Các ph ơng pháp điều khiển, đo l ờng hiện đại và ứng dụng

Điển hình trong số đó là phương pháp điều khiển phi tuyến dựa trên nền hình học vi phân, điều khiển thích nghi ISS, điều khiển thụ động passive, các phương pháp thiết kế bộ quan sát trạn

tæng c«ng ty c«ng nghiÖp tµu thñy viÖt nam c«ng ty c¬ khÝ - ®iÖn - ®iÖn tö tµu thñy _

Ch−¬ng tr×nh KHCN cÊp nhµ n−íc KC 06

"øng dông c«ng nghÖ tiªn tiÕn trong s¶n xuÊt s¶n phÈm xuÊt

khÈu vµ s¶n phÈm chñ lùc"

Dù ¸n

ChÕ t¹o mét sè phÇn tö vµ thiÕt bÞ ®iÒu khiÓn,

®o l−êng quan träng trªn tµu thñy b»ng ph−¬ng ph¸p chuÈn module vµ øng dông

c¸c c«ng nghÖ tiªn tiÕn

M· sè KC 06 DA.13.CN

Hợp đồng: 645/HĐ/KC06 ưDAư13ưCN

Các phương pháp điều khiển, đo lường hiện đại và ứng dụng

Người thực hiện: PGS.TS Nguyễn Doãn Phước

Bộ môn ĐKTĐ, Khoa Điện, Trường ĐHBK Hà Nội

Hà Nội 5 ư2005

Lời nói đầu

Trong những năm gần đây, các phương pháp điều khiển phi tuyến và điều khiển thích nghi các đối tượng phi tuyến phát triển khá nhanh, tạo tiền đề cho việc giải quyết một loạt các bài toán điều khiển đạt được chất lượng vượt bậc mà trước đây là không thể

Điển hình trong số đó là phương pháp điều khiển phi tuyến dựa trên nền hình học vi phân, điều khiển thích nghi ISS, điều khiển thụ động (passive), các phương pháp thiết kế

bộ quan sát trạng thái đối tượng phi tuyến để “đo lường” những đại lượng không thể đo

được trực tiếp

Tài liệu này sẽ tổng quan lại những phương pháp điều khiển, đo lường hiện đại nêu trên Nó được thực hiện trong khuôn khổ hợp đồng số 645/HĐ/KC06ưDAư13ưCN và có nội dung như sau:

Phần 1: Tổng quan về các phương pháp điều khiển thích nghi hiện đại 5

1.1 Cơ sở nền tảng: Lý thuyết Lyapunov 5

1.1.1 Khái niệm ổn định Lyapunov và tiêu chuẩn xét ổn định 5

1.1.2 Thiết kế bộ điều khiển 8

Hàm điều khiển Lyapunov 8

Phương pháp thiết kế cuốn chiếu (backstepping) 12

1.2 Điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation) 15

1.2.1 Định nghĩa tính ổn định ISS và hàm ISSưCLF 15

1.2.2 Điều khiển nén miền hấp dẫn (damping) 18

1.2.3 Thiết kế cuốn chiếu hàm ISSưCLF (disturbance backstepping) 21

1.2.4 Điều khiển ổn định ISS kháng nhiễu hệ thống 24

1.3 Điều khiển tuyến tính hóa chính xác trên nền hình học vi phân 27

1.3.1 Công cụ toán học: Hình học vi phân 27

Đạo hàm Lie 27

Phép nhân Lie (hay phép ngoặc Lie) 27

Tiêu chuẩn Frobenius 28

1.3.2 Bậc tương đối 30

1.3.3 Dạng mô hình chuẩn (normal form) 32

1.3.4 Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vàoưra 34

1.3.5 Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vàoưtrạng thái 36

Phần 2: Đề xuất một phương pháp điều khiển thích nghi kháng nhiễu mới

và kết quả ứng dụng thu được 40

2.1 Nguyên tắc chung của phương pháp 40

2.1.1 Bước 1: Tuyến tính hóa chính xác 42

2.1.2 Bước 2: Điều khiển theo mô hình mẫu để kháng nhiễu 45

2.1.3 Những trường hợp mở rộng của phương pháp 46

2.2 Một số kết quả ứng dụng của phương pháp 48

2.2.1 ứng dụng trong điều khiển động cơ dị bộ nguồn kép 48

2.2.2 ứng dụng để điều khiển kháng nhiễu phản hồi đầu ra cho các đối tượng tuyến tính bất định 50

Phần 3: Những phương pháp đo gián tiếp (hay quan sát) các biến trạng thái của hệ thống phi tuyến 55 3.1 Các phương pháp thiết kế bộ quan sát phi tuyến 57

3.1.1 Bộ quan sát Luenberger mở rộng 57

3.1.2 Quan sát theo nguyên lý trượt (sliding mode observer) 59

3.1.3 Bộ quan sát có hệ số khuếch đại lớn (high gain observer) 61

3.2 Bàn về nguyên lý tách cho hệ phi tuyến (separation principle) 62

Phần 1: Tổng quan về các phương pháp điều khiển thích nghi

Giả sử hệ cân bằng tại gốc tọa độ, tức là f(0,0)=0, thì bị nhiễu tức thời đánh bật ra khỏi

điểm cân bằng 0 và đưa tới một điểm cân bằng nào đó x0≠0 Nếu sau đó:

ư Hệ tự quay trở về một lân cận nào đó của 0 thì nó được gọi là ổn định tại 0 (ổn định

Lyapunov)

ư Hệ tự quay trở về 0 thì nó được gọi là ổn định tiệm cận tại 0

Như vậy, hệ (1.1) có thể có nhiều điểm cân bằng và hệ có thể ổn định tại điểm cân bằng

này song lại không ổn định ở một điểm cân bằng khác

Theo định nghĩa trên, để xét tính ổn định Lyapunov tại 0 của hệ, ta phải xét xem

nghiệm x(t) của phương trình vi phân ứng với u=0:

dx

có đi về lân cận gốc (hoặc thậm chí kết thúc tại 0) hay không

Tiêu chuẩn Lyapunov là một công cụ kiểm tra tính ổn định của hệ (1.1) mà không

cần phải tìm nghiệm x(t) theo (1.2) Nó được giải thích như sau: Giả sử bao quanh gốc tọa

độ 0 có họ các đường cong khép kín v (hình 1.1) Các đường cong này có thể được xem như

biên của các lân lận của điểm gốc 0 Để kiểm tra xem quỹ đạo trạng thái x(t) và đi từ

điểm trạng thái đầu x0 cho trước nhưng tùy ý) mô tả quá trình tự do của hệ, có tiến về gốc

tọa độ 0 hay không, ta chỉ cần xét xem quỹ đạo trạng thái x(t) có cắt tất cả các đường

cong thuộc họ v từ bên ngoài vào bên trong hay không và nếu điều đó xảy ra thì chắc

chắn x(t) phải có hướng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó

dx dt

ϕ

k1

Hình 1.1: Tạo họ các đường cong kín chứa

gốc tọa độ bằng hàm xác định dương

Họ các đường cong v khép kín chứa điểm gốc tọa độ 0 bên trong được xây dựng bằng

các đường đồng mức của một hàm xác định dương Hàm xác định dương V(x) có tính chất

là khi ta cắt nó bằng một mặt phẳng V=k song song với đáy (không gian trạng thái) và chiếu thiết diện xuống đáy thì ta sẽ được một đường cong khép kín v k chứa điểm gốc tọa

độ 0 Đường cong v k ứng với k nhỏ hơn thì nằm bên trong đường cong v k ứng với k lớn hơn

Do vector gradV luôn vuông góc với đường cong v k và chỉ chiều tăng theo k nên nó sẽ có

hướng chỉ từ trong ra ngoài đường cong v k (hình 1.1)

Tiếp theo, do có:

dV

dt =

V x

0), tức là quỹ đạo trạng thái

x(t) sẽ cắt tất cả các đường cong v k theo hướng từ ngoài vào trong

Vậy, nếu tồn tại hàm Lyapunov V(x), thỏa mãn:

với x là nghiệm tự do của hệ thống thì hệ sẽ ổn định tại điểm gốc tọa độ 0 Khi đó V(x)

được gọi là hàm Lyapunov Nếu dấu bằng trong điều kiện b) chỉ xảy ra khi x=0, tức là

c) Ma trận Q là đối xứng và có các giá trị riêng là những số thực dương

áp dụng cho hệ tuyến tính với mô hình trạng thái không bị kích thích:

Phương trình (1.3) với nghiệm Q được gọi là phương trình Lyapunov Phương trình

Lyapunov với A là ma trận bền và P đối xứng, xác định dương cho trước luôn có nghiệm Q

xác định dương

1.1.2 Thiết kế bộ điều khiển

Hàm điều khiển Lyapunov

Xét đối tượng phi tuyến cân bằng tại gốc, có mô hình (1.1) Nhiệm vụ của bài toán

điều khiển được đặt ra ở đây là thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u=u(x) sao cho

hệ kín (hình 1.2) được ổn định (tại 0)

Một trong những phương pháp đơn giản thực hiện bài toán trên là sử dụng tiêu

chuẩn ổn định Lyapunov Một cách tóm tắt, nó bao gồm các bước:

Hình 1.2: ứng dụng tiêu chuẩn Lyapunov

để thiết kế bộ điều khiển

Phương pháp thiết kế nhờ hàm xác định dương V(x) trên đây được xem như một công cụ

toàn năng trong lĩnh vực điều khiển phi tuyến cho đối tượng có mô hình phức tạp, chẳng

hạn như không dừng, không autonom, thậm chí mô tả không chính xác đối tượng, hoặc có

những tham số mô hình bất định (uncertainties) Tất nhiên rằng bộ điều khiển u=u(x)

tìm được theo (1.4) phụ thuộc chủ yếu vào cấu trúc hàm xác định dương V(x) đã chọn

Hơn nữa phương trình (1.4) cũng chỉ có thể có nghiệm u=u(x) nếu như có inf f

Ví dụ 1.1: Khái niệm hàm điều khiển Lyapunov

Cho đối t−ợng phi tuyến với mô hình:

dt

− = −zn−2−z n−1+z n

n dz

z − L − 2

n

z π

Từ kết quả của ví dụ 1.1 ta còn có đến đ−ợc định lý sau:

Định lý 1.1: Cho hệ phi tuyến affine có cấu trúc truyền ng−ợc:

Phép đổi biến khả nghịch z=m(x):

VÝ dô 1.2: Kh¸i niÖm hµm ®iÒu khiÓn Lyapunov

§èi t−îng phi tuyÕn:

− = −zn−1+z n

n dz

dt = ϕ(z)+u

z +z + L +z v× cïng víi nã ta cã bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i:

VÝ dô 1.3: Kh¸i niÖm hµm ®iÒu khiÓn Lyapunov

XÐt hÖ nhiÒu ®Çu vµo cã cÊu tróc affine:

Nếu trong miền Ζ hàm L V xác định âm, tức là: f

thì ta có thể dễ dàng thấy được V(x) cũng sẽ là hàm CLF của (1.11) và một trong các bộ

điều khiển phản hồi trạng thái u=r(x) tương ứng làm đối tượng ổn định tiệm cận toàn

cục là:

u(x) = 2

( )

( ) nếu ( )

(1.14)

trong đó η(x) là một hàm xác định dương được chọn bất kỳ, vì bên cạnh điều kiện (1.13)

khi x∈Ζ xác nhận tính xác định âm của

V x

Xét riêng hệ con (1.15) của mô hình tổng quát trên mà ở đó x n có vai trò như tín

hiệu điều khiển ảo Giả sử đã biết hàm CLF V1(x nư 1) của (1.15) cũng như bộ điều khiển

ổn định tiệm cận tương ứng x n =v(x nư 1) Khi đó, để tìm hàm CLF V(x)=V(x nư 1,x n) và

bộ điều khiển ổn định tiệm cận u(x) cho đối tượng chung gồm (1.15) và (1.16) ta có định

( )

( )bất kỳ khi

n

f x V

∉ (1.20)

2) Cũng như vậy, hàm ϕ(x) xác định dương, không bị chặn theo x n, khả vi, được chọn

sao cho thỏa mãn các điều kiện (1.18) và (1.19), không bắt buộc phải là hàm của tất cả

bộ điều khiển (1.20) sẽ trở thành:

1 1

3) Do u(x) là tùy ý khi x∈ς cũng như η(x),ϕ(x) là những hàm được chọn gần như tùy ý,

chỉ cần thỏa mãn các điều kiện khá rộng mở (1.18), (1.19) và (1.21), (1.22) nên ta luôn

xác định được η(x),ϕ(x) sao cho bộ điều khiển (1.20) có tính liên tục trong không gian

4) Nếu V(x) là hàm CLF của một hệ phi tuyến nào đó và à(z) là một hàm bất kỳ thuộc

lớp Κ∞ có đạo hàm luôn dương thì à(V(x)) cũng sẽ là hàm CLF của hệ đó Từ đây,

hàm CLF (1.17) còn có thể là:

V(x) = à(V1(x nư 1))+ϕ(x nư 1,x n)

Ví dụ 1.4: Thiết kế bộ điều khiển cuốn chiếu

Cho đối tượng mô tả bởi:

và bộ điều khiển (1.20) cho đối tượng đã cho là:

Hơn thế nữa nó còn thỏa mãn u(0)=0 π

1.2 Điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation)

1.2.1 Định nghĩa tính ổn định ISS và hàm ISSưCLF

Xét hệ có nhiễu tác động mô tả bởi:

dx

trong đó:

ư x(t) là vector biến trạng thái,

ư d(t) là vector các tín hiệu nhiễu không mong muốn tác động vào hệ thống (gọi là tín

hiệu disturbance),

ư u(t) là vector các tín hiệu điều khiển

Giả sử rằng hệ (1.24) cân bằng tại gốc tọa độ, tức là (0,0,0)f = 0 Để xét tính ổn

định Lyapunov cho hệ (1.24) tại gốc 0, ta cho u(t)=0 và khảo sát dạng quỹ đạo nghiệm tự

do của hệ phương trình vi phân:

dx

ứng với điều kiện đầu x ( 0 ) = x0 cho trước Ta sẽ ký hiệu nghiệm đó là x(t,d) để nhấn

mạnh rằng nó còn phụ thuộc vào vector các tín hiệu nhiễu d(t) Xét về mặt bản chất,

vector d(t) trong (1.25) có vai trò như một tín hiệu vào không kiểm soát được của hệ

(nhiễu, hay tín hiệu tác động từ những hệ khác), bởi vậy có thể xem nó như là vector các

tín hiệu ngoại sinh (exogenous signals)

Từ nghiệm quỹ đạo trạng thái tự do x(t,d) ta thấy hệ (1.24) là ổn định tiệm cận tại

gốc nếu:

0

lim

Có thể dễ dàng thấy, do có sự hiện diện của tín hiệu nhiễu d(t) nên khả năng để hệ

(1.24) có được chất lượng ổn định (1.26) là rất khó Bởi vậy thay vì chất lượng đó, Sontag

đưa ra một khái niệm ổn định mở rộng khác là ổn định ISS, viết tắt của Input to State

Stability, dịch là ổn định vàoưtrạng thái, nếu như tồn tại một lân cận ∆ nào đó của gốc

tọa độ 0 sao cho các quỹ đạo trạng thái tự do x(t,d) của hệ (1.24), không phụ thuộc nhiễu

d(t), luôn tiến về ∆ và ở lại trong đó

x0

∆

Hình 1.3: Minh họa khái niệm ổn định ISS.

Bài toán thiết kế bộ điều khiển tạo ra cho hệ (1.24) có được tính ổn định ISS với lân

cận ∆ , gọi là miền hấp dẫn (attractor), càng nhỏ càng tốt, được gọi là bài toán điều khiển

thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation)

Để tiện cho việc phân tích tính ổn định ISS cũng như thực hiện bài toán điều khiển

thích nghi kháng nhiễu, người ta đã đưa ra khái niệm ISS nêu trên thành một công thức

mô tả như sau:

Định nghĩa 1.1: Xét hệ (1.24) có tác động nhiễu d(t) với mô hình trạng thái không bị kích

thích (1.25), trong đó vector nhiễu d(t) được giả thiết là bị chặn:

|sup

t

d(t) | =║d║∞ < ∞

Nếu tồn tại một hàm γ(z), z≥0 thuộc lớp Κ (không âm và đơn điệu tăng) và một hàm

β(z,t), z,t ≥0 thuộc lớp ΚΛ (thuộc lớp Κ theo biến z và đơn điệu giảm, tiến về 0 theo

biến t), thỏa mãn:

|x(t,d)| ≤ β(|x0|,t)+γ(║d║∞), ∀t≥0 (1.27) thì hệ (1.25) đ−ợc gọi là ổn định ISS và mọi quỹ đạo trạng thái x(t,d) sẽ tiến về lân

cận ∆ của gốc tọa độ 0 xác định bởi (gọi là miền attractor):

Định lý 1.3: Cho hệ (1.25) Nếu có hai hàm γ1,γ2 thuộc lớp Κ∞ (thuộc lớp Κ và tiến tới ∞)

và hai hàm γ3,ρ thuộc lớp Κ cũng nh− một hàm trơn V(x) thỏa mãn:

Hàm V(x) khi đó đ−ợc gọi là hàm ISS−Lyapunov

Ví dụ 1.5: Khái niệm ổn định ISS

Xét hệ có nhiễu tác động với mô hình không bị kích thích:

dx

dt =

1 2 2

x − 2 2

x +1 4

Vậy hệ là ổn định ISS với miền hấp dẫn ∆:

∆ ={x∈R2⏐ 2

1

x + x22≤1

Từ định lý trên, ta còn suy ra được một số các hệ quả của nó được phát biểu chung

c) Tồn tại hàm V(x) khả vi, xác định dương và hợp thức thỏa mãn (gọi là dạng tiêu

tán của điều kiện ổn định ISS):

Cuối cùng, tương tự như hàm CLF, từ khái niệm ổn định ISS ta cũng có hàm điều

khiển ISSưLyapunov định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2: Một hàm V(x) khả vi, xác định dương, hợp thức sẽ được gọi là hàm điều

khiển ISSưLyapunov (viết tắt thành ISS ưCLF) cho đối tượng có nhiễu d(t) mô tả bởi

(1.24), nếu như tồn tại ít nhất một bộ điều khiển phản hồi trạng thái u(x) sao cho

V(x) là hàm ISSưLyapunov của hệ kín, tức là có:

V x

∂

trong đó ρ,γ∈Κ và ║ρ║∞> ║γ║∞

1.2.2 Điều khiển nén miền hấp dẫn (damping)

Như đã nói, nhiệm vụ của bài toán điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance

attenuation) là thiết kế bộ điều khiển (phản hồi trạng thái) cho đối tượng có nhiễu d(t) để

với nó hệ kín là ổn định ISS và có miền hấp dẫn ∆ càng nhỏ càng tốt

Trong mục này, ta sẽ xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho lớp các đối tượng có

nhiễu d(t) tác động ở đầu vào với mô hình trạng thái dạng chung như sau:

trong đó thành phần bất định d(t) đ−ợc giả thiết là có chuẩn ║d║∞ hữu hạn Nhiệm vụ

đặt ra là phải thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u=r(x) sao cho hệ kín (bao gồm

đối t−ợng và bộ điều khiển) là ổn định ISS

∞) = ρ2ư1(

2

4

d k

∞) =2

d k

2

d k

∞ } π

Ví dụ 1.7: Điều khiển nén miền hấp dẫn

Xét đối tượng có nhiễu tác động ở đầu vào với mô hình:

dx

dt =

1 1 2 2 1

( )

x x x x

h x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ (u+d), (ϕ(x)=1, ║d║∞=1) +

Ta có thể thấy ngay đối tượng tương ứng khi không bị nhiễu tác động:

dx

dt =

1 1 2 2 1

có hàm điều khiển Lyapunov V(x)=1( 12 22

2 x +x ) vì khi sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

x ư 2 2

x +x2(x2+v) < 0, ∀x≠0

Từ đây suy ra, đối tượng có nhiễu tác động đã cho được điều khiển ổn định ISS bằng

bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

1.2.3 Thiết kế cuốn chiếu hàm ISSưCLF (disturbance backstepping)

Bây giờ ta xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho đối tượng có nhiễu tác động với

dx

f x x G x dt

Bài toán thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển thích nghi kháng nhiễu được đặt ra ở đây

là từ hàm ISSưCLF V1(x nư 1) cũng như bộ điều khiển ổn định ISS x n =v(x nư 1) của đối tượng con:

1

n dx

dt

được giả thiết là đã biết, ta phải xác định hàm ISSưCLF V(x) và bộ điều khiển ổn định

ISS u(x) cho đối tượng cascade truyền ngược (1.34)

Định lý 1.6: Nếu đối tượng con (1.35) có hàm ISSưCLF V1(x nư 1) và bộ điều khiển ổn định

ISS tương ứng x n =v(x nư 1) khả vi, thỏa mãn v(0)=0, thì hàm xác định dương V(x),

được xây dựng theo (1.17) cho trong định lý 1.2, cũng sẽ là một hàm ISSưCLF của đối tượng truyền ngược (1.34), đồng thời bộ điều khiển:

là một bộ điều khiển ổn định ISS tương ứng của nó

Ngoài ra, luôn tồn tại ít nhất một bộ điều khiển ổn định ISS liên tục Hơn nữa, nếu hàm V(x) còn có tính SCP thì sẽ còn có u(0)=0

Ví dụ 1.8: Thiết kế bộ điều khiển ổn định ISS

x x

trong đó d1(t), d2(t) là các tín hiệu nhiễu

Trước tiên, từ ví dụ 1.6 ta đã biết đối tượng con của nó là:

1

dx

dt =

2 1

x +sin(x1)d1+x2

có hàm ISSưCLF:

V1(x1) =

2 1

trong đó hằng số k>0 là tùy ý Với k đ−ợc chọn càng lớn, miền hấp dẫn ∆1 thu đ−ợc sẽ càng nhỏ

áp dụng định lý 1.6 với G(x1)=sin(x1), ( )ξ x =x12+x22, ta đ−ợc bộ điều khiển ổn định ISS cho đối t−ợng đã cho:

x +x1+x2+kx1sin2x1)[2x1+1+ksin2x1+kx1sin(2x1)],

Ngoài ra, ta còn có thể dễ dàng nhận thấy bộ điều khiển liên tục u(x) tìm được là thỏa mãn thêm u(0)=0 π

1.2.4 Điều khiển ổn định ISS kháng nhiễu hệ thống

Tiếp theo, sau đây ta sẽ xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho lớp các đối tượng

có nhiễu d(t) tác động trực tiếp bên trong với mô hình trạng thái:

dx

trong đó G(x) là ma trận kiểu n ìr (n hàng, r cột) và H(x) là ma trận kiểu nìm, với n là

số biến trạng thái (x∈Rn ), r là số các tín hiệu nhiễu (d∈Rr ) và m là số các tín hiệu đầu vào (u∈Rm)

Sau đây ta sẽ ký hiệu các vector hàng của G(x) là g x ,1( ) g x , 2( ) K ,g x và của r( )

H(x) là h1(x), h2(x), K , h m (x) Nhiệm vụ của bài toán điều khiển kháng nhiễu là phải thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u=r(x) cho đối tượng (1.36) sao cho cùng với nó, hệ kín trở thành ổn định ISS theo d(t) và có miền hấp dẫn ∆ càng nhỏ càng tốt

Sự tồn tại của lời giải cho bài toán này đã được chứng minh trong các tài liệu của Praly hay Sontag Tuy nhiên các tài liệu đó lại không chỉ ra được một phương pháp cụ thể nào để xác định bộ điều khiển Định lý sau đây là một đóng góp của đề tài bù đắp sự khiếm khuyết đó Để chỉ ra được bộ điều khiển cụ thể (1.38), (1.39), định lý đã đưa thêm vào điều kiện (1.37) Điều kiện này có thể làm hẹp miền đối tượng thích ứng cho định lý, song lại giải quyết được triệt để bài toán là chỉ ra được một bộ điều khiển cụ thể và một miền hấp dẫn tương ứng với nó

Định lý 1.7: Giả sử V(x) là hàm CLF của đối tượng

b) Luôn tồn tại bộ điều khiển ổn định ISS u(x) theo cấu trúc (1.38) có tính liên tục

Chứng minh: Xem trong báo cáo kết quả [28] của đề tài ở phần 4

Ví dụ 1.9: Thiết kế bộ điều khiển ổn định ISS với đối t−ợng có nhiễu hệ thống

Cho đối t−ợng có nhiễu, mô tả bởi:

dx

dt =

1 2 2( )

x x x

và bộ điều khiển ổn định tiệm cận toàn cục:

2 2

( ) khi 4

Có thể thấy nếu chọn k=1 và

η(x) =

4 14

x

+

2 22

x

ta sẽ đ−ợc một bộ điều khiển liên tục và tại 0 có u(0)=0:

Thực ra phép tính đạo hàm L v x của v(x) đã được biết đến từ tiêu chuẩn f ( )

Lyapunov Nó đo sự thay đổi giá trị của v(x) dọc theo x(t) là nghiệm của (1.41)

Hàm L v x cũng là hàm vô hướng giống như v(x) và có các tính chất sau: f ( )

1) Cho một vector hàm ( )f x và hai hàm vô hướng v(x), w(x) Khi đó sẽ có

Cho hai vector hàm ( )f x và ( ) g x Phép nhân Lie của chúng được hiểu là:

∂

Song song cùng với ký hiệu [ f , g], mà người ta vẫn gọi là ngoặc vuông Lie (Lie bracket),

phép nhân Lie định nghĩa như trên thường còn được viết thành:

[ f , g] = ad g f

Như vậy kết quả của phép nhân Lie của hai vector hàm ( )f x và ( ) g x lại là một

vector hàm Nó đo tốc độ thay đổi của vector ( )g x dọc theo quỹ đạo trạng thái tự do x (t)

của hệ (1.41) Phép tính nhân Lie có những tính chất sau:

1) Cho hai vector hàm ( )f x , ( ) g x và một số nguyên k Vậy thì:

[ f , g] = ư[ g , f] (tính phản đối xứng)

k f

6) Nếu hai vector ( )f x , ( ) g x tiếp tuyến với một đa tạp thì [ f , g](x )= ad g x cũng là f ( )

một vector tiếp tuyến với đa tạp đó

Tiêu chuẩn Frobenius

Dưới khái niệm hàm mở rộng của hình học vi phân người ta hiểu một ánh xạ ∆ gán mỗi phần tử x của không gian vector n chiều Rn thành một không gian vector con ∆(x)

với d chiều (d≤n) trong Rn:

∆: x a ∆(x)

Vì là một không gian vector có số chiều bằng d nên trong ∆(x) phải tồn tại d vector

v1(x ), v2(x ), K , v d (x ) độc lập tuyến tính sao cho ∆(x) là tập hợp của tất cả các vector

v(x ) dạng tổ hợp tuyến tính của chúng, tức là

v(x )=

1( )

n

i i i

Hàm mở rộng ∆(x) có số chiều d với bộ cơ sở v1(x ), v2(x ), K , v d (x ) trong lân cận

x, được gọi là xoắn (involutive) nếu tích Lie của hai phần tử bất kỳ thuộc ∆(x) cũng thuộc

∆(x) Nói cách khác, từ h1(x ) và h2(x ) là hai phần tử bất kỳ thuộc ∆(x) thì cũng sẽ có

[h1(x ),h2(x )]∈∆(x) Như vậy, khi x cố định thì hàm mở rộng xoắn là một đại số Lie

Có thể thấy, cần và đủ để:

∆(x)= span(v1(x ), v2(x ), K , v d (x ))

là hàm mở rộng xoắn là:

[v i (x ),v j (x )]∈∆(x) với mọi 1≤ i,j≤ d

Mọi hàm mở rộng ∆(x)= span(v(x )) có số chiều bằng 1 là xoắn, vì:

[v(x ),v(x )]=0∈∆(x)

Cho hàm mở rộng ∆(x) có số chiều bằng d Hàm mở rộng trực giao, ký hiệu bởi

∆⊥(x ), được hiểu là không gian vector con gồm các phần tử w T (x ) là vector hàng thỏa

w + x v i (x )=0 với mọi 1≤ k≤ nư d và 1≤ i≤ d

Xét một hàm mở rộng ∆(x)⊆Rn có số chiều bằng d Nếu tồn tại n ưd hàm vô hướng

thì ∆(x) gọi là tích phân được hoàn toàn Theo Frobenius, cần và đủ để ∆(x) tích phân

được hoàn toàn là nó phải xoắn

m n n

Khi đó, bậc tương đối được hiểu là hiệu r=(n ưm)≥1

Giả sử rằng đối tượng trên, bên cạnh hàm truyền đạt (1.44) còn có mô hình tương

đương trong không gian trạng thái:

T

dx

Ax bu dt

∞ + ư

Hơn nữa:

1lim k r

s→∞s + ư = 0 khi k > rư1

nên chuỗi trên trở thành tổng của hữu hạn r phần tử đầu tiên:

1 1 0

ư + ư

1 1 0

ư + ư

Nói cách khác, bậc tương đối r=nưm còn có thể được xác định trực tiếp từ mô hình trạng

thái (1.45) của hệ theo công thức (1.46)

Chuyển sang hệ phi tuyến và với sự gợi ý của công thức tính (1.46), khái niệm bậc

tương đối của hệ SISO có mô hình affine theo tín hiệu vào u:

( ) ( )

( )

dx

f x h x u dt

thái khác nhau Ngoài ra, khác với hệ tuyến tính, không phải ở bất cứ một điểm trạng

thái x nào trong không gian trạng thái, hệ (1.47) cũng có bậc tương đối Chẳng hạn, hệ sẽ không có bậc tương đối tại điểm trạng thái x0 mà trong lân cận của nó có:

( )

h

L g x ≠0, L L g x h f ( )≠0, L ,L L g x h k f ( )≠0, L

song lại có:

( )

h

L g x =L L g x h f ( 0)= L =L L g x h k f ( 0)= L =0

Trong quá trình sử dụng công thức (1.48) để xác định bậc tương đối, ta có tính chất

hữu ích sau của nó:

Cho hai vector hàm ( ) f x , h(x) và một hàm vô hướng g(x) Vậy thì hai phát biểu sau

1.3.3 Dạng mô hình chuẩn (normal form)

Xét hệ phi tuyến SISO dạng affine theo tín hiệu vào u với mô hình (1.47) Gọi r là

bậc tương đối của nó tại x Như vậy,sẽ có:

d y

dt =

f

L g x

r r

Lư g x

r r

d y

dt = ( )

r f

1) m k (x) = L k fư1g x( ) với k=1,2, K , r

2) nưr hàm còn lại m k (x ), k=r+1, K ,n được chọn sao cho z=m(x) trở thành một vi

phôi trong lân cận x (diffeomorphism) Những hàm như vậy luôn tồn tại, thậm chí,

người ta bao giờ cũng còn tìm được n ưr hàm m k (x ) có L m x =0, k=r+1, h k( ) K ,n để

L g x

L g x + L L h r fư1g x( )u= ( 1( ))

( )

r f

( ( ))( )

n

z

z z z

z z

=

2

1

( ) ( )( )