Tính dao ñộng cưỡng bức của hệ hữu hạn bậc tự do theo phương pháp khai triển tải trọng theo các dạng riêng; 2.11.. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán ñộng lực học công trình: Ở môn học Cơ học
Trang 1TRƯỜNG ðẠI HỌC NHA TRANG
KHOA XÂY DỰNG
GVC ThS Trần Ngọc Nhuần
NHA TRANG THÁNG 8 NĂM 20014
Trang 2Mục lục
1.2 Dao ñộng của hệ không xét ñến lực cản;
1.3 Dao ñộng cưỡng bức không cản chịu lực kích thích ñiều hòa;
1.4 Dao ñộng cưỡng bức khi hệ chịu tác ñộng của xung tức thời;
1.5 Dao ñộng tự do chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn
2.1 Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm;
2.2 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát;
2.3 Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ khi không tính ñến lực cản;
2.4 Xác ñịnh dạng dao ñộng riêng;
2.5 Tính chất trực giao của các dạng dao ñộng riêng;
2.6 Chuẩn hóa các dạng dao ñộng riêng;
2.7 Cách sử dụng tính ñối xứng của hệ dao ñộng;
2.8 Dao ñộng tự do của hệ hữu hạn bậc tự do;
2.9 Dao ñộng hệ hữu hạn bậc tự do chịu tác dụng xung;
2.10 Tính dao ñộng cưỡng bức của hệ hữu hạn bậc tự do theo phương pháp khai triển
tải trọng theo các dạng riêng;
2.11 Lực tương ứng với trạng thái ñộng và ma trận mềm ñộng học
3.1 Dao ñộng dọc của thanh thẳng;
3.2 Phương trình vi phân tổng quát dao ñộng ngang của thanh thẳng;
3.3 Dao ñộng riêng theo phương ngang của thanh chịu uốn;
3.4 Dao ñộng cưỡng bức của thanh chịu uốn chịu lực kích thích bất kỳ;
3.5 Dao ñộng của thanh chịu uốn có khối lượng phân bố ñều, tiết diện không ñổi;
3.6 Dao ñộng của thanh thẳng chịu uốn có khối lượng phân bố ñều, tiết diện không
ñổi mang khối lượng tập trung
4.2 Phương pháp năng lượng Lagrange – Ritz;
4.3 Phương pháp Bupvôv – Galoockin;
4.4 Phương pháp thay thế khối lượng;
4.5 Phương pháp quy ñổi về hệ có một khối lượng ñể xác ñịnh tần số dao ñộng cơ bản của
dao ñộng riêng;
4.6 Phương pháp giải ñúng dần xác ñịnh tần số dao ñộng riêng;
4.7 Phương pháp sai phân;
4.8 Các công thức ước ñịnh tần số dao ñộng riêng
Trang 3MỞ ðÀU MÔN HOC
1 Nhiệm vụ cơ bản của bài toán ñộng lực học công trình:
Ở môn học Cơ học kết cấu, ta ñã ñi nghiên cứu các phương pháp tính toán công trình chịu
tác dụng của tải trọng tĩnh Tuy nhiên trong thực tế phần lớn các công trình xây dựng ñều chịu tác dụng của ñộng lực tải trọng ñộng
Khái niệm về ñộng lực học là khái niệm gắn liền với khái niệm về lực thay ñổi theo thời gian, nghiên cứu ñộng lực học công trình là nghiên cứu công trình chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi theo thời gian
Nhiệm vụ cơ bản của bài toán ñộng lực học công trình là xác ñịnh chuyển vị và nội lực trong kết cấu công trình khi công trình chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi theo thời gian Trên cơ
sở ñó, sẽ xác ñịnh ñược các biến dạng và ứng suất cực ñại ñể tính toán kiểm tra các công trình thực, ñồng thời lựa chọn ñược kích thước kết cấu hợp lý ñảm bảo biến dạng và ứng suất nhỏ ñể thiết kế các công trình mới tránh ñược các hiện tượng cộng hưởng
2 Các dạng tải trọng tác ñộng lên công trình:
Ta có các tên gọi sau:
• Tải trọng có chu kỳ
• Tải trọng không có chu kỳ (ngắn hạn, dài hạn)
• Tải trọng có trị số không thay ñổi di ñộng trên công trình P(z)
• Tải trọng có vị trí thay ñổi, trị số thay ñổi theo thời gian P(z,t),(ðoàn xe chạy trên cầu)
• Tải trọng gió tác dụng lên công trình
• Lực ñịa chấn xuất hiện khi ñộng ñất
Trang 43 Các dạng dao ñộng:
* Phân theo số bậc tự do của hệ dao ñộng:
- Dao ñộng hệ có một bậc tự do;
- Dao ñộng của hệ hữu hạn bậc tự do;
- Dao ñộng của hệ vô số bậc tự do
* Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao ñộng:
- Dao ñộng tự do: Là dao ñộng sinh ra do chuyển vị và tốc ñộ ban ñầu (không có tải trọng
ñộng duy trì trên hệ)
- Dao ñộng cưỡng bức: Là dao ñộng sinh ra do các tải trọng ñộng và các tác dụng ñộng bên ngoài khác
* Phân theo sự tồn tại của lực:
- Dao ñộng không tắt dần: Là dao ñộng bỏ qua ảnh hưởng của lực cản
- Dao ñộng tắt dần (có xét ñến lực cản)
* Phân theo kích thước và cấu tạo của hệ:
- Dao ñộng của hệ thanh (dầm, dàn, vòm, khung, …);
- Dao ñộng của tấm;
- Dao ñộng của vỏ;
- Dao ñộng của các khối móng;
- Dao ñộng của hệ treo;
- Dao ñộng của các kết cấu công trình ñặc biệt v.v…
* Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng:
• Nếu kể ñến biến dạng uốn và biến dạng dọc trục trong thanh thì vị trí của khối lượng M
ñược xác ñịnh bằng chuyển vị y 1 (t) và y 2 (t) Hệ có bậc tự do là 2 (n=2) (hình M.2a)
• Nếu chỉ kể biến dạng uốn thì chuyển vị của M ñược biểu diễn bằng chuyển vị thẳng ñứng
y 1 (t) Hệ có bậc tự do bằng 1 (hình M.2b)
• Hình M.2c có 3 bậc tự do
Trang 5Chỉ xét ñến biến dạng uốn của thanh.Do vậy bậc tự do của hệ ñược xác ñịnh bằng số lượng tối thiểu các liên kết thanh cần ñặt thêm vào ñể ngăn cản tất cả các chuyển vị của các khối lượng tập trung trên hệ
• Khi nghiên cứu dao ñộng của thanh, nếu xét ñến trọng lượng bản thân của kết cấu, nghĩa
là xem hệ có mang khối lượng phân bố thì hệ có bậc tự do bằng vô cùng Lúc này hàm
chuyển vị của thanh là: y = y(z, t)
• Nếu chia thanh có khối lượng phân bố thành nhiều ñoạn rồi tập trung khối lượng trên từng
ñoạn chia vào một ñiểm nào ñó trọng ñoạn chia, ta sẽ có sơ ñồ tính toán thay thế Hệ dao ñộng lúc này xem như dao ñộng của hệ có số bậc tự do hữu hạn
5 Phương pháp tính:
a) Phương pháp tĩnh: Xây dựng theo nguyên tắc cân bằng tĩnh học Áp dụng nguyên lý
D’Alembert
* Hệ phẳng ta có 3 phương trình cân bằng,
* Hệ không gian ta có 6 phương trình cân bằng
b) Phương pháp năng lượng (Hamintơn):
Xây dựng trên cơ sở nguyên lý bảo toàn năng lượng: Tổng ñộng năng T của các khối lượng trên hệ và thế năng U của hệ là một ñại lượng không ñổi Ta có:
(a) Hình M.3: Cách xác ñịnh số bậc tự do:
(a): n = 3; (b): n = 6
(b)
z
y
Trang 6CHƯƠNG 1: DAO ðỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO
1.1 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát hệ một bậc tự do:
1.1.1 Các lực tác ñộng và các tham số cơ bản của hệ ñộng học:
Xét một mô hình ñơn giản cho trên (hình 1.1) Hệ gồm có một khối lượng M chịu tác dụng của tải trọng ñộng thay ñổi thay ñổi theo thời gian P(t) Hệ ñược gắn với vật bất ñộng bằng
lò xo ñàn hồi không trọng lượng với ñộ cứng K, một bộ giảm chấn C biểu thị sự tiêu hao năng
lượng trong quá trình dao ñộng Các con lăn ñảm bảo cho khối lượng chỉ có thể chuyển vị tịnh tiến theo phương ngang
Trong quá trình dao ñộng, hệ chịu tác ñộng của các lực:
- Tải trọng ñộng thay ñổi theo thời gian và các kích ñộng bên ngoài
- Lực ñàn hồi Lực này xuất hiện khi hệ tách khỏi vị trí cân bằng và có xu hướng ñưa hệ trở
về vị trí cân bằng ban ñầu Dạng dao ñộng tuyến tính, lực ñàn hồi ñược xác ñịnh:
Pñ = P(y) = K.y (1.1)
y – chuyển vị ñộng của hệ tại kối lượng M, K – hệ số ñộ cứng, là lực do chuyển vị bằng
ñơn vị gây ra tương ứng với phương của bậc tự do
- Lực ma sát (lực cản): Lực này ngược chiều với chiều chuyển ñộng và có khả năng khử dao ñộng của hệ và ñược gọi là lực cản hay lực tắt dần Ta xét lực cản với mô hình cản nhớt tuyến tính, lực cản này tỷ lệ với vận tốc dao ñộng của hệ:
P c =C y& (1.2)
C – hệ số tắt dần (hệ số cản nhớt), y& - vận tốc dao ñộng của hệ
1.1.2 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng:
Khảo sát dao ñộng của hệ ñơn giản một
khối lượng M tập trung trên dầm Dầm ñược
xem là vật thể ñàn hồi không trọng lượng, khối
lượng M chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi
theo thời gian P(t) (hình 1.2) Hệ có một bậc tự
do – chuyển vị theo phương thẳng ñứng y(t)
Trang 7Phương trình cân bằng lực viết cho khối lượng M:
P d +P c −P q = P ( t ) (1.4)
M y&+C y&+Ky =P ( t ) (1.5) Mặt khác ta có thể xây dựng phương trình vi phân dao ñộng (1.5) dưới dạng chuyển vị:
Gọi δ11 là chuyển vị tại khối lượng M do lực ñơn vị bằng 1 gây ra, lúc này chuyển vị
ñộng tương ứng với dao ñông của hệ sẽ là (nguyên lý cộng tác dụng):
y ( t )=δ11 P ( t )+δ11 P q −δ11 P c 1 y ( t ) P c P q P ( t )
11
=
−+
2 t
q t
0 Rdt dt
) U T
0 dt y ) t ( P y Ky y y C y y
M&δ& &δ δ δ (1.6)
∫ =[ ] −∫2
t
1 t
2 t
1 t
2 t 1
y y M dt y y
M&δ& &δ &δ (1.7)
Với
dt
) y ( d
1 t
=+
−
−
−
∫ & & δ (1.8)
Trang 8Do δy là tùy ý, nên trong trường hợp tổng quát, phương trình (1.8) sẽ thỏa mãn khi biểu thức trong dấu ngoặc bằng không ðây chính là biểu thức mô tả dao ñộng tự do (1.5)
1.2 Dao ñộng tự do của hệ không xét ñến lực cản:
Dao ñộng tự do của hệ là dao ñộng ñược sinh ra bởi một kích ñộng bất kỳ tác ñộng trên
hệ rồi bị cắt ñi tức thời Từ (1.5) ta có phương trình vi phân dao ñộng của hệ một bậc tự do:
1
D e
D ) t (
y = + (1.14)
t i
D ) t (
y = ω + − ω (1.15) Viết dưới dạng lượng giác (sử dụng phương trình Euler) :
e±iωt =cosωt±i sinωt (1.16)
Thế (1.16) vào (1.15) ta thu ñược:
t sin i ) D D ( t cos ) D D ( )
t
(
y = 1+ 2 ω + 1− 2 ω (1.17)
y&( t )=−( D 1+D 2 )ωsin sωt+( D 1−D 2 ) iωcos t (1.18)
Sử dụng ñiều kiện ban ñầu, tại t = 0 ta có: y ( 0 )= y o ; y&( 0 )=v o (1.19)
ω
i
v D D
; y D
) t sin(
A ) t ( y
γωω
γω
& (1.23)
Với:
o o
2 o 2 o
v
y arctg
;
v y
Trang 9Nếu ñặt: θ
ω
θ; v A sin cos
A
y o = o = (1.25) Lúc này (1.21) có dạng: y ( t )= A cos(ωt−θ ) (1.26)
Và θ =arctg ( v o /ωy o ) (1.27)
• Hệ chỉ chịu chuyển vị ban ñầu: y(0) = y o ; v(0) = 0 (hình 1.3a)
Thay các giá trị này vào (1.24) và (1.27), ta có: A = y o và θ = 0 Phương tình dao ñộng:
y(t) = Acosωt = y o cosωt (1.28)
• Hệ chịu tốc ñộ ban ñầu: v(0) = v o ; y(0) = 0 (hình 1.3b)
Thay gía trị này vào(1.24) ta có γ =0 ; A=v o /ω Phương trình dao ñộng viết theo (1.23):
v y
Trang 10• Hệ chịu cả chuyển vị và vận tốc ban ñầu y o , v o , (hình 1.3c)
• Các dao ñộng ở (hình 1.3) là các dao ñộng ñộng ñiều hòa ñơn giản ðại lượng ω ñược gọi
là tần số vòng của dao ñộng hay tần số tuần hoàn của dao ñộng riêng và gọi tắt là tần số dao ñộng riêng
Chu kỳ dao ñộng: T = 2π / ω (s ) (1.30) Tần số dao ñộng: f = 1 / T = ω / 2π (1.31)
Từ (1.12), ta có ñược các công thức xác ñịnh tần số dao ñộng riêng:
t
g M
1 M
K: Hệ số ñộ cứng của hệ, g: gia tốc trọng trường, y t : chuyển vị của khối lượng M do lực
G = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí khối lượng M gây ra
• Ta cũng có thể xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ ñàn hồi bất kỳ theo phương pháp năng lượng Trong quá trình dao ñộng tổng ñộng năng và thế năng của hệ là một ñại lượng không ñổi:
2
1 y M 2
v y A
T
max
max max
max
Ví dụ 1.1: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng Chu kỳ dao ñộng, tần số kỹ thuật của dầm ñơn
giản không trọng lượng, có nhịp l, mang khối lượng tập trung M = G/g ñặt cách gối tựa trái một
ñoạn l / 4 (hình 1.4) Cho biết G = 30 kN, l = 6 m EJ = 2,1.104.8950 kNcm 2
Xác ñịnh chuyển vị y t , biểu ñồ mômen uốn do lực G và biểu ñồ mômen uốn ở trạng thái
khả dĩ tương ứng với chuyển vị cần tìm
cm 404 , 0 8950 104
1 , 2 256
600 30 3 EJ
256
Gl 3 16
l 3 3
2 l 16
Gl 3 2
1 EJ
1 ) M
k G
981 y
Trang 11Chu kỳ dao ñộng:
) s ( 1275 , 0 277 , 49
2 2
ωπ
Tần số dao ñộng:
) s / 1 ( 843 , 7 2 T
1
f = = =
πω
Tần số kỹ thuật:
) ph / vg 6 , 470 1275 , 0
60 T
60
Ví dụ 1.2: Tìm tần số dao ñộng riêng thẳng ñứng của móng truyền áp lực trên ñất Cho hợp lực
Q = 2000 kN Diện tích ñế móng F = 10 m 2 , hệ số nền ñàn hồi của ñất K = 2,5 daN/cm3 (hình 1.5)
Áp lực tác dụng lên nền:
2 m / kN 200 10
2000 F
Q
Chuyển vị của móng truyền:
cm 8 , 0 5 , 2
2 K
q
y t = = =
Tần số dao ñộng riêng:
) s / 1 ( 35 8 , 0
981 y
Ví dụ 1.3: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ cho
như hình vẽ (hình 1.6), ñộ cứng của liên kết ñàn hồi là
K
Hệ có 2 khối lượng nhưng bậc tự do là 1
Chuyển vị tổng quát của hệ là góc xoay tại gối tựa bên
phải (B)
ðặt vào gối tựa B một mômen ñơn vị M k = 1
Mômen này gây ra phản lực tại A là 1/l
Chuyển vị thẳng theo phương thẳng ñứng tạ A
là 1/Kl, do vậy chuyển vị ñơn vị là:
2 11
Kl
1
=
=αδ
Mômen quán tính các khối lượng ñối với trục quay B:
2 1
4
1 M 4
9 l 2
l M 2
l 3 M J
Trang 12, ( 1 / s )
M M 9
K 2
M 4
1 M 4 9
K J
1
2 1 2
1 11
=
δ ω
Xác ñinh bằng phương pháp năng lượng:
Thế năng tại vị trí liên kết ñàn hồi : max Ky 2
2 1 2
1 k
2 max k k max
2
y M 2
y 3 M 2
1 y
M 2
1 T
2 1 2
1 max
max
M M 9
K 2
M 4
1 M 4 9
K T
U
+
=+
Khối lượng M thực hiện chuyển ñộng quay tương
ñối quanh ñiểm A Công thức xác ñịnh tần số dao ñộng:
C: ðộ cứng ñàn hồi của hệ, trong trường hợp này là
phản lực mômen tương ứng gây ra do chuyển vị xoay bằng
ñơn vị:
C = 3EI / l; J M =Mh 2
2
h l.
M
EJ 3
=
Cách 2: Xác ñịnh δ11 Bậc tự do tương ứng của hệ là
chuyển vị theo phương ngang của khối lượng Ta xây dựng
trạng thái ñơn vị như hình vẽ (hình 1.7)
EJ 3
l h h 3
2 l h EJ 2
1 ) M )(
M
(
2 1
1
l Mh
EJ 3 M
1
2 11
=
=
δ ω
Ví dụ1 5: Xác ñịnh tần số dao
ñộng riêng của hệ của hệ có một
khối lượng tập trung ñặt tại góc
khung tĩnh ñịnh (hình 1.8a), bỏ qua
khối lượng bản thân hệ
ðặt vào khối lượng M lực
P = 1 ñơn vị theo phương chuyển
ñộng của khối lượng (hình 1.8b),
Trang 13
EJ 3
l 2 l 3
2 l l 2
1 l 3
2 l l 2
1 EJ
EJ 3 M
1
3 11
=
=
δ ω
Ví dụ 1.6: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ của hệ có một khối lượng tập trung ñặt tại góc
khung tĩnh ñịnh (hình 1.9a), bỏ qua khối lượng bản thân hệ
ðây là hệ siêu tĩnh, ta cần xác ñịnh phản lực tại gối tựa liên kết ñơn, sau ñó vẽ biểu ñồ
mô men uốn ứng với lực P = 1 ñặt tại khối lượng M (hình 1.9b) Chuyển vị ñơn vị ñược xác ñịnh:
EJ 48
l 5 4
l 3
2 3
l 4
l 2
l 3
2 3
l 2 2
l 2
l 3
2 2
l 2
l EJ 2
1 ) M )(
×
×+
EJ 48 M
1
3 11
=
=
δ ω
1.3 Dao ñộng cưỡng bức không cản chịu lực kích thích ñiều hòa P ( t )=P m sinθt:
Phương trình vi phân dao ñộng tự do không xét ñến cản khi chịu tải trọng ñiều hòa:
M y&+Ky= P m sinθt (1.35)
P m là biên ñộ dao ñộng và θ là tần số vòng của lực kích thích
Nghiệm thuần nhất của phương trình trên biểu thị dao ñộng tự do có dạng:
y tn ( t )=B cosωt+C sinωt (1.36)
Nghiệm riêng biểu thị dao ñộng do kết quả tác ñộng của tải trọng Có thể xem dao ñộng
ñiều hòa xảy ra do tải trọng ñiều hòa có pha cùng với pha của tải trọng:
y r ( t )=D sinθt (1.37)
Thế (1.37) vào (1.35) ta thu ñược:
−Mθ2 D sinθt+KD sinθt =P m sinθt
K
P 1
l/4
M 1
Hình 1.9
Trang 14Biên ñộ dao ñộng:
2 m
1
1 K
P D
P t sin C t cos B ) t ( y ) t ( y ) t
(
y
2
m r
ω θ ω
=+
Các giá trị B và C ñược xác ñịnh từ ñiều kiện ban ñầu: t = 0, y(0) = 0, y&( 0 )=v ( 0 )=0 :
2 2 m
1 K
P C
; 0 B
ω θ ω θ
P ) t ( y
2 2
ω θ θ ω
θ (1.42)
Trong thực tế, mặt dầu lực cản rất bé nhưng chỉ sau một khoảng thời gian, dao ñộng tự
do trong hệ sẽ tắt dần Hệ chuyển sang dao ñộng thuần cưỡng bức với chu kỳ và tần số của lực kích thích, phương trình dao ñộng có dạng:
sin t
1
1 K
P ) t ( y
2 2
Hình (1.10) mô tả dao ñộng cưỡng bức của hệ
chịu tải trọng ñiều hòa trong trường hợp tần số của lực
kích thích nhỏ hơn tần số dao ñộng riêng (θ < ω).
• Hệ số ñộng theo thời gian K(t):
Là tỷ số giữa chuyển vị ñộng ứng với trạng thái chuyển ñộng của hệ với chuyển vị tĩnh
do biên ñộ của tải trọng ñộng tác dụng tĩnh gây ra:
2
2 T
1
t sin y
) t ( y ) t ( K
ω θ
1
1 y y
Trang 15ñ
1
1 y
y K
Dĩ nhiên ta luôn có: Kñ = K(t) max (1.47)
ðồ thị biểu diễn hệ số ñộng theo tỷ số
ω θ ñược mô tả trên hình (1.11)
Qua ñồ thị ta thấy rằng: >1 ⇒ Kñ <0 ; 0≤ <1 ⇒ Kñ ≥1
ω
θ ω
θ
Khi θ ≈ω, Kñ có sự biến ñổi nhanh, và θ =ω thì Kñ = ∞, lúc này hệ xuất hiện tượng cộng hưởng, biên ñộ dao ñộng của hệ sẽ lớn vô cùng Biên ñộ dao ñộng tăng lên không tức thời
mà có khoảng thời gian xác ñịnh (hình 1.12)
Máy ñược thiết kế ñể làm việc trên miền cộng hưởng sẽ không gặp khó khăn gì nếu cho máy tăng tốc nhanh qua miền cộng hưởng với thời gian ñủ nhanh ñể cho hiện tượng cộng hưởng chưa kịp xảy ra ðể tránh hiện tượng cộng hưởng, các công trình cần ñược thiết kế ñể ω và θ sai
kém nhau tối thiểu 25%
Từ hệ số Kñ cho phép ta giải bài toán dao ñộng theo bài toán
tĩnh bình thường Các chuyển vị ñộng, nội lực ñộng, ứng suất ñộng…
ñược xác ñịnh theo chuyển vị tĩnh, nội lực tĩnh, ứng suất tĩnh thông
qua hệ số Kñ
1.4 Dao ñộng cưỡng bức khi hệ chịu tác dụng của xung tức thời:
1.4.1 Phương trình dao ñộng tổng quát;
Khi tải trọng ñộng ngắn hạn tác dụng lên công trình mà thời
gian duy trì tải trọng không vượt quá 25% chu kỳ dao ñộng riêng của
kết cấu, thì tải trọng ngắn hạn ñó ñược gọi là tải trọng xung tức thời
Trang 16Khi hệ chịu tác dụng của xung tức thời, nghĩa là hệ không tồn tại sự có mặt của tải trọng
ñộng Hệ dao ñộng ñược là do hệ ñã nhận ñược một vận tốc nào ñó mà tải trọng xung truyền cho
hệ Vì vậy dạng dao ñộng này thuộc dạng dao ñộng tự do Nếu xem rằng tại thời ñiểm xung tác
dụng chuyển vị tĩnh ban ñầu bằng không (y(0) = 0), vấn ñề còn lại là ta phải xác ñịnh vận tốc ban
ñầu v(0) bằng bao nhiêu trong trường hợp này
Thời gian duy trì tải trọng rất ngắn, nên tác dụng của tải trọng lên hệ sẽ thay bằng tác
dụng xung S ñược xác ñịnh bằng diện tích biểu ñồ tải trọng theo thời gian (hình 1.13)
=∫
r
0
dt ) t ( P
S (1.48)
Theo quy luật Newton:
dt
) t ( dv M ) t ( y M ) t (
v = (1.51)
Thay các ñiều kiện ban ñầu trên vào biểu thức (1.21) ta thu ñược phương trình dao ñộng
của hệ một bậc tự do chịu tác dụng của xung trong trường hợp không cản:
sin t
M
S ) t (
sin ( t )
M
S ) t (
= (1.53)
1.4.2 Tải trọng tĩnh tương ñương:
Tải trọng tĩnh tương ñương (P tñ) là tải trọng gây ra biến dạng bằng biến dạng cực ñại do tải trọng ñộng gây ra Chuyển vị cực ñại của hệ một bậc tự do ñược tính qua tải trọng tĩnh tương
ñương là:
K
P P
ω δ
S 1
M
S P
11
2 11
Ví dụ 1.7: Xác ñịnh mômen uốn lớn nhất trong dầm ñơn giản cho trên (hình 1.14a) Tải trọng
Trang 17ñộng tác dụng lên khối lượng có quy luật thay ñổi theo thời gian cho trên (hình 1.14b) Cho
trước: E=2 , 1 10 4 kN / cm 2 , J =100 cm 4 , l =2 , 5 m , M =0 , 01 kNs 2 / cm , P m =50 kN , r=0 , 05 s
- Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ:
Chuyển vị ñơn vị:
EJ 48
10 5 , 2
10 10 1 , 2 48 Ml
EJ 48 M
1
2 6 3
2 4 3
1416 , 3 2 2
ω π
247 , 0
05 , 0 T
r P S
P tñ = ω = m× ×ω = × × = Giá trị mômen uốn lớn nhất tai giữa nhịp:
4
5 , 2 8 , 31 4
l P
1.5.1 Tải trọng ngắn hạn có dạng hình sin:
Xét dạng tải trọng ngắn hạn (hình 1.15) Nói chung
khi hệ chịu tải trọng ngắn hạn, dao ñộng của hệ sẽ ñược tính
ở hai giai ñoạn: giai ñoạn có sự duy trì tải trọng ñộng và
giai ñoạn hệ dao ñộng tự do không có sự tồn tại của tải
P )
t
(
y
2 2
ω
θ θ ω
- Xét khoảng giai ñoạn 2 : t > r:
Ở giai ñoạn này, dao ñộng phụ thuộc vào chuyển vị y(r) và tốc ñộ v(r) ở cuối giai ñoạn
1 phương trình dao ñộng ñược viết tương tự (1.21):
r
P(t)
P m
t sin P ) t (
Trang 18y ( t )= v ( r ) sinω( t−r )+ y ( r ) cosω( t−r )
ω (1.58)
ðể xác ñịnh giá trị lớn nhất của chuyển vị theo thời gian, ta lấy ñạo hàm phương
trình(1.57) theo thời gian và cho bằng không:
( cos t cos t ) 0
1
1 K
P dt
) t ( dy
2 2
Chúng ta cần quan tâm ñến tải trọng tác dụng có tần số gần với tần số dao ñộng riêng
của hệ (θ → ω), như vậy ta chỉ cần lấy n = 1 ở biểu thức trên, ñổng thời tính với dấu âm, ta có:
θ ω
π θ
Biên ñộ cực ñại của dao ñộng tìm ñược bằng phép thế biểu thức (1.60) vào (1.57) Kết
quả chỉ thỏa mãn khi θ t ≤ 1 tương ứng với trường hợp = <1
P ) r ( y
2
m
β
π β
P ) r ( v
2 m
Biên ñộ dao ñộng tự do của giai ñoạn này ñược xác ñịnh theo (1.24):
2 / 1 2
m
2 2
cos 2 2 ) 1 ( K
P )
r ( v ) r ( y
β ω
Hệ số ñộng lúc này sẽ bằng (khi β > 1 và r > t):
β
π β
β
2
cos 1
2 y
y K
2 T
Xét dao ñộng của hệ trong trường hợp chịu tải trọng tăng ñột
biến, sau ñó giữ nguyên giá trị trong một thời gian ngắn r (hình 1.16)
Trang 19y = m − ω (1.62) Biểu thức (1.62) là phương trình dao ñộng của hệ ở khoảng ñầu ðể xác ñịnh giá trị lớn nhất của chuyển vị ta lấy ñạo hàm biểu thức (1.62) và cho bằng không:
sin t 0
K
P ) t (
y& = mω =
ωt =nπ,và
2
T n
t= , với n =1;
2
T
t= ; vì ñang xét trong khoảng 1 nên t ≤ r do ñó ta có ñiều
kiện ñể cực trị xảy ra ở khoảng này là: 0 , 5
T t
P r
T
2 cos 1 r T
2 sin K
P )
r ( v ) r ( y
2 2
y K
ñộng tính theo công thức (1.64) ñược cho theo bảng 1.1
Bảng 1.1: Giá trị hệ số ñộng với tải trọng ngắn hạn hình chữ nhật
r/T 0 0,01 0,02 0,05 0,1 0,167 0,2 0,3 0,4 ≥ 0,5
K ñ 0 0,052 0,126 0,313 0,618 1 1,175 1,617 1,902 2
1.5.3 Tải trọng ngắn hạn có dạng hình tam giác với biên ñộ giảm dần:
Xét dao ñộng của hệ khi chịu tác ñộng của tải trọng tăng ñột
biến sau ñó giảm tuyến tính ñến giá trị không trong thời gian ngắn r
Trang 20Nghiệm của phương trình vi phân dao ñộng của hệ:
)
r
t 1 ( K
P ) t (
ω ω
r arctg 2
K
P 2
2 y
y K
T
max
ñ ω ω (1.69)
ðiều kiện ñể xảy ra cực ñại trong khoảng ñầu là thời gian ñược tính theo biểu thức
(1.67) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng thời gian duy trì tải trọng r 0 , 371
P ) r ( v
; r cos r
r sin K
P ) r (
P A
2 2
m
ω
ω ω
y K
2 2
T
max
ω ω
Bảng 1.2: Hệ số ñộng ứng với tải trọng ngắn hạn dạng hình tam giác
r/T 0 0,1 0,2 0,3 0,371 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
K ñ 0 0,31 0,602 0,853 1 1,051 1,107 1,31 1,392 1,453 r/T 0,9 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 5 ∞
K ñ 1,506 1,552 1,63 1,689 1,73 1,763 1,809 1,839 1,908 2
Trang 21Bảng 1.3: Các công thức dùng ñể tính hệ số ñộng và tải trọng tĩnh tương ñương
ω
S K P P
2
r sin 2 K
; 5 , 0 T r
ñ
m tñ
ñ
2
r sin r
m
≥
1) 0 , 371 T
r
<
2 2
ñ
r
) r cos 1 ( 2 r
r sin 2 1 K
ω
ω ω
2
Kñ
ω ω
2 2
ñ
r
) r cos 1 ( 2 r
r sin 2 1 K
ω
ω ω
Ví dụ 1.8: Vẽ biểu ñồ momen uốn ñộng trong dầm (hình 1.18a) , tải trọng ñộng có quy luật (hình
r t khi P ) t (
r t khi r
t 1 P )
r t khi r
t P ) t (
Trang 223 11
Biểu ñồ mômen uốn ñộng ñược vẽ ở hình 1.18c
1.6 Dao ñộng của hệ chịu tác dụng của tải trọng thay ñổi theo thời gian với quy luật bất kỳ:
Nghiệm riêng tìm ñược bằng cách sử dụng phương
trình dao ñộng của hệ chịu tác dụng của xung tức thời không
xét ñến lực cản (1.52) Tải trọng P(t)có dạng tổng quát với
quy luật bất kỳ (hình 1.19) có thể ñược thay bằng tổng các
xung phân tố vô cùng bé:
dS = P(τ).dτ
Xem rằng tại thời ñiểm τ, hệ chịu tác dụng của xung
dS ðộ võng do tác dụng của xung phân tố này gây ra:
dy( t ) P( )d y( t ) P( )d sin ( t )
ω
= ∫ − (1.76) Tích phân này ñược gọi là tích phân Duamen Nghiệm tổng quát sẽ là:
t o
P tñ (c)
71,325
71,325 kNm 71,325
Trang 23Từ phương trình (1.76) ta có thể viết lại như sau:
11 2
1 y( t ) P( ) sin ( t )d P( ) sin ( t )d
M ω τ ω τ τ δ ω τ ω τ τ ω
Nếu ta thay P(t) = P m f(τ), trong ñó f(τ) là quy luật thay ñổi theo thời gian của tải trọng
ñộng thì phương trình trên ñược viết lại:
1.6.3 Tải trọng tác dụng ñột ngột sau ñó giữ nguyên giá trị:
Trong thực tế khi công trình chịu
tác dụng của các sóng xung kích do các vụ
nổ hạt nhân có thời gian duy trì tải trọng r
lớn gấp 1,5 lần chu kỳ dao ñộng riêng của
kết cấu Lúc này biểu ñồ tải trọng thay ñổi
theo quy luật hình tam giác (hình 1.20), có
thể bỏ qua thời gian giảm tải và tính theo
sơ ñồ (hình 1.21) bởi vì, trong trường hợp
này, biến dạng cực ñại của hệ xảy ra ngay
ở giai ñoạn ñầu khi tải trọng tác dụng:
y( t ) P sin ( t )d ( 1 cos t)=y ( 1 cos t)
Trang 241
K ( t )=ω ∫ f ( t ) sin ( tω −τ τ ω)d = ∫1.sin ( tω −τ τ)d = −1 cos tω
Phương trình dao ñộng của hệ trong giai ñoạn này :
ðể tìm hệ số ñộng Kñ ta lấy ñạo hàm của K(t) và cho bằng 0:
K ( t )&1 =ωsin tω =0 khi ωt=nπ
Trang 25Bảng 1.4: Giá trị hệ số Kñ và hệ số εvới các dạng tải trọng:
Trang 28Ví dụ 1.9: Xác ñịnh ứng suất lớn nhất phát sinh trong dầm (hình 1.20) Trên dầm ñặt một ñộng
cơ có trọng lượng Qñ = 15 kN, ñộng cơ có vận tốc góc θ = 30 (1/s), trọng lượng của phần quay không cân bằng Q 1 = 3 kN ðộ lệch tâm ρ = 1 cm Dầm có tiết diện chưa I số hiệu N o 20 có E = 2,1.10 7 N/cm 2 ; J = 2500 cm 4 , tải trọng phân bố có cường ñộ q o = 4 kN/m
Tải trọng Q tập trung tại giữa nhịp:
Trang 29CHƯƠNG 2: DAO ðỘNG CỦA HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO
2.1 Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm:
Xét hệ dầm (hình 2.1a) tại các vị trí 1, 2, , n hệ chịu tác dụng tương ứng của các lực P 1 ,
P 2 , , P n Chuyển vị tại vị trí k ñược xác ñịnh theo nguyên lý công tác dụng:
++
=
+++
++
=
+++
++
=
n nn k
nk 2
2 1 1 n
n n k
k 2 2
22 1 21 2
n n k
k 1 2
12 1 11 1
P
P
P P
y
P
P
P P
y
P
P
P P
y
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
LLLLLLLLLLLLLLLLL
Chuyển sang dạng ma trân:
P
P P
y y
n
2 1
nn 2
1
n 22
21
n 12
δ
δ δ
δ
δ δ
Trang 30Ngược lại ta cũng có thể viết:
++
=
+++
++
=
+++
++
=
n nn k
nk 2
2 1 1 n
n n k
k 2 2
22 1 21 2
n n k
k 1 2
12 1 11 1
y r
y r
y r y r P
y r
y r
y r y r P
y r
y r
y r y r P
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
Chuyển sang dạng ma trận:
y
y y
r
r r
r r
r
r r
P
P P
n
2 1
nn 2
1
n 22
21
n 12
; F
lượng bản thân dầm khi dao ñộng, vị trí mỗi
khối lượng ñược xác ñịnh bằng một thông
số chuyển vị theo phương ñứng, hệ có n bậc
tự do (hình 2.2)
Giả sử không có lực cản, tương tự
như phần trước Sử dụng nguyên lý D A Lembert, các lực ñặt vào khối lượng bao gồm: tải trọng
tác dụng, lực quán tính và lực ñàn hồi Phương trình cân bằng lực ñối với khối lượng thứ k:
++
+
=+
++
+
=+
++
+
) t ( P ) y r
y r y r ( ) t ( y m
y r y r ( ) t ( y m
) t ( P ) y r
y r y r ( ) t ( y m
n n nn 2
2 1 1 1
n
2 n n 2
22 1 21 1
2
1 n n 2
12 1 11 1
Trang 31Ta biểu diễn hệ (2.6) dưới dạng ma trận:
n
2 1
nn 2
1
n 22
21
n 12
11
n
2 1
n
2 1
P
P P
y
y y
r
r r
r r
r
r r
y
y y
m
0 0
m 0
0
0 m
1
n 22
21
n 12
11
r
r r
r r
r
r r
m
0 0
m 0
0
0 m
n
2 1
n
2 1
P
P P ) t ( P
; y
y y ) t ( Y
; y
y y t ( Y
&
&
&
& (2.10)
Phương trình (2.7) là phương trình vi phân dao ñộng của hệ n bậc tự do không cản viết
dưới dạng ma trận Khi kể ñến ảnh hưởng của lực cản, phương trình vi phân trên sẽ là:
[ ]M { }Y&( t ) +[ ]C { }Y&( t ) +[ ]K { } {Y ( t ) = P ( t )} (2.11) [C] là ma trận cản hay ma trận tắt dần:
lực tương ứng với tọa ñộ k do tốc ñộ chuyển dịch ñơn vị tại tọa ñộ m gây ra
Phương trình (2.11) còn gọi là phương trình vi phân ở dạng thuận Viết một hàng của hệ
này ta thu ñược:
=
=
=+
1 j
k kj
n 1 j ki k
k y ( t ) c y ( t ) r y ( t ) P ( t )
m & & (2.13)
Trang 322.3 Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ khi không tính ñến lực cản:
Phương trình vi phân của hệ hữu hạn bậc tự do khi không có lực cản và véc tơ tải trọng bằng không:
ðây là phương trình tần số của hệ hữu hạn bậc tự do (phương trình thế kỷ) Khai triển
ñịnh thức (2.18) ta sẽ nhận ñược phương trình ñại số bậc n với ω2
Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm ñược n nghiệm (ω1 2 ,ω2 2 , ,ωn 2) Các giá trị này biểu thị bình phương của tần số dao ñộng riêng Véc tơ bao gồm tất cả các tần số dao ñộng riêng xếp theo thứ thự tăng dần ñược gọi là véc
tơ tần số dao ñộng riêng hay còn gọi là phổ tần số Tần số dao ñộng riêng thấp nhất ω1 gọi là tần
ω
ω ω
ω
ω (2.19)
Tất cả các ma trận khối lượng và ma trận ñộ cứng của kết cấu bất kỳ ñều là các ma trận
ñối xứng và xác ñịnh dương Vì vậy, tất cả các nghiệm của phương trình tần số ñều thực và
Trang 33Với [E] là ma trận ñơn vị cấp n Phương trình tần số (2.20) viết dưới dạng mềm sẽ là:
(
r r
) m r
( r
r
r )
m r
(
n
2 nn 2
1
n 2
2 22 21
n 12
1
2 11
(
m m
)
1 m
( m
m
m )
1 m
(
2 nn n 2
2 1
1
n n 2
22 2 21
1
n n 12
2 2
11 1
δ
δ ω
δ δ
δ δ
ω δ
(2.23)
2.4 Xác ñịnh dạng dao ñộng riêng:
Tương ứng với các giá trị tần số dao ñộng riêng ωi ta sẽ xác ñịnh các dạng dao ñộng riêng { }A (hoặc i { }Y từ (2.17) hoặc (2.20) Việc xác ñịnh dạng dao ñộng riêng ñóng vai trò rất quan i
trọng trong bài toán dao ñộng hệ hữu hạn bậc tự do
ðể xác ñịnh dạng dao ñộng riêng, ta ñưa vào ma trận [B i ] ứng với tần số dao ñộng riêng
ωi Dạng dao ñộng riêng ứng với tần số dao ñộng riêng thứ i ñược gọi là dạng dao ñộng riêng thứ
ki ki
Trang 34i 2
i 1
0 0
A
A A
b
b b
b b
b
b b A 1
ni
i 2
i 1
i nn
i 2
i 1
i n
i 22
i 21
i n
i 12
i 11
i 1
0 0
1
b
b b
b b
b
b b
ni
i 2
i nn
i 2
i 1
i n
i 22
i 21
i n
i 12
i 11
i 2
* i
i 3
i 2
i n
i 33
i 32
i n
i 23
i 22 i
11
b
b b
b b
b
b b
1
b
b b
Trang 35Ma trận vuông biểu thị tất cả các dạng dao ñộng riêng gọi là ma trận các dạng chính, ký hiệu là [Φ]:
1
n 22
21
n 12
11 n
3 2 1
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
Các chỉ số ϕki gồm chỉ số thứ nhất k chỉ khối lượng thứ k, chỉ số thứ hai i chỉ tần số dao
ñộng hay dạng dao ñộng riêng thứ i
Dưới dạng giải tích hệ (n-1) phương trình (2.29) ñược viết như sau:
+
=+
+
−++
=+
++
−+
0 ) m r
(
r r
r
.
) m r
( r
r
0 r
r ) m r
( r
n n
2 nn 3
3 2 2 1
n n 3
3
2 33 2 32 31
n n 3
23 2 2
2 22 21
ϕ ω
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ω ϕ
ϕ ϕ
ϕ ω
++
+
=+
+
=+
++
0
1 m
m m
1 m
m m
0 m
m
1 m
m
n 2 nn n 3
3 3 2 2 2 1 1
n n n 3
2 33 3 2 32 2 31 1
n n n 3
23 3 2 2 22 2 21 1
ϕ ω δ ϕ
δ ϕ
δ δ
ϕ δ ϕ
ω δ ϕ
δ δ
ϕ δ ϕ
δ ϕ
ω δ δ
(2.37)
Ví dụ 2.1: Tìm các tần số dao ñộng riêng và các dạng dao ñộng riêng chính của dầm côngxôn
trên hình (2.3a) Cho biết EJ = const
* Hệ có hai bậc tự do ðể tính tần số dao ñộng
riêng ta xây dựng các biểu ñồ mômen uốn ñơn vị (hình
2.3b và 2.3c) Tính các chuyển vị ñơn vị:
EJ 3
l l 3
2 l.
EJ 2
1 ) M )(
M
(
3 1
l 8 l 2 3
2 l 2 l 2 EJ 2
1 ) M )(
M
(
3 2
l 5 l 3
2 l l.
EJ 2
1 ) M )(
M (
3 2
1 21
5 , 2 1 EJ 3
l F
3 22 21
12
=
δ δ
δ δ
(a)
(b)
(c)
Hình 2.3 (d)
1
-1
3
Trang 36Ma trận khối lượng: [ ]
1 0
0 3 m m 0
0 m M
EJ 3 u
ω
=
) u 8 ( 5 , 7
5 , 2 ) u 3 ( EJ 3
ml E
1 M F
EJ 3 u
ml
EJ 3
3 3
1 3
EJ 3 u
ml
EJ 3
3 3
2 3
5 , 7 B
5 , 7 B
ϕ (ñường liền hình 2.3d); dạng dao ñộng riêng
ϕ (ñường nét ñứt hinhg 2.3d)
Ví dụ 2.2: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng, dạng dao ñộng riêng của dầm công xôn có ba khối
lượng tập trung m 1 = m 2 = ml/3, m 3 = ml/6 EJ = const (hình 2.4a)
14 8 5 , 2
4 5 , 2 1 EJ 81
l F
3
33 32
31
23 22
21
13 12
11
=
=
δ δ
δ
δ δ
δ
δ δ
δ
Ma trận khối lượng:
[ ]
5 , 0 0 0
0 1 0
0 0 1 3
Trang 37[ ][ ] [ ] 0
) u 5 , 13 ( 14 4
7 )
u 8 ( 5 , 2
2 5
, 2 ) u 1 ( EJ 243
ml E
1 M F
EJ 243 u
1 031 , 47
89 , 18
346 , 3
7 )
u 5 , 13 ( 98 ) u 5 , 13 )(
u 8 (
1 B
714 , 0
; 368 , 1
969 , 0
; 181 , 6
338 ,
3
* 2
* 1
714 , 0 969 , 0 338 , 3
1 1
1
Φ
Các dạng dao ñộng ñược mô tả trên (hình 2.4b,c,d)
Ví dụ 2.3: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của dầm có hai khối lượng m 1 = m 2 = M ðộ cứng của liên kết ñàn hồi K = 6EJ/l 3 Dầm cho trên hình 2.5
Vẽ biểu ñồ mômen uốn và xác ñịnh các chuyển vị ñơn vị:
EF
N N ds
EJ
M
1 i
l
0
m k n
1 i
l
0
m k km
i i
l 3 K 4
1 EJ 48
l K
1 2
1 2
1 4
l 3
2 4
l 2
l 2
1 EJ
1 2
3 3
l 6 , 16 K
1 3
4 3
4 3
l 3
2 3
l 3
l 3
l 3
2 l 3
l EJ 2
Trang 38
EJ 48
l 333 , 4 K 3
2 EJ 48
l K
1 3
4 2
1 3
l 2
1 4
l 2
l EJ
333 , 4 3 EJ 48
l F
3 22
δ δ
Ma trận khối lượng: [ ]
1 0
0 1 M m 0
0 m M
333 , 4 ) u 3 ( EJ 48
Ml E
1 M F
l M
EJ 48 u
EJ 26
, 5
639 , 1
2.5 Tính chất trực giao của các dao ñộng riêng:
Các dạng dao ñộng riêng của hệ hữu hạn bậc tự do có một tính chất ñặc biệt, ñó là tính chất trực giao Tính chất này ñóng vai trò rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán dao
ñộng cưỡng bức cũng như dao ñộng tự do của hệ hữu hạn bậc tự do
Phương trình vi phân (2.17) có thể viết lại:
K EJ
M
2 M
M
Hình 2.5
Trang 39[ ]K { }y ( t ) =ωi 2[ ]M {y i ( t )} (2.38)
Trong ñó: vế trái biểu thị véc tơ lực ñàn hồi {Pñ( t )}, vế phải biểu thị véc tơ lực quán tính
{ }P q ( t ) Do vậy khi dao ñộng tự do, các dao ñộng riêng ñược xem như sự thay ñổi của ñộ võng
do các lực quán tính (các lực quán tính ñóng vai trò như tải trọng ngoài) gây ra Ta xét hai dạng dao ñộng riêng thứ “i” và thứ “j”:
Áp dụng nguyên lý công tương hỗ Betti cho hai trạng thái biên dạng ứng với hai dạng
chính thứ “i” và “j” ta sẽ thu ñược:
{ } {y j ( t ) T P qi ( t )}={y i ( t )}T {P qj ( t )} (2.39)
Thay { }Y ( t ) theo (2.15) và { }P q ( t ) =−ω2[ ]M { }Y ( t ) vào (2.39) và ñơn giản các hàm tuần
hoàn theo thời gian ta ñược:
{ } [ ] { } { } [ ] { }j
T i
2 j i
T j
Trong trường hợp tổng quát biểu thức tính chất trực giao của các dạng chính dao ñộng
ñược viết với các véc tơ dạng dao ñộng không thứ nguyên { } ϕi ,{ } ϕj ðể có ñược ñiều này ta chia (2.42) cho các biên ñôi chuyển vị của một khối lượng nào ñó ứng với dạng “i” và “j”, ta ñược:
++
n 1 k
ki nj kn j
2 2 k j 1 1
m ( ϕ ϕ ϕ ϕ (2.45)
Viết theo ma trận cứng ñối với các dạng dao ñộng không thứ nguyên:
{ } ϕi T[ ]K { } ϕj =0 (2.46)
2.6 Chuẩn hóa các dạng dao ñộng riêng:
Viết lại phương trình (2.41) ở dạng sau:
(ω2 j −ωi 2 ){ } ϕi T[ ]M { } ϕj =0
Nếu ωj =ωi , ( j=i ) thì phương trình trên chỉ thỏa mãn khi { } ϕi T[ ]M { } ϕi ≠0, ta có thể
Trang 40chọn { } ϕi T[ ]M { } ϕi =1 Dao ñộng riêng thỏa mãn biểu thức trên gọi là dạng chuẩn, ký hiệu là { } ϕch Ta viết lại biểu thức:
2 i
M
1 b
ϕ ϕ
T i
1 ϕ
ϕ = (2.50)
Khi tất cả các dạng dao ñộng riêng ñã ñược chuẩn hóa thì từ (2.47) ta sẽ viết ñược ñiều
kiện trực chuẩn ở dạng tổng quát:
[ ] [ ][ ] [ ] Φch T M Φch = E (2.51)
ðiều kiện trực chuẩn tổng quát còn ñược viết với ma trận cứng như sau:
{ } [ ] { } { } [ { }i ]
T i
2 i i
T ch
2 2
2 1 2
i
0 0 0
0 0 0 )
( diag
ω
ω
ω ω
Ω
ðiều kiện trực chuẩn tổng quát (2.51) và (2.53) có ý nghĩa quan trọng trong việc rút gọn
quá trình tính toán dao ñộng của hệ sau này
Ví dụ 2.4: Xét ví dụ 2.1, kiểm tra ñiều kiện trực giao và chuẩn hóa dạng dao ñộng:
Ma trận khối lượng: [ ]
1 0
0 3 m m 0
0 m M
1 1
1 1 0
0 3 3 1
