Sử dụng tính chất hình học để giải một số bài toán đại số

Sử dụng tính chất hình học để giải một số bài toán đại số trong chương trình phổ thông. Trong đề thi thử đại học môn toán 2012 của trường THPT chuyên ĐH Sư phạm HN có bài toán hay như sau: Bài toán (): Cho các số thực dương a, b, c, d thuộc khoảng (0, 1). Chứng minh rằng: a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – d) + d(1 – a) < 2.

Trong đề thi thử đại học môn Toán năm

2012 của trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội có bài toán hay như sau

Bài toán (*): Cho các số thực dương a, b, c, d thuộc khoảng (0, 1) Chứng minh rằng:

a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – d) + d(1 – a) < 2.

A B

CD

Q

P

NM

 Dựng hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm M, N, P Q sao cho AM = a; BN = d; CP = a; DQ = b.

CLB NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM KHOA TOÁN

A

B

1 Bất đẳng thức tam giác

Trong ABC ta luôn có:

Ngược lại , nếu ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:

thì tồn tại một tam giác có cạnh là a, b và c.

Chú ý: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có AB + BC 

CA

Đẳng thức xảy ra khi B nằm giữa A và C.

2 Định lí Pitago trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

B

CA

Ngược lại:

Nếu ba số thực dương a, b và c thỏa mãn

c2 = a2 + b2 thì tồn tại một tam giác có cạnh

là a, b, c và góc giữa a và b là một góc vuông.

3 Hai vectơ cùng phương

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng hoặc song song hoặc trùng nhau.

4 Tích vô hướng của hai vectơ

5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ và Khi đó a   ( ; ) x y b   ( '; ') x y

6 Hệ thức lượng trong tam giác

Định lí côsin trong tam giác

Trong tam giác ABC, với BC = a, CA =b, AB = c, ta có

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab cosC.

Định lí sin trong tam giác

Với mọi tam giác ABC, ta có

trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2 , sin sin sin

R

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Khi đó

7 Công thức tính diện tích tam giác

abc S

8 Phương trình đường tròn và phương trình mặt cầu

PT đã cho có dạng và cùng hướng, hay

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = 1+

Trong mặt phẳng Oxy lập các vectơ

1 2.

x

x x

x x

Thí dụ 4 (Khối A -2014) Giải hệ phương trình

2 3

Suy ra y = 12 – x2 = 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3; 3)

Thí dụ 5 (THTT – Bài T9\463) Giải hệ phương trình

Bước 3: Từ đó hãy tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho

Thí dụ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có: AB  2 cos ; x BC  1; CA  sinx cos  x

Theo bất đẳng thức tam giác: AB + CA  BC

Thí dụ 7 (Khối A -2003) Cho x, y, z là ba số dương và Chứng minh rằng

x    y z

Lời giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với

1 1; ; 2 2

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ta có:

•PT thứ nhất của hệ xác định mặt cầu (S) có tâm I , bán kính R=1

4 2

GS Nguyễn Tiến Dũng – Huy chương vàng IMO khi mới 15 tuổi trong cuộc nói chuyện với người yêu toán, khi dẫn ra bài toán giải phương trình của kỳ thi Đại học 2015 đã thừa nhận: “Trong suốt cuộc đời làm Toán của mình, tôi chưa bao giờ gặp những phương trình như thế này Họ ra những đề bài này chỉ vì họ

nghĩ họ có thể giải được”.

Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải toán thế như thế nào?” nhà toán học và giáo dục học vĩ đại người Mỹ G.Polya cho rằng: “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ dòng suối nhỏ, mỗi bài toán

dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản,

có khi rất đỗi quen thuộc đối với chúng ta”.