Lý thuyết mã mạng cho mạng không dây

Luận văn tập trung đi sâu vào tìm hiểu kỹ thuật mã mạng, kỹ tuyến tính ngẫu nhiên, kỹ thuật lấy mẫu nén và kỹ thuật lấy mẫunén có cấu trúc nhằm đào sâu áp dụng của kỹ thuật lấy mẫu nén v

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các thầy, cô giáo Viện CôngNghệ Thông tin & Truyền thông đã tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian học tậptại nhà trường

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Đỗ Phan Thuận, người đã trực tiếphướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và tận tình chỉ bảo cho em trong suốt thờigian làm luận văn tốt nghiệp

Bên cạnh đó, để hoàn thành đồ án này, em cũng đã nhận được rất nhiều sựgiúp đỡ, những lời động viên quý báu của các bạn bè, gia đình và đồng nghiệp Emxin chân thành cảm ơn

Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp, mặc dù đã nỗ lực hết sức mình, nhưng chắcrằng đồ án khó tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được sự thông cảm và chỉbảo tận tình của quý thầy cô và các bạn

HỌC VIÊN

Nguyễn Hoài Linh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây luận văn Thạc sĩ “Lý thuyết mã mạng cho mạng không

dây” là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các nội dung và số liệu, kết quả nêu

trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trìnhnào khác

Ngày … tháng ….năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Hoài Linh

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt Tiếng Anh Tiếngviệt

CS Compressed Sensing Lấy mẫu nén

ADC Analog to digital converter Bộ chuyểnđổi tương tự - số

RLNC RandomLinear Network

Coding

Mã mạng tuyến tính ngẫunhiên

DSP Digital signal processing Xử lý tín hiệu số

GUI Graphical User Interface Giao diện người dùng

RIP Restricted isometry property Thuộc tính cùng kích thước

được thuhẹpWSN Wireless Sensor Network Mạng cảm biếnkhôngdây

MỤC LỤC

DANH SÁCH HÌNH VẼ

TÓM TẮT

Các mạng truyền thông được thiết kế để chuyển thông tin từmột hay nhiều nút mạng nguồn đến một hay nhiều nút mạngđích Trong một mạng viễn thông, vấn đề ta quan tâm là làm thếnào để truyền thông tin hiệu quả Kỹ thuật mã mạng là một kỹ

thuật truyền tin mới cho phép các nút mạng trung gian mã hóathông tin nó nhận được trước khi gửi đi Mã mạng có nhiều ưuđiểm nổi bật như cho phép tăng hiệu suất sửdụng băng thông,tăng độ bảo mật, giảm thời gian trễ và ảnh hưởng của lỗi trênđường truyền, v v Một trong những kỹ thuật mã mạng đượcnhiều người quan tâm là kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫunhiên, được đề xuất bởi Ho và đồng nghiệp năm 2006.

Lấy mẫu nén là một phương pháp hiện đại được đề xuất năm

2004 bởi Candes và Dohono, cho phép lấy mẫu một tín hiệu cótính chất thưa hoặc có thể nén được với số mẫu ít hơn nhiều sovới số mẫu lấy theo phương pháp truyền thống Nyquist Hiện nay,

kỹ thuật lấy mẫu nén đang được rất nhiều người quan tâm do cónhững ưu điểm nổi bật như: giảm dung lượng bộ nhớ, tăng tốc độlấy mẫu của các bộ ADC, giảm tiêu hao năng lượng trong các bộcảm biến, v v Trong kỹ thuật lấy mẫu nén, hệ thống thu thập tínhiệu được thiết kế tuyến tính ngẫu nhiên, phần nào tương tự như

kỹ thuật mã mạng Vì thế, việc áp dụng kỹ thuật lấy mẫu néntrong kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên được quan tâmtrong luận văn này

Luận văn tập trung đi sâu vào tìm hiểu kỹ thuật mã mạng, kỹ

tuyến tính ngẫu nhiên, kỹ thuật lấy mẫu nén và kỹ thuật lấy mẫunén có cấu trúc nhằm đào sâu áp dụng của kỹ thuật lấy mẫu nén

và lấy mẫu nén có cấu trúc cho kỹ thuật mã mạng, với mục tiêu

áp dụng kỹ thuật mã mạng có cấu trúc nhằm giảm thiểu độ phứctạp tính toán tại các nút mạng

Sau đó, luận văn trình bày phần mềm mô phỏng NECO là một phần mềm

mô phỏng mới, hiệu năng cao để đánh giá kỹ thuật mã mạng dựa trên cácgiao thức

Cấu trúc của luận văn: Luận văn được phân bố cụ thể như sau Chương 1 giớithiệu về kỹ thuật mã mạng, các tính năng của nó so với kỹ thuật định tuyến thôngthường và cuối cùng là giới thiệu kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên, làmnền tảng cho việc nghiên cứu áp dụng nó trong mạng cảm biến không dây.Chương 2 trình bày áp dụng của kỹ thuật lấy mẫu nén trong mạng cảm biến khôngdây dựa trên kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên và mã sửa lỗi mạng đểtruyền hiệu quả trong mạng Chương 3 giới thiệu về phần mềm mô phỏngNECO, được thiết kế đặc biệt cho mục tiêu nghiên cứu kỹ thuật mã mạng Cuốicùng, chương 4 mô phỏng cho việc mã hóa không gian con, truyền tin ứng kỹthuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên và đưa ra một số kết luận của luận văn.

CHƯƠNG I: MÃ MẠNG

1.1 Giới thiệu

Trong những năm gần đây, sự ra đời của mã mạng đã mở ra một hướngnghiên cứu mới đầy triển vọng, được xem là có khả năng cách mạng hóa phươngthức điều hành, quản lý và hiểu về cơ cấu của mạng truyền thông Đối với mãmạng, chúng ta có thể cho phép các nút không chỉ chuyển tiếp mà còn xử lý cácluồng thông tin đến độc lập.Ví dụ, tại lớp mạng các nút trung gian có thể thựchiện cộng nhị phân chuỗi bít độc lập, trong khi đó, ở lớp vật lý của các mạngquang học, các nút trung gian có thể xếp chồng các tín hiệu quang đến Nói cáchkhác, các luồng dữ liệu được tạo ra độc lập không cần được lưu giữ riêng biệt khitruyền trong mạng Có nhiều cách để kết hợp và sau đó tách thông tin độc lập.Việc kết hợp các luồng dữ liệu độc lập cho phép điều khiển luồng thông tin trongmôi trường mạng tốt hơn và phù hợp hơn với nhu cầu của các mô hình lưu lượng

cụ thể Sự thay đổi trong mô hình truyền dữ liệu có tác động sâu sắc trên một loạtcác lĩnh vực như: truyền dữ liệu tin cậy, chia sẻ tài nguyên, điều khiển luồng dữliệu hiệu quả, giám sát mạng, và bảo mật

Mô hình truyền dữ liệu mới này xuất hiện tại thời điểm chuyển giao thiênniên kỷ, và ngay lập tức thu hút sự quan tâm rất lớn trong lĩnh vực kỹ thuật điện

tử và cộng đồng nghiên cứu khoa học máy tính Mã mạng sử dụng sức mạnh tínhtoán giá rẻ để làm tăng đáng kể thông lượng mạng Sự quan tâm trong lĩnh vựcnày vẫn tiếp tục tăng lên khi chúng ta thấy các ứng dụng mới sử dụng những ýtưởng này trong cả lý thuyết và thực tế của các mạng, và khám phá các kết nốimới với nhiều lĩnh vực (xem Hình 1.1)

Hình 1.1: Kết nối mã mạng với những lĩnh vực khác [5].

1.2 Mã mạng là gì?

Trong bài báo “Network information flow” [1], Ahlswede, Cai, Li, vàYeung đề xuất mã mạng bằng cách mã hóa, tức là ánh xạ tùy ý từ đầu vào củamột nút trung gian của mạng đến đầu ra Đây được coi là định nghĩa chung nhấtcủa mã mạng Một định nghĩa khác về mã mạng là mã hóa tại một nút trong mộtmạng với các liên kết không có lỗi Định nghĩa phân biệt chức năng của mã mạngvới mã hóa kênh cho các liên kết ồn (noisy) Định nghĩa này được sử dụng kháthường xuyên Định nghĩa thứ ba của mã mạng, là mã hóa trong một mạng gói,tức là dữ liệu được chia thành các gói và mã mạng được áp dụng cho các nộidung của gói tin, hoặc tổng quát hơn mã hóa ở trên lớp vật lý Điều này khônggiống như lý thuyết thông tin mạng, thường liên quan tới mã hóa ở lớp vật lý

1.3 Các lợi ích của mã mạng

Lợi ích được biết đến nhiều nhất của mã mạng là tăng thông lượng Lợi íchnày đạt được bằng cách truyền gói dữ liệu hiệu quả hơn, ví dụ như truyền nhiềuthông tin chỉ bằng ít các gói tin Ví dụ nổi tiếng nhất của lợi ích này được đưa rabởi Ahlswede và đồng nghiệp trong [1], thường được gọi là mạng cánh bướm(hình 1.2) trong đó một nguồn duy nhất phát đa điểm đến hai đích Cả hai đíchđều muốn biết đầy đủ các thông tin tại nút nguồn Bằng việc mã hóa tại các nútmạng trung gian, kỹ thuật mã mạng tác động lớn đến thế hệ mới của mạng truyềnthông bởi nhiều lợi ích tiềm năng của nó Kỹ thuật mã mạng còn đem đến một sốlợi ích khác như tiết kiệm tài nguyên mạng không dây, tăng độ bảo mật Sau đây,tôi sẽ giải thích rõ hơn các lợi ích của kỹ thuật mã mạng

1.3.1 Tăng thông lượng

Hình 1.2: Mạng cánh bướm [30].

Hình 1.2 trên đây mô tả một mạng truyền thông được biểu diễn bằng một đồthị có hướng mà các đỉnh tương ứng với các thiết bị đầu cuối và các cạnh tươngứng với các kênh truyền Trong mạng kết nối đa điểm, một trong các nút trunggian phá vỡ các mô hình định tuyến truyền thống của mạng gói là các nút trunggian chỉ được phép sao chép các gói dữ liệu nhận được đưa ra đầu ra và thực hiện

mã hóa hai gói tin nhận được, tạo thành một gói tin mới bằng cách lấy tổng nhịphân (XOR) để tạo thành một gói tin kết quả ở đầu ra Như vậy, nếu nội dung của

hai gói tin nhận được là véc tơ x1 và x2 thì gói tin ở đầu ra sẽ là x1 ⊕ x2 Đích R1 khôi phục x2 bằng cách lấy tổng XOR của x1 và x1⊕ x2 Tương tự như vậy đích R2

khôi phục x2 bằng cách lấy tổng XOR x2 với x1 ⊕ x2

Xét mạng phát đa điểm từ hai nguồn đến hai như trong hình 1.3 Trong mạngnày, mỗi cạnh biểu diễn một liên kết trực tiếp có thể mang một gói dữ liệu đơn

Gói x1 biểu diễn tại nguồn dữ liệu S1 truyền tới nút đích R1 và gói dữ liệu x1 biểu diễn tại nút nguồn S2 truyền đến nút đích R2 Trong thực tế, thông qua cạnh CE, ta

chỉ có thể truyền 1 bít trong mỗi khe thời gian Tuy nhiên, muốn đồng thời gửi bít

x 1 để R2 nhận và bit x2 để R1 nhận Theo truyền thống, luồng thông tin được xử lý

như một luồng chất lỏng thông qua đường ống, và các luồng thông tin độc lậpđược lưu giữ riêng biệt Áp dụng phương pháp này, ta phải đưa ra quyết định cho

cạnh CE để gửi bit x1 hoặc x2 Nếu chúng ta quyết định gửi bit x1, lúc đó R1 sẽ chỉ

nhận được x1 trong khi R2 sẽ nhận được cả hai bít x1 và x2.

Theo ý tưởng đầu tiên của Ahlswede và đồng nghiệp, mã mạng cho phép cácnút trung gian trong mạng có thể xử lý các luồng thông tin đầu vào của chúng thay

vì chỉ chuyển tiếp chúng Cụ thể là, trước hết nút C có thể XOR hai bít x1 và x2 để tạo ra một bit thứ ba x3 = x1 ⊕x2 Sau đó C truyền x3 qua cạnh CE Nút nhận R1 sẽ nhận được { x1 , x1⊕ x2 } và giải mã để thu được x 2 Cuối cùng, R1 đã nhận được

cả x1 và x2 như mục tiêu của truyền đa điểm Tương tự như vậy, nút nhận R2 nhận được { x2 , x1⊕ x2 } giải mã để thu được x 1 Rõ ràng rằng, thay vì sử dụng 2 khe thời gian để chuyển tin x1 và x2 như trong mạng truyền thống, C chỉ cần dùng một

khe thời gian để truyền x3

Như vậy, mạng có kết hợp kỹ thuật mã mạng cho phép tăng thông lượng.

Hình 1.3: Mạng cánh bướm với 2 nguồn và 2 đích [30].

Mã mạng cũng có thể được mở rộng với các mạng không dây Hình 1.4 bảnsao không dây của mạng cánh bướm và hình 1.5 là mạng cánh bướm sửa đổi.Trong các hình này, các gói tin bắt nguồn từ một nút duy nhất và kết thúc tại nhiều nút

Hình 1.4:Mạng cánh bướm không dây [30]

Hình1.5: Mạng cánh bướm không dây sửa đổi [30].

Trong hình 1.4, mỗi cạnh biểu diễn một liên kết trực tiếp có khả năng truyền

một gói dữ liệu tới một hoặc nhiều nút Ta muốn chuyển hai gói tin x1 và x 2 từ nút

nguồn S tới hai nút đích R1 và R 2

Trong hình 1.5, mỗi cạnh biểu diễn một liên kết trực tiếp có khả

năng truyền một gói dữ liệu tới một hoặc nhiều nút Một gói x1 tại nút nguồn S1 muốn truyền tới nút S2 và gói x2 tại nút nguồn S2 muốn truyền tới nút S1 Như vậy

mã mạng làm tăng thông lượng khi gói được truyền đi chỉ từ một nút duy nhất tớimột nút duy nhất khác (mạng hữu tuyến) và khi chúng được truyền từ một nút duynhất đến một hoặc nhiều nút khác (mạng không dây)

1.3.2 Tiết kiệm tài nguyên mạng không dây

Trong một môi trường không dây, mã mạng có thể được sử dụng để tạo ranhững lợi ích về tuổi thọ pin, băng thông không dây và trễ truyền Xét một mạng

ad-hoc không dây, thiết bị A và C muốn trao đổi các tập tin nhị phân x1 và x2 bằng cách sử dụng thiết bị B là một relay Giả sử thời gian sử dụng đường truyền được chia làm nhiều khung, mỗi khung được chia thành nhiều khe thời gian (Ts

time slot) và một thiết bị có thể phát hoặc thu một tập tin trong một khe thời gian(truyền thông bán song công) Hình 1.6 bên trái mô tả phương pháp truyền thống:các nút A và C gửi các tập tin của chúng tới B, sau đó B sẽ lần lượt chuyển tiếpmỗi tập tin đến các đích tương ứng

Phương pháp mã mạng tận dụng lợi ích tự nhiên của các kênh phát sóngkhông dây là phát đa điểm để tạo ra các lợi ích về sử dụng nguồn tài nguyên, như

minh họa trên hình 1.6 Đặc biệt, nút C nhận được cả hai tập tin x1 và x2 , và thực hiện xor x1 và x2 tạo ra tập tin x1⊕ x2 Sau đó tập tin x1 ⊕ x2 này được phát đa điểm

tới cả hai nút nhận Nút A đã có x1 và do đó, có thể giải mã để thu được x2 Nút C

đã có x2 và có thể giải mã để thu được x1.

Phương pháp này tạo ra các lợi ích về sử dụng năng lượng hiệu quả (nút Bchỉ truyền một lần thay vì hai lần), trễ truyền (truyền trong ba khe thời gian thay vìbốn khe thời gian), băng thông không dây (thời gian sử dụng kênh không dây ngắnhơn), và nhiễu (nếu có các nút không dây khác cố gắng truyền tin trong khu vựclân cận)

1.3.3 Tăng cường tính bảo mật

Việc truyền đi sự kết hợp tuyến tính của các gói tin thay vì dữ liệu chưađược mã hóa tạo ra lợi ích bảo mật đa dạng, chống lại các cuộc tấn công nghe lén

Vì vậy, đối với những hệ thống mà chỉ cần chống lại các cuộc tấn công đơn giảnnhư vậy không cần cơ chế bảo mật bổ sung

Giả sử nút A gửi thông tin tới nút D thông qua hai đường truyền ABD và

ACD trong hình 1.7 Giả sử, một người (N) có thể nghe trộm trên một đường, và không có quyền truy cập trên đường bổ sung Nếu các ký hiệu độc lập x1 và x2

được gửi mà không mã hóa, N có thể chặn một trong các ký hiệu đó Thay vào đó,

ta gửi sự kết hợp tuyến tính của các ký hiệu đó, thông qua một số trường hữu hạn,

trên các đường truyền khác nhau, N sẽ không thể giải mã bất kỳ phần nào của dữ liệu Ví dụ, nếu N thu được gói tin đã được mã hóa x1⊕ x2, xác suất đoán chính xác

x 1 hoặc x2 chỉ bằng 50%, giống như đoán ngẫu nhiên.

Hình 1.7: Trộn thông tin để tạo ra cách bảo vệ tự nhiên chống lại nghe trộm [5]

1.3.4 Tính bền (Robustness)

Kỹ thuật mã mạng có tính bền, khi tô-pô mạng bị thay đổi hay khi một số liênkết mạng không hoạt động, do mỗi gói tin được mã hóa chứa thông tin của nhiềugói tin khác nên nếu ta nhận được một số lượng đủ lớn gói tin mã hóa thì ta có thểthu lại thông tin đã được gửi đi

Bên cạnh khả năng chống lại tổn thất gói ngẫu nhiên, mã mạng cũng hữu íchcho việc chống lại các liên kết lỗi non-ergodic Đó chính là bảo vệ duy trì đườngtruyền, ở đây, một luồng chính và một luồng dự phòng được truyền cho mỗi kếtnối, cho phép khôi phục các liên kết thất bại rất nhanh, do không cần phải địnhtuyến lại Tuy nhiên, phương pháp này làm tăng gấp đôi thông lượng mạng Bằngcách cho phép chia sẻ tài nguyên mạng giữa các luồng khác nhau, mã mạng có thểlàm tăng cách sử dụng tài nguyên

Sử dụng mã mạng đòi hỏi các nút trong mạng phải có thêm các chức năng bổ

sung Trong hình 1.6, nút B cần có thêm bộ nhớ bổ sung để lưu trữ x1 tập tin thay vì

ngay lập tức phát quảng bá và thực hiện các tính toán thông qua các trường hữu

hạn, tức là thực hiện phép toán XOR x1 và x2 Hơn nữa, các nút A và C cũng cần

phải lưu trữ thông tin của chúng và sau đó giải một hệ các phương trình tuyến tính

1.4.2 Bảo mật

Trong truyền thông mạng, bảo mật là một yêu cầu quan trọng để chống lạicác cuộc tấn công tinh vi Do đó, việc triển khai mã mạng trong mạng đó cần phảiđưa vào các cơ chế cho phép mạng thực hiện mã hóa mà không ảnh hưởng đến tínhxác thực của dữ liệu

Xét về mặt bảo mật, mã mạng có thể đem lại cả lợi ích và những điều bất lợi

Xét mạng cánh bướm (hình 1.2) Giả sử một kẻ thù (N) nhận được được chỉ x1 ⊕

x 2 gói Với chỉ gói x 1 ⊕ x2, N không có thể có được hoặc x1 hay x2 Như vậy ta có

một cơ chế truyền thông bảo mật Trong trường hợp này, mã mạng đưa ra lợi ích là

tăng độ bảo mật của thông tin Mặt khác, ta giả sử nút 3 là một nút có hại không

gửi x1 ⊕ x2 mà là một gói tin giả mạo tương tự như x 1 ⊕ x2 Do các gói tin được mã

hóa chứ không phải là định tuyến nên rất khó phát hiện gói tin đó là giả mạo hay làgói tin thật Trong trường hợp này, mã mạng dẫn đến mặt hạn chế về bảo mật

1.4.3 Tích hợp với cơ sở hạ tầng hiện có

Khi mạng truyền thông phát triển thành những cơ sở hạ tầng ở khắp mọi nơi,một nhiệm vụ khó khăn là kết hợp các công nghệ mới nổi như mã mạng với kiếntrúc mạng hiện có Lý tưởng nhất, ta muốn sử dụng những lợi ích mà mã mạngđem lại mà không làm thay đổi đáng kể trong các thiết bị và phần mềm Một câuhỏi mở là làm thế nào mã mạng có thể được tích hợp trong các giao thức mạnghiện tại? Hiện nay vấn đề này cũng là một lĩnh vực cần nghiên cứu

1.5 Kết quả lý thuyết chính của kỹ thuật mã mạng cho mạng phát đa điểm

1.5.1 Định lý Luồng cực đại lát cắt cực tiểu (Min – Cut Max – Flow)

Cho G = (V, E) là một đồ thị (mạng) với tập các đỉnh V và tập các cạnh E ⊂V×V.

Giả sử rằng các cạnh có khả năng thông qua (capacity) là đơn vị và cho phép

các cạnh là tương đương nhau Xét một nút S ⊂ V muốn truyền thông tin tới nút R

⊂ V Một lát cắt giữa S và R là một tập các cạnh của đồ thị phân tách S và R thành

2 tập rời nhau Giá trị của lát cắt là tổng các khả năng thông qua của các cạnh trong

lát cắt Lát cắt có giá trị nhỏ nhất gọi là lát cắt cực tiểu (min - cut) Giả sử dung

năng của các cạnh là 1 thì giá trị của một lát cắt bằng với số các cạnh trong lát cắt.Như vậy thuật ngữ min – cut tương đương với tổng số các cạnh trong lát cắt Giả

sử như mạng được cấu hình như trong hình 1.8, như vậy tồn tại 3 đường đi phân

tách giữa S và R mang ba ký hiệu x1, x2 và x3

Hình 1.8:Một kết nối phát đơn đường có khả năng thông qua của các cạnh

bằng 1 [5].

Định lý 1 [5]: “Xét một đồ thị G = (V, E) với các cạnh có khả năng thông

qua đơn vị, đỉnh phát là S, đỉnh thu là R Nếu lát cắt nhỏ nhất giữa đỉnh phát S và đỉnh thu R là h thì thông tin có thể truyền từ S tới R với tốc độ lớn nhất là h Tương đương, tồn tại chính xác h đường đi phân tách giữa đỉnh phát và đỉnh thu”.

1.5.2 Định lý chính của mã mạng

Xét một mạng phát đa điểm G = (V, E) trong đó có h nguồn có tốc độ đơn

vị S1, , Sh nằm trên cùng một mạng Nút S (nguồn) đồng thời truyền thông tin đến

N nút nhận R1 , , RN Giả sử rằng G là một đồ thị có hướng không tuần hoàn với

khả năng thông qua của các cạnh bằng đơn vị, và giá trị min-cut giữa nút nguồn vànút nhận là h.Tại mỗi thời điểm, giả sử không có trễ truyền, có nghĩa là trong mỗikhe thời gian tất cả các nút nhận được tất cả đầu vào và gửi các kết quả đầu rađồng thời Chúng ta nói, dung năng của các cạnh bằng đơn vị có nghĩa là: giả sử

mô hình có các cạnh có dung năng bằng 1, trong mỗi khe thời gian, có thể truyền

tin cậy một ký hiệu từ một số trường hữu hạn Fq có kích thước q Do đó, mỗi nguồn có tốc độ đơn vị Si phát ra σi, 1 <i <h, đây cũng là một phần tử của trường

Fq

Định lý 2 [5]: “Giả sử một đồ thị có hướng không tuần hoàn G=(V, E) có

khả năng thông qua của các cạnh bằng đơn vị, h nguồn có tốc độ đơn vị được đặt trên cùng đỉnh của đồ thị và N đỉnh thu Giả sử, giá trị của lát cắt cực tiểu tới mỗi đỉnh thu là h Do đó, tồn tại một sơ đồ phát đa điểm trên một trường hữu hạn đủ lớn F q , trong đó các nút trung gian kết hợp tuyến tính các ký hiệu thông tin đến trên F q , phát thông tin đồng thời từ đỉnh phát tới các đỉnh thu với tốc độ bằng h”.

Từ định lý 1, chúng ta biết rằng tồn tại h đường đi phân tách giữa đỉnh phát

và mỗi đỉnh thu Vì vậy, nếu bất kỳ đỉnh thu R j nào sử dụng mạng, thông tin từ h đỉnh thu có thể được định tuyến đến R j thông qua một tập h các đường đi Khi

nhiều đỉnh thu đồng thời sử dụng mạng, tập hợp các đường đi có thể chồng lênnhau Do đó, các đỉnh thu sẽ phải chia sẻ các tài nguyên mạng, điều này làm giảmtốc độ truyền dữ liệu Như vậy, theo định lý 2 nếu cho phép các nút trung giankhông chỉ chuyển tiếp dữ liệu mà còn kết hợp các luồng thông tin đến thì mỗi đỉnh

thu sẽ nhận được thông tin ở mức tương tự như trường hợp chỉ có duy nhất đỉnhthu đó truy cập các tài nguyên mạng.

Trong mã mạng, mỗi đỉnh trong mạng có quyền kết hợp các gói đầu vàotheo cách tùy ý để gửi ra các liên kết đầu ra Để đơn giản, ta giả sử tất cả các gói

đều có cùng kích thước là m bits, nghĩa là mỗi gói có thể được xem như một phần

tử của trường F = 2m Sự “kết hợp” của các gói của các đầu vào ra một liên kết ra nào đó chẳng qua là mộthàm số Khi ta nói q =2m đơn giản có nghĩa là mỗi gói tingửi từ nguồn có m bít, với m đơn vị thời gian được xác định là một khe thời gian.

M bít được dùng để biểu diễn một ký hiệu của F q và được các nút mạng xử lý sử

dụng các toán tử F q.

1.6 Kỹ thuật mã mạng tuyến tính

Cho mạng có X1 X2, là các nguồn phát đa điểm đến các nút nhận, và các hệ

số ζi là các phần tử của một trường hữu hạn, như mô tả trong hình 1.9 Nhãn trênmỗi liên kết biểu diễn quá trình được truyền vào liên kết

Hình 1.9: Ví dụ về mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên phân bố [20].

Xét một mạng được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng G =( V, ε), ở đây V

là tập các nút mạng và ε là tập các liên kết Thông tin có thể được gửi mà không bị

nhiễu từ nút i tới nút j với tất cả (I, j) ∈ε Mỗi liên kết l ∈ε gắn với một số thực

không âm cl biểu diễn dung năng của liên kết đó Các nút i và j được gọi là nút nguồn và đích tương ứng của liên kết (i, j) Nguồn và đích của một liên kết l ∈ ε

được biểu diễn tương ứng bằng o(l) và d(l) Giả sử o (l) d (l) ≠ với mọi l ∈ ε

Thông tin truyền trên liên kết l ∈ ε cóthể coi là một hàm của thông tin nhận được

trước đó tại o(l ).

Có r nguồn không nhớ X1, X 2, X r , là các chuỗi nhị phân ngẫu nhiên Các X

i được tạo tại nút a(i) và phát đa điểm tới tất cả các nút j∈b (i ), trong đó a: {1,… r}→ và b: {1,…r}→2V là các ánh xạ tùy ý Các nút a(1), a(2) , a(r) được gọi là

các nút nguồn và các nút β1, ,βd được gọi là các nút đích.

Xét cả hai trường hợp của mạng không tuần hoàn không xét đến trễ và trường

hợp mạng tuần hoàn và có trễ Các gói tin khác nhau Yj truyền trên một liên kết j theo dạng là sự kết hợp tuyến tính trên Fq , q= 2u , của liên kết đầu vào j là các gói

tin từ nguồn X i với a( i) = o(j) và quá trình ngẫu nhiên Yl với d(l )=o(j) Yj được

biểu diễn bởi phương trình:

Gói tin đầu ra thứ i tại nút nhận β được biểu diễn như sau:

Đối với mạng phát đa điểm có trễ liên kết, cần phải có bộ nhớ tại nút nhận(hoặc nút nguồn) Xét các liên kết có trễ là 1, mô hình hóa các liên kết có trễ lớnhơn là một loạtcác liên kết có trễ là 1 mắc nối tiếp Phương trình mã hóa tuyến tínhtương ứng là:

Ở đây , là các giá trị của các biến tương ứng tại thời điểm t.

Các phương trình này như với quá trình ngẫu nhiên trong mạng,

có thể được biểu diễn về mặt đại số dưới dạng một biến trễ D

Ở đây,

Các hệ số có thể được lựa chọn trong các ma trận r ×|ε|.

Và

Một cặp (A, F) hoặc tập hợp (A, F, có thể được gọi là một mã

mạng tuyến tính

1.7 Kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên

Trong một mạng, tại một nút trung gian, khi hai hoặc nhiều gói tin đến nút

sẽ tạo ra từng số hệ số ngẫu nhiên sau đó nhân lần lượt từng hệ số ngẫu nhiên đóvới các gói dữ liệu đầu vào cuối cùng lấy tổng để tạo thành một gói tin mới ở đầu

ra Kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên được thực hiện dựa trên việc lựa chọn

các giá trị của (A, F) ngẫu nhiên của một trường hữu hạn Nếu một nút nhận βk tồn

tại một số giá trị của Bβ k để AGB T có hạng đầy đủ r khi đó dữ liệu nguồn có thểđược giải mã tại nút đích

CHƯƠNG 2: KẾT HỢP MÃ MẠNG, LẤY MẪU NÉN NETCOMPRESS ĐỂ TRUYỀN HIỆU QUẢ TRONG MẠNG

Hiện nay, với chi phí thấp nên mạng cảm biến không dây được ứng dụng rộngrãi trong nhiều lĩnh vực như giám sát quân sự, bảo trì cơ sở hạ tầng, giám sát môitrường sống và thăm dò khoa học Mạng cảm biến không dây có thể được triển khaibất cứ nơi nào trong các tòa nhà để giám sát sự tiêu thụ năng lượng, dọc các tuyến

(f i,j ) trong trường hợp mạng hở không trể (Df i,j) trong trường hợp thông thường có trể

F =

A =

(a i,j ) trong trường hợp mạng hở không trể (Da i,j) trong trường hợp thông thường có trể

đường để cập nhật tình trạng giao thông hoặc trên chiến trường để quân đội có thểgiám sát

Trong chương này cũng sẽ bàn đến một phương pháp mã hóa trong mô hìnhtruyền tin sử dụng mã hóa tuyến tính ngẫu nhiên mà có thể đối phó tốt với cả haitrường hợp lỗi và mất mát gói tin Thông tin gửi đi không phải là một véc-tơ mà làmột không gian véc-tơ Khái niệm kênh operator để định nghĩa mô hình kênh mãmạng tuyến tính ngẫu nhiên có lỗi và khoảng cách giữa các không gian véc-tơ(metric) dùng cho thuật toán giải mã cũng được đưa ra trong chương này Cuốichương là một phương pháp mã hóa và giải mã cụ thể

Cấu trúc của mạng cảm biến không dây được mô tả trên hình 2.1

Hình 2.1: Cấu trúc của mạng cảm biến không dây.

Trong mạng cảm biến không dây, các nút cảm biến thường được phân bốtrong trường cảm biến Mỗi nút cảm biến có khả năng thu thập số liệu và chọnđường đi để chuyển số liệu tới nút xử lý trung tâm Sau đó, nút xử lý trung tâm sẽchuyển số liệu đó tới nút quản lý nhiệm vụ thông qua Internet hoặc vệ tinh Dotrong mạng cảm biến không dây số lượng các nút cảm biến là rất lớn nên số lượngbản tin chuyển đến nút xử lý trung tâm cũng như số lượng bản tin chuyển đến nútquản lý nhiệm vụ là rất lớn Mã mạng gần đây đã nhận được nhiều sự chú ý từcộng đồng mạng như là một giải pháp mới hiệu quả đối với truyền dữ liệu trongmạng phát quảng bá như các mạng phát đa điểm và mạng không dây Như trongchương 2 đã trình bày về mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên, thông tin từ các nút

nguồn được mã hóa tuyến tính và các hệ số mã hóa là ngẫu nhiên Như vậy tại nútđích dữ liệu thu được là tổ hợp tuyến tính của dữ liệu từ các nguồn.

Một đặc tính của mạng cảm biến, do nhiều bộ cảm biến cùng quan sát một

hiện tượng nên các phép đo thường tương quan theo thời gian hoặc không gian.

Chúng ta mong muốn khai thác mối tương quan này khi chuyển các số đo đến nút

xử lý trung tâm để tiết kiệm năng lượng Lấy mẫu nén gần đây đã trở thành một

công cụ mới mạnh mẽ để thu thập tín hiệu có đặc tính thưa Như vậy, thay vì xử lýtrực tiếp các tín hiệu tương quan này, người ta có thể biến đổi tuyến tính chúngsang một không gian khác bằng cách decorrelate (giải tương quan) có số chiều íthơn, hay nói cách khác trong không gian mới này, dữ liệu là thưa Phương phápnày có thể được ứng dụng trực tiếp đối với mạng cảm biến nếu véctơ dữ liệutương quan được coi là một tập của tất cả các phép đo trong mạng tại một thờiđiểm nhất định

Kỹ thuật lấy mẫu nén được đề xuất năm 2004 bởi Candes và Dohono Trong

kỹ thuật này dữ liệu thu được cũng là một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu cầnthu Với số mẫu thu được ít hơn nhiều so với số mẫu của tín hiệu gốc Hệ đo đượcbiểu diễn là một ma trận tuyến tính Người ta chứng minh được rằng khi các phần

tử trong ma trận đó là ngẫu nhiên và thỏa mãn điều kiện RIP thì từ số mẫu thuđược (rất nhỏ so với số mẫu của tín hiệu gốc) ta có thể thu được tín hiệu gốc

So sánh kỹ thuật mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên với kỹ thuật lấy mẫu nén tathấy rằng có thể áp dụng kỹ thuật lấy mẫu nén trong việc thiết kế kỹ thuật mãmạng tuyến tính ngẫu nhiên Với ý tưởng như vậy người ta đã đề xuất Compress[8]

Chương này trước hết trình bày ngắn gọn về kỹ thuật lấy mẫu nén, sau đó làmối liên hệ giữa mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên với kỹ thuật lấy mẫu nén và cuốicùng tập trung trình bày thiết kế của Netcompress

cơ sở thích hợp gọi là tín hiệu thưa Sau đó, tối ưu hóa không tuyến tính có thể

khôi phục tín hiệu đó từ một ít các phép đo

Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể thực hiện được việc lấy mẫu tínhiệu với tốc độ thấp hơn tốc độ lấy mẫu Nyquist Lý thuyết lấy mẫu củaShannon/Nyquist đã phát biểu rằng để tránh mất mát thông tin khi thu thập một tínhiệu ta phải lấy mẫu tại tần số lớn hơn hoặc bằng hai lần tần số cực đại của tínhiệu Trong rất nhiều ứng dụng, bao gồm ảnh số và máy quay video, tốc độNyquist là rất cao và phải lấy mẫu rất nhiều mẫu, do vậy rất cần thiết phải nén tínhiệu để lưu trữ và truyền tín hiệu Lấy mẫu nén sử dụng các phép chiếu tuyến tínhkhông thích ứng giữ lại cấu trúc của tín hiệu

2.2 Mối liên hệ giữa mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên và lấy mẫu nén

Theo chương 1, mã mạng tuyến tính là tại một nút trung gian, khi hai hoặcnhiều gói tin đến nút sẽ tạo ra từng số hệ số ngẫu nhiên sau đó nhân lần lượt từng

hệ số ngẫu nhiên đó với các gói dữ liệu đầu vào cuối cùng lấy tổng để tạo thànhmột gói tin mới ở đầu ra theo công thức, được nêu lại dưới đây:

Bản chất của việc thực hiện mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên là cách chọn

các ngẫu nhiên các hệ số a i j, và f l j , Các hệ số này tạo thành sự kết hợp tuyến tínhtrong các gói tin đầu ra sẽ được cập nhật và lưu trữ trong tiêu đề của gói tin đầu ra

Vì vậy, kích thước tiêu đề của gói tin là tỷ lệ thuận với N Trong sơ đồ mã mạng,

kích thước của tiêu đề là tỷ lệ thuận với số lượng gói tin được đưa vào trongmạng Đối với truyền thông đường xuống, có thể thiết lập con số này có giá trịtương đối nhỏ Tuy nhiên, trong mạng cảm biến không dây truyền thông chủ yếu

là đường lên, số này chính là số lượng các nút trong mạng có thể là hàng trămhoặc hàng ngàn Tiêu đề như vậy là quá dài trong thực tế

Như vậy, việc thực hiện mã mạng tuyến tính ngẫu nhiên thực chất là chọn

ma trận các hệ số ngẫu nhiên φ Theo mục 2.2, tập hợp các giá trị đo yj trong y được tính như sau:

y = φx = φψs = Θs

Trong bài toán lấy mẫu nén, với ψ là các giá trị ta thu được ta có thể khôi

phục lại tín hiệu x một cách chính xác Bài toán lấy mẫu nén bao gồm việc thiết kế

ma trận đo ϕ Theo [16] nếu ma trận đo φ là ma trận ngẫu nhiên và thỏa mãn điều

kiện RIP thì từ K giá trị thu được ta có thể khôi phục được tín hiệu gốc

Từ hai công thức trên ta thấy rằng việc chọn giá trị của ma trận đo φ trong lấy

mẫu nén có thể được áp dụng trong việc thiết kế mã mạng ngẫu nhiên tuyến tính.Nói cách khác, có thể áp dụng lấy mẫu nén trong việc thiết kế mã mạng ngẫu nhiên

Trường tiêu đề gồm có hai phần: Phần đầu tiên bao gồm l vị trí, mỗi vị trí là 2

bít để chứa các hệ số Bernoulli (0, 1, -1) Ta sử dụng hai bít nhị phân để biểu thị giátrị của hệ số Bernoulli: 01 tương ứng với giá trị 1, 10 tương ứng với giá trị -1 và 00

ứng với giá trị 0 Phần thứ hai bao gồm l vị trí, mỗi vị trí là 8 bit để chứa ID của nút.

Trường dữ liệu lưu trữ các giá trị của các phép đo của các nút cảm biến Tùythuộc vào đặc điểm của từng ứng dụng, các trường dữ liệu có thể chứa một hoặcnhiều vị trí, trong đó mỗi vị trí là 16 bít hoặc 32 bít

Hình 2.2: Định dạng gói tin [8].

Ví dụ, các gói tin trong hình 3.4 hiển thị sự kết hợp tuyến tínhcủa 3 nút: 4, 6 và 11 với các hệ số 1, -1, 1 tương ứng Sau đó, giátrị dữ liệu của 0,249 bằng (giá trị đo của nút 4) - (giá trị đo của nút6) + (giá trị đo của nút 11)

Ta thiết kế định dạng gói tin sử dụng mã mạng tuyến tínhngẫu nhiên trong đó gói tin tổng hợp có trường dữ liệu là sự kếthợp tuyến tính giữa ID của nút với các hệ số ngẫu nhiên, ở đây ta

sử dụng hệ số ngẫu nhiên là biến IID Bernoulli / Rademacher (± 1).Định dạng gói tin này cũng đảm bảo thỏa mãn điều kiện RIP trong

lấy mẫu nén

Ma trận ngẫu nhiên được thiết kế như sau:

Trong [16] Candes và Tao đã chứng minh rằng ma trận đo ϕ có dạng ID Gausshoặc Bernoulli / Rademacher (± 1) có thể thỏa mãn điều kiện RIP Ở đây, ta chọn hệ

số ngẫu nhiên trong mã mạng tyến tính ngẫu nhiên cũng như ma trận ngẫu nhiêntrong lấy mẫu nén là biến ID Bernoulli / Rademacher (± 1) vì thực hiện nó đơn giản,

ta chỉ việc cộng hoặc trừ ngẫu nhiên các gói tin

Theo [19], ma trận ngẫu nhiên φ có các phần tử như sau:

Trong đó s là một tham số để làm thưa thớt phép chiếu mà vẫn tạo ra sự khôi

phục tốt Điều này làm giảm đáng kể số lượng truyền thông giữa các nút trongmạng và làm giảm chi phí phụ Thay vì phải giữ các hệ số của tất cả các nút trong

tiêu đề và ta chỉ giữ l n s = / vị trí có giá trị khác không và ID của nút tương ứng

2.3.2 Quá trình mã hóa

Trong mạng cảm biến không dây, để tiết kiệm năng lượng, các nút sẽ có 2

trạng thái: trạng thái thức (awake) và trạng thái nghỉ (sleep) Thông thường, thời

gian các nút ở trạng thái thức thường nhỏ hơn thời gian các nút ở trạng thái nghỉ

rất nhiều Quá trình mã hóa được chia thành hai giai đoạn: giai đoạn sát nhập để tạo thành sự kết hợp tuyến tính ngẫu nhiên và giai đoạn chuyển tiếp để truyền sự

kết hợp tuyến tính này tới bộ xử lý trung tâm hay bộ thu

Trong giai đoạn sát nhập, các nút phát quảng bá các số đo tương ứng của chúng theo lịch trình riêng Các nút ở trạng thái thức (awake) sẽ nhận các gói tin

phát quảng bá từ các nút lân cận và sát nhập chúng lại với nhau Điều kiện để haigói dữ liệu có thể được sát nhập vào thành một gói duy nhất nếu hai gói nàykhông có ID nút nào giống nhau trong tiêu đề Trường hợp hai gói dữ liệu khôngthể sát nhập khi: nếu sau khi sát nhập, tiêu đề vượt quá độ dài hoặc hai gói đó có

ID nút giống nhau trong tiêu đề

Hình 2.3:Ví dụ hợp nhất 2 gói [8].

(A) Có thể sát nhập;

(B) không thể sát nhập vì hai gói này ID nút giống nhaulà4;

(C) không thể sát nhập: tiêu đề tràn;

Hình 2.5 cho thấy một số ví dụ các gói có thể sát nhập và không thể sát nhập.Một gói tin bão hòa là một gói tin mà không có slot nào tự do trong tiêu đề và do đókhông thể thu nạp thêm nữa Mặt khác, các gói tin chưa bão hòa có không gian tiêu

đề để sát nhập và do đó các nút sẽ phát quảng bá các gói chưa bão hòa trong khi các

gói dữ liệu bão hòa sẽ được lưu trữ và chuyển tiếp Trong giai đoạn chuyển tiếp, các

gói dữ liệu bão hòa được lưu trữ và sẵn sàng để chuyển tiếp

Sau đây ta minh họa quá trình sát nhập giữa các gói trong bộ đệm compressbuffer Trong một mạng cảm biến, tại thời điểm ban đầu các nút cảm biến đo dữliệu và lưu trữ dữ liệu dưới dạng gói Giả sử tại một thời điểm, giá trị đo của nútcảm thứ 3 là 0.16 và giá trị đo của nút thứ 4 là 0.1 (như minh họa trên hình 2.6)

Hình 2.4:(a) Định dạng gói nút cảm biến 3;(b) Định dạng gói nút cảm biến 4.

Nút cảm biến 3 và nút cảm biến 4 tiến hành phát quảng bá gói tin của mình.Nếu nút cảm biến 3 nhận gói tin của nút cảm biến 4 (cũng như nút cảm biến 4nhận gói tin của nút 3) nó sẽ tiến hành so sánh các nút ID trong tiêu đề của gói tin

Vì trong tiêu đề gói tin của nút cảm biến 3 và nút cảm biến 4 không có nút ID nàogiống nhau và các gói tin này đều chưa bão hòa nó sẽ tiến hành sát nhập 2 gói tinvới nhau như trên hình 2.4

Hình 2.5:Sát nhập hai gói tin của hai nút cảm biến 3 và 4.

Như vậy dữ liệu của gói tin tổng hợp 0.06 sẽ bằng giá trị đocủa nút 3 – giá trị của nút 4

Trong mạng cảm biến không dây, nếu ta sử dụng thiết kếNetcompress, thay vì việc truyền rất nhiều gói tin trong mạng tachỉ cần một số lượng ít các gói tin Trong các gói tin này mangthông tin của rất nhiều nút Tại nơi thu, từ số lượng nhỏ các gói tinnày ta có thể khôi phục chính xác toàn bộ các thông tin của tất cảcác nút trong mạng Đây chính là ý tưởng của bài toán lấy mẫunén

2.3.3 Quá trình giải mã

Tại phía thu, các số đo ban đầu được khôi phục từ các gói tin nhận được

bằng cách sử dụng chuẩn tối thiểu l1, như được trình bày trong mục 2.1.4

2.4 Mã sửa lỗi mạng

Kỹ thuật mã mạng là một kỹ thuật hiệu quả trong truyền thông mạng Tuynhiên nó khá nhạy cảm với lỗi, do nút trung gian trộn các gói tin đầu vào dể tạo ramột gói tin đầu ra nên chỉ cần một gói tin có lỗi (cố ý hoặc không) thì lỗi dó sẽ tiếptục tích lũy đến nơi nhận, việc khả năng khôi phục gói tin gốc sẽ trở nên khó khănhơn Truờng hợp mất gói tin do đứt đuờng liên kết làm nơi nhận không nhận đủ góitin cần thiết cho việc giải mã gói tin cung gây ra tình trạng tương tự

2.4.1 Kênh operator

Xét {p1 , p 2 ,…,p M }, p i F q N là tập các gói tin nguồn Trong trường hợp không

có lỗi, đích sẽ nhận được các gói tin yj, j =1,2,…,L với :

Trong trường hợp xảy ra lỗi, là các gói tin lỗi Chỉ với một gói tin lỗi cũng có thể ảnh hưởng đến khôi phục gói tin gốc.

Ở dạng ma trận, mô hình truyền có thể được viết :

y = Hp + Ge

Trong đó H,G là các ma trận ngẫu nhiên với kích thước L x M và L x T, p là

ma trận M x N với các hàng là các véc-tơ truyền đi, y là ma trận với các hàng là các véc-tơ nhận được, e là ma trận T x N với các hàng là các véc-tơ lỗi

Gọi W là không gian véc-tơ kích thước N trong trường Fq Tất cả các gói tintruyền và nhận đều thuộc W, ta sẽ mô tả mô hình truyền tin của các không giancon được mở rộng bởi các gói tin này

P(W) là tập các không gian con của W, thường được gọi là các phépchiếu

hình học (projective geometry) của W

Kích thước của một không gian V P(W) được ký hiệu là dim(V).

Tổng của hai không gian con U, V P(W) là U + V = {u + v: u V, v V} Nếu UV ={0} thì tổng U + V là tổng trực tiếp, ký hiệu là U V Lúc này dim

(U V = dim (U) + dim (V) Với hai không gian bấy kỳ U, V ta có V = (U V) V ’

với V’ tương đương với không gian thương V/(U V) Trong trường hợp này U + V

= U + ((U V) V ’ ) = U V ’

Với k 0, ta định nghĩa bộ tạo kênh ngẫu nhiên Hk trên các không gian con của

W Nếu dim(V) > k thì sẽ trả lại một không gian con ngẫu nhiên kích thước k của

không gian V

Khái niệm kênh operator (operator channel) cho mô hình truyền tin của kỹthuật mã mạng được định nghĩa như sau:

Một kênh operator C cùng với không gian W là một kênh với đầu vào và đầu

ra là các không gian con thuộc Đầu vào V và đẩu ra U được liên hệ với nhau bàng biểu thức:

U = H k (V) E

Với k= dim(u V) và E là không gian lỗi Qua kênh, V biến thành U, ta nói rằng kênh tạo ra bộ xóa và t=dim(E) lỗi.

Tóm lại, kênh operator lấy đầu vào là một không gian véc-tơ và đưa ra lối ramột không gian véc-tơ khác, có thể bị mất mát (xóa một vài véc-tơ trong khônggian véc-tơ truyền) hoặc lỗi (thêm vào một vài véc-tơ)

Định nghĩa này khiến cho lý thuyết thông tin và kỹ thuật mã mạng gần nhauhơn Kênh operator được xem như là kênh không nhớ rời rạc với đầu vào, đầu ra là

các không gian con thuộc P(W) Những phần tiếp theo là chỉ ra cách xây dựng một loại mã tốt trong P(W) mà có thể chống chọi tốt với nhiễu và mất mát.

2.4.2 Mã hóa cho kênh operator.

Trong truyền tin thông thường, để so sánh sự thay đổi giữa hai gói tin, kháiniệm khoảng cách Hamming được sử dụng Với phương pháp mã hóa không gianvéc-tơ được đề xuất, một không gian véc-tơ được truyền đi, ta cần một định nghĩatương tự như khoảng cách Hamming nhưng đối với 2 không gian véc-tơ để có thểkhôi phục lại không gian được truyền từ không gian nhận được Trước khi chỉ ralàm thế nào để xây dựng loại mã tốt cho kênh operator mà ta đã định nghĩa, ta cầnphải định nghĩa khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ

a Khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong P(W)

Hàm d: P(W) x P(W) Z+

d(A,B) := dim (A + B) – dim(A B)

Do dim (A+ B) = dim(A) + dim (B) – dim(A B), nên

d(A, B) = dim(A) + dim(B) – 2 dim(A B)

= 2 dim(A + B) – dim(A) – dim(B)

Hàm:

d(A,B) := dim(A+B) – dim(A B)

Là khoảng cách giữa hai không gian véc-tơ trong P(W)

W là không gian véc-tơ kích thước N thuộc trường U là không gian con của

W, không gian con trực giao của U là một không gian kích thước N-k:

Với không gian con bất kì U W thì

D(C) := min d(X,Y) với X, Y

Kích thước lớn nhất của các từ mã của C:

l(C) := max d(X) với X C Nếu kích thước của từng từ mã của là bằng nhau thì được gọi là mã có

kích thước không đổi

Trong mã sửa lỗi tuyến tính truyền thống thì một loại mã thường được biểudiễn dưới dạng trong đó là độ dài của mã, là kích thước và là khoảng cáchHamming Với loại mã không gian véc-tơ đối với kênh operator được định nghĩa ởtrên thì được biểu diễn dưới dạng

Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu đinh nghĩa về tốc độ mã của một mã nào đó Gọi là

một loại mã có kiểu Để truyền một không gian V , nơi phát cần phát l(C) véc-tơ của V vào trong mạng, tương ứng với truyền Nl ký tự.

Gọi là một mã được biểu diễn dưới dang Trọng số chuẩn hóa (weight) , tốc độ và khoảng cách nhỏ nhất chuẩn hóa của C được định nghĩa như sau:

c Điều kiện để khôi phục mã

Bộ giải mã dựa vào lối ra U của kênh operator sẽ trả lại từ mã V C có

khoảng cách tới U là nhỏ nhất

Hình 2.6:Minh họa khôi phục mã

Ta có một định lý liên hệ giữa khoảng cách nhỏ nhất của mã với lỗi và mấtmát gây ra bởi kênh:

Nếu ta sử dụng một mã C cho truyền tin trên kênh operator Chọn V C để truyền thì sẽ nhận được U:

Với dim(E) = t và =(l(C) – k) là số véc-tơ bị mất mát tối đa bởi kênh.

Nếu: 2(t + ) < D(C) thì bộ giải mã sẽ khôi phục lại được không gian truyền

V từ không gian nhận được U.

d Mã có kích thước không đổi

Mã có kích thước không đổi là mã có kích thước các từ mã không đổi Nótương tự với mã có trọng số không đổi trong không gian Hamming (các từ mã cótrọng số Hamming bằng nhau) hay các loại mã cầu trong không gian Euclid (các từ

mã có năng lượng bằng nhau)

Các mã có kích thước không đổi thường được miêu tả như là các đỉnh nào

đó trong đồ thị Grassmann:

Gọi P(W,l) là tập các không gian con của W có kích thước l P(W,l) được gọi

là Grassmannian Đồ thị Grassmann G W,l có các đỉnh là tập P(W,l) với hai đỉnh U,V cạnh nhau khi và chỉ khi d(U,V) = 2

2.4.3 Các giới hạn về tốc độ mã hóa

Trước tiên, một vài ký hiệu và khái niệm liên quan đến việc đóng gói trong

P(W,l) sẽ được đưa ra.

Hệ số Gauss được định nghĩa:

Với số nguyên dương i bất kỳ

Gọi W là một không gian véc-tơ kích thước N,P(W,l) là tập các không gian con kích thước l của W Quả cầu S(V, l, t) với bán kính t có tâm tại không gian V trong P(W,l) được định nghĩa như là tập các không gian con U thỏa mãn điều kiện d(U, V) 2t

S(V, l, t) = {U P(W), l: d(U, V) 2t}

Số lượng các không gian con trong S(V,l, t) độc lập với V bằng:

Bộ giải mã dựa vào lối ra U của kênh operator sẽ trả lại từ mã V C có khoảng cách tới U là nhỏ nhất

a Giới hạn Hamming

Gọi là môt tập các không gian trong P(W,l) có D(C) Kích thước của C phải

thỏa mãn:

Dưới dạng tham số chuẩn hóa, ta có giới hạn về tốc độ mã:

Hình 2.7: Minh họa giới hạn mã Hamming

b Giới hạn quả cầu Hilbert.

Ngược lại chỉ tồn tại một mã C ’ với D(C ’ ) 2t

Tốc độ mã:

Hình 2.8: Hinh họa mã Hilbert