trình y=0

cĩ nghiệm kép x1,2 b

2a

 

x  b

2a

 

y af x 0  0 af x 0 

+) Nếu  0  0 phương trình

y 0 cĩ hai nghiệm phân biệt

x

     

nghiệm x x1 2

x  x 1 x 2 

y af x 0  0 af x 0  0 af x 0 

11 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

 f(x) g(x)    g(x) 0g(x) f(x) g(x) 



 



     



  



g(x) 0 f(x) có nghĩa f(x) g(x) g(x) 0

f(x) g(x) f(x) g(x)

 Với B > 0 ta cĩ :

    

  

   A B

 Ta thường dùng cách bình phương hai vế của phương trình để phá dấu giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath

12 Bất phương trình chứa ẩn trong

căn

   

f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0

f(x) g(x)



 

 





  



g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 0

f(x) g(x)

 Ta thường dùng cách bình phương

hai vế của phương trình để phá dấu

giá trị tuyệt đối, khi bình phương cần

chú ý điều kiện để hai vế cùng dấu

VI, Tích Phân và ứng dụng

1 Bảng các nguyên hàm- tích phân

 Các nguyên hàm cơ bản

1

x

1



       



1dx ln x C

 , dx x c  ,

2

x   x



cosxdx sin x C 



sin xdx cosx C



2

1 dx tanx C

cos x  



2

1 dx cotx C

sin x   



tan xdx ln cosx C



co t xdx ln sin x C 



e dx e C 



x

ln

 ,  > 0,  1

 Các nguyên hàm thường dùng

1

1 (ax b) (ax b) dx   a 1  C,    1,  

ln ax b







sin(ax b)

a 



cos(ax b)

a 



2 1 dx 1tan(ax b) C

a cos (ax b)   



2 1 dx 1co t(ax b) C

a sin (ax b)    



1 tan(ax b)dx ln cos(ax b) C

a



1

co t(ax b)dx ln sin(ax b) C

a



ax b 1 ax b

a

   





 ax bdx ax b C

a ln

  ,  > 0,  1

dx 2 x C

x  



2dx 2 1arctanx C



2dx 2 1 ln x a C

2a x a

x a   



2dx 2 1 ln a x C

2a a x

a x   



2 2

dx ln x x p C

x p    

