VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --- VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ

ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

Đinh Thế Tho

VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ

ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Lời cam đoan

Bản luận văn này là của tôi dưới sự hướng dẫn của GS TSKH LêDũng Mưu Bản luận văn tổng hợp lại từ các tài liệu trích dẫn dựa trêncác mục tiêu của đề tài Bản luận văn này không phải là một sự sao chéplại hoàn toàn từ các tài liệu đã có

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS TSKH Lê

Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn và đóng góp cho tôi nhiều

ý kiến về nội dung của luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giảng dạy và giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình tôi học tập tại trường Đại học Thăng Long

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới những người thân yêu trong gia

đình, bạn bè, đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi để tôi có thể hoàn

thành được luận văn này

Bước đầu nghiên cứu khoa học nên bản luận văn thạc sĩ của tôi chắc

chắn còn rất nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý

kiến của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để bản luận văn được hoàn

thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Học viên

Đinh Thế Tho

Thang Long University Libraty

Danh mục các kí hiệu viết tắt

H : Không gian Hilbert thực;

∇ : Đạo hàm của hàm f tại x;

arg min f : Tập các cực tiểu của hàm f

Hình 2.3: Lợi nhuận tốt nhất của hai nhà máy ( Trang 26)

Bảng 2.1: Kết quả tính toán Ví dụ 2 theo Thuật toán 2 ( Trang 29)

Thang Long University Libraty

Mục lục

Lời mở đầu

Chương 1.BÀI TOÁN CÂN BẰNG

1 2 1.1 ột số khái niệm và các kết quả cơ bản 2M 1.1.1 Tập lồi 2

1.1.2 Hàm lồi 3

1.1.3 Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng 4

1.2 ài toán cân bằng và các trường hợp riêng 7B 1.2.1 Bài toán tối ưu 7

1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 8

1.2.3 Bài toán điểm bất động 9

1.2.4 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác 10

1.3 ự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 11S Chương 2.HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG 16

2.1 huật toán và sự hội tụ 16T 2.1.1 Thuật toán 1 19

2.1.2 Thuật toán 2 20

2.1.3 Sự hội tụ của thuật toán 21

2.2 p dụng vào mô hình cân bằng thị trường điện Á Kết luận

Tài liệu tham khảo

23 31 32

i

Lời mở đầu

Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật vàđời sống Có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán cân bằng như:bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằngNash trong các trò chơi không hợp tác, Do đó việc trình bày và đưa

ra các thuật toán giải bài toán cân bằng là rất cần thiết

Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh

và hai thuật toán giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh qua đó ápdụng vào mô hình kinh tế thị trường điện

Luận văn được chia làm hai chương

• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết trong giải tích lồi liên quan đến luận văn Giới thiệu bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

• Chương 2 của luận văn trình bày hai thuật toán để giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh, xét sự hội tụ của hai thuật toán và cuối chương là áp dụng vào mô hình kinh tế thị trường điện Cuối cùng trình bày các ví dụ cụ thể để minh họa thuật toán

1

Thang Long University Libraty

Chương 1

BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Trong chương này ta nhắc lại những khái niệm cơ bản, tính chất đặctrưng của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert−H thực qua đógiới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một

số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Nội dung của chương này được lấy từ [1], [2], [3], [4]

Định nghĩa 1.1.1 Một tập C H ⊆ được gọi là lồi nếu

Định lý 1.1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân vớimột số thực Tức là nếu C và D là hai tập lồi trong H thì các tập saucũng là tập lồi

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C và tập −NC (x) được gọi là nón

pháp tuyến trong của C tại x

1.1.2. Hàm lồi

Định nghĩa 1.1.5 Hàm f : C → R {+∞} ∪ được gọi là

(i) Lồi trên C nếu

Định lý 1.1.2 Cho f là hàm lồi trên tập lồi C và g là hàm lồi trên tập

lồi D Khi đó các hàm số sau là hàm lồi trên tập lồi C ∩ D

(i) αf + βg, α, β ≥ 0;∀

(ii) max {f, g} (x) = max {f (x) , g (x)}

Định lý 1.1.3 Cho f : C → R {+∞} ∪ là một hàm lồi, khả vi trên tập

lồi C Khi đó với mọi x, y thuộc C ta có:

Định nghĩa 1.1.6 Một hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dướiđối với C tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ C , xk → x ta có

lim inf f xk ≥ f (x) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với C tại

x nếu −f nửa liên tục dưới đối với C tại x hay với mọi dãy xk ⊂ C ,

xk → x thì lim sup f xk ≤ f (x)

Định nghĩa 1.1.7 Cho C là một tập lồi và f : C → R {+∞} ∪ là mộthàm lồi, khi đó w C ∈ được gọi là dưới đạo hàm của f tại x nếu:

f (y) ≥ f (x) + w, y − x , y C.∀ ∈

Tập tất cả các điểm w thỏa mãn bất đẳng thức trên được kí hiệu là ∂f (x)

Nếu ∂f (x) = φ thì ta nói f khả dưới vi phân tại x

1.1.3. Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử C = ∅ (không nhất thiết lồi) là một tập concủa không gian Hilbert −H và y H ∈ là một véc tơ bất kì, gọi

dC (y) = inf x − y

x C ∈

Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại PC (y) C ∈ sao cho

dC (y) = y − PC (y) , thì ta nói PC (y) là hình chiếu của y trên C

Từ định nghĩa này hình chiếu PC (y) của y trên C là nghiệm của bài toántối ưu

với mọi y H ∈ và w C ∈ thì w = PC (y) khi và chỉ khi y − w N∈ C (w)

Chứng minh: Giả sử w = PC (y), lấy x C ∈ và λ (0, 1)∈ Đặt

Điều này đúng với mọi x C ∈ và λ (0, 1)∈ Do đó khi cho λ tiến đến 0,

Chứng minh: Giả sử x H∈ , y C ∈ , y = PC (x) ta có dC (x) = y − x ,suy ra tồn tại dãy (xn )n N ∈ trong C sao cho

Chứng tỏ y là hình chiếu của x trên C

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy nếu tồn tại haiđiểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì

z − x, y − z ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra y − z ≤ 0, và do đó y = z

Mệnh đề 1.1.3 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian

Hilbert −H, ánh xạ y ֒ → PC (y) khi đó:

(i) PC (x) − PC (y) ≤ x − y x, y H ∀ ∈ (tính không giãn);

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Cho f : C × C → R {+∞} ∪ thỏa mãn f (x, x) = 0, với mọi x C ∈ C

là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H Khi đó bài toán

cân bằng hay bất đẳng thức Ky Fan được phát biểu như sau: Tìm

x∗∈ C : f (x∗, y) ≥ 0, y C.∀ ∈ (1.2.1)Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh

vực khác, nó bao hàm được rất nhiều bài toán khác như: bài toán tối

ưu,bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán

cân bằng Nash Phần trình bày dưới đây là một số ví dụ về những bài

toán có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng

1.2.1. Bài toán tối ưu

Cho C H ⊂ là tập lồi đóng khác rỗng và ϕ : C → R xác định trên C

Khi đó bài toán tối ưu được phát biểu như sau: Tìm

x∗∈ C : ϕ (y) ≥ ϕ (x∗) , y C.∀ ∈ (1.2.2)Bằng cách đặt

f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) , x, y C∀ ∈

thì bài toán (1.2.2) tương đương với bài toán (1.2.1)

Thật vậy, giả sử x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.2) Nên ta có

ϕ (y) ≥ ϕ (x∗) , y C ∀ ∈ mặt khác theo cách đặt

f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) , x, y C.∀ ∈

Do đó

f (x∗, y) = ϕ (y) − ϕ (x∗) ≥ 0, x, y C.∀ ∈

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1)

Ngược lại, cho x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1), ta có

1.2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C H ⊂ là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → R là một ánh xạ đatrị Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau.Tìm:

thì bài toán (1.2.3) tương đương với bài toán (1.2.1)

Thật vậy, giả sử x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3) Ta có

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1)

Ngược lại, giả sử x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3)

Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng.Tìm

1.2.3. Bài toán điểm bất động

Cho C H ⊂ là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → 2C là ánh xạ đa trị

Khi đó bài toán điểm bất động được phát biểu như sau, tìm

x∗∈ C, sao cho x∗∈ F (x∗)

x, y C

(1.2.5)Bằng cách đặt

f (x, y) = max x − w, y − x ,

w F (x) ∈

Thì bài toán (1.2.5) tương đương với bài toán (1.2.1)

Thật vậy, giả sử x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.5) nên ta có

F (x∗) = x∗

Mặt khác theo cách đặt ta có

f (x∗, y) = x∗− F (x∗) , y − x∗≥ 0, ∀ ∈y C

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) Ngược lại, giả sử x∗∈ C là

nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.5)

Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động có dạng Tìm:

x∗∈ C, saocho x∗= F (x∗)

x, y C

(1.2.6)Bằng cách đặt

1.2.4. Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Xét một trò chơi không hợp tác gồm p đối thủ, C H ⊆ là tập lồi khác

rỗng, Ci là tập chiến lược của người chơi thứ i Hàm chi phí( tổn thất

của người chơi thứ i) là

Điểm x∗∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu bất kì đối thủ nào

chọn phương án ra khỏi điểm cân bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn

giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị

Thì bài toán (1.2.7) tương đương với bài toán (1.2.1)

Thật vậy, giả sử x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.7) nên ta có

Suy ra

p

fi x∗, , x∗, yi , x∗, , x∗− fi x∗, , x∗, x∗, x∗, , x∗ pi−1i−1 ip1i−1i−11 i=1

≥ 0

Theo cách đặt ta được

f (x∗, y) ≥ 0, ∀ ∈y C

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) Ngược lại, giả sử x∗∈ C là

nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có

Điều này trái với (1.2.8) Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.7)

1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

C H ⊆ là một tập lồi đóng, khác rỗng và f : C × C → R {+∞} ∪ là

song hàm cân bằng xác định trên C , với các giả thiết sau:

(P1 ) f (., y) là hàm số nửa liên tục trên với mọi y thuộc C ;

(P2 ) f (x, ) là hàm lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với

mọi x thuộc C ;

11

Thang Long University Libraty

(P3 ) f thỏa mãn điều kiện bức trên C tức là tồn tại tập compact D saocho

C ∩ D = , x C\D, y C; f (x, y) < 0.∅ ∀ ∈ ∃ ∈

Định lý 1.3.1 (Ky Fan)

Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H và

f : C × C → R {+∞} ∪ là song hàm cân bằng xác định trên C Nếu f

thỏa mãn (P1 ) và f (x, ) tựa lồi trên C với mọi x thuộc C Khi đó nếu

C là tập compact hoặc điều kiện bức (P3 ) được thỏa mãn thì bài toán(1.2.1) có nghiệm

Từ định lí này ta suy ra hệ quả sau

Hệ quả 1.3.1 Cho f : C × C → R {+∞} ∪ là song hàm cân bằng ,

f (., y) là nửa liên tục trên với mọi y C ∈ và f (x, ) là lồi, nửa liên tụcdưới với mọi x C ∈ Giả sử điều kiện bức sau đây thỏa mãn Tồn tại tậpcompact B sao cho

C ∩ B = ,∅ ∀ ∈x C\B, ∃ ∈y C : f (x, y) < 0

Khi đó bài toán (1.2.1) có nghiệm

Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bàitoán (1.2.1) ta cần có các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm cânbằng sau

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f : C × C → R {+∞} ∪ là song hàm cân

bằng Khi đó hàm f được gọi là :

(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:

(v) giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:

f (x, y) ≥ 0 f (y, x) ≤ −λ x − y , x, y C;⇒ ∀ ∈ 2

(vi) tựa đơn điệu trên C , nếu:

f (x, y) > 0 f (y, x) ≤ 0, x, y C.⇒ ∀ ∈

Từ định nghĩa trên ta có đơn điệu mạnh thì đơn điệu và giả đơn điệu,

đơn điệu thì giả đơn điệu

Tính chất đơn điệu của song hàm có liên quan chặt chẽ với tính chất

đơn điệu của toán tử sau

Định nghĩa 1.3.2 Cho C H ∈ và toán tử A : C → R được gọi là:

(i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu:

R {+∞} ∪ là song hàm cân bằng giả đơn điệu mạnh thỏa mãn các tính

chất (P1 ), (P2 ) Khi đó bài toán (1.2.1) có duy nhất nghiệm

13

Thang Long University Libraty

Chứng minh: Giả sử C không bị chặn Khi đó nó thỏa mãn điều kiện

bức sau: Tồn tại hình cầu đóng B sao cho

sao cho ∂2 f y0 , x0 = ∅, ở đây ∂2 f y0 , x0 là dưới vi phân của hàm lồi

f y 0 , tại điểm x0 Đặt w∗∈ ∂2 f y 0 , x0 là dưới gradient được định

Điều này mâu thuẫn với (1.3.10) Vậy điều kiện bức (1.3.9) được thỏa

mãn, khi đó theo hệ quả 1.3.1 thì bài toán (1.2.1) có nghiệm duy nhất

Trường hợp C là Compact, thì chứng minh được suy ra bằng định lý Ky

Theo tính giả đơn điệu mạnh, từ f (x∗, y∗) ≥ 0, suy ra f (y∗, x∗) ≤

Chương 2

HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI

TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN

ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG

Trong chương này, tôi trình bày hai thuật toán giải bài toán cân bằnggiả đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của nó Qua đó chứng minh tínhđúng đắn và sự hội tụ của thuật toán và đưa vào áp dụng mô hình kinh

tế thị trường điện

Nội dung của chương này được lấy từ [5], [6], [7]

2.1 Thuật toán và sự hội tụ

Để tìm được tập nghiệm của bài toán cân bằng trong chương này ta

sử dụng các giả thiết sau với song hàm cân bằng f : C × C → R có cáctính chất sau:

(P1 ) f (., y) là hàm số nửa liên tục trên với mọi y thuộc C ;

(P2 ) f (x, ) là hàm lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C vớimọi x thuộc C

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử f : C × C → R là song hàm cân bằng Khi đóvới các giả thiết (P1 ) , (P2 ), thì các điều kiện sau đây là tương đương.(i) x∗là nghiệm của bài toán (1.2.1)

(ii) min {g (x) : x C} = 0∈ , trong đó hàm g được cho bởi

g (x) = sup {f (x, y) : y C} ;∈

(iii) x∗= argmin {f (x∗, y) : y C} ∈

16

Chứng minh: Từ (i) (ii)⇒ Giả sử x∗là nghiệm của bài toán (1.2.1),do

xx

x C ∈

xx

y C ∈

Nhưng do x∗là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên

f (x∗, y) ≥ 0, y C.∀ ∈

x xsupinf f (x, y) ≥ inf f (x∗, y) xx

x C ∈

xx

inf f (x, y)

y C ∈

xxx

≤ 0

Vậy

xx

Ngược lại, giả sử có (ii) Khi đó theo lập luận ở trên ta có

sup {−f (x∗, y)} = min sup {−f (x∗, y)} = 0

xxx xxxsupinf f (x, y) = max inf f (x, y) = inf f (x∗, y) = 0

Vậy x∗là nghiệm của bài toán (1.2.1).

Bây giờ ta chứng tỏ (i) tương đương với (iii) Thật vậy x∗là cực tiểu

của f (x∗, ) trên C khi và chỉ khi

f (x∗, y) ≥ f (x∗, x∗) = 0, ∀ ∈y C

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử f giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ và thỏa

mãn điều kiện kiểu Lipschitz, theo nghĩa sau:

xk+1 − x 2 ≤ 2ρ f xk , x∗− f xk , xk+1

18

+ xk − x∗ 2

− xk+1 − xk (2.1.4)

2

Do f giả đơn điệu mạnh với hệ số λ nên

2L2 2

do đó ta gọi một điểm x C ∈ là nghiệm τ − xấp xỉ của bài toán (1.2.1)

nếu x − x∗≤ τ , trong đó xk là nghiệm chính xác của bài toán (1.2.1)

Dựa vào mệnh đề và hệ quả trên ta có thuật toán sau để giải bài toán

cân bằng giả đơn điệu mạnh

Tính xk+1 bằng cách giải bài toán quy hoạch lồi mạnh

xk+1 là một nghiệm τ − xấp xỉ của bài toán (1.2.1)

(b) Trái lại chuyển sang bước lặp thứ k với k được thay bằng k + 1

≤ τ thì

Trong trường hợp này ta được một nghiệm τ − xấp xỉ của bài toán

Dưới đây ta sẽ trình bày một phương pháp dựa vào toán tử chiếu để

giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh không cần điều kiện Lipschitz

trong đó ρ > 0 là tham số hiệu chỉnh

(a) Nếu wk = 0, và ρk ≤ τ thì dừng thuật toán: xk là τ − nghiệm của

bài toán

20