Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN VIẾT CHIẾN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN VIẾT CHIẾN

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH

HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA

CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

1.1 Những không gian hàm cơ bản 4

1.1.1 Các định nghĩa 4

1.1.2 Định lý nhúng 7

1.2 Toán tử quạt 8

1.2.1 Các định nghĩa 8

1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính 12

1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L2 14

1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính 16

2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann 24 2.1 Nghiệm địa phương 25

2.2 Nghiệm toàn cục 35

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 35

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 39

KẾT LUẬN 41

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

Năm 1990, Jakubith đã nghiên cứu quá trình oxy hóa phân tử CO trên bề mặt nguyên tử Pt(110) Ông khám phá ra rằng trên bề mặt nguyên tử Pt, quá trình các phân tử CO hấp thụ nguyên tử O để tạo ra phân tử khí Cacbonic diễn

ra rất phức tạp Vì vậy, để hiểu được cơ chế của các hiện tượng trên, Hildebrand

- Kuperman - Wio - Mikhailov - Ertl [2] và Hildebrand - Ipsen - Mikhailov - Ertl [1] đã trình bày một mô hình động lực học đơn giản của phản ứng đó có tên gọi

là mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám Nội dung của luận văn

là nghiên cứu mô hình trên với điều kiện biên Neumann

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm

và kết quả bao gồm: Định nghĩa về các không gian hàm cơ bản; Định nghĩa toán

tử quạt và tính chất liên quan; Các định lý nhúng; Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann Nội dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann, gồm hai bước: Đầu tiên,

ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương bằng cách viết lại mô hình trên về dạng bài toán Cauchy trừu tượng Sau đó, ta xây dựng đánh giá tiên nghiệm cho các nghiệm địa phương, sử dụng đánh giá đó chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình đã cho

Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [3] và [5]

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS Lê Huy Chuẩn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình

Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn

Nguyễn Viết Chiến

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sử dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng Cuối cùng, ta trình bày bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [5]

1.1 Những không gian hàm cơ bản

1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho X, Y là các không gian Banach, và tập mở Ω ⊂ X Ta

có định nghĩa các không gian hàm cơ bản sau

Rn =x = (x1 , x2, , xn) : xi∈R, i = 1, n .

Rn+ =x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈R, i = 1, n, x i > 0 .

C([a, b]; X) =f : [a, b] → X : f liên tục trên [a, b] .

Cm([a, b]; X) = f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m .

L(X, Y ) =f : X → Y : f tuyến tính liên tục .

L p (Ω) =



f đo được trên Ω :

Z

Ω

|f (x)|pdx < +∞



, p ≥ 1.

L∞(Ω) =



f đo được trên Ω :ess sup

Ω

|f | < +∞



,

với ess sup

Ω

|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω.

Lploc(Ω) =nf đo được trên Ω : f ∈ Lp(Ω0), ∀Ω0compact⊂ Ω

o

.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.2 Cho X là không gian Banach

a) Kí hiệuB ([a, b] ; X) =

u : [a, b] → X : u bị chặn trên[a, b] Khi đóB ([a, b] ; X)

là không gian Banach với chuẩn

kukB = sup

a≤t≤b

ku(t)k , ∀u ∈ B ([a, b] ; X)

b) Choη > 0, không gianB{a}−η ((a, b] ; X) = u : (a, b] → X : (t − a)ηu ∈ B ((a, b] ; X) Không gian trên được trang bị chuẩn

kukB−η {a} = sup

a<t≤b

(t − a)ηku(t)k = (t − a)ηu B.

Định nghĩa 1.3 Cho Ω ⊂Rn là một tập mở

a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số

C > 0 sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ, x, y ∈ Ω; 0 < γ ≤ 1.

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz

b) Không gian C ¯ Ω
=u : Ω → R: ubị chặn và liên tục trên Ω với chuẩn

kukC(Ω):= sup

x∈Ω

|u(x)|.

c) Cho m = 0, 1, 2, và số mũ σ thỏa 0 < σ < 1, không gian

Cm,σ([a, b] , X) =

n

u ∈ Cm([a, b] , X) : u(m)(t) liên tục H¨older bậc σ

o

.

Không gian trên được trang bị chuẩn

kukCm,σ = kukCm + sup

a≤s<t≤b

u(m)(t) − u(m)(s)

|t − s|σ .

d) Cho 0 < σ < 1, không gian

C{a}σ ([a, b] ; X) =u : [a, b] → X : u liên tục H¨older bậc σ tại x = a .

Ta định nghĩa chuẩn của không gian trên là

kukCσ {a} = kukC + sup

a<t≤b

ku(t) − u(a)k (t − a)σ , ∀u ∈ C{a}σ ([a, b] ; X)

Không gian hàm liên tục H¨older có trọng Fβ,σ((a, b]; X)

Cho (X, k.k) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1 Không gian

Fβ,σ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

(1) Khi β < 1, (t − a)1−βF (t) có giới hạn khi t → a

(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)1−β+σ, nghĩa là

sup

a≤s<t≤b

(s − a)1−β+σkF (t) − F (s)k

(t − s) σ

= sup

a≤t≤b

sup

a≤s<t

(s − a)1−β+σkF (t) − F (s)k

(t − s) σ < ∞.

(3) Khi t → a thì

ωF(t) = sup

a≤s<t

(s − a)1−β+σkF (t) − F (s)k

Không gian F β,σ ((a, b]; X) cùng với chuẩn

kF kFβ,σ = sup

a≤t≤b

(t − a)1−βkF (t)k + sup

a≤s<t≤b

(s − a)1−β+σkF (t) − F (s)k

(t − s) σ

là một không gian Banach

Sau đây, ta sẽ định nghĩa lớp không gian Sobolev Trước tiên, chúng ta tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử thuộc không gian L1loc(Ω) Định nghĩa 1.4 Với một hàm u ∈ L1loc(Ω), ta nói rằng v ∈ L1loc(Ω) là đạo hàm yếu của u ứng với biến xj, ký hiệu v = Dju, nếu

Z

Ω

vφ dx = −

Z

Ω

u∂φ

∂xj dx,

với mọi φ ∈ Cc∞(Ω) Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L1loc(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u, viết là v = Dαu, nếu

Z

Ω

Dαuφ dx = (−1)|α|

Z

Ω

uDαφ dx,

với mọi φ ∈ C0∞(Ω)

Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev được định nghĩa như sau

Wk,p(Ω) = u : Dαu ∈ Lp(Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k ,

với chuẩn

kukWk,p =



 X

0≤|α|≤k

kDαukpLp





1/p

.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Không gian Sobolev Wk,p(Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach khả ly Trường hợp p = 2, ký hiệu Hk(Ω) = Wk,2(Ω) Người ta chọn ký hiệu này

vì Hk(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau

(u, v)Hk = X

0≤|α|≤k

(Dαu, Dαv)L

2 , u, v ∈ Hk(Ω).

Khi đó, chuẩn của Hk(Ω) được xác định bởi công thức

kukHk =



 X

0≤|α|≤k

kDαuk2L

2





1 2

.

Tiếp tục, ta định nghĩa không gianHps(Ω) với s là một số không âm KhiΩ = Rn

Hps(Rn) = nu ∈ S(Rn)0 : F−1[(1 + |ξ|2)s/2F u] ∈ Lp(Rn)o,

ở đây S(Rn)0 là không gian các hàm suy rộng, F và F−1 lần lượt là biến đổi Fourier và biến đổi ngược Fourier trênS(Rn)0 Không gianHps(Rn)là không gian Banach với chuẩn

kukHs

p = kF−1[(1 + |ξ|2)s/2F ukLp, u ∈ Hps(Rn).

Hơn nữa, khi s = k thì Hpk(Rn) = Hps(Rn) Khi Ω = Rn+ hoặc Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz, ta định nghĩa

Hps(Ω) =u ∈ Lp(Ω) : ∃U ∈ Hps(Rn), U|Ω = u, .

Không gian Hps(Ω) là không gian Banach với chuẩn

kukHs

p (Ω) = inf

U ∈H s

p (R n ),U |Ω =u

kU kHs

p (R n )

1.1.2 Định lý nhúng

Định lý 1.1 (Định lí 1.36 [5]) Giả sử Ω là Rn , Rn+ hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞

1 Nếu 0 ≤ s < n

p thì

Hps(Ω) ⊂ L r (Ω) với phép nhúng liên tục, (1.1)

ở đây p ≤ r ≤ pn

n − ps

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

2 Nếu s = n

p thì

Hps(Ω) ⊂ Lr(Ω) với phép nhúng liên tục, (1.2)

ở đây p ≤ r < ∞

3 Nếu s > n

p thì

Hps(Ω) ⊂











C(Rn )(tương ứng C(Rn

+ )) khi Ω =Rn(tương ứng Rn+ ),

(1.3)

Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục

Từ Định lý 1.1, Định lý 1.37 [5] và bất đẳng thức H¨older trong không gian

Lp, ta thu được các đánh giá thường được dùng sau Giả sử Ω là Rn , Rn+ hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz Cho 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thỏa 1p +1q = 1r, ta có đánh giá

kuvkL

r ≤ kukL

p kvkL

q , u ∈ Lp(Ω), v ∈ Lq(Ω). (1.4) Khi 0 ≤ s < 1, Hs(Ω) ⊂ Lp(Ω), 1/p = (1 − s)/2 ta có ước lượng

kukL

p ≤ CkukHs , u ∈ Hs(Ω) ∩ Lp(Ω) (1.5) Khi s = 1, H1(Ω) ⊂ Lq(Ω) với 2 < q < ∞ thỏa mãn

kukL

q ≤ Cp,qkuk1−(p/q)H1 kukp/qL

p , u ∈ H1(Ω) ∩ Lq(Ω) (1.6) Khi 1 ≤ p < q < ∞, s > 1, Hs(Ω) ⊂ C( ¯ Ω) ta đưa vào ước lượng

kukC ≤ CkukHs , u ∈ Hs(Ω) ∩ C Ω
. (1.7) Với 0 < θ ≤ 1 ta có

kuvkH1+θ ≤ CθkukH1+θ kvkH1+θ , u, v ∈ H1+θ(Ω). (1.8)

1.2 Toán tử quạt

1.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.6 Cho X, Y là không gian Banach với chuẩn k.k, A : D(A) ⊂

X → Y D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X

• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là

GA = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng

Định nghĩa 1.7 Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X Kí hiệu

• Tập giải ρ(A) =λ ∈C: (λ − A)−1 ∈ L(X)

• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức

• Tập phổ của A là σ(A) =C\ρ(A)

Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính đóng

và xác định trù mật trên X.Giả sử phổ của A nằm trong miền

Σω = {λ ∈C: |argλ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.9)

và giải thức thỏa mãn đánh giá

(λ − A)−1 ≤ M

trong đó M ≥ 1 Khi đó, A được gọi là là toán tử quạt

Định nghĩa 1.9 Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X Kí hiệu

ωA = inf

ω

{σ(A) ⊂ Σω}

được gọi là góc của A Khi đó với mọi ωA < ω ≤ π luôn tồn tại Mω > 1 sao cho

(λ − A)−1 ≤ Mω

|λ| , ∀λ /∈ Σω.

a) Hàm mũ sinh bởi toán tử quạt

Cho A là toán tử quạt trong không gian BanachX với góc ωA < π

2 và với góc

ωA < ω < π

2 ta có

σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈C: | arg λ| < ω}, ωA < ω < π

và

k(λ − A)−1k ≤ Mω

|λ|, λ /∈ Σω, ωA < ω <

π

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chúng ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e−tA bởi tích phân Dunford trong không gian L(X) như sau

e−tA = 1

2πi

Z

Γ

e−tλ(λ − A)−1dλ, 0 < t < ∞.

Trong đóΓ là đường cong vô hạn thuộcρ(A), bao quanh σ(A) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ− ∪ Γ+, trong đó, Γ± : λ =

re±iω, 0 ≤ r < ∞định hướng từ ∞e iω tới 0 và từ 0 tới∞e−iω Tích phân trên hội

tụ vì e−tλ(λ − A)−1 ≤ e−tλ (λ − A)−1 ≤ e−tλ M

|λ| ≤ e−tλM

r Mà e−tλ =

e−tr(cosω±isinω) = e−trcosω = e−trcosω Từ đó, ta suy ra e−tλ(λ − A)−1 ≤

Me−trcosωr Do vậy tích phân trên hội tụ Khi đó, họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A Họ toán tử trên thỏa mãn tính chất

e−tAe−t0A = e−t0Ae−tA = e−(t+t0)A.

Từ đó, ta mở rộng toán tử e−tA thành e−zA được cho bởi công thức

e−zA = 1

2πi

Z

Γ

e−zλ(λ − A)−1dλ, z ∈ Σ π

2 −ω

Định lý 1.1 (Mệnh đề 2.5 [5]) Cho φ bất kì thỏa 0 < φ < π2 − ω, khi đó tồn tại

số mũ δφ > 0 và hằng số Cφ > 0 sao cho

e−zA ≤ Cφe−δφ |z|

, z ∈ ¯ Σφ− {0}.

Định lý 1.2 (Mệnh đề 2.6 [5]) Cho φ bất kì thỏa 0 < φ < π2 − ω Với mọi

z ∈ ¯ Σφ− {0}, toán tử e−zA hội tụ mạnh về 1 trên X khi z → 0

b) Lũy thừa phân số của toán tử quạt

Cho (X, k.k) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X với góc 0 ≤ ωA < π Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử An được định nghĩa như sau Khi n > 0 thì An là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X, khi n < 0 thì

An = (A−1)−n = (A−n)−1 là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A0 = 1

(toán tử đồng nhất trên X) Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho

số mũ thực x ∈R bất kỳ.

Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ωA < ω < π Với mỗi số phức z thỏa mãn Rez > 0, ta định nghĩa A−z bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau

A−z = 1

2πi

Z

Γ

Trong đó,Γ là một chu tuyến bao quanhσ(A) theo hướng ngược chiều kim đồng

hồ trong C− (∞, 0] ∩ ρ(A) Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ−∪ Γ0∪ Γ+ thỏa mãn

Γ± : λ = ρe±iω, δ ≤ ρ < ∞, và Γ0: λ = δeiϕ, −ω ≤ ϕ ≤ ω,

Tài liệu tham khảo

[1] M Hildebrand, M Ipsen, A S Mikhailov, G Ertl, Localized nonequilibrium nano-structures in surface chemical reactions, New J Phys 5, 61.1-61.28 (2003)

[2] M Hildebrand, M Kuperman, H Wio, A S Mikhailov, G Ertl, Self-organized chemical nanoscale microreactors, Phys Rev Lett 83, 1475-1478 (1999)

[3] Y Takei, M Efendiev, T Tsujikawa, A Yagi, Exponential attractor for an adsorbate-induced phase transition model in non smooth domains, Osaka J Math 43, 215- 237 (2006)

[4] T Tsujikawa, A Yagi, Exponetial attractor for an adsorbate-induced phase transition model, Kyushu J Math 56, 313-336 (2002)

[5] A Yagi, Abstract parabolic evolution equations and their applications, Springer, Berlin (2010)