Chuyên đề hệ thức vi ét nguồn của ngoc hùng game

Ch-ơng II: Ph-ơng pháp giải toán cực trị Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết ph-ơ

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  M với M là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m

II Các kiến thức th-ờng dùng

Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),…Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP

1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB

Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A

và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định

x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0)

2) Cho P = 1

A với A  0 thì maxP = 1

min A

3) a) P(x,y) = [Q(x,y)]2n + a  a với a là hằng số, n  N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc D b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b  b với b là hằng số, n  N*

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộc D

7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b  a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0

8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai

f x( ) ax2 bx c (a  0)

Khi đó:

Nếu   0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,   x R

Nếu   0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,   x R,

2

b x a



Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm

Ch-ơng II: Ph-ơng pháp giải toán cực trị

Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết ph-ơng pháp giải và kinh nghiệm Nó đòi hỏi ng-ời làm toán phải nhìn bài toán theo những góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống

Sau đây, tác giả xin đ-ợc đ-a ra một số ph-ơng pháp giải toán cực trị đ-ợc đúc rút từ kinh nghiệm giải toán :

7 Ph-ơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn

8 Ph-ơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện

I.Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3)  0

Lập bảng xét dấu:

x 1

2

3 2

Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 +

c 2 0).Giá trị đó đạt đ-ợc khi nào?

y a

aP



 ; y = 2 2 2

c b a

bP



 ; z = 2 2 2

c b a

a )( )

Khi nào đạt giá trị đó?

Giải: Biểu thức có dạng:

x

ab x

x x b a ab x

x b x

Khi đó: ( )( ) a b 2 ab ( a b)2

x

x b x

2

) 3 (

Giải:

) ( 4

1

b a

ab  , nên ta có:

40

1 4

1 4

1 5

2 ) 5 3 ( 2

5 5 4

1 5

2 ) 5 3 )(

2

5 5 ( 5

2 ) 5 3 )(

3 4

1 1

1 3 3 3

1 ) 1 )(

1 )(

1 )(

3 3

1 2



x x

Vậy f(x) lớn nhất là

2 2

x

Ta có:

27

1 ) ( 27

) 2 ( 3

x x f

VËy f(x) d-¬ng bÐ nhÊt lµ 2 6 khi

11

1

(   x  y  z  x  y z

 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)(xy yz zx x

z y z y

,16

,,

x x

 vµ

1 x x

III Ph-ơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới

Khi đó xy = 2 , x + y = 10 nên x và y là nghiệm của ph-ơng trình

, 3 – x ta ®-îc:

3 3

3 hoÆc a = 3 th× nghiÖm cña (2) lµ :

1 1

KÕt hîp c¶ hai tr-êng hîp (1) vµ (2), ta cã:

MinA = 1 khi vµ chØ khi x = -2

MaxA = 6 khi vµ chØ khi x = 1

1

t t t

Maxd = 5 Maxc = 6 và đạt đ-ợc khi

Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN của A

Nghiệm của bất ph-ơng trình (2) là a1  a  a2

Trong đó a1, a2 là các nghiệm của ph-ơng trình:

VI Ph-ơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức

Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x) Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực Ta đ-a thêm tham biến t để xét biểu thức

   

f x Q x t Nếu f x  0 hoặc f x  0với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị t 0 để f x  0 thì t 0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x)

c = 0 (g(x) = 0)

NÕu a > 0 th× g x( )  0 víi mäi x khi   0vµ g(x) = 0 khi vµ chØ khi   0

NÕu a < 0 th× g x  0 víi mäi x khi   0vµ g(x) = 0 khi vµ chØ khi   0

ux v t x x

VII.ph-ơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn

Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn th-ờng gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi Với cơ sở lý thuyết

đã đ-ợc cung cấp ở ch-ơng I, tác giả xin đ-a ra một số ví dụ minh hoạ

   víi ®iÒu kiÖn x 1,y 2,z 3

¸p dông bÊt d¼ng thøc C«-si ta cã:

Cách 3:

Sắp thứ tự giá trị các biến (theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng nh- nhau)

và so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng

x= s – (y + z) < s – (a + b) < a + 2b – (a + b) = b

áp dụng cách giải 3 với x b y ta có

thoả mãn điều kiện x + y + z = 3

ch-ơng III Một số sai lầm khi giải toán cực trị

Một trong những ph-ơng pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng thức quen thuộc Nh-ng cũng chính ph-ơng pháp này lại dễ gây ra những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó

Bài toán 1 Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z d-ơng

Tìm GTLN của

S = xyz x yyzzx

Có bạn đã giải nh- sau:

Nhắc lại định nghĩa maxf(x,y,…) và minf(x,y,…)

1.Định nghĩa1:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) hay maxf = M trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  M với M là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M

2 Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  m với m là hằng số

- Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = m

Một số chú ý:

1) Nếu không chỉ ra đ-ợc bộ giá trị (x0, y0 ,…) để f(x0, y0 ,…) = M thì không khẳng định đ-ợc maxf = M, mặc dù có f(x,y,…)  M với mọi (x, y,…) thuộc D Khi đó ta phải tìm một cách giải khác

2) Bội giá trị (x0, y0 ,…) để f(x0, y0 ,…) = M thường được tìm bằng cách áp dụng điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đã dùng Chẳng hạn:

a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:

b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky

(ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b  a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0

3) Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện

xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm

4) Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng số

Thật vậy, xét bài toán sau đây:

Bài toán 2 Cho x,y,z  0 Tìm GTLN của

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi

f x y z g x y z víi mäi x, y, z thuéc D vµ f x y z , , g x y z 0 , 0 , 0= A

x y z0 , 0 , 0D th× f x y z( , , ) A víi mäi x, y, z thuéc D "

2 min

Vậy GTLN của D không tồn tại

Tôi rất băn khoăn về lời giải này vì đã tìm ra một kết quả khác???

3.Tại sao lại thế?

Chuyên đề 2: Định lí vi – ét và ứng dụng

Nhà toán học Pháp lỗi lạc Francois Viète sinh năm 1540 và mất năm 1603 Ông

là một luật s- danh tiếng và là cố vấn cao cấp của nhà vua Pháp trong nhiều năm Công việc của triều đình Pháp rất bận rộn và chiếm hầu hết thì giờ của ông Tuy nhiên, đối với ông , nghiên cứu Toán học trong những lúc rảnh rỗi là một sở thích, một sự giải trí Ông có nhiều phát minh trong đại số và l-ợng giác Ông là một trong những ng-ời đầu tiên đã sử dụng kí hiệu chữ để chỉ các ẩn số và hệ số của ph-ơng trình

Các bạn học sinh lớp 9 đã quen biết với một trong những phát minh của ông

Đó là định lí Vi- ét cho ph-ơng trình bậc hai

1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

2 Tính giá trị cuả các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

4 Xét dấu các nghiệm

5 Tìm điều kiện tham số để các nghiệm của ph-ơng trình thoả mãn điều kiện K

6 Giải một số bài toán hàm số

Bài toán 1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

I ph-ơng pháp

Sử dụng định lí Viét đảo:

Nếu u và v là hai số có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai X2 – SX + P = 0 (1)

II Ví dụ minh họa

VD1: Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 6m và diện tích bằng

Bài toán 2 Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

I ph-ơng pháp

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0

là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2

Ta có thể biểu thị đ-ợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S

a) CMR víi mäi m > 1 ph-¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc m Gi¶i:

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc m

Bµi to¸n 4 xÐt dÊu c¸c nghiÖm

P S

P S

1 Cũng từ đây, chúng ta thiết lập đ-ợc điều kiện để ph-ơng trình có các

nghiệm liên quan tới dấu

2 Nếu bài toán yêu cầu “ Xét dấu các nghiệm củaphương trình tuỳ theo giá trị của tham số ”, chúng ta sử dụng bảng sau:

II Ví dụ minh họa

VD1: Tuỳ theo m hãy xét dấu các nghiệm của ph-ơng trình:

+ +

-

0 +

+

0

-

+ +

Ph-ơng trình vô nghiệm

Ph-ơng trình có nghiệm kép x= -2 < 0 Ph-ơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1< x2< 0 Ph-ơng trình có một nghiệm x = -1/2 < 0 Ph-ơng trình có hai nghiệm x1 < 0 < x2 và x2  x1

Ph-ơng trình có hai nghiệm thoả mãn 0 = x1< x2 Ph-ơng trình có hai nghiệm thoả mãn 0 < x1< x2

VD2: Cho ph-ơng trình: 2  

x  m x m  

Xác định m để ph-ơng trình:

a) Có hai nghiệm d-ơng phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

Vậy với 0 < m < 1 ph-ơng trình có hai nghiệm d-ơng phân biệt

b) Ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2

VËy víi m = 1 hoÆc 1

2 0

0

1

m

m m

0 0

2 3

0

0 2

m m f

b

m a

Xác định m để ph-ơng trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm âm phân biệt

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm d-ơng

c) Có hai nghiệm cùng dấu

Bài toán 5 Tìm điều kiện tham số để các nghiệm của ph-ơng trình thoả

mãn điều kiện k

I ph-ơng pháp

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

'

0 0

II Ví dụ minh họa

x x

m m

m m

b a c ac  abc là điều kiện cần và đủ

để ph-ơng trình có một nghiệm bằng bình ph-ơng của nghiệm còn lại Giải:

Theo giả thiết, ta đ-ợc:

a) Cã mét nghiÖm

b) Cã hai nghiÖm ph©n biÖt T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm

kh«ng phô thuéc vµo m

a) Ph-ơng trình có hai nghiệm

b) Tổng bình ph-ơng các nghiệm của ph-ơng trình bằng 2

c) Ph-ơng trình có hai nghiệm bằng nhau về trị tuyệt đối

d) Ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2  1

Bài 3 Cho ph-ơng trình:  2  

m x  m x m   Xác định m để:

a) Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

II VÝ dô minh häa

Giả sử ph-ơng trình tiếp tuyến với  P tại A là  d :yax b

Ph-ơng trình hoành độ giao điểm của  d và  P là:

b) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với  P tại A

c) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với  P tại B

Bài 2 Cho Parabol  P có ph-ơng trình:  2

P y  x x Gọi A và B là hai điểm thuộc Parabol  P có hoành độ lần l-ợt là -2 và 5 a) Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB

b) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với  P tại A

c) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với  P tại B

x x x x x x

a d

x x x x x x x x x x x x

a e

B-ớc 2: Lựa chon một trong hai h-ớng:

H-ớng 1: Nếu ph-ơng trình không chứa tham số, biến đổi ph-ơng

trình về dạng xx0  g x   0 các nghiệm H-ớng 2: nếu ph-ơng trình chứa tham số, thay xx0 vào ph-ơng

x x

2 Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Ta thực hiện các b-ớc:

B-ớc 1: Thiết lập hệ thức Viét giữa các nghiệm của ph-ơng trình (I)

B-ớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)

Chú ý: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của ph-ơng trình là biểu thức có

giá trị không thay đổi khi ta hoán vị các nghiệm

4

x x x  x  x x  x x x x x x 

3 Tìm tham số để ph-ơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K

Bài toán th-ờng đ-ợc giải bằng ph-ơng pháp điều kiện cần và đủ Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

đ-ợc hệ thức Viét giữa các nghiệm (I)

VD: Xác định m để ph-ơng trình : 3 2

x  mx  x m 

Có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3, thỏa mãn 2 2 2

a

  Khi đó:

2 2

 x x x1, 2, 3 lập thành cấp số cộng

Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng là

2b  9abc 27a d 0

Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định

bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của ph-ơng trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định

bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của ph-ơng trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

2

x x x x m m

VËy kh«ng tån t¹i m tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi

1& 1& 2 1

1& 2 & 1 2

Phần kết

Trong một thời gian không dài, với nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô, bạn bè, bản thân tôi cơ bản đã xây dựng đ-ợc đề tài “ph-ơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số - định lí Viét

Mặc dù đã cố gắng hết sức song đây là lần đầu tiên tôi nghiên cứu

đề tài, kinh nghiệm giảng dạy của bản thân ch-a có nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để đề tài đ-ợc hoàn chỉnh hơn

Dạy học là một nghệ thuật, đòi hỏi ng-ời giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, mang đến cho các em niềm say mê Toán học, tạo cho các em có thói quen t- duy và khả năng lập luận Bây giờ tôi đang ngồi trên giảng đ-ờng Đại học nh-ng ngày tôi

đứng trên bục giảng không còn xa xăm, -ớc mơ trở thành ng-ời giáo viên sắp trở thành hiện thực

Qua đây, cho phép tôi gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, các bạn cùng lớp đặc biệt là thầy giáo.Ths.NCS Nguyễn Quang Hoè đã trực tiếp h-ớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đồng Hới, ngày 13 tháng 12 năm 2008

Nhận xét, đánh giá: Sinh viên thực hiện

Lê Thị Mai

Một số tài liệu tham khảo

1 Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ NXB Giáo dục Năm

4 Nâng cao và phát triển Toán 9 Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm 2006

5 Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10 Huỳnh Quang Lâu.NXB Đại Học S- Phạm Năm 2008

6 Tuyển chọn các đề Toán thi vào lớp 10 Nguyễn Thuý Mùi.NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Năm 2008

7 Tài liệu hội thảo bồi d-ỡng học sinh giỏi môn Toán cấp THCS của Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Bình năm 2005

8 Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán Hoàng Kỳ Hoàng Thanh

Hà NXB Đại họ s- phạm Năm 2005

Mục lục Phần Mở Đầu Error! Bookmark not defined Phần Nội Dung Error! Bookmark not defined

Chuyên đề 1: Ph-ơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số 1

Ch-ơng I: Cơ sở lý thuyết 1

I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1

II Các kiến thức th-ờng dùng 1

Ch-ơng II: Ph-ơng pháp giải toán cực trị 2

I Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị 2

II Ph-ơng pháp xét biểu thức phụ 6

III.Ph-ơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới 9

IV.Ph-ơng pháp chia khoảng để tìm cực trị 10

V Ph-ơng pháp dùng tam thức bậc hai 11

VI.Ph-ơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức 16

VII.Ph-ơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn 19

VIII.Ph-ơng pháp giải toán cực trị đại số với các biến có điều kiện 21

Ch-ơng III Một số sai lầm khi giải toán cực trị 24

Chuyên đề 2: Định lí Vi – ét và ứng dụng 31

Bài toán 1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 32

Bài toán 2 Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 34

Bài toán 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số 36

Bài toán 4 Xét dấu các nghiệm 37

Bài toán 5 Tìm điều kiện tham số để các nghiệm của ph-ơng trình thoả mãn điều kiện K 41

Bài toán 6 Giải một số bài toán hàm số 44

Bài toán 7 Định lí Viét cho ph-ơng trình bậc ba bậc bốn và các ứng dụng 46

Phần Kết 545

Một số tài liệu tham khảo 55