cac tinh chat hinh hoc phang thuan tuy hay dung _nguyên thanh tung

Điều đó sẽ giúp chúng ta có những dự đoán đúng về tính chất đặc biệt trong bài toán song song, vuông góc, hai đoạn thẳng bằng nhau, phân giác, tứ giác nội tiếp, tứ giác là hình bình hàn

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

A Các kĩ năng cần thiết

Trong rất nhiều bài toán hình học tọa độ phẳng Oxy, đôi khi “mẫu chốt” của bài toán lại nằm ở việc phát

hiện và chứng minh được một tính chất đặc biệt nào đó liên quan tới hình học phẳng thuần túy Do đó để làm tốt

được những bài toán như thế, các bạn cần trang bị cho mình hai kĩ năng sau:

 Kĩ năng 1: Vẽ hình chính xác Điều đó sẽ giúp chúng ta có những dự đoán đúng về tính chất đặc biệt

trong bài toán (song song, vuông góc, hai đoạn thẳng bằng nhau, phân giác, tứ giác nội tiếp, tứ giác là

hình bình hành, chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hai góc bù nhau…)

 Kĩ năng 2: Chứng minh được dự đoán Dùng kiến thức hình học phẳng thuần túy (hình học cấp 2, hệ

thức vecto…) để chỉ ra dự đoán của mình là chính xác

chính xác các tính chất đặc biệt, thì việc chứng minh thường đơn giản (bởi nếu khó thì bài toán mang “nặng”

tính thuần túy mà mất đi tính tọa độ Oxy trong đó ) Vì vậy một lời khuyên, trong quá trình ôn tập các bạn

không nên xa đà vào các tính chất quá khó (các bạn cũng thấy rõ được điều này qua đề thì các năm trước đây)

B Khai thác các tính chất hình học phẳng thuần túy hay dùng

 Chùm tính chất 1 : Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm I Gọi M N K, , lần

lượt là trung điểm của BC AC AH, , và D E F, , lần lượt là chân đường cao ứng với các đỉnh A B C, ,

Chứng minh rằng:

1) AH 2IM Từ đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG2GI với G là trọng tâm tam giác ABC

2) IAEF và MKEF (tính chất chặt hơn MK là trung trực của EF)

3) D là trung điểm của HR với R là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn tâm I

4) E K D M N, , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính MK Từ đó hãy suy ra đường tròn đi qua 9 điểm

(trung điểm của các cạnh, chân các đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh của

tam giác)

5) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

6) Gọi V L, lần lượt đối xứng với I qua các đường thẳng AB AC, Chứng minh rằng VL // BC

Từ đó hãy suy ra V K L, , thẳng hàng

CHỨNG MINH

x

G

1

2 1

R

K

J

H

N

M

I F

E

B

A

CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY HAY DÙNG

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

1) AH2IM Từ đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG2GI với G là trọng tâm tam giác ABC

Cách 1 : Ta có HAB IMN và HBAINM (góc có cạnh tương ứng song song)

IM  IN  MN  HA2IMAH 2IM

Cách 2 : Gọi J là giao điểm thứ hai của AI và đường tròn tâm I , khi đó :

JC AC BH AC JC BH

JBHC

JB AB CH AB JB CH

Khi đó IM là đường trung bình của tam giác AHJ , suy ra / /

2

AH IM

AH IM





(1)

Do K là trung điểm AH nên AH 2AK (2)

Từ (1) và (2), suy ra  IM AK  MIAK là hình bình hành

'

GI  IM     

2) IAEF và MKEF

Suy ra ABCAEF ( cùng bù với FEC ) (1)

Gọi J là giao điểm thứ hai của AI với đường tròn tâm I , khi đó:  ABC AJC (cùng chắn cung AC ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  AEF  AJC

90

90

AEFJAC IAEF

Cách 2: Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ( )I , khi đó: Ax AI (*)

Ta có: xABACB (cùng chẵn AB ) và  ACBAFE (cùng bù với góc BFE )

Suy ra xAB AFEAx/ /EF (2*)

Từ (*) và (2*), suy ra IAEF

Theo ý 1), ta có MIAK là hình bình hành , suy ra MK/ /IA , suy ra MKEF

Chú ý: Ta có thể chỉ ra tính chất chặt hơn khi MK là trung trực của EF Cụ thể:

2

2

AH

KE KF

BC

ME MF





MK là trung trực của EF

3) D là trung điểm của HR với R là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn tâm I

2 1

B  A (cùng chắn cung RC ) và  

1 1

B  A (cùng phụ với góc ACB )

2 1

B B  BHR cân tại B D là trung điểm của HR (đpcm)

4) E K D M N, , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính MK Từ đó hãy suy ra đường tròn đi qua 9 điểm (trung điểm của các cạnh, chân các đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh của tam giác)



GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

+) Ta có MN KN, lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC AHC, , suy ra: MN // AB và KN // CH

90

+) Ta có EK EM, lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác vuông EBA , EBC

1 1

3 1

1 1

A B (vì cùng phụ với góc ACB ), suy ra  

1 3

E E

3 2 1 2 90

90

90

Từ (1), (2), (3), suy ra E K D M N, , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính MK (*)

Chứng minh tương tự ta có: K T F D M, , , , cùng nằm trên đường tròn (2*) ;

Q T F N E, , , , cùng nằm trên đường tròn (3*) và P E N T F, , , , cùng nằm trên đường tròn (4*)

Từ (*), (2*), (3*) và (4*) suy ra K N E Q M D P F T, , , , , , , , cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

thể có nhiều cách “thiết kế” 1 bài toán hay mà ở đó có sự tham gia của 4 điểm bất kì, trong đó sẽ “che dấu” đi

1 trong 4 điểm đó

5) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Cách 1 :

Q P

T

F

1

1

3 2 1

K

D

H

E N

B

A

2

F

B

A

2

E H

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

1 1

2 2

C D

B D

 







1 2

C B (cùng phụ với góc BAC )

1 2

D D hay DH là phân giác của góc EDF (1)

1 2

D D hay EH là phân giác của góc DEF (2)

Từ (1) và (2), suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Cách 2 :

Do ABDE và AFDC là các tứ giác nội tiếp đường tròn nên

CDE BAE BAC

CDE BDF BDF CAF BAC





1 2

D D hay EH là phân giác của góc DEF (2)

Từ (1) và (2), suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

6) Gọi V L, lần lượt đối xứng với I qua các đường thẳng AB AC, Chứng minh rằng VL // BC

Từ đó hãy suy ra V K L, , thẳng hàng.

Do V L, đối xứng với tâm I qua AB AC, nên ta có AVBI ALCI, đều là các hình thoi

Khi đó VLCB là hình bình hành (do VB LC, cùng song song và bằng AI)

Suy ra VL // BC

Gọi K' là hình hình chiếu vuông góc của A trên VL AK'//IM (1)

Ta có AVL IBC (c – c – c )AK'IM (2)

Từ (1) và (2), suy ra  AK'IM (*)

Mặt khác theo tính chất 1) ta có:  AKIM (2*)

Từ (*) và (2*), suy ra K'K hay V K L, , thẳng hàng

CDHE

M

L V

C B

K A

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

 Chùm tính chất 2 : Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm I và ngoại tiếp đường

tròn tâm J Gọi D E F, , lần lượt là chân đường cao ứng với các đỉnh A B C, , và K là giao điểm của

AJ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1) Chứng minh BADIAC , từ đó suy ra AJ là tia phân giác của góc  HAI (hình 1)

2) Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường thẳng AJ cắt BC lần lượt tại M và N

a) Chứng minh tam giác MAN cân tại M

b) Gọi P Q, lần lượt đối xứng với D qua AB AC, Chứng minh P Q E F, , , thẳng hàng

Từ đó hãy suy ra PQ//AM

3) Gọi T đối xứng I qua BC Chứng minh T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

4) Chứng minh rằng: a) K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ Từ đó hãy suy ra K là trung điểm của

JL với L là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A của tam giác ABC

b) BK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN (hình 2)

5) Gọi X đối xứng với B qua I và Z là giao điểm của XK và AC ; S là giao điểm của BX và AK

Chứng minh SZ XC

6) Gọi Y đối xứng với K qua I và BJ CJ, lần lượt cắt AY tại V R, Chứng minh BCVR nội tiếp đường tròn

7) Gọi G O U W, , , lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên BA BE CF CA, , , Chứng minh G O U W, , ,

thẳng hàng (hình 3)

CHỨNG MINH

Hình 1

4 3 1

L

H

Q

P

K T

N M

F

E

B

A

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

1) Chứng minh BADIAC , từ đó suy ra AJ là tia phân giác của góc  HAI

Mặt khác,  BAJ CAJBAJ   BADCAJ IACHAJ IAJ , suy ra AJ là tia phân giác của góc  HAI

Chú ý: Ta có thể chứng minh AJ là tia phân giác của góc  HAI theo cách suy luận sau:

+) Mà IKAIAK, suy ra HAKIAK hay HAJ IAJ , suy ra AJ là tia phân giác của góc  HAI

2) a) Chứng minh tam giác MAN cân tại M

Ta có MNA  NCA CAN (tính chất góc ngoài tam giác)

Mà  NCABAM (cùng chắn cung AB ) và  CANBAN ( AN là phân giác)

Suy ra MNA   BAMBANMAN MAN cân tại M

b) Chứng minh P Q E F, , , thẳng hàng Từ đó hãy suy ra PQ // AM

+) Ta có BEFC là tứ giác nội tiếp nên F1ACB (cùng bù với BFE ) (1)

4

F ACDACB (cùng bù với AFD ) (2)

Mặt khác, P đối xứng với D qua AB nên ta có  

4 3

F F (3)

F F F BFE F BFE  B F E, , thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được Q E F, , thẳng hàng, suy ra P Q E F, , , thẳng hàng

+) Theo chùm tính chất 1, ta có EFAI Mặt khác, AM AI EF//AM hay PQ//AM

3) Gọi T đối xứng I qua BC Chứng minh T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

Do T đối xứng I qua BC , suy ra BTCI là hình thoi TBTCIB (1)

Mặt khác theo chùm tính chất 1, suy ra  AH IT , khi đó AHTI là hình bình hành TH IAIB (2)

Từ (1) và (2), suy ra TBTCTH hay T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

4) a) K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ Từ đó hãy suy ra K là trung điểm của JL với L là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A của tam giác ABC

+) Ta có KJB       JABJBAKACJBN KBCJBN KBJ, suy ra KBJ cân tại KKB KJ (1) Mặt khác:BAK CAKKBKC (2)

Từ (1) và (2), suy ra KBKCKJ hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ

90

BLBJ 

Ta lại có

2

JL

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

Hình 2

b) BK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN

Gọi I' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN , khi đó ta có:

KBC KAC KABNAB    I BNKBCI BN 

'

KB I B

Suy ra BK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN

5) Chứng minh SZ XC

2 1 2

1 1

Z  X  ACBSZ//BC (1)

90

6) Chứng minh BCVR nội tiếp đường tròn

180

Khi đó  V C cùng nhìn 1, 1 RB dưới các góc bằng nhau, suy ra BCVR nội tiếp đường tròn

7) Chứng minh G O U W, , , thẳng hàng

Hình 3

Ta có CDUW và DUHO là các tứ giác nội tiếp, cùng với DW // BE và B , 1 D cùng phụ với 4 ODB nên ta có:

I'

N

1

1

1 2 1 2

1

1

R

V Y

J

K

Z

X S

A

I

C B

4 4

1

W U

O G

H F

E

B

A

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

1 1 1 4 4

U U U CUO U CUO , suy ra O U W, , thẳng hàng (1) Chứng minh tương tự ta được G O U, , thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2), suy ra G O U W, , , thẳng hàng

 Chùm tính chất 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH

Hình 1

1) Gọi M N, lần lượt là các điểm thuộcAH và BH Chứng minh rằng: CM AN nếu thỏa mãn:

a) M N, lần lượt là trung điểm của AH,BH

b) CM AN, lần lượt là các đường phân giác của ACH, BAH

2) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD

Chứng minh rằng HI là đường trung trực của đoạn thẳngAK

3) Trên mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , dựng tia Bx vuông góc với BC và cắt AC tại E Gọi F là

điểm thuộc đoạn BE (FB F, E) và CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại P Chứng

minh rằng A E F P, , , cùng nằm trên một đường tròn

Hình 2

4) T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R là điểm thuộc đoạn TC Gọi Q là giao điểm thứ hai của AR với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và J là trung điểm của AQ Biết tia By vuông góc với

AQ và cắt CJ tại L Chứng minh rằng:

a) ALBQ ( hay L là trực tâm của tam giác ABQ)

90

BLT  nếu R là trung điểm của TC

CHỨNG MINH

Hình 1

1)

a) M N, lần lượt là trung điểm của AH và BH, suy ra MN là đường trung bình trong tam giác ABH

Khi đó MN // AB, suy ra MN AC (do AB AC), suy ra M là trực tâm của tam giác ANC CM AN

x

1

1 2

1

N

M

I

P F

E

D

C B

A

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

b) CM AN, lần lượt là các đường phân giác của ACH, BAH , suy ra: AM AC

MH CH và BN BA

NH  AH (1)

MH  NH  MN // AB , suy ra MN AC (do AB AC)

2) Ta có  

1 1

1 1

C A (cùng phụ với góc ABC )

1 2

A  A

1 2

K A nên tam giác AHK cân tại H HAHK Mà IAIK, nên HI là đường trung trực của AK

3) Ta có APCABC (cùng chắn cung AC ), lại có  AEBABC (cùng phụ với EBA ) Suy ra  APCAEB (1)

180

180

180

Hay A E F P, , , cùng nằm trên một đường tròn

4)

a) Ta có ByAQ Mặt khác, TJ AQ (quan hệ đường kính – dây cung) TJ // By hay TJ // BL

Suy ra TJ là đường trung bình trong tam giác BLC , suy ra J là trung điểm của LC

Khi đó J đồng thời là trung điểm của AQ và LC nên ALQC là hình bình hành AL//CQ (1)

Ta lại có: CQB900 hay CQBQ (2)

Từ (1) và (2), suy ra ALBQ

Nhận xét: Thực ra tính chất này đã được “biến tấu” từ tính chất 1) trong chùm tính chất 1.

b) Khi R là trung điểm của TC thì RJ là đường trung bình trong tam giác LTC

Suy ra TL//RJ hay TL//AQ (3) Mặt khác, BL AQ (4) Từ (3) và (4), suy ra BLTL hay  0

90

BLT 

 Chùm tính chất 4 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E là hình là hình chiếu

vuông góc của B trên đường thẳng AI

L

y

J

T

Q R

A B

C

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

1) Gọi T là giao điểm của BE với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: AC là

phân giác của góc BCT

2) Gọi M là trung điểm cạnh BC và D là giao điểm của ME và AC Chứng minh rằng BDAC

Giải

1) Ta có AI vuông góc với BT tại E E là trung điểm của BT  tam giác ABT cân tại AABAT

2

BCA sđ AB ;  1

2

TCA sđ AT

Suy ra BCA TCA hay AC là phân giác của góc  BCT (đpcm)

90

IEBIMB , suy ra IBME nội tiếp đường trònBIM BEM (1)

180

180

90

ADB AEB

 Chùm tính chất 5 : Cho hình vuông ABCD có M N, lần lượt là trung điểm của AB BC, và I là giao điểm của PM và CN

1) Chứng minh CM DN 2) Chứng minh ADAI

3) P là điểm thuộc đoạn AC Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB BC,

a) Chứng minh DPKH b) Cho CP3PA Chứng minh tam giác DPN vuông cân

4) Gọi T là điểm thuộc đoạn CD sao cho CT2TD Chứng minh  0

45

TAN

I

T D

E

B

A

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

CHỨNG MINH

1) Chứng minh CM DN

2) Chứng minh ADAI Ta có   0

90

3 1

D I

1 3

BCM ADM C D

3)a) Chứng minh DPHK Gọi Q là giao điểm của PK và AD, khi đó AHPQ là hình vuông

QD PK







b) Cho CP3PA Chứng minh tam giác DPN vuông cân





4) Gọi T là điểm thuộc đoạn CD sao cho CT2TD Chứng minh  0

45

TAN

1

1 tan

3

DT A DA

3

1 tan

2

BN A AB

1 3



45

TAN

 Chùm tính chất 6 : Cho hình chữ nhật ABCD

1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC Trên tia đối của tia BH và CB lần lượt lấy hai

điểm E M, sao cho BEAC; CM BC Biết BH giao DM tại N

a) Chứng minh rằng BNDM và ANCN b) Chứng minh DE là phân giác của ADC c) O K, lần lượt là trung điểm của AH CD, Chứng minh BOKO (hãy tổng quát tính chất này)

2) Trên mặt phẳng bờ BD chứa điểm A dựng điểm F sao cho  0

90

3) Trên đoạn BD lấy điểm T sao cho DT 4BT Lấy R đối xứng với A qua T và gọi P Q, lần lượt

là hình chiếu vuông góc của R trên BC DC, Chứng minh T P Q, , thẳng hàng

3 1

1 3

3

3

1

1

1

1

Q

T

H

K P

I

N M

B A