SKKN bạc 4 cấp tỉnh :tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc tìm nhiều cách giải và khai thác bài toán”

Phần 1. Phần mở đầuTrang 3A – Đặt vấn đề ……………………………………Trang 3B – Lí do chọn đề tài ……………………………Trang 3C Phạm vi, đối tượng nghiên cứu……………..Trang 4Phần 2. Nội dung ……………………………..I.Cơ sở lí luận và thực tiễn ………………………1.Cơ sở lí luận ……………………………2.Cơ sở thực tiễn …………………………II.Vận dụng lí luận vào thực tiễn ………………Trang 4Trang 4Trang 4Trang 5Trang 5Ví dụ 1…………………………………………………….Trang 6Bài toán 1 …………………………………………...Trang 6Bài toán 2……………………………………………Trang 7Bài toán 3……………………………………………Trang 8Bài toán 4……………………………………………Trang 10Bài toán 5……………………………………………Trang 11Bài toán 6……………………………………………Trang 13Bài toán 7………………..…………………………Trang 14Bài toán 8………………..…………………………Trang 15Bài toán 9………………..…………………………Trang 16Bài toán 10……………….…………………………Trang 17Bài toán 11……………….…………………………Trang 18Bài toán 12……………….…………………………Trang 20Ví dụ 2…………………...…………………………Trang 20Bài toán 1 ………………..…………………………Trang 22Bài toán 2………………..…………………………Trang 22Bài toán 3………………..…………………………Trang 18Bài toán 4………………..…………………………Trang 23Bài toán 5………………..…………………………Trang 24Bài toán 6………………..…………………………Trang 25Bài toán 7………………..…………………………Trang 26Bài toán 8………………..…………………………Trang 27Bài toán 9………………..…………………………Trang 27Bài toán 10……………….…………………………Trang 28Bài toán 11 …………….…………………………Trang 29III.Kết quả thực hiện …………………………IV.Bài học kinh nghiệm…………………………Phần 3. Kết luận Trang 31 Trang 33 Trang 34Tài liệu tham khảo ………Trang 36

MỤC LỤC

C - Phạm vi, đối tượng nghiên cứu……… Trang 4

Phần 2 Nội dung ………

I Cơ sở lí luận và thực tiễn ………

1 Cơ sở lí luận ………

2 Cơ sở thực tiễn ………

II Vận dụng lí luận vào thực tiễn ………

Trang 4 Trang 4 Trang 4 Trang 5 Trang 5 Ví dụ 1……….

Trang 6

IV Bài học kinh nghiệm………

Phần 3 Kết luận

Trang 33

Trang 34

PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU

A Đặt vấn đề

Thời đại chúng ta đang sống là thời đại diễn ra cuộc chạy đua quyết liệt

về khoa học - công nghệ giữa các quốc gia Trong bối cảnh đó, quốc gia nàokhông phát triển được năng lực khoa học – công nghệ của mình thì quốc gia ấykhó tránh được tụt hậu, chậm phát triển Do vậy, một nền giáo dục tiên tiến tạo ranguồn nhân lực chất lượng có khả năng đóng góp cho sự phát triển năng lực khoahọc – công nghệ quốc gia, thúc đẩy sự phát triển kinh tế bền vững mà tất cả các

2

quốc gia đều nhằm tới Mục tiêu của nền giáo dục đó là mang đến cho học sinhniềm say mê học tập, khát khao được vươn tới những chân trời mới của tri thứcvới một niềm tin mãnh liệt rằng mình có thể thực hiện được khát khao đó Nóicách khác giáo dục phải đặt trọng tâm vào việc khơi dậy sự say mê học tập, kíchthích sự tò mò và sáng tạo của học sinh để các em có khả năng kiến tạo kiến thức

từ những gì nhà trường mang đến cho họ, để họ thực sự thấy rằng mỗi ngày đếntrường là một ngày có ích

Vai trò của người thầy phải tạo cơ hội tốt nhất để học sinh được thỏa sứcsáng tạo Tôi cho rằng hoạt động giải toán là cơ hội tốt để phát triển tư duy sángtạo cho các em Vậy dạy học giải toán thế nào để học sinh phát triển được tư duysáng tạo là câu hỏi mà tôi phải trăn trở

B Lí do chọn đề tài.

Để thực hiện mục tiêu chiến lược giáo dục, đào tạo trong giai đoạn hiệnnay Nhiệm vụ của người giáo viên là phải nâng cao chất lượng dạy và học Việcnghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy để đem lại hiệu quả cao là mộtviệc làm hết sức quan trọng giúp học sinh tiếp thu các kiến thức một cách chủđộng, hỗ trợ các em tự tìm tòi, nghiên cứu kiến thức từ SGK, STK và từ thực tiễnmột cách chính xác, khoa học, đồng thời không ngừng phát triển tư duy kỹ năng

của học sinh một cách linh hoạt

Nhằm khơi dậy sự say mê học tập môn Toán, kích thích sự tò mò và sángtạo của học sinh Trong quá trình giảng dạy học sinh giải Toán tôi thấy rằng, đểphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì người dạy phải biết tận dụng triệt đểcác cơ hội sau để rèn luyện cho học sinh:

- Giải bài toán theo nhiều cách

- Đề xuất bài toán tương tự

- Tìm bài toán tổng quát

- Đề xuất bài toán mới

Với mong muốn được góp phần công sức nhỏ của mình trong bồi dưỡngnăng lực học toán cho học sinh và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo tronghọc toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũhọc sinh giỏi toán Tôi xin được đưa ra và trao đổi cùng quý vị đồng nghiệp đề

tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc tìm nhiều cách giải

và khai thác bài toán”

C Phạm vi, đối tượng nghiên cứu.

- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình toán lớp 8, lớp 9

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh trường THCS Bạch Liêu

PHẦN II NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lí luận

Trong các giờ luyện tập hay ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi việc tìm nhiềucách giải khác nhau, phân tích để xem xét bài toán này được suy ra từ bài toán nào,hay từ bài toán này có thể suy ra được bài toán nào nhằm giúp cho học sinh khámphá, tìm tòi sáng tạo để suy nghĩ, tranh luận, thảo luận nhóm, đề xuất giải quyếtvấn đề ….Nhằm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

Bên cạnh đó giáo viên luôn luôn “Lấy học sinh làm trung tâm”, tạo cơ hội

để học sinh tự giác xung phong giải bài tập, học sinh thảo luận, đánh giá cách giảicủa bạn và rút ra cách giải hay nhất, độc đáo nhất Qua đó học sinh nắm được cáckiến thức cơ bản và khắc sâu các kiến thức đó để vận dụng vào giải bài tập, rènluyện các kỹ năng giải toán

2 Cơ sở thực tiễn

4

Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán, học sinh là chủ thể củahoạt động do đó cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáoviên tổ chức và chỉ đạo Thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mìnhchưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn Muốnvậy giáo viên cần truyền thụ cho học sinh những tri thức, phương pháp để họcsinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thứcmới.

Qua thực tế giảng dạy trong nhiều năm tôi thấy cách học của học sinhcòn quá thụ động, lười tìm tòi sáng tạo, chưa biết vận dụng khai thác các bài toán

đã học vào giải bài tập chính, giải xong bài toán đó coi như là xong việc, sớm thõamãn công việc của mình chứ không chủ động tìm tòi thêm mối liên hệ giữa bàitoán này với bài toán khác, chưa biết xâu chuỗi bài toán, vì vậy mà đề tài tôi chọnnhằm nâng cao chất lượng của học sinh

II VẬN DỤNG LÍ LUẬN VÀO THỰC TIỄN

Trong các tiết luyện tập, ôn tập và các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đãlồng các kiến thức này vào tiết dạy nhằm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

và tạo sự hứng thú, không nhàm chán trong học tập đối với các em khá giỏi

Từ một bài toán cơ bản học sinh lớp 8 có thể gặp thấy trong quá trình làm bài

tập, giải toán nếu giáo viên biết dẫn dắt “biến tấu” thì học sinh có thể giải được

các bài toán phức tạp hơn hoặc các em có thể sáng tác ra các bài toán mới dựa trênbài toán gốc Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

VÍ DỤ 1

Bài toán 1

Cho tam giác ABC, A 90 0, M  BC Kẻ MP // AB, MQ // AC (P  AB, Q  AC).Tìm vị trí của M để tứ giác APMQ có diện tích lớn nhất

Thông qua bài toán 1 có thể phát triển cho học sinh các kỹ năng

tìm nhiều cách giải cho một bài toán Hướng dẫn giải (Hình 1)

BC BC ≤

2

BM CM2BC



≤ 12

Thông qua bài toán 1 có thể phát triển cho học sinh các kỹ năng

phát hiện bài toán tương tự bằng cách thay đổi vị trí của điểm M trên cạch huyền

Hướng dẫn giải (Hình 2)

Cả 3 cách giải của bài toán 1 đều có thể áp dụng để giải bài toán này

Thông qua bài toán 1 có thể phát triển cho học sinh các kỹ năng

tìm bài toán tổng quát, từ tam giác vuông sang tam giác thường.

Bài toán 3.

Cho tam giác ABC, M  BC Kẻ MP // AC, MQ // AC (P  AB, Q  AC)

Tìm vị trí của M để tứ giác APMQ có diện tích lớn nhất

S  x y 2 Dấu bằng xảy ra  x = y

Như vậy maxSAPMQ = 1SABC

2 , khi đó M là trung điểm của BC.

TH2: Khi M không là trung điểm của BC

Giả sử MB < MC khi đó AP < PC Trên AC lấy điểm K, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại H và cắt QM kéo dài tại G Khi đó MQ = MG  QBM =

GHM (g – c – g)

 2SAPMQ = SAKGQ = SABHK < SABC

Xét tương tự với trường hợp MB > MC Vậy SAPMQ ≤ 1

2SABC

Dấu "=" xảy ra  M là trung điểm của BC

Thông qua bài toán 1 có thể phát triển cho học sinh kỹ năng đề xuất các bài toán mới bằng cách thay đổi giả thiết, đặc biệt hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề…

Nhận xét : Dựa trên bài toán 1 nếu ∆ABC đều  ∆MBP và MCQ cũng là 2 tam giác

đều Bằng cách đặc biệt hóa bài toán 1 ta có bài toán mới sau:

Bài toán 4 (Bài toán mới 1)

Cho đoạn thẳng AB, lấy M  AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng hai tam giác đều AMC và BMD Gọi E là giao điểm của AC và BD

Tìm vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác AMC và BMD nhỏ nhất

A

∆AMC ∽∆ABE 

2 2

Nhận xét : Trong bài toán 1 nếu ∆ABC vuông cân thì 2 tam giác MBP và MCQ cũng

là 2 tam giác vuông cân Bằng cách đặc biệt hóa bài toán 1 ta có bài toán mới sau:

Bài toán 5 (Bài toán mới 2)

Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ chứa AB dựng 2 tam giác vuông cân AMC và BMD (cân tại C và D) Tìm vị trí điểm M để tam giác MCD có diện tích lớn nhất

B M

A

Hình 5

Vì ∆AMC ∽∆ABE 

2 2

 SMDC lớn nhất khi a = b, tức là AM = BM  M là trung điểm của AB

Nhận xét : Trong bài toán 1, khi tam giác ABC vuông cân tại A, các đường cao hạ

từ đỉnh P và Q, khi đó ta thấy P’Q’ = 1

2BC Do đó, ta có thể đề xuất một bài toán mới như sau: (Hình

Bài toán 6 (Bài toán mới 3)

Cho đoạn thẳng AB, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ax, By cùng vuônggóc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (AC < AB), vẽ cung tròn tâm A bán kính AC, cắt

12

Q' P'

AB tại M Vẽ cung tròn tâm B bán kính BM cắt tia By tại D Tìm vị trí của điểm C để tam giác MCD có diện tích lớn nhất.

2 thì tam giác MCD có diện tích lớn nhất.

Nhận xét : Trong bài toán tổng quát của bài toán 1 cho trước ∆ABC thì ta tìm được

vị trí của M đề S MPAQ lớn nhất Bây giờ ta đặt vấn đề ngược lại cho MPAQ không đổi thì S ABC đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất? Bây giờ ta xét bài toán đảo của bài toán tổng quát bài toán 1 như sau:

Bài toán 7 (Bài toán mới 4)

Cho hình bình hành ABCD, ( A 90 0) Qua C kẻ đường thẳng d cắt hai cạnh AB và

AD tại N và M

Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất

Hướng dẫn giải (Hình 8)

Theo bài 3 ta có SAPMQ ≤ 1

2SABC  SABC ≥ 2 SAPMQ , do SAPMQ không đổi  SABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 SAPMQ Dấu “=” xảy ra  C là trung điểm của NM

 d là đường thẳng đi qua C và song song với BD

Nhận xét: Xung quanh bài toán đảo (Bài 7) có thể tiếp tục phát biểu thêm các bài

toán mới khác như sau:

Ở bài toán 7 khi đường thẳng d đi qua điểm C và thay đổi thì sẽ có vị trí để AM + AN nhỏ nhất Vậy đó là vị trí nào?

Bài toán 8 (Bài toán mới 5)

Cho hình bình hành ABCD, ( A 90 0) Qua C kẻ đường thẳng d cắt hai cạnh AB và

Hình 9

 DM + BN nhỏ nhất  DM = BN  C là trung điểm của MN  d//BD

Nhận xét: Trong bài toán 7, ta dễ dàng chứng minh được AB MC

AN MN (áp dụng định lí

Ta lét) Thông qua kết quả này ta có thể đề xuất bài toán mới như sau:

Bài toán 9 (Bài toán mới số 6)

Cho hình bình hành ABCD, qua C kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AB và AD tại N và

S S không đổi mà AC không đổi ta có bài toán mới.

Bài toán 10 (Bài toán mới số 7)

Cho hình bình hành ABCD, ( A 90 0) Qua C kẻ đường thẳng d cắt hai cạnh AB

và AD tại N và M Từ M và N hạ MM’  AC, NN’  AC Chứng minh:

M

d

B A

Hình 11

Đặt S1 = SACN; S2 = SACM theo bài toán 4 thì

Bài toán 11 (Bài toán mới số 8)

Cho hình bình hành ABCD, ( A 90 0) Qua C kẻ đường thẳng d cắt hai cạnh AB

Dấu bằng xảy ra  M’ C, N’ C, tức là MN  AC

Nhận xét: Khi đường thẳng d thay đổi sẽ có vị trí của d để CM = CN Vậy đó là

vị trí nào?

Bài toán 12 (Bài toán mới số 9)

Cho hình bình hành ABCD, ( A 90 0) Qua C kẻ đường thẳng d cắt hai cạnh AB

và AD tại N và M Xác định vị trí của d để CM = CN

Hướng dẫn g iải (Hình 12 )

Lấy C’ đối xứng với A qua C Do A và C cố định nên C’ cố định

Qua C’ kẻ CN // AD, CM // AB

Suy ra tứ giác ANC’M là hình bình hành Suy ra CM = CN

Đề xuất bài toán tương tự

Đề xuất bài toán tổng quát

Đề xuất bài toán mới

Cách 1

Bài 2

Bài 3

Bài 4Bài 5Bài 6

Ở ví dụ 1 các kiến thức toán tập trung vào đối tượng học sinh lớp 8 Cũng dựa trên hướng tìm tòi phát triển bài toán như ví dụ 1 ta xét một ví dụ khác, trong đó kiến thức tập trung vào đối tượng học sinh lớp 9 bằng một bài toán có trong SBT toán 9 hiện hành.

VÍ DỤ 2:

Bài toán 1

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A (khác O) cố định nằm trong đường tròn Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm B và C Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

(Trích bài tập 6.2, sách bài tập toán 9 tập 2, trang 106, tải bản lần thứ 8 NXB giáo dục 2013)

Thông qua bài toán này có thể phát triển cho học sinh giải bài toán bằng nhiều

O

d B

Hình 1

Gọi H là điểm nằm trên đường tròn (O’;AO

2 ), H khác O  AHO = 900  H là trung điểm của BC

Nếu H trùng với O thì BC là đường kính  H là trung điểm của BC

Nếu H trùng với A thì BC là dây cung vuôgn góc với AO  HB = HC

Cách 2:

Phần thuận

Vì H là trung điểm của BC  OH  BC

Hai điểm A và O cố định  H nằm trên đường tròn tâm O’ đường kính AO

Phần đảo

Gọi H là điểm nằm trên đường tròn (O’;AO

2 ), H khác O  AHO = 900  H là trung điểm của BC

Nếu H trùng với O thì BC là đường kính  H là trung điểm của BC

Nếu H trùng với A thì BC là dây cung vuông góc với AO  HB = HC

Thông qua bài toán này có thể phát triển tư duy cho học sinh bằng cách xây dựng bài

toán tổng quát Sau khi HS tiếp tục giải được thêm 2 bài toán sau:

Nhận xét: Nếu H không phải là trung điểm của BC mà H là trung điểm của AC hoặc

AB thì bài toán có giải được không?.

Bài toán 2

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A cố định nằm trong đường tròn Kẻ cát tuyến BC, gọi H là trung điểm của AC Chứng minh rằng khi cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A thì điểm H nằm trên một đường tròn

Nhận xét: Trong bài toán 2, nếu H không là trung điểm của AC thì có giải được bài

toán hay không?

Bài toán 3: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A cố định nằm trong đường tròn Kẻ cát

tuyến BC, trên tia AC lấy điểm H sao cho AH 1AC

3

= Chứng minh rằng khi cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A thì điểm H nằm trên một đường tròn

O

Hình 3

Bài toán tổng quát bài toán 1

Bài toán 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A cố định nằm trong đường tròn Kẻ cát

tuyến BC, trên tia AC lấy điểm H sao cho AH n AC

m

= (n, m  N, m ≠ 0) Chứng minh rằng khi cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A thì điểm H nằm trên một đường tròn

m không đổiAO’ = n AO

tròn thì bài toán có giải được không Hướng suy nghĩ này sẽ cho chúng ta các bài toán mới xuất phát từ bài toán 1 như sau:

Bài toán 5: Cho đường tròn tâm (O;R) Trên đường tròn (O) lấy điểm cố định A,

điểm B di chuyển trên (O) Gọi H là trung điểm của AB Chứng minh H nằm trên mộtđường tròn

Hướng dẫn giải (Hình 5)

Bài toán này có 2 cách giải đơn giản sau:

Cách 1.

Nếu ba điểm A, O, B thẳng hàng thì H trùng với O

Nếu ba điểm A, O, B không thẳng hàng

Do H là t rung điểm của dây cung AB không đi qua tâm  OH  AB

Mà hai điểm A và O cố định cho nên điểm O nằm trên đường tròn tâm O’ đường kínhAO

Cách 2.

Nếu ba điểm A, O, B thẳng hàng thì H trùng với O

Nếu ba điểm A, O, B không thẳng hàng

Gọi O’ là trung điểm của AO  O’ cố định

24

O' H

B A

O

Hình 5

Trong tam giác AOB có O’H là đường trung bình cho nên O’H = 1

H chỉ chạy trên cung tròn MN của (O’) với cung MN có phần nằm trong (O)

Trong đó AP, AQ là tiếp tuyến kẻ từ A với (O) M và N là trung điểm của AP và AQ

Như vậy từ một bài toán nếu người giáo viên biết hướng dẫn học sinh biết thay đổi đối tượng hình học, có thể là một điểm có thể là một hình … bằng các thao tác tư duy như

H

C

B A

Hình 6

đặc biệt hóa, tương tự hóa, thay đổi giải thiết thì bài toán sẽ được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau thông qua đó phát huy được sự quan sát của học sinh trước một vấn đề.

Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh phát hiện thêm các bài toán tương tự sau:

Bài toán 7 (Tương tự bài toán 5)

Cho đường tròn (O; R), điểm A cố định trên (O), điểm B thay đổi trên (O) Trên tia

đối của tia BA lấy điểm H sao cho BH = 1

2AB Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn khi B di chuyển trên (O)

Bài toán 8 (Tương tự bài toán 5) Cho đường tròn (O; R), điểm A cố định trên (O),

điểm B thay đổi trên (O) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = 1

2AB Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn khi B di chuyển trên (O)

26

O' O

N M

H B

B

A

Hướng dẫn giải (Hìn h 8 )

Qua điểm H kẻ đường thẳng vuông góc với HB cắt MB tại N

 NM = 1

2MB

 H nằm trên đường tròn đường kính NB

Bài toán 9 (Tương tự bài toán 6)

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ cát tuyến

BC, gọi H là trung điểm của AC Chứng minh rằng khi cát tuyến BC di chuyển quanh điểm A thì điểm H nằm trên một cung tròn

Hướng dẫn giải (Hình 9)

Vì H là trung điểm của dây cung BC cho nên OH  BC

 H nằm trên đường tròn tâm O’ là trung điểm của AO bán kính AO

H

C

B A