Xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC QUỐC G

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ THỊ THU HƯỜNG

XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ THỊ THU HƯỜNG

XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60460106

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ ANH VINH

Hà Nội – 2014

LỜI CẢM ƠN

Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Anh Vinh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Đồng thời, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo,

cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014

Học viên

Lê Thị Thu Hường

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Đồ thị n-e.c 5

1.1 Khái niệm về đồ thị n-e.c 5

1.2 Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c 7

1.3 Các đồ thị Paley và biến thể 13

Chương 2 Xây dựng và phân loại một số đồ thị n-e.c 18

2.1 Đồ thị n-e.c 18

2.2 Đồ thị 2-e.c 23

2.3 Đồ thị 3-e.c 25

2.4 Các đồ thị n-e.c với n ≥ 4 28

Chương 3 Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh 31 3.1 Xây dựng 1 32

3.2 Xây dựng 2 34

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học nghiên cứu về tính chất của các đồ thị, chiếm vị trí quan trọng về cả lý thuyết lẫn ứng dụng Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh được nối với nhau bằng các cạnh Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng

Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm và các điểm nối với nhau bằng các đoạn thẳng(các cạnh) Luận văn này đề cập tới việc xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt Cụ thể ở đây chính là các đồ thị có tính chất n-e.c Tính chất này được phát hiện và nghiên cứu bởi hai nhà khoa học Erd˝os và Re’nyi [16] và ngày càng nhận được sự quan tâm chú ý của các nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau Nội dung chính của luận văn là tập trung làm rõ các tính chất của đồ thị n-e.c, sau đó xây dựng và phân loại các đồ thị n-e.c, cuối cùng nêu

ra một số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c Luận văn bao gồm ba chương

 Chương 1 : Giới thiệu về đồ thị n-e.c, các tính chất của đồ thị n-e.c

và một vài dạng đồ thị n-e.c đã biết

 Chương 2 : Xây dựng các đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện nhất định sau đó cụ thể hơn cho các lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị

n-e.c với n ≥ 4

 Chương 3 : Nêu ra hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh, sau đó chứng minh các đồ thị sinh ra thỏa mãn tính chất kề

n-e.c

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót khi trình bày Em rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến xây dựng của thầy

cô và các bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Đồ thị n-e.c

1.1 Khái niệm về đồ thị n-e.c

Trước khi đi vào khái niệm đồ thị n − e.c, chúng ta sẽ nhắc lại một vài kiến thức cơ bản của đồ thị Với ký hiệu đồ thị G = (V, E), thì V (hay

V (G)) là tập đỉnh của đồ thị G và E (hay E(G)) là tập các cạnh của đồ thị Tập đỉnh phải khác rỗng, còn tập cạnh có thể là tập rỗng Số đỉnh của đồ thị gọi là cấp của đồ thị và ký hiệu là |V | Số cạnh của đồ thị gọi

là cỡ của đồ thị và ký hiệu là |E| Với x, y ∈ V, ta có {x, y} ∈ E hay xy

là cạnh nếu x được nối với y và ta nói rằng x kề với y Đồ thị G0 là đồ thị con của đồ thị Gnếu: V (G0) ⊆ V (G) và {x, y} ∈ E(G0) khi và chỉ khi

{x, y} ∈ E(G)

Một đồ thị ngẫu nhiên được tạo bởi một tập n đỉnh cho trước và thêm dần các cạnh một cách ngẫu nhiên Trong khi nghiên cứu về đồ thị ngẫu nhiên, Erd˝os và Re’nyi [16] đã phát hiện ra tính chất kề và nghiên cứu về

nó Tính chất kề là tính chất tổng quát của một đồ thị và được phát biểu cho mọi tập S các đỉnh của một loại đồ thị cố định nào đó, có một đỉnh được nối vào một tập đỉnh S nào đó theo một cách nhất định Tính chất

kề mà được gọi là n-e.c nhận được rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết đồ thị, logic học, xác suất và hình học

Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị là n-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W của tập đỉnh V sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n (một trong hai tập U

hoặc W có thể là tập rỗng), thì có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v

kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W

Ví dụ 1: Đồ thị1-e.c là một đồ thị không có đỉnh cô lập (tức là đỉnh không

kề với bất cứ đỉnh nào) cũng không có đỉnh phổ quát (tức là đỉnh được nối với tất cả các đỉnh còn lại) (xem Hình 1.1)

Ví dụ 2: Một đồ thị là 2-e.c nếu với mỗi cặp đỉnh riêng biệt u và w, có 4

đỉnh khác với u và w nối với chúng theo tất cả những cách có thể (xem Hình 1.2)

Định nghĩa tính chất kề n-e.c khá rõ ràng nhưng từ định nghĩa lại không

dễ để chỉ ra đồ thị tồn tại tính chất này Tuy nhiên, theo chứng minh đầu tiên trong [16], hầu hết tất cả các đồ thị hữu hạn đều là n-e.c Với một

số nguyên m, không gian xác suất G(m,12) bao gồm một đồ thị với tập đỉnh{0, , m − 1} sao cho hai đỉnh riêng biệt được nối với nhau một cách độc lập với xác suất 12

Định lý 1.1.1 ([3]) Cố định số nguyênn > 1 Với xác suất1khi m → ∞,

G(m,12) thỏa mãn tính chất n-e.c

Chứng minh Cố định một tập S chứa n phần tử trong tập đỉnh V, và cố định hai tập con A và B rời nhau của S với A ∪ B = S Cho z /∈ S, xác suất để z chỉ kề với một trong hai tập A và B là (12)n

Như vậy xác suất để z không thỏa mãn tính chất chỉ kề với một trong hai tập A và B là

1 − (1

2)

n

Do đó, xác suất để các đỉnh thuộc G − (A ∪ B) không thỏa mãn tính chất chỉ kề với một trong hai tập A và B là

(1 − (1

2)

n)m−n

Do có mn
cách chọn S và 2n cách chọn của A và B trong S nên xác suất

để G(m, 12) không là n-e.c là

m n

!

.2n.(1 − (1

2)

n)m−n −−−→

m→∞ 0

Định lý 1.1.1 cho thấy rằng có nhiều ví dụ về đồ thị n-e.c Ta cũng có thể

dễ dàng tổng quát hóa bằng cách thay 12 bằng một số thực p ∈ (0, 1) cố định nào đó Điều đó cho thấy đồ thị n-e.c khá phổ biến Nhưng thực tế thì cho đến những năm gần đây chỉ có duy nhất một họ đồ thị n-e.c được biết đến, đó là các đồ thị Paley

Nếu một đồ thị là n-e.c với ∀n thì đồ thị đó được gọi là e.c (chú ý rằng bất kỳ đồ thị e.c nào cũng là vô hạn) Bất cứ hai đồ thị e.c đếm được nào

đó cũng đẳng cấu với nhau, dạng đẳng cấu này có tên là đồ thị ngẫu nhiên

vô hạn hoặc đồ thị Rado và được viết là R Đồ thị R trở thành tiêu điểm của nhiều hoạt động nghiên cứu gần đây

Một ví dụ đáng chú ý về R, nếu một đồ thị hữu hạn G là n-e.c có thể được xem như phiên bản hữu hạn của R Do đó, tính chất n-e.c là một độ

đo tất định của tính ngẫu nhiên trong đồ thị Hai khái niệm khác của tính ngẫu nhiên trong đồ thị được đưa ra và nghiên cứu một cách toàn diện là tính ngẫu nhiên chuẩn [12] và tính tựa ngẫu nhiên [6] (nhưng chúng ta sẽ không thảo luận ở đây) Nhiều đồ thị trong số các đồ thị ở luận văn này thỏa mãn các tính chất này, ví dụ như đồ thị Paley Tuy nhiên, các tính chất ngẫu nhiên này không nhất thiết biểu thị tính n-e.c Ví dụ được cho trong [14] là ngẫu nhiên chuẩn nhưng không phải 4-e.c

1.2 Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c

Đầu tiên ta nhắc lại một số khái niệm trong đồ thị như sau

Định nghĩa 1.2.1 Phần bù của đồ thị G ký hiệu là G¯ Đó là một đồ thị

với tập đỉnh là tập đỉnh của đồ thị G đồng thời nếu 2 đỉnh kề trong G thì không kề trong G¯ và ngược lại.

Định nghĩa 1.2.2 Sắc số của một đồ thị G là số màu tối thiểu cần dùng

để tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau Sắc số của đồ thị G kí hiệu là χ(G)

Với x ∈ V (G) ta ký hiệu G − x là đồ thị con của G thu được bằng cách xóa đi điểm x Đặt N (x) = {y ∈ V (G), y 6= x : {x, y} ∈ E(G)} và

Nc(x) = {y ∈ V (G), y 6= x : {x, y} /∈ E(G)} Với S ⊆ V (G) ta ký hiệu

G S là đồ thị cảm sinh của Gtrên S, tức là vớix, y ∈ S thì{x, y} ∈ E(S)

khi và chỉ khi {x, y} ∈ E(G) Với N (S) = {y ∈ V (G), y 6= x : {x, y} ∈ E(G), x ∈ S}, thì N (S) = ∪x∈SN (x)

Định nghĩa 1.2.3 Chỉ số clique của đồ thị G là số đỉnh lớn nhất của tập

U ( U là tập con của tập đỉnh V) thỏa mãn tính chất: Với mỗi cặp đỉnh thuộc U luôn tồn tại một cạnh của G nối chúng Chỉ số clique của đồ thị

G được ký hiệu là ω(G)

Nếu một đồ thị G có tính chất n-e.c, thì G chứa các tính chất cấu trúc khác được tổng hợp trong hai định lý dưới đây

Định lý 1.2.1 Cố định một số nguyên dương n, và cho G là một đồ thị

n-e.c

(1) Đồ thị G là m-e.c, với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1

(2) Đồ thị G có cấp ít nhất là n + 2n, và có ít nhất n.2n−1 cạnh

(3) Đồ thị G¯ là n-e.c.

(4) χ(G) ≥ n + 1, ω(G) ≥ n + 1

(5) Nếu S ⊆ V (G) thì |N (S)| ≥ |S|

Chứng minh

(1) Với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1, xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V của đồ thị G sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = m Lấy tập A ⊃ U và B ⊃ W

sao cho A ∩ B = ∅và |A| + |B| = n Do G là n-e.c nên khi đó có một đỉnh

v ∈ V − (A ∪ B) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của A và không kề với đỉnh nào của B Khi đó hiển nhiên v ∈ V − (U ∪ W ) và v kề với tất cả các đỉnh của U nhưng không kề với đỉnh nào của W Theo định nghĩa thì

G là m-e.c với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1

(2) Giả sử G có m cạnh (m ≥ n) Theo chứng minh của Định lý 1.1.1, ta

có xác suất để G không là n-e.c là

Tài liệu tham khảo

[1] A Blass and B Rossman, "Explicit graphs with extension properties", Bul Eur Assoc Theor Comput Sci 86 (2005), 166-175

[2] A Bonato, and K Cameron (2001), "On an adjecency property of almost all graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (231), pp.103-119

[3] A.Bonato (2009), "The search for n-e.c graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (4)

[4] A Bonato, W H Holzmann, and H Kharaghani (2001), " Hadamard matrices ang strongly regular graphs with the 3-e.c adjacency prop-erty", Journal of Combin, (8), pp.1-9

[5] A.D Forbes, M.J Grannell and T.S Griggs (2005), "Steiner triple systems and existentially closed graphs", The electronic journal of combinatorics, (12)

[6] A G Thomason (1987), "Pseudo-random graphs", North- Holland Mathematics Studies, (144), pp.307-331

[7] A Kisielewicz, Andrzej and W Peisert (2004), "Pseudo-random prop-erties of self-complementary symmetric graphs", Journal of Graph Theory , (47), pp.310-316

[8] Barbour, A D, Holst, L and Janson (1992), Poisson Approximation, Oxford University Press, Oxford

[9] C A Baker, A Bonato, J M N Brown, and T Szonyi (2008),

"Graphs with the n-e.c adjacency property constructed from affine planes", Discrete Mathematics, (208), 901-912

[10] F Hausdorff (1936), "Uber zwei Satze von G Fichtenholz und L Kantorovitch", Studia Math, (6), pp.18-19

[11] Fon-Der-Flaass (2002), " New prolific constructions of strongly regular grapgs", Advances in Geometry, (2), pp 301-306

[12] F R K Chung, R L Graham and R W Wilson (1989), "Quasi-random graphs", Combinatorica, (9), pp.345-362

[13] L A Vinh (2009), "A construction of 3-e.c graphs using quadrances", arXiv preprint arXiv:0903.2509

[14] L Caccetta, P Erd˝os, and K Vijayan (1985), "A property of random graphs", Ars Combin, (19), pp.287-294

[15] Neil A McKay and David A Pike (2007), " Existentially Closed BIBD Block-Intersection Graphs", The electronic journal of combinatorics, (14)

[16] P Erd˝os and A Re’nyi (1963), "Asymetric graphs", Acta Mathematica Hungarica, (14), pp.295-315

[17] P J Cameron and D Stark(2002), "A prolific construction of strongly regular graphs with the n-e.c property", The electronic journal of combinatorics, (9)

[18] P Gordinowicz and P.Pralat(2010), "The search for smallest 3-e.c graphs", Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, (74)

[19] R Lidl and H Niederreiter (1983), Finite Fields, Addison-Wesley, London

[20] W Ananchuen (2001), "On the adjacency properties of generalized paley graphs", Australasian Journal of Combinatoricsn, (24), pp.129-148

[21] Wolfgang.M Schmidt (1976), Equations over Finite Fields: An Ele-mentary Approach, Springer-Verlag, Berlin

[22] Wallis, Walter D (1971), "Construction of strongly regular graphs using affine designs", Bulletin of the Australian Mathematical Society, (4), pp.41–49