Giáo trình Toán kỹ thuật

Các học viêncao học và các nghiên cứu sinh của khoa Điện - Điện tử cũng có thể tìm thấynhững kiến thức bổ ích từ giáo trình này.Nội dung của giáo trình được biên soạn bởi các giảng viên

GIÁO TRÌNH

TOÁN KỸ THUẬT (BẢN THẢO)

Nhằm mục đích phục vụ cho việc học tập các môn học chuyên ngành chosinh viên các ngành Kỹ thuật thông tin và truyền thông, Kỹ thuật viễn thông,chúng tôi biên soạn giáo trình Toán kỹ thuật Giáo trình này cung cấp cho họcviên một số kiến thức về các hàm số đặc biệt, phương trình đạo hàm riêng,quá trình ngẫu nhiên, quá trình Poisson và lý thuyết xếp hàng Giáo trình baogồm nhiều chuyên đề khác nhau của toán học và được biên soạn trên cơ sở cácbài giảng của các thày cô đã tham gia giảng dạy môn học Toán kỹ thuật chosinh viên khoa Điện - Điện tử Chúng tôi cố gắng biên soạn giáo trình bám sátnhững đặc thù của sinh viên kỹ thuật nhằm đáp ứng tối đa nhu cầu học tậpcủa sinh viên Các nội dung trong giáo trình được viết kỹ càng dẫn dắt từngbước, do đó sinh viên có thể dễ dàng tiếp cận và tự học được Các học viêncao học và các nghiên cứu sinh của khoa Điện - Điện tử cũng có thể tìm thấynhững kiến thức bổ ích từ giáo trình này.

Nội dung của giáo trình được biên soạn bởi các giảng viên thuộc Bộ mônĐại số - Xác suất thống kê, Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Giaothông Vận tải

• TS Trần Văn Long (chủ biên) biên soạn các chương 1, 5 và 6.

• TS Hoàng Việt Long biên soạn các chương 3, 4 và 5.

• TS Nguyễn Huy Hoàng biên soạn chương 2.

Mặc dù các tác giả đã cố gắng đọc tham khảo nhiều giáo trình toán kỹthuật dành cho các ngành Điện tử viễn thông trong và ngoài nước, trong quátrình biên soạn chúng tôi cũng nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy

cô trong Bộ môn Tuy nhiên những thiếu sót là không thể tránh khỏi, các tácgiả mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để giáo trình được hoànthiện hơn trong các lần tái bản sau Mọi thông tin đóng góp xin gửi về Bộmôn Đại số - Xác suất thống kê, Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Giaothông Vận tải Website: http://bmdaiso-gtvt.edu.vn Chúng tôi xin chânthành cảm ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Các tác giả

Lời nói đầu i

Mục lục iii

1 Một số hàm đặc biệt, phép biến đổi Laplace, và phép biến đổi Fourier 1 1.1 Hàm Gamma 1

1.1.1 Một số dạng biểu diễn của hàm Gamma 1

1.1.2 Một số tính chất của hàm Gamma 3

1.2 Hàm Bê-ta 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Một số tính chất 5

1.3 Hàm lỗi và hàm đối lỗi 7

1.3.1 Hàm lỗi 7

1.3.2 Hàm đối lỗi 8

1.4 Các hàm Bessel 9

1.4.1 Phương trình Bessel 9

1.4.2 Một số tính chất của hàm Bessel 13

1.4.3 Một số dạng khác của phương trình Bessel 13

1.5 Hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta 15

1.5.1 Hàm bước nhảy đơn vị 15

1.5.2 Hàm Delta 18

1.6 Phép biến đổi Laplace 19

1.6.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 19

1.6.2 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace 20

MỤC LỤC iv

1.6.3 Phép biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp 21

1.6.4 Phép biến đổi Laplace của một số dạng sóng thường gặp 24 1.7 Phép biến đổi Laplace ngược 26

1.7.1 Khái niệm phép biến đổi Laplace ngược 26

1.7.2 Một số ví dụ 27

1.8 Phép biến đổi Fourier 29

1.8.1 Khái niệm về phép biến đổi Fourier 29

1.8.2 Một số dạng đặc biệt của phép biến đổi Fourier 30

1.8.3 Một số tính chất của phép biến đổi Fourier 31

1.8.4 Biến đổi Fourier của một số hàm thường gặp 33

2 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 39 2.1 Các khái niệm cơ bản 39

2.1.1 Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng 39

2.1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng - bài toán biên và bài toán giá trị ban đầu 45

2.2 Phương trình tựa tuyến tính cấp một 49

2.3 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 56

2.3.1 Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai 56

2.3.2 Các bài toán về dao động của một dây 59

2.3.3 Bài toán truyền nhiệt trên một thanh chất rắn 70

2.3.4 Phương trình Laplace 76

2.4 Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến 80

2.4.1 Các phép biến đổi của phương trình phi tuyến 80

2.4.2 Nghiệm sóng chạy và nghiệm tự đồng dạng 84

3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 95 3.1 Giới thiệu 95

3.2 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên 95

3.3 Hàm trung bình, hàm tự tương quan và hàm hiệp phương sai 98

3.4 Quá trình tổng, quá trình đếm và bước ngẫu nhiên 100

3.4.1 Quá trình ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối 101

3.4.2 Quá trình tổng 102

3.5 Quá trình Gauss, quá trình Wiener 103

3.5.1 Quá trình Gauss 103

3.5.2 Quá trình Wiener 105

3.6 Quá trình dừng 106

3.6.1 Quá trình dừng 106

3.6.2 Quá trình dừng theo nghĩa rộng 107

3.7 Tính liên tục, đạo hàm và tích phân của quá trình ngẫu nhiên 111 3.7.1 Tính liên tục theo nghĩa bình phương trung bình 111

3.7.2 Phép tính vi phân của quá trình cấp 2 112

3.8 Tích phân của quá trình cấp hai 114

3.9 Trung bình theo thời gian của quá trình ngẫu nhiên 117

3.10 Mật độ phổ công suất 120

3.10.1 Mật độ phổ công suất của quá trình ngẫu nhiên liên tục 121 3.10.2 Mật độ phổ công suất của quá trình ngẫu nhiên rời rạc 123 3.10.3 Bộ lọc tuyến tính 123

4 QUÁ TRÌNH POISSON 129 4.1 Giới thiệu 129

4.2 Quá trình Poisson 129

4.2.1 Khái niệm quá trình Poisson 129

4.3 Các phân phối liên quan đến quá trình Poisson 132

4.3.1 Thời điểm đến và thời gian đến trung gian 132

4.4 Một số ứng dụng của quá trình Poisson trong điện tử viễn thông 134 4.5 Quá trình Poisson phức hợp 138

5 Xích Markov 142 5.1 Quá trình Markov 142

5.2 Xích Markov với thời gian rời rạc 146

5.2.1 Xác suất chuyển sau n bước 149

5.2.2 Các xác suất trạng thái 150

5.2.3 Xác suất trạng thái vững 153

MỤC LỤC vi

5.3 Phân loại trạng thái, tính chất hồi quy và xác suất giới hạn 154

5.3.1 Phân loại trạng thái 154

5.3.2 Tính chất hồi quy 155

5.3.3 Xác suất giới hạn 158

5.4 Xích Markov với thời gian liên tục 161

5.4.1 Thời gian giữ trạng thái 163

5.4.2 Tốc độ chuyển và xác suất trạng thái phụ thuộc thời gian 164 5.4.3 Xác suất trạng thái bền vững và phương trình cân bằng toàn cục 168

5.4.4 Xác suất giới hạn của xích Markov liên tục 169

6 Lý thuyết xếp hàng 177 6.1 Khái niệm 178

6.1.1 Cấu trúc hệ thống xếp hàng 178

6.1.2 Ký hiệu Kendall 179

6.1.3 Các tham số của hệ thống 180

6.1.4 Định lý Little 182

6.2 Mô hình M/M/k 184

6.2.1 Luật phân phối của số khách hàng trong hệ thống 185

6.2.2 Mô hình M/M/k/k 189

6.2.3 Mô hình M/M/k/N 191

6.2.4 Mô hình M/M/ ∞ 194

6.3 Mô hình M/G/1 194

6.3.1 Mô hình M/M/1 199

6.3.2 Mô hình M/H k /1 200

6.3.3 Mô hình M/D/1 201

6.3.4 Mô hình M/E k /1 202

6.4 Mô hình G/M/1 203

6.5 Mô hình G/G/1 207

6.5.1 Phương trình Pollaczek-Khinchin mở rộng 207

6.5.2 Thời gian chờ trung bình 210

Tài liệu tham khảo 217

Một số hàm đặc biệt, phép biến đổi Laplace, và phép biến đổi

Định nghĩa 1.1 Với mỗi số thực hoặc số phức x với x ̸= 0, −1, −2, ta gọi

hàm Gamma là hàm số xác định bởi công thức sau:

Γ(x) = lim

n →∞

n!n x x(x + 1)(x + 2) (x + n) . (1.1)

a) Công thức Euler Với mỗi số thực (hoặc số phức có phần thực dương) x,

hàm Gamma được biểu diễn dưới dạng tích phân sau (gọi là công thức

1.1 Hàm Gamma 2Euler)

đó chính là công thức (1.1)

b) Công thức Weierstrass Với mỗi số thực hoặc số phức x với x ̸=

0, −1, −2, , hàm Gamma được biểu diễn dưới dạng tích sau (gọi là

công thức Weierstrass)

1 + x2

Giải: Ta có Γ

(

5 2

)

= 3212Γ

(

1 2

)

=

√ π

2 .

=Γ

(

3 4

)Γ

(

1 4

Giải: Đặt x3 = sin2θ với 0 ≤ θ ≤ π

2 Thay vào biểu thức tích phân ta có

)1/3(cos2θ

)1/323

)

= 13

1/3 1/3 + 2/3 B

(1

3,

23

)

= 19Γ

(

1 3

)Γ

(

2 3

= 19

π

sin π/3

Γ(1) =

19

Giá trị của hàm lỗi tại x (x > 0) liên quan chặt chẽ với giá trị xác suất để

một để một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc nhận giá trị trong

khoảng (0, x), giá trị xác xuất này ta thường ký hiệu là hàm Laplace

.

1.3 Hàm lỗi và hàm đối lỗi 8Hay ta có thể viết

Tính xấp xỉ: Trong vấn đề tính xấp xỉ của hàm lỗi khi giá trị x lớn người

ta sử dụng hàm đối lỗi Trong công thức (1.17) đặt t = u 1/2, ta có

gọi là phương trình Bessel cấp α với tham số α ≥ 0.

Ta đã biết phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất y ′′ + p(x)y ′+

q(x)y = 0, nếu y1, y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính thì nghiệm tổng quát

của phương trinh có dạng y = C1y1+ C2y2, với C1, C2 là các hằng số

Nghiệm của phương trình Bessel thường được biểu diễn dưới dạng chuỗihàm dạng

với ρ, a n là các hằng số Không mất tính tổng quát ta luôn coi hệ số a0 ̸= 0.

Tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai đối với hàm y ta có

1.4 Các hàm Bessel 10Thay vào phương trình Bessel (1.19) ta có

Trường hợp 1: Với ρ = α thay vào phương trình thứ hai trong (1.20) ta có

(2α+1)a1 = 0 suy ra a1 = 0 và từ phương trình a n [(ρ+n)2−α2]+a n −2 =

)α ∞∑

n=0

(−1) n n!Γ(n + 1 + α)

(x2

)α ∞∑

n=0

(−1) n n!Γ(n + 1 + α)

(x2)2n

Trường hợp 2: Với ρ = −α ta tiến hành tương tự như trường hợp trên ta có

a1(1− 2α) = 0 và không mất tính tổng quát ta coi a1 = 0 Nghiệm củaphương trình Bessel có dạng

J −α (x) =

(x2

)−α ∞∑

n=0

(−1) n n!Γ(n + 1 − α)

(x2

)2n

Định lý 1.1 Nếu α ̸= k với mọi k ∈ N thì Jα (x), J −α (x) hội tụ với mọi giá

trị x và chúng độc lập tuyến tính Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là

)−k ∞∑

n=k

(−1) n n!Γ(n + 1 − k)

(x2)2n

=

(x2

= (−1) k(x

2

)k∑∞ n=0

(−1) n

(n + k)!Γ(n + 1)

(x2)2n

Mặt khác theo công thức truy hồi của hàm Gamma ta có

(−1) n n!Γ(n + k + 1)

(x2

Định lý 1.2 Với α ≥ 0 thì Yα (x) là nghiệm của phương trình Bessel và độc

lập tuyến tính với J α (x) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là

)k∑∞ n=0

(−1) n n!Γ(n + 1 + k)

(x2

(x2

)2n

= 1− 1

12

(x2

)2

+ 1

22

(x2

)4

− 1

62

(x2

(x2)2n

Áp dụng công thức (1.12) ta có Γ(n + 1 + 1/2) = (2n + 1)!!

√ π

J 1/2 (x) =

√2

πx sin x.

Tương tự như trên ta cũng có

J −1/2 (x) =

√2

πx cos x.

Một số tính chất truy hồi quan trọng đối với hàm Bessel loại 1 với mọi α.

Định lý 1.3 Các công thức sau đúng với mọi α:

Các công thức trên cũng đúng với hàm Bessel loại 2 Yα (x).

Xét phương trình Bessel cấp α với tham số λ có dạng

x2y ′′ + xy ′ + (λ2x2− α2)y = 0. (1.32)

Ta sẽ chỉ ra rằng y = J α (λx) là nghiệm của phương trình (1.32) Thật vậy, ta

kiểm tra trực tiếp với

y ′ = λJ α ′ (λx)

y ′′ = λ2J α ′′ (λx)

)α ∞∑

n=0

(−1) n n!Γ(n + 1 + α)

(ix2)2n

= i α

(x2

Đặt

I α (x) =

(x2

)2n

hàm số trên gọi là hàm Bessel biến dạng cấp α kiểu 1 Tương tự như trường

hợp phương trình Bessel, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel biến dạng

Nghiệm tổng quát của phương trình Bessel biến dạng là

y = C1Iα (x) + C2Kα (x), với C1, C2 là hằng số.

Xét phương trình Bessel biến dạng với tham số λ (còn được gọi là phương

trình Kelvin)

x2y ′′ + xy ′ − (λ2x2+ α2)y = 0. (1.36)

Ta dễ dàng kiểm tra được phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát

y = C1I α (λx) + C2K α (λx), với C1, C2 là hằng số.

Ví dụ 1.7 Tính các hàm số Bessel biến dạng loại 1 I 1/2 (x), I −1/2 (x).

Giải: Theo công thức hàm Bessel biến dạng ta có

I α (x) =

(x2

πx sinh(x).

Hoàn toàn tương tự như trên ta có

I −1/2 (x) =

√2

πx

e x + e −x

√2

πx cosh(x).

1.5 Hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta

Định nghĩa 1.5 Hàm bước nhảy đơn vị (hàm Heaviside) là hàm

u0(t) =

{

0 nếu t < 0

1.5 Hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta 16

Hình 1.1: Hàm bước nhảy đơn vị

Hình 1.2: Hàm xung đơn vị chữ nhật

Ta có thể hiểu hàm bước nhảy đơn vị như là hàm phân phối xác suất củabiến ngẫu nhiên suy thoái chỉ nhận giá trị 0 với xác suất 1 Hàm bước nhảyđơn vị thường được sử dụng để biểu diễn các hàm xung

Hình 1.3: Hàm xung đơn vị tam giác

tri(t) = Λ(t) = (t + 1)[u0(t + 1) − u0(t)] + ( −t + 1)[u0(t) − u0(t − 1)]

hay

tri(t) = Λ(t) = (t + 1)u0(t + 1) − 2tu0(t) + (t − 1)u0(t − 1).

Hình 1.4: Hàm dạng sóng

Ví dụ 1.10 Biểu diễn hàm xung v(t) có dạng sóng như trong Hình vẽ 1.4

theo hàm bước nhảy đơn vị Ta có

v(t) = (2t + 1)[u0(t) − u0(t − 1)] + 3[u0(t − 1) − u0(t − 2)]

+ (3− t)[u0(t − 2) − u0(t − 3)]

= (2t + 1)u0(t) − 2(t − 1)u0(t − 1) − tu0(t − 2) + (t − 3)u0(t − 3).

1.5 Hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta 18

Định nghĩa 1.6 Hàm Delta (hàm Dirac) δ(t) là đạo hàm (theo nghĩa suy

rộng) của hàm bước nhảy đơn vị u0(t) hay còn được định nghĩa bởi công thức

t

∫

−∞

δ(τ )dτ = u0(t), và δ(t) = 0 với mọi t ̸= 0. (1.38)

Một số tính chất quan trọng của hàm Delta

a) Tính chất mẫu: Với mọi hàm f (t) ta có

1.6 Phép biến đổi Laplace

Giả sử f (t) là hàm theo biến thời gian t (t ≥ 0) sao cho tích phân

Ta ký hiệu biến đổi Laplace của hàm f (t) là F (s) = L[f(t)].

Phép biến đổi Laplace (1.39) có nghĩa khi tích phân hội tụ; tức là

∫ ∞

Vì số phức e −iωt = cos(ωt) − i sin(ωt) có modun bằng 1; tức là |e −iωt | = 1, nên

điều kiện hội tụ của tích phân (1.41) trở thành

∫0∞ f (t)e −σt dt