Luận văn dáng điệu nghiệm của hệ động lực tuyến tính và một vài ứng dụng

Mục lục1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nửa nhóm liên tục 1.1 Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh.. 5 1.2 Khái niệm về t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015

Mục lục

1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nửa nhóm liên tục

1.1 Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất sơ cấp

của nửa nhóm liên tục mạnh 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh 5

1.2 Khái niệm về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất của nó 7

1.2.1 Khái niệm về toán tử sinh 7

1.2.2 Các tính chất của toán tử sinh 8

1.2.3 Một vài biểu thức liên quan đến giải của toán tử sinh 12

1.3 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm 15

1.4 Một số dạng đặc biệt của nửa nhóm liên tục mạnh 21

1.4.1 Nửa nhóm liên tục đều 21

1.4.2 Nửa nhóm tích phân 25

2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh 28 2.1 Khái niệm về họ các toán tử tiến hóa và một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 28

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu trên đường thẳng thực và một số mô hình đơn loài 38

2.2.1 Mô hình quần thể tăng trưởng theo hàm mũ (Malthus, 1798) 38 2.2.2 Mô hình quần thể tăng trưởng Logistic (Verhulst, 1838) 39 2.3 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra đơn giản 40

2.4 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra với loài mồi tăng trưởng Logistic 43 2.5 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh 45

2.6 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz 48

2.7 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh 54

2.8 Một số ví dụ minh họa 56

2.8.1 Giới thiệu bài toán 56

2.8.2 Các ví dụ 58

Mở Đầu

Lý thuyết hệ động lực được khởi xướng bởi nhà toán học Pháp Henri Poincarecách đây hơn 1 thế kỷ Ngày nay, nó đã được phát triển mạnh mẽ và đã trở thànhmột lĩnh vực quan trọng trong toán học Lý thuyết hệ động lực liên quan tới hầuhết các ngành khoa học khác và được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằngngày Để có thể có một khái niệm sơ lược nhất về hệ động lực ta sẽ bắt đầulàm quen với định nghĩa sau Ký hiệu R là đường thẳng thực, M là một khônggian Metric, giả sử S là tập mở trong M. Ta thường ký hiệu φ : R × S → M bởi

φ = φ(t, x) (hay φ = φtx ) khi đó ánh xạ φ là nhóm phụ thuộc một tham số tứclà:

(a) φt=0: S → S là ánh xạ đồng nhất

(b) φt.φs = φt+s, với mọi s, t ∈ R.

Như chúng ta đã biết hầu hết các vấn đề liên quan tới toán học trừu tượng

mà có thể ứng dụng trong các ngành khoa học tự nhiên đều đi đến nghiên cứutính chất của một hệ động lực nào đó hoặc tập nghiệm của các phương trình viphân thường và phương trình đạo hàm riêng Bài toán mà chúng tôi sẽ đề cậpđến trong bản Luận văn "Dáng điệu nghiệm của hệ phương trình động lực tuyếntính và một số ứng dụng" chủ yếu là tìm hiểu và trình bày lại một vài vấn đề

cơ bản của phương pháp hệ động lực tuyến tính và khả năng ứng dụng của nótrong thực tế Cụ thể hơn đó là phương pháp nửa nhóm bị nhiễu để nghiên cứucác phương trình tiến hóa Tuy nhiên đây là một lĩnh vực khá trừu tượng và đadạng vì vậy trong khuôn khổ của một bản luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ dành sựquan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng ví dụ minh họa cho phương pháp nửanhóm và một vài ứng dụng của lý thuyết nhiễu trong một số mô hình quần thểsinh học quen thuộc

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo

Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh

và một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh Để

hoàn thành nội dung của chương này chúng tôi đã tham khảo tài liêu [1], [2],[6],[7], [8], [9], [10], [12], [14].

Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tínhchất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt và ứng dụng của bài toánnhiễu trong các mô hình quần thể đa loài Để hoàn thành nội dung của chươngnày chúng tôi đã tham khảo tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26]

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS ĐặngĐình Châu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việchoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và nhữngđiều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơntới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủtục học tập và bảo vệ luận văn

-Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những

sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thờigian qua

Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Thân Thu Phương

Chương 1

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

1.1 Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất

sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh

Khi đó (Tr(t))t≥0 và (Tl(t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0, được gọitương ứng là nửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0.

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trườnghợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự

Vậy (Tl(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh

1.1.2 Một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh

Bổ đề 1.1 Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tậpcompact K ⊂R vào L(X).Khi đó các khẳng định sau là tương đương

(a) F là toán tử tôpô liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K 3 t 7→ F (t)x ∈ X là liên

tục ∀x ∈ X.

(b)F là bị chặn đều trênK,và ánh xạK 3 t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục∀x ∈ D ⊂ X,

D trù mật trong X

(c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact củaX; tức là, ánh

xạ K × C 3 (t, x) 7→ F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X.Định lý 1.1 Cho một nửa nhóm(T (t))t≥0 trên một không gian Banach X.Khi

đó các tính chất sau là tương đương

(a) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh

+) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii).

Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach, nên

lim

t→0 + T (t)x = T (0)x = x ∀x ∈ D (D trù mật trong X)

+) Chứng minh (a) ⇒ (c.i).

Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn)n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0 thỏa mãn

||T (δn)|| → ∞ khi n → ∞ Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X thỏa mãn

(||T (δn)x||)n∈N không bị chặn Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục tại t = 0

(do (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh)

dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0]. Vậy (T (t))t≥0

là nửa nhóm liên tục mạnh

Định lý 1.2 Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0. Khi đó có một hằng

số w ∈R và M ≥ 1 thỏa mãn:

||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > 0. (1.1)Chứng minh Chọn M ≥ 1 thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ 1.

Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1 Khi đó:

Với mọi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1 do ||T (t)f || = ||R01T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||.

Suy ra ||T (t)|| ≤ 1 Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω. Khi đó:

||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt, ∀t ≥ 0.

Vậy ω0= −∞.

1.2 Khái niệm về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh

và các tính chất của nó

1.2.1 Khái niệm về toán tử sinh

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết

ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.2 Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X.

Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx: t 7→ T (t)x, các tính chất sau là tương đương

(a) ξx(.) là khả vi trên R+.

(b) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0.

Định nghĩa 1.2 Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử

mà ξx(.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó

D(A) = {x ∈ X : lim

h→0 +

1

h(T (h)x − x) tồn tại}. (1.4)MiềnD(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là

(A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của nó là cho bởi(1.4)

1.2.2 Các tính chất của toán tử sinh

Giả sử T (t)t≥0 là toán tử liên tục mạnh của toán tử sinh (A, D(A)), ta đặt:

< ε

2t, αi ∈ [si−1, si] (i = 1, n).

1 t