Một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- VŨ THỊ VÂN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2015... 533 Phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

VŨ THỊ VÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

VŨ THỊ VÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa PGS TS Nguyễn Nhụy Nhân dịp này từ đáy lòng mình, em xin đượcbày tỏ lòng biết ơn trân trọng và sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Nhụy, ngườithầy đã quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn nhiệt tình, chu đáocùng những lời động viên khích lệ em trong suốt quá trình làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáotrong khoa Toán – Cơ – Tin, phòng Sau Đại học, phòng Đào tạo TrườngĐại Học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt là những Thầy Cô giáo

đã từng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015 Cảm ơn Thầy Cô

đã truyền thụ cho em kiến thức và giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập tại khoa Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao HọcToán PPTSC, khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình

và bạn bè đã luôn ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi và nhiệt tình giúp đỡ

em trong thời gian vừa qua

Mặc dù đã rất cố gắng song do sự hiểu biết có hạn của bản thân vàkhuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứukhông tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong được sự chỉ dạy và đónggóp ý kiến của Thầy Cô và độc giả quan tâm tới Luận văn này

Hà Nội, ngày 15 tháng 09 năm 2015

Học viên

Vũ Thị Vân

Mục lục

0.1 Mục đích của đề tài luận văn 5

0.2 Bố cục của luận văn 5

1 Một số phương trình hàm cơ bản và ví dụ 7 1.1 Một số phương trình hàm cơ bản 7

1.1.1 Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) 7

1.1.2 Tổng quát Bài toán 1 7

1.1.3 Bài toán phương trình hàm Cauchy không có điều kiện liên tục 8

1.1.4 Bài toán 2 14

1.1.5 Tổng quát Bài toán 2 14

1.1.6 Bài toán 3 15

1.1.7 Tổng quát Bài toán 3 16

1.1.8 Bài toán 4 16

1.1.9 Tổng quát Bài toán 4 17

1.2 Các ví dụ áp dụng 17

2 Một vài phương pháp giải phương trình hàm 33 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 33

2.1.1 Phương trình dạng: f (α(x)) = g(x) 33

2.1.2 Các ví dụ 34

2.2 Phương pháp đưa về hệ phương trình 40

2.2.1 Phương trình dạng: a(x)f (x) + b(x)f (g(x)) = c(x) 40 2.2.2 Các ví dụ 41

2.3 Phương pháp chuyển qua giới hạn 52

2.3.1 Các ví dụ 53

3 Phương trình hàm với miền xác định là tập các số tự nhiên 69 3.1 Tìm công thức tổng quát của dãy số bằng cách đưa về cấp số 70 3.2 Tìm công thức tổng quát của dãy bằng phương trình đặc trưng 79

3.2.1 Phương trình đăc trưng của dãy 79

3.2.2 Áp dụng giải phương trình hàm 86

3.3 Một số phương trình hàm dạng khác 91

MỞ ĐẦU

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CẤU TRÚC

CỦA LUẬN VĂN

Phương trình hàm là phương trình trong đó ẩn số là một hàm số nào

đó, việc giải phương trình hàm là đi tìm các hàm số thỏa mãn điều kiệncủa đề bài, mỗi hàm số thỏa mãn phương trình hàm được gọi là nghiệmcủa phương trình hàm Cấu trúc của phương trình hàm gồm ba phần chính

1 Phương trình hàm cơ bản và các ví dụ

2 Một vài phương pháp giải phương trình hàm

3 Phương trình hàm với tập xác định là tập số tự nhiên

Phương trình hàm nói chung là một dạng toán khó của Giải tích nóiriêng và của toán học nói chung Nhìn chung việc giải phương trình hàmthường không theo một quy tắc tổng quát nào cả Giải phương trình hàmđòi hỏi phải có sự tư duy sáng tạo, vận dụng một cách linh hoạt các kiếnthức đã học vào từng bài toán cụ thể Việc tìm ra lời giải phụ thuộc vàotừng phương trình hàm cụ thể và một vài điều kiện ràng buộc Tuy nhiêncũng có những bài toán về phương trình hàm có cách giải gần giống nhau,

có những phương trình hàm có cấu trúc tương tự nhau, những đặc trưng

cơ bản giống nhau Vì thế, ta cần có một sự phân lớp các loại phương hàm

để tìm ra phương pháp giải đại diện cho mỗi lớp Tiếp theo ta cần sắp xếpcác phương trình hàm để có thể đưa được về loại các phương trình hàm

đã khảo sát bằng cách thức nào đó Tiếp theo nữa, là đưa ra một số kỹthuật đặc trưng để giải phương trình hàm Cuối cùng giống như các bàitoán để ngỏ em xin nêu ra một số định hướng giải phương trình hàm màtạm gọi là phương pháp Các phương pháp này có được là nhờ việc phânloại cấu trúc phương trình hàm thành các phương trình hàm tổng quát cócách giải tương tự nhau

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng thuộc chươngtrình toán trong các trường THPT đặc biệt là các trường chuyên Các bài

toán có liên quan đến phương trình hàm cũng là các bài tập khó, thườnggặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, cấp khu vực, cấp quốc tế

và các kỳ thi Olympic toán sinh viên.Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh cáctrường chuyên, lớp chọn nói riêng và người làm toán nói chung còn biết rất

ít các phương pháp chính thống để giải các bài toán về phương trình hàm,thậm chí bị lúng túng không định hướng được khi tiếp cận một phươngtrình hàm

Các tài liệu về phương trình hàm còn ít và chưa có một tài liệu nàotrình bày đầy đủ các khía cạnh của phương trình hàm Do đó, có thể giúphọc sinh tiếp cận với phương trình hàm dễ dàng hơn và giải quyết đượcmột số bài toán về phương trình hàm là một yêu cầu hết sức cần thiết nên

em chọn đề tài " Một số phương trình hàm cơ bản và phương phápgiải "

Mục đích của luận văn là dựa trên việc tìm hiểu các phương trình hàm

và các tài liệu liên quan đến phương trình hàm để hình thành nên phươngpháp phân tích, khai thác các dữ liệu, dự đoán các hướng giải, các kỹ thuậtbiến đổi trên cơ sở đó hình thành nên một số phương pháp cơ bản đểgiải phương trình hàm

Bài luận văn " Một số phương trình hàm cơ bản và phương phápgiải " gồm có: Mở đầu, 3 chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Một số phương trình hàm cơ bản và các ví dụ

Trong chương này em đưa ra các Bài toán cơ bản của phương trình hàm

và các nghiệm của bài toán đó Có nhiều Bài toán cơ bản ở đây được giới

thiệu trong ([1]) và ([2]) Những bài toán đã có lời giải trong ([1]) và ([2]),thì trong Luận văn này ta chỉ sử dụng kết để giải các bài toán khác.

Chương 2 Một số phương pháp cơ bản giải phương trình hàmTrong chương này em trình bày một số dạng thường gặp của phươngtrình hàm và một số phương pháp cơ bản để giải các phương trình hàm

và các ví dụ áp dụng

Chương 3 Phương trình hàm với tập miền xác định là các tập

số tự nhiên

Đó là các phương trình hàm mà tập xác định là tập số tự nhiên và cáccách giải khác

1.1.1 Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy)

Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1)

Bài toán này đã được trình bày trong tài liệu ([1]) và ([2]), ở đây em chỉđưa ra kết quả Nghiệm của bài toán là

f (x) = ax, ∀a ∈ R

1.1.2 Tổng quát Bài toán 1

Cho a, b ∈ R\{0} Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên R và thỏamãn điều kiện

f (ax+by) = af (x)+bf (y), ∀x, y ∈ R (1.2)

Vậy (1.2) trở thành f (ax + by) = af (x) + bf (y) = f (ax) + f (by).

Khi đó trở về bài toán Cauchy có nghiệm là f (x) = cx, với c ∈ R

b) Nếu a + b = 1 thì f (0) là tùy ý Khi đó ta đặt g(x) = f (x) − f (0)

Cho x = y = 0 thì g(0) = f (0) − f (0) = 0 thay vào (1.2) ta được

g(ax + by) + f (0) = a[g(x) + f (0)] + b[g(y) + f (0)]

⇔ g(ax + by) = ag(x) + bg(y)

Theo kết quả trên thì g(x) = cx, với c ∈ R.

Vậy f (x) = cx + d với d = f (0), c ∈ R tùy ý.

Thử lại thấy f (x) = cx + d thỏa mãn

Nhận xét 1.1 Ngoài giả thiết liên tục trên R của hàm cần tìm trongphương trình hàm Cauchy nếu thay bằng các điều kiện khác như Bài toán1.1.3 dưới đây thì lớp hàm nhận được vẫn không thay đổi

1.1.3 Bài toán phương trình hàm Cauchy không có điều kiện

liên tục

Chứng minh rằng nếu hàm f : R −→ R thỏa mãn phương trình hàm

Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.3)

và một trong các điều kiện

1 f liên tục tại một điểm x0 ∈ R;

2 f bị chặn trên trên một khoảng (a; b);

3 f đơn điệu trên R

Do đó bằng qui nạp thì biểu thức (1.3a) được chứng minh vớin ≥ 2, n ∈ N

Khi đó từ (1.3a) với x = 0 ta có f (0) = f (n.0) = nf (0) Từ đó suy ra

Nếu n = 0 ta có f (0.x) = f (0) = 0 = 0.f (x) (đúng)

Nếu n = 1 ta có f (1.x) = f (x + 0) = f (x) + f (0) = f (x) (đúng)

Vậy (1.3a) được chứng minh

Hơn nữa từ (1.3) lấy y = −x và sử dụng f (0) = 0, ta thu được

f (x − x) = f (x) + f (−x)

⇔ f (0) = f (x) + f (−x)

Trước hết ta chỉ ra f liên tục tại 0.

Giả sử {xn} là dãy sao cho xn → 0, khi đó (xn+ x0) → x0 Lại do f

thỏa mãn Phương trình Cauchy cho nên

Vậy f là hàm liên tục tại 0

Bây giờ ta giả sử x ∈ R là số thực tùy ý và xn → x Khi đó

b) Trước hết ta chỉ ra rằng nếu f thỏa mãn Phương trình Cauchy và f

bị chặn trên trên một khoảng (a, b) nào đó thì nó bị chặn trong mọikhoảng (−α, α) với α > 0 tùy ý Ta xét hàm

Dễ thấy hàm g xác định bởi (1.3h) cũng thỏa mãn Phương trìnhCauchy

Vậy f (x) cũng bị chặn dưới trên (−α, α), tức f bị chặn trên tập

(−α, α)

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh f liên tục tại 0, khi đó theo (a) tađược

f (x) = ax

Để chứng minh được điều đó ta sẽ chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 1.1 Nếu {xn}∞n=1 là một dãy dần tới 0, thì tồn tại một dãycác số hữu tỉ {rn}∞n=1 ⊂ Q Sao cho rn → ∞ và

lim

Chứng minh Do xn → 0 nên |xn| → 0 Khi đó ta cũng có |xn|12 →

0,|xn|13 → 0 và do |xn| → 0 nên có thể giả thiết0 < |xn| < 1, ∀n ∈ N.

Bây giờ ta tiếp tục giải bài toán (b)

Giả sử {xn}∞n=1 là dãy dần tới 0 khi n → ∞ Khi đó theo Bổ đề trêntồn tại rn ∈ Q, rn → +∞ sao cho xnrn → 0 khi n → ∞ Vậy thì với

1.1.5 Tổng quát Bài toán 2

Cho a, b ∈ R\{0} Tìm các hàm f : R −→ R+ xác định, liên tục trên

R và thỏa mãn điều kiện:

f (ax + by) = [f (x)]a.[f (y)]b, ∀x, y ∈ R

Giải

Theo giả thiết f (x) > 0, ∀x ∈ R nên có thể đặt

g(x) = ln f (x)

Bài toán được quy về xác định hàm g xác định, liên tục trên R và thỏamãn điều kiện

g(ax + by) = ag(x) + bg(y), ∀x, y ∈ R,

theo cách giải của Bài toán tổng quát của Bài toán 1 ta có

Nhận xét 1.3 Nếu hạn chế miền xác định và miền giá trị của bài toán

là R+ thì ta có thể tổng quát hóa như sau

1.1.7 Tổng quát Bài toán 3

Cho a, b ∈ R\{0} Tìm f : R+ −→ R+

xác định, liên tục trên R+ vàthỏa mãn điều kiện

g(ax + by) = [g(x)]a.[g(y)]b, ∀x, y ∈ R

Sử dụng kết quả củaBài toán tổng quát của Bài toán 2 ta được

1.1.9 Tổng quát Bài toán 4

Cho a, b ∈ R\{0} Tìm f : R+ −→ R+

xác định, liên tục trên R+ vàthỏa mãn điều kiện

g(ax + by) = ag(x) + bg(y), ∀x, y ∈ R

Sử dụng kết quả của Bài toán tổng quát của Bài toán 1 ta được

1 Nếu a + b = 1 thì g(x) = cx, c ∈ R tùy ý.

Suy ra f (x) = c ln x, c ∈ R tùy ý.

2 Nếu a + b 6= 1 thì f (x) = cx + d với c, d ∈ R tùy ý.

Suy ra f (x) = c ln x + d với c, d ∈ R tùy ý.

Dưới đây là các ví dụ áp dụng các Bài toán cơ bản trên

Ví dụ 1.1 Xác định hàm số f liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

√2015

2 [(x + y)

Do đó (1.1) tương đương với

2

] = [f (x + y) +

√2015

2, do f liên tục trên R nên g cũng liên tục trên

R Khi đó bài toán quy về tìm hàm g liên tục trên R và thỏa mãn điềukiện

2, do f liên tục trên R nên g cũng liên tục trên R

Khi đó bài toán quy về tìm hàm g liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện

g(x + y) = g(x) + g(y)

Theo kết quả của Bài toán 1, ta có nghiệm là:

g(x) = αx, ∀α ∈ R

Vậy khi đó nghiệm của bài toán là

f (x) = −a

2x

2 + αx, ∀α ∈ R

Ví dụ 1.3 ( Đề thi hoc sinh giỏi Quốc gia 2006)

Xác định các hàm số f liên tục trên R, lấy giá trị trong R và thỏa mãnđiều kiện

2) > 0 nên để phương trình trên xảy ra thì f (t) < 0, ∀t ∈ R.

Ta đặt g(x) = log2(−f (x)) ⇒ f (x) = −2g(x), do f liên tục trên R nên g

cũng liên tục trên R Thay vào phương trình (1.3) ta được

f (2015.2016x+2016y) = f (2015.2016x)+f (2016y) (1.4e)

Đặt u = 2015.2016x; v = 2016y thay vào (1.4e) ta được

f (u + v) = f (u) + f (v)

Đến đây bài toán trở về Bài toán 1 có nghiệm là

Đến đây theo kết quả Bài toán 3 nghiệm của bài toán là

⇔ a[ 1a(xy)β]β = a2.(xy)β

thay các giá trị từ (1.6a) và (1.6b) vào (1.6) ta được

f (x + y) = f (x) − a + f (y) − b

Với x 6= 0, y 6= 0 cộng 1 vào 2 vế của (1.7) ta được

f (x + y) + 1 = f (x) + 1 + f (y) + 1 + f (x)f (y) − 1, ∀x, y ∈ R (1.7a)

Đặt g(x) = f (x) + 1 ⇔ f (x) = g(x) − 1 thay lên (1.7a) ta được

Vậy nghiệm của bài toán là

Khi đó hàm g thỏa mãn điều kiện Cauchy và vì f liên tục tại x = 0 nên

g cũng liên tục tại x = 0, do đó trở về Bài toán 1.1.3 có nghiệm là

Ví dụ 1.9 (Theo BMO 1997, 2000) Xác định các hàm số f liên tục

và xác định trên R thỏa mãn điều kiện

1 Nếuf (1) = 1 ⇒ x = 1, thay vào (1.9) ta có f (1 + f (y)) = 1 + y bìnhphương hai vế của đẳng thức lên ta được

(1+y)2 = f2(1+f (y)) = (1+f (y))2 = 1+2f (y)+f2(y) = 1+2f (y)+y2

⇒ 1 + 2y + y2 = 1 + 2f (y) + y2

⇔ f (y) = y, ∀y ∈ R

2 Nếuf (1) = −1 ⇒ x = −1, thay vào (1.9) ta có f (−1 + f (y)) = 1 + y

bình phương hai vế của đẳng thức lên ta được

(1+y)2 = f2(−1+f (y)) = (−1+f (y))2 = 1−2f (y)+f2(y) = 1−2f (y)+y2

⇒ 1 + 2y + y2 = 1 − 2f (y) + +y2

⇔ f (y) = −y, ∀y ∈R

Vậy hàm số cần tìm là f (x) = x hoặc f (x) = −x với mọi x; y ∈ R

Ví dụ 1.10 Xác định các hàm số f liên tục và xác định trên R thỏa mãnđiều kiện:

f (x2− f2(y)) = xf (x) − y2, ∀x, y ∈ R (1.10)

Giải

Kí hiệu

P (u, v) = f (u2−f2(v)) = uf (u)−v2, ∀u, v ∈ R (1.10a)

Cho x = 0, y = 0 vào (1.10), ta được

vậy f toàn ánh.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh f (x) = x, ∀x ∈ R

Từ (1.10) và sử dụng các kết quả ở trên ta suy ra

f (x2− f2(y)) = f (x2) − f (−f2(y)), ∀x, y ∈ R, (1.10e)

Phương trình (1.11) tương đương với phương trình sau

f [f (xy)−xy]−[f (xy)−xy] = [f (x)−x].[f (y)−y], ∀x, y > 0 (1.11a)

Đặt f (x) − x = g(x) vì f (x) liên tục trên R+ nên g : R+ −→ R+ và cũngliên tục Khi đó (1.11a) trở thành

g(g(xy)) = g(x)g(y), ∀x, y > 0 (1.11b)

Đặt g(1) = a cho y = 1 thì (1.11b) trở thành

khi đó g(x) = ah(x) = a.xβ, ∀x > 0.

Vậy nghiệm của bài toán

Ta giả sử hàm tồn tại α ∈ R sao cho g(α) = 0

Thay y = α vào (1.12) ta được

Đặt n = g(α + 1); m = f (α + 1) − f (α) thay vào biểu thức trên ta được

f (x + n) = mx

Do đó f là hàm tuyến tính và g cũng là hàm tuyến tính Khi đó ta giả sử

f (x) = ax + b và g(x) = cx + d, thay vào phương trình đã cho ta có

a[x + (xy + d)] + b = x(ay + b) − y(ax + b) + cx + d

Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại của α để g(α) = 0

Nếu f (0) = 0 ta đặt y = 0 thay vào biểu thức đã cho ta có

f (x + g(0)) = g(x)

Do đó ta có thể đặt α = −g(0)

Ta giả sử f (0) = b 6= 0 Thay x = g(x) vào phương đã cho ta được

f (g(x)+g(y)) = g(x)f (y)−yf (g(x))+g(g(x)) (1.12a)

Tương tự ta có

f (g(x) + g(y)) = g(y)f (y) − xf (g(y)) + g(g(y)) (1.12b)

Thay vào phương trình đã cho x = 0 ta được

g(y) = a − by với a = g(0)

Đặc biệt do g là đơn ánh và f là toàn ánh, vì vậy tồn tại c ∈ R sao cho

f (c) = 0

Kết hợp (1.12a) và (1.12b) ta được

g(x)f (y)−ay+g(g(x)) = g(y)f (x)−ax+g(g(y)), (1.12c)

thay y = c vào (1.12c) ta được

g(g(x)) = g(c)f (x) − ax + g(g(c)) + ac = kf (x) − ax + d

Do f liên tục tại 0 nên cho n → ∞, ta có

Nếu |α| = |β| ta xét hai trường hợp sau:

1 Nếu α = β thì không tồn tại hàm f thỏa mãn điều kiện đề bài vì

Có rất nhiều phương pháp giải Phương trình hàm nhưng do giới hạn vềdung lượng của một luận văn nên ở đây em chỉ giới thiệu một vài phươngpháp cơ bản để giải Phương trình hàm.

2.1.1 Phương trình dạng: f (α(x)) = g(x)

Trong phương trình trên α(x) và g(x) là những hàm số đã biết xácđịnh trên R Ta thường đặt t = α(x) rồi tìm cách giải ra x = h(t) khi đóthế vào phương trình đã cho ta được

f (t) = g(h(t)), ∀t ∈ R

Hàm số f (x) tìm được phải thử lại trực tiếp các yêu cầu của đề bài xem

có thỏa mãn không rồi mới kết luận là nghiệm của phương trình

Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t Thay vào (2.4) ta được

Vậy ta xét hai trường hợp sau

a) Nếu x 6= x1; x 6= x2 thì nghiệm của phương trình là f (x) = 1 − x2

trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − x − 1 = 0

b) Nếu x = x1; x = x2 theo định lý Vi-ét ta có

Thử hàm f (x) vừa tìm được lên các điều kiện của đề bài ta thấy thoảmãn.

Vậy nghiệm của phương trình là