gốm bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh và của 1 số khu vực. có nhiều bài tập khó để rèn luyện kĩ năng. chúc các bạn vui vẻ khi xem tài liệu này.
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 21 tháng 4 năm 2012
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
2 2
4
− − =
+ = −
Câu 2 (4 điểm): Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx + + = 3 Chứng minh bất đẳng thức:
Câu 3 (4 điểm): Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta
dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE; C1 là giao điểm của CG và MP Ta xác định các điểm A2, B2, C2 sao cho AGC2F, BGA2N, CGB2P là các hình bình hành Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A2, B2, C2
tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy.
Câu 4 (4 điểm): Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 + = m 12n3 + n
Chứng minh rằng m n − là lập phương của một số nguyên.
Câu 5 (4 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ
(x; y) với x, y ∈ R* và x ≤ 12; y ≤ 12 Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba
màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ
nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và
được tô cùng màu.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1
a) Giải bất phương trình
x − x+ ≥ −x x− b) Giải hệ phương trình:
2
Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
x m y x my
x y xy
− =
Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm (2;4), I và các đường thẳng d1: 2x y− − =2 0,
d x y+ − = Viết phương trình đường tròn ( )C có tâm I sao cho ( ) C cắt d tại ,1 A B
và cắt d tại ,2 C D thỏa mãn 2 2
16 5
AB +CD + = AB CD
Câu4
1 Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và 3 5 2 5
2
CM
Tính b
c và cos A.
2 Cho a,b ∈¡ thỏa mãn: (2 )(1 ) 9
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 16+a4 +4 1+b4
Câu 5
Cho f x( ) =x2− +ax b với a,b∈¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên , ,m n p đôi
một phân biệt và 1≤m n p, , ≤9 sao cho: f m( ) = f n( ) = f p( ) =7
Tìm tất cả các bộ số (a;b)
_ Hết _
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 3ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1 Giải phương trình: x2+ + +x 1 x2− + =x 1 2 (x∈¡ )
2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): 2 ( ) 3 ( )2
x − m− x m− + m+ = có hai nghiệmx x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1+ ≤x2 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P x= + +x x x x + x +
Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
1 ( , ) (2 1) 1
x x y xy xy y
x y
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho ,x y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện (x+ 1+x2)( y+ 1+y2)=2012 Tìm giá
trị nhỏ nhất của P x y= +
Câu 4 (3,0 điểm).
1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho
MAB MBC MCD MDA= = = =ϕ Chứng minh đẳng thức sau:
cot
2 sin
AC BD
ϕ
α
trong đó α là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các
điểm (1; 5 ,) 7 5; , 13 5;
(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác
ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q(−1; 1) và điểm A
có hoành độ dương
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 4SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1 (6 điểm)
a) Giải phương trình sau trên ¡ : 4 x2 + 12 x x + = 1 27( x + 1)
b) Giải bất phương trình sau: 9
2
5 3 x
− −
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho hai số n+26 và n−11 đều là lập
phương của hai số nguyên dương nào đó
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên
AK, F là trung điểm của BC, biết rằng ·KAB=2KAC· Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
Bài 4 (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Bµi 5 (4điểm)
Cho các số dương x y z , , Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( )2
3
x y z
Hết
-Họ và tên : Số báo danh :
Trang 5ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)
4
y x xy
+ =
2 Tìm tất cả hàm số :f ¡ →¡ thoả mãn:
f x y+ = f x + ∀y x y∈¡ và f 1 f x( )2 x 0
÷
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q sao cho (7p −4p) (7q −4q) chia hết cho pq
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn Một đường thẳng đường ∆ đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I I và 1, 2 3
I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD Tiếp tuyến của
đường tròn ( )I song song với CD (gần CD hơn) cắt 1 ∆ tại H Chứng minh rằng H là trực tâm
của tam giác I I I1 2 3
Câu 4 (2,0 điểm).
Xét các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a+2b+ ≥3c 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
L a b c
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít
nhất hai phần tử và với mọi ,m n X m n∈ , < thì tồn tại k∈X sao cho n mk= 2
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 6HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho hàm số y x = 2 − 3 x + 2 và hàm số y = − + x m Tìm m để đồ thị các
hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.
b) Giải bất phương trình: 2 1 1 0
−
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng
∆ là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x y 1 0+ − = ; Khoảng cách
từ C đến ∆ gấp 3 lần khoảng cách từ B đến ∆ Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến
BM và CN của tam giác Chứng minh rằng sin 3
5
α ≤
Câu 3 (2,5 điểm)
a) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD 2BC;
3
=
1
4
=
Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB c IC 2a IA 02uur + 2uur − 2uur r = ; Tìm điểm M sao cho biểu thức (
b MB + c MC − 2a MA ) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: 1 + ( 6 x + 2 ) 2 x2 − = 1 2 5 ( x2+ 4 x )
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz + + = Chứng minh
rằng:
2
1 + 1 + x + + + y + 1 + 1 + z ≤
xyz
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 7KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014 (Đề thi co 01 trang)
Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực
Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác ABC ( BC AC < ) Gọi M là trung điểm của AB , AP vuông góc với BC tại P , BQ vuông góc với AC tại Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường
thẳng AB tại T Chứng minh rằng TH ⊥ CM , trong đó H là trực tâm tam giác ABC
Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số : f ¡ → ¡ (¡ là tập số thực) thỏa mãn
( )
4
f f x = + x x với mọi x ∈ ¡ Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt , ,
a b c sao cho ( ) f a + f b ( ) + f c ( ) 0 = .
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị , , a b c :
a + + +b c abc a b c+ + ≥k ab bc ca+ +
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013n- 1 chia hết cho 22014
-HẾT -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài 150 phút ( Đề thi có 01 trang, gồm 4 câu)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 8b) Giải hệ phương trình: 2
Câu 2 Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và có diện tích bằng 1.
Chứng minh rằng: 2012a2+2010b2−1005c2 ≥4 2010.
Câu 3 a) Xác định hình dạng tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác
đó thỏa mãn hệ thức: sin 2
cos
C SinA B = b) Cho hình thoi ABCD, biết đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình 2x – y + 7 = 0, 3x – y + 8 = 0 và đường thẳng BC đi qua điểm M(-4;13
2 ) Lập phương trình đường thẳng CD.
Câu 4 Các số thực x, y, z dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2 2 2 2 2
-Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………
Số báo danh :………