Các hợp đồng quyền chọn ngoại lai trong toán tài chính luận văn ths toán học

N Tập các số tự nhiênQ Tập các số hữu tỷ R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm Ω, F, P Không gian xác suất V Giá của thu hoạch Vαt Giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t St

-MAI TRẦN MINH

CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội, 2015

-MAI TRẦN MINH

CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS TS TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội, 2015

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS TrầnHùng Thao, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứucho tôi để hoàn thành luận văn này Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn

sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ mônXác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được ý kiến đónggóp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 9 năm 2015

Mai Trần Minh

BẢNG KÝ HIỆU 5

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

1.1 Các khái niệm cơ bản 8

1.1.1 Cổ phiếu, trái phiếu và lợi suất 9

1.1.2 Phương án đầu tư 11

1.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO 13

1.1.4 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ 14

1.1.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitrage Pricing) 15

1.1.6 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale 17

1.1.7 Các tài sản phái sinh(Derivatives) 19

1.2 Mô hình Black - Scholes và những vấn đề liên quan 22

1.2.1 Mở đầu 22

1.2.2 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn kiểu châu Âu 24

1.2.3 Công thức Black-Scholes đối với giá quyền chọn bán 26

1.2.4 Những mô hình quyền chọn liên quan 27

2 CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI 28 2.1 Ba giá trị cổ phiếu 28

2.1.1 Các quá trình cực trị 28

2.1.2 Phân phối xác suất đồng thời của ba giá trị cổ phiếu 29

2.1.3 Giá của Quyền Chọn 29

2.2 Mô hình Kunitomo-Ikeda 30

2.2.1 Đặt vấn đề 30

2.2.2 Giới thiệu mô hình Quyền Chọn với rào cản 30

2.3 Quyền Chọn với rào cản và phương trình chuyền nhiệt 32

2.3.1 Mô hình 32

2.3.2 Việc chia cổ tức 33

2.3.3 Giá P giữa T và T’ 34

2.3.4 Giá P giữa 0 và T’ 34

2.3.5 Giá P vào thời điểm t=0 35

2.4 Mô hình Quyền Chọn với rào cản 35

2.4.1 Mô hình 35

2.4.2 Giá Quyền Chọn 37

2.5 Quyền Chọn Mua và Quyền Chọn Bán với một rào cản 39

2.5.1 Ký hiệu 39

2.5.2 Tính giá 41

2.6 Quyền Chọn "Nhìn-lại" (Look-back Options) 43

2.6.1 Giá thực thi thả nổi 43

2.6.2 Giá thực thi cố định 44

3 Một số bài toán khác về Quyền Chọn ngoại lai 45 3.1 Quyền Chọn châu Á 45

3.1.1 Các định nghĩa 45

3.1.2 Phép tính Trung bình-Phương sai 46

3.1.3 Định giá 46

3.2 Quyền Chọn trong giỏ 47

3.2.1 Các định nghĩa 47

3.2.2 Tính độ biến động tiềm ẩn (implied volatility) 47

3.2.3 Định giá 48

3.3 Quyền chọn lựa chọn 49

3.3.1 Định giá Quyền Chọn lựa chọn đơn giản 49

3.3.2 Cơ sở sau các chiến lược Quyền Chọn lựa chọn 52

3.4 Quyền chọn bằng số 52

3.4.1 Chọn giá thực hiện 54

3.4.2 Mức chênh mua như sự ủy quyền của Quyền Chọn bằng số 54 3.4.3 Biên độ của mức chênh mua đối với việc dự phòng 55

KẾT LUẬN 56TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

N Tập các số tự nhiên

Q Tập các số hữu tỷ

R Tập các số thực

R+ Tập các số thực không âm

(Ω, F, P) Không gian xác suất

V Giá của thu hoạch

Vα(t) Giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t

S(t) Giá trị của chứng khoán tại thời điểm t

Wt Chuyển động Brown

M Một thị trường

T Thời điểm đáo hạn của hợp đồng

EQ Kỳ vọng lấy theo độ đo Q

K Giá thực thi của Quyền chọn

Toán học dùng cho nghiên cứu về tài chính gồm nhiều bộ phận, nhưng trong

đó, đóng một vai trò lớn là các phép vi tích phân ngẫu nhiên và phương trình

vi phân ngẫu nhiên

Với những người mới bắt đầu, nếu chỉ sa đà vào các chi tiết kỹ thuật rất khócủa giải tích thì rất chóng nản lòng, không nắm được bản chất kinh tế - tài chínhcủa vấn đề, không biết rằng các mô hình toán học được đặt ra chỉ là các công

cụ để thấy rõ bản chất về kinh tế - tài chính Trong hơn một thế kỷ qua, cácnội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là những công cụ không thể thiếuđược trong nghiên cứu về tài chính Lý do là bản thân giá chứng khoán và giácác tài sản tài chính biến động một cách ngẫu nhiên nên có thể xem chúng nhưcác quá trình ngẫu nhiên

Luận văn bao gồm hầu hết những mô hình toán học vẫn gặp trong nghiêncứu về các thị trường tài chính như: thị trường cổ phiếu, trái phiếu, QuyềnChọn, các loại hợp đồng Các công cụ toán học được đưa vào một cách tự nhiên

và cũng đã đạng, không chỉ dừng lại ở các phương pháp của Giải tích ngẫu nhiên Luận văn này gồm 3 chương :

Chương I Các khái niệm cơ bản trong toán tài chính ngẫu nhiênChương này trình bày những khái niệm cơ bản trong toán tài chính ngẫunhiên như: Cổ phiếu, trái phiếu và các phái sinh, phương án đầu tư, hợp đồngquyền chọn mua, mô hình Black - Scholes và những vấn đề liên quan

Chương II Các hợp đồng quyền chọn ngoại lai

Chương này trình bày về các hợp đồng ngoại lai như: Ba giá trị cổ phiếu, mô

hình Kunitotmo - Ikeda, quyền chọn rào cản và phương trình truyền nhiệt, môhình quyền chọn một rào cản, quyền chọn mua và quyền chọn bán một rào cản,quyền chọn nhìn lại.

Chương III Một số bài toán khác về quyền chọn

Chương này trình bày về các bài toán khác về Quyền Chọn ngoại lai như:Quyền Chọn Châu á, Quyền Chọn trong giỏ, Quyền chọn lựa chọn, Quyền Chọnbằng số

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

NGẪU NHIÊN

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùngtrong nghiên cứu về tài chính Ngoài những khái niệm chung về cổ phiếu, tráiphiếu, phương án đầu tư, cơ hội có độ chênh thị giá, đều được đề cập

1.1 Các khái niệm cơ bản

Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm

• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện chomột yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nàođó

• F là một họ nào đó các tập con củaΩ, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếmđược và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường các tập con của Ω.Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo được (Ω, F)

1.1.1 Cổ phiếu, trái phiếu và lợi suất

(a) Cổ phiếu

Một doanh nghiệp hoặc công ty chia tài sản của mình ra nhiều phần (gọi là

cổ phần, share) đem bán cho các nhà đầu tư dưới dạng cổ phiếu (stocks) Cáccông ty phát hành ra các cổ phiếu niêm yết trên các sàn giao dịch chứng khoántại đó hình thành nên một thị trường cổ phiếu Những người sở hữu các cổ phiếu

đó được gọi là các cổ đông và có thể được hưởng một khoản lãi định kỳ gọi là

cổ tức (divident) tùy theo công ty đó làm ăn có lãi hay không và có quyết địnhchia lãi hay không

Giá của một cổ phiếu thay đổi ngẫu nhiên từng ngày và từng thời điểm trongngày Đó là một quá trình ngẫu nhiên S = (S t (ω)xét trong một không gianxác suất có lọc (Ω, F, (F t ), P ), trong đó ( F t ) là một họ tăng các σ − trường F t,

0 ≤ t ≤ T, mỗi σ −trường ghi nhận mọi thông tin, mọi biến cố về thị trường chođến thời điểm t

Giá của một cổ phiếu công ty phản ánh cách nhìn và dự đoán của nhà đầu

tư về lợi nhuận mà họ có thể kiếm được và nguồn vốn công ty đó kiểm soát Nóichung, trong phần lớn thời gian, giá của một cổ phiếu sẽ được phán định bởitất cả những người muốn trả giá cho nó vào một ngày định trước

Để đánh giá chung nhất về hoạt động của các thị trường chứng khoán, người

ta đưa ra các chỉ số đánh giá riêng cho từng thị trường chứng khoán, các chỉ sốnày cho biết tình hình tăng trưởng hoặc giảm sút của thị trường Chẳng hạn ở

Mỹ các chỉ số S&P,Dow Jones, NASDAQ,

Trên thị trường cổ phiếu, có hai loại lưu hành rất phổ biến là cổ phiếu pennystock và cổ phiếu blue-chip Penny stock là loại cổ phiếu có mệnh giá nhỏ và có

độ rủi ro cao: ai sở hữu chúng rất khó bán đi (người ta thường nói là độ thanhkhoản kém Blue-chip là loại cổ phiếu tốt do các công ty lớn có danh tiếng pháthành, có khối lượng giao dịch lớn

(+) Trái phiếu lãi suất 0 hay còn gọi là trái phiếu 0 (zero-coupon): trái phiếunày sẽ được bán với giá thấp hơn của mệnh giá và được thanh toán vào đúngngày đáo hạn theo đúng mệnh giá được ghi trên trái phiếu và không trả lãi gìthêm.

(+) Trái phiếu có lãi suất (coupon bond) là loại trái phiếu mà người phát hành,ngoài số tiền theo mệnh giá phải trả vào ngày đáo hạn, còn phải trả thêm chongười sở hữu trái phiếu một số tiền lãi theo định kỳ ghi rõ trên trái phiếu, trongphạm vi trái phiếu còn giá trị

Thí dụ: Ở Mỹ, các trái phiếu kho bạc với thời hạn T thường gọi là T - bill.Các trái phiếu đó có mệnh giá (face value) là bội số của 1000 đô la và có thờihạn đáo hạn T là từ 2 năm đến 30 năm Loại trái phiếu 2 năm là trái phiếu cólãi suất Loại trái phiếu 30 năm là trái phiếu không lãi suất

Khi trái phiếu được phát hành ra lần đầu thì giá của nó do nơi phát hành(chính phủ hoặc doanh nghiệp) ấn định ra, giá đó có thể thấp hơn mệnh giá ghitrên trái phiếu Sau đó giá của nó trong thị trường có thể lên hoặc xuống, tùythuộc vào mức độ chung của lãi suất

(c) Lợi suất

Lợi suất là một khái niệm chung nó gồm có hai khái niệm là lãi suất (interestrate) và hoa lợi (yield):

(+) Lãi suất của một luồng tiền đầu tư (điển hình là trái phiếu có lãi) chính

là tỷ lệ tiền phải trả theo định kỳ, tính theo phần trăm của mệnh giá của tráiphiếu (tức là của giá trị tương lai đã ấn định của luồng tiền đầu tư)

(+) Hoa lợi là gì ?

Đó là lãi suất nhưng tính theo giá trị thị trường của trái phiếu (chứ khôngphải tính theo mệnh giá đã ghi sẵn trên trái phiếu) Nếu giá thị trường của tráiphiếu tính tại một thời điểm hiện tại t nào đó (thời điểm đáo hạn là T), thì lãisuất đó được gọi là hoa lợi hiện tại Nếu tính tại thời điểm đáo hạn T thì ta cóhoa lợi lúc đáo hạn

1.1.2 Phương án đầu tư

Ta quy các tài sản cơ bản vào hai loại chính là cổ phiếu và trái phiếu gọichung là chứng khoán cơ bản Với mỗi chứng khoán S (Security), ta xem giácủa nó là một quá trình ngẫu nhiên S(t) trên một không gian xác suất có lọc

(Ω, F, (F t ), P ), trong đó ( F t ) là một họ các sigma - trường thể hiện một luồngthông tin của thị trường

(a) Phương án đầu tư

Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán vớicác trọng số nào đấy Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là:

S 1 (t), S 2 (t), , Sn(t) Một phương án đầu tư là một cách chọn ra α 1 (t) chứngkhoán S 1 (t), , αn(t) chứng khoán Sn(t) tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vậy giátrị của phương án ấy tại thời điểm t, ký hiệu Vα(t) được xác định bởi:

án đầu tư cũng còn được gọi là danh mục đầu tư hoặc hoặc chiến lược đầu tưhoặc chiến lược buôn bán, và cũng ký hiệu là φ = (α, S)

(b) Phương án mua và bán

Một phương án đầu tư (α, S) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán

Si(i = 1, 2, , n) tại thời điểm t nếu αi(t) > 0 và được gọi là phương án mua đốivới chứng khoán ấy nếu αi(t) < 0 Giá của chứng khoán Si tại thời điểm t được

kí hiệu là Si(t)

(c) Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self -financial portfolio)

(+) Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điềuchỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán Si(1 ≤ i ≤ n) Điều đó cũng có nghĩa

là thay đổi các trọng số của chúng từ α 1 (t), , α n (t) sang β 1 (t), , β n (t)

(+) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi,tức là:

β 1 (t)S 1 (t) + + β n (t)S n (t) = α 1 S 1 (t) + + α n S n (t) (1.1.2)

thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self-financing) Vậy một sự điềuchỉnh tự tài trợ tại một thời điểm t của phương án đầu tư không làm tăng hoặcgiảm vốn đầu tư:

(α, S) → (β, S) ⇒ V β (t) = Vα(t), xét tại thời điểm t đó

1.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO

(a) Cơ hội có độ chênh thị giá

Nói một cách trực quan, thì độ chênh thị giá biểu thị một khả năng có thểkiếm chác được từ một sự đầu tư ban đầu bằng không

Xét một mô hình thị trườngMgồm các chứng khoánS và một họ các phương

án đầu tư tự tài trợΦ = {φ = (α, S)} Ta kí hiệuM = (S, Φ) Các giá chứng khoán

S t trong S được xem là các quá trình ngẫu nhiên xét trong một không gian xácsuất có lọc (Ω, F, (F t ) , P ) , với Ft là một họ tăng các σ −trường con của F vàthỏa mãn điều kiện thông thường (tức là một họ tăng theo t, liên tục phải vàchứa mọi tập F−đo được và P −bỏ qua được, đồng thời F0 = {Ω, ∅}) theo địnhnghĩa Họ ( F t ) chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cốxảy ra trên thị trường Các quá trình giá tài sản tài chính đều được giả thiết làthích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với mỗi t, giá đó đo được đối với

F t

Định nghĩa:

Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi là một cơ hội có độ chênhthị giá nếu quá trình giá Vt(φ) của phương án đầu tư thỏa mãn các điều kiện:(i) P {V 0 (φ) = 0 } = 1,

(ii) P {V t (φ) ≥ 0} = 1 và P {V T (φ) > 0 } > 0, T là thời điểm đáo hạn của hợpđồng

Điều kiện (i) nói lên rằng hầu chắc chắn tại thời điểm ban đầu, vốn đầu tưbằng không; điều kiên (ii) có nghĩa là hầu chắc chắn đến lúc kết thúc hợp đồng,phương án đầu tư có lợi nhuận ≥ 0 và rằng có khả năng kiếm lời thực sự tạithời điểm kết thúc hợp đồng Cả hai điều kiện có nghĩa là phương án φ là mộtphương án tay không mà kiếm được lợi nhuận Cơ hội có độ chênh thị giá đôikhi cũng nói gọn là cơ hội chênh thị giá

Nguyên lý AAO

Ta nói rằng thị trường M = (S, Φ) là một thị trường không có độ chênh thịgiá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ mà là có

độ chênh thị giá.

Giả thiết "không có độ chênh thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence ofArbitrage Opportunity)

Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ

Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ F t − đo được Một hợp đồng tài chínhchỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là XT được gọi là một tài sảnphái sinh kiểu châu Âu và được ký hiệu là X Nếu có thể thực thi tại mọi thờiđiểm t ≤ T thì hợp đồng ấy gọi là phái sinh kiểu châu Mỹ

Tài sản phái sinh châu Âu cũng được gọi là một quyền tài chính châu Âu.Nếu không nói gì thêm, từ nay ta sẽ gọi tắt đó là một phái sinh, hay một quyền

1.1.4 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ

(a) Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy)

Một chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thờiđiểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho

VT(φ) = XT (R)

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giátrị đáo hạn XT đã định trước và đã ghi trong hợp đồng

Quá trình giá Vt(φ) của phương án ấy (tức quá trình mà giá đáo hạn là

VT(φ) = XT) được gọi là quá trình đáp ứng Ký hiệuΦX là lớp tất cả các phương

án đầu tư φ đáp ứng cho phái sinh X

Ý nghĩa của thuật ngữ đáp ứng (replication) cũng là ở chỗ đó Trong hợpđồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạn XT rồi, phương án đầu tưphải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp ứng được điều kiện(R) Điều kiện (R) được gọi là nguyên lý đáp ứng

(b) Phái sinh đạt được trong thị trường M.

Một tài sản phái sinh X được gọi là đạt được trong thị trường M nếu có ítnhất một phương án đáp ứng cho nó Điều đó cũng có nghĩa là ΦX 6= 0.

(c) Thị trường đầy đủ (Complete Market).

Một thị trường M được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạtđược trong M, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên X

đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ

sao cho VT(φ) = X T

Nhận xét:

Nói chung, tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường Với đòi hỏinày, thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá bằng phươngpháp độ chênh thị giá và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như xây dựngphương án tự tài trợ

1.1.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitrage Pricing)

(a) Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng

Trong mục này ta giả thiết rằng X là một phái sinh thực thi tại thời điểmđáo hạn T.

Định nghĩa 1.1.5.1

Ta nói rằng phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường

M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X , tức là nếu ta có hệthức:

Vt(φ) = V t (ψ) ∀t ≤ T (1.1.8)

với hai phương án đầu tư bất kỳ φ vàψ thuộc vềΦX Trong trường hợp này quátrình Vt(φ) được gọi là quá trình sở hữu của X trong M

Sau đây là một khẳng định nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không có

độ chênh thị giá (AAO) và nguyên lý đáp ứng

Định lý 1.1.5.1 Giả sử M là một thị trường không có độ chênh thị giá Khi

đó mọi tài sản phái sinh đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trong M.Vậy nguyên lý AAO kéo theo tính đáp ứng duy nhất đối với mọi phái sinhđạt được

(b) Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giáGọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựavào nguyên lý AAO (không có độ chênh thị giá) và nguyên lý đáp ứng để tính

ra giá của một tài sản phái sinh tại một thời điểm t trước lúc đáo hạn T, đặcbiệt là tính ra được giá ban đầu V 0 (tức hiện giá) của phương án cần đầu tư đểđạt được giá trị đáo hạn X đặt ra trước của hợp đồng Công cụ để thực hiệnphương án này là một độ đo xác suất mới mà ta sẽ gọi là xác suất trung hòarủi ro hay độ đo martingale mà ta sẽ giải thích kỹ ở mục 1.1.6 Vì thế phươngpháp này cũng gọi là phương pháp rủi ro trung tính

Giả sử Vt là giá của một phương án đầu tư tại một thời điểm t nhằm thựchiện một hợp đồng phái sinh có giá đáo hạn là X Đó là một quá trình ngẫunhiên xét trên một không gian có lọc(Ω, F, (F t ) , P ), trong đó( F t )là luồng thôngtin của thị trường với F0 = {Ω, ∅} và P là xác suất ban đầu

Nói chung, dưới độ đo ban đầu P thì (V t ) không phải là một martingale đốivới Ft Người ta đi tìm một độ đo xác suất mới Q và một hệ số tất định k(t)saocho

(+) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P

(+) Dưới độ đo Q thì quá trình eVt = k (t) V t là một martingale đối với luồngthông tin thị trường Ft, tức là

EQ

e

Vt|F s



= Ves với mọi s ≤ t (1.1.9)

trong đó EQ là ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất mới Q Đặc biệt, nếu

ta lấy s = 0 (thời điểm ban đầu) và t = T (thời điểm đáo hạn), thì hệ thức trêncho ta:

EQ

f

V0 = k(T )

k (0)EQ(XT) (1.1.14)

Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng V 0 như trên để đạt đượcgiá trị của hợp đồng bằng XT như mong muốn, V 0 chính là hiện giá của hợpđồng Ngoài ra, ta cũng biết được giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm

t bất kỳ, 0 ≤ t ≤ T:

Vt = k(T )

k (t)EQ(XT) (1.1.15)

theo một cách suy diễn tương tự như trên

Hệ số k(t) ở đây được gọi là hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi (discountedcoefficient) bởi vì nhờ nó ta có thể tính lùi giá của tài sản từ thời điểm đáo hạn

T về giá tại các thời điểm trước đó Trong trường hợp tổng quát,k(t) còn có thể

là một quá trình ngẫu nhiên nữa Khi đó thì giá tính lùi Vt cho bởi công thức

Chi tiết hơn về phương pháp này sẽ được trình bày trong mục 1.1.6 tiếp theođây

1.1.6 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale

Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu (X) có giá đáo hạn là XT được viếttrên tài sản cơ sở S

S = S t , 0 ≤ t ≤ T ),

có thời gian đáo hạn là T.

Để đơn giản, giả thiết S là 1-chiều (tức một tài sản cơ sở, chẳng hạn một cổphiếu)

Giả thiết rằng các giá của S đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một khônggian xác suất được lọc (Ω, F, (F t ) , P ) , trong đó ( F t )là bộ lọc mang thông tin vềthị trường

Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) = 1

β(t), trong đó β(t) nói chung cũng có thể

là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nóitrên Thông thường người ta hay chọn β(t) = er(T −t), do đó hệ số chiết khấu là

e−r(T −t); Nếu lãi suất không có rủi ro thìr là tất định và hệ số chiết khấu là tấtđịnh

(i) Tính chất (ii) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu

Do đó xác suất Q cũng còn được gọi là độ đo martingale

(ii) Giả thử Q là một độ đo martingale Gọi Vt là quá trình giá của mộtchiến lược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở S Người ta đã chứngminh được rằng khi đó quá trình giá đã chiết khấu

e

Vt= Vtβ(t) (1.1.18)

cũng là một martingale đối vơi Q, F t

Nói riêng, khi đó ta có

Định lý cơ bản định giá tài sản:

Một thị trường là không có độ chênh thị giá (AAO) nếu và chỉ nếu tồn tạimột xác suất rủi ro trung tính Q (hay độ đo mac-tin-ganQ)

1.1.7 Các tài sản phái sinh(Derivatives)

Như ta đã biết, tài sản phái sinh là một gói gồm một số tài sản cơ sở (cổphiếu các loại, trái phiếu các loại hoặc một số đối tượng tài chính như giá trị lãisuất, tỷ gia hối đoái, ) được ghi nhận trong một hợp đồng tài chính với nhữngđiều khoản về thực thi sự sở hữu gói tài sản đó Người giữ hợp đồng đó là người

có quyền sở hữu gói tài sản đó Quyền đó có thể mua đi bán lại trên thị trường,

vì thế ta nói các hợp đồng đó là các giấy tờ có mệnh giá

Các phái sinh chính gồm có: Các hợp đồng quyền chọn (options) các hợp đồng

ký kết trước (forwards), các hợp đồng tương lai (futures)

(a) Quyền chọn mua (Call)

Đó là một bản hợp đồng ghi rõ ai sở hữu nó sẽ có quyền mua một gói chứng khoán

cơ sở (cổ phiếu, trái phiếu, ) trong tương lai với một giá xác định trước gọi

là giá thực thi Cái quyền này cho phép có thể mua mà không bắt buộc phải mua.Các điều kiện của hợp đồng này là:

(1) Đến ngày đáo hạn của hợp đồng người giữ hợp đồng có thể trả cho ngườithảo hợp đồng số tiền bằng giá thực thi đã định trước ghi trong hợp đồng

(2) Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền đó thì bắt buộc phải giao gói tàisản đã ghi trong hợp đồng

Chú ý

(i) Nếu đến ngày đáo hạn, gói tài sản có giá trị thị trường cao hơn giá thựcthi thì người giữ hợp đồng quyết định thực thi (để sau đó bán ngay kiếm lời);nếu giá thị trường lúc đó thấp hơn giá thực thi đã ghi trong hợp đồng, thì ngườigiữ hợp đồng có thể quyết định không thực thi

(ii) Nếu việc thực thi quy định trong hợp đồng phải thực hiện vào đúngthời điểm đáo hạn T của hợp đồng thì Quyền chọn gọi là quyền chọn mua kiểuchâu Âu Nếu có thể thực thi hợp đồng tại thời điểm t bất kỳ trước lúc đáo hạn

(t ≤ T ) thì ta có quyền chọn kiểu Mỹ

(b) Quyền chọn bán (Put)

Cái quyền có thể mua được một cơ hội được phép bán một gói tài sản cơ bảntrong tương lai với một giá đảm bảo cố định trước (ngay cả khi mà người takhông sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả), là nội dung của các hợp đồng cóquyền chọn bán

Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn bán là như sau:

(1) Đén ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này (tức là người mua hợp đồng)

có thể đưa cho người viết hợp đồng (tức người bán hợp đồng) một gói chứngkhoán hoặc một số tiền tương đương theo giá thị trường lúc đó

(2) Nếu người viết hợp đồng nhận gói chứng khoán hoặc số tiền tương đương

do người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta bắt buộc phải trả chi phí thực thicho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng

(c) Hợp đồng ký kết trước(Forward Contract) Đó là loại hợp đồng ký kết trướcgiữa hai bên đối tác A và B (thường là các công ty tài chính hoặc các nhà môigiới đầu tư, hoặc các nhà đầu tư tài chính, ) với các quy ước sau:

(1) Đến thời điểm đáo hạn T của hợp đồng, bên A phải giao cho bên B mộtkhối lượng sản phẩm tài chính (cổ phiếu, ngoại tệ, ) hoặc một khối lượng hànghóa đặc biệt nào đó (dầu mỏ, lúa gạo, hải sản, hàng công nghiệp, ) có giá thịtrường là X tại thời điểm T

(2) Đến thời điểm đáo hạn T đó, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền

F (0, T ) định trước từ lúc kí kết (thời điểm t = 0)

(3) Không có bất kỳ một chi phí giao dịch nào trước thời điểm T

(4) Đến thời điểm T, hai bên bắt buộc phải thực thi các quy ước đó, theomột số điều khoản cụ thể (khác với các hợp đồng Quyền chọn, trong đó bênmua Call và bên bán Put có thể không thực thi)

(d) Hợp đồng tương lai (Future Contract) Hợp đồng tương lai giữa hai đối tác

A và B cũng giống với Hợp đồng ký kết trước ở các quy ước (1), (3), (4) và khácvới Hợp đồng ký kết trước ở chỗ quy ước (2) được thay bằng:

( 2’) Đến thời điểm đáo hạn T, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền

là F (t, T ), với khoản tiền này hoàn toàn xác định bởi giá cả thị trường tại thờiđiểmt nào đó, t < T (Đối với hợp đồng ký kết trước thì khoản tiềnF (0, T ) hoàntoàn do thỏa thuận hai bên và ấn định trước ngay từ lúc đặt bút ký (t = 0)).Ngoài ra, các sản phẩm ghi nợ trong hợp đồng phải là tài sản được niêm yếttrong thị trường chính thức

Một điểm phân biệt nữa giữa hai loại hợp đồng ký kết trước (forward) và tươnglai (future) là ở chỗ: Hai bên đối tác của hợp đồng ký trước thì thỏa thuận rằng

sẽ ràng buộc trực tiếp với nhau thông qua những điều khoản của hợp đồng Cònđối với hợp đồng tương lai, thì hai bên mua và bán chỉ quan hệ gián tiếp vớinhau trên thị trường chính thức thông qua một tổ chức trung gian gọi là Quỹđền bù (Compensation Fund).

Trong một hợp đồng tương lai, người giữ hợp đồng có thể là người bán hayngười mua (cũng giống như đối với Put và Call Option) Việc chuyển tiền qualại giữa người giữ hợp đồng và Quỹ đền bù được tiến hành hàng ngày và đượcgọi là Lệnh gọi đền bù (Margin Call)

1.2 Mô hình Black - Scholes và những vấn đề liên quan

1.2.1 Mở đầu

Ta bắt đầu bằng việc giải thích mô hình Black-Scholes là gì và dùng để giảiquyết những vấn đề gì

(a) Định nghĩa mô hình

Mô hình này được Fischer Black và Myron Scholes đưa ra đầu tiên năm 1973nhằm để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, trong đó giả thiết quyền chọnđược xây dựng trên hai tài sản cơ sở là cổ phiếu S có giá tại thời điểm t là St

và một trái phiếu B có giá là Bt thỏa mãn các phương trình vi phân sau:

tại thời điểm ban đầu sao cho quyền chọn được đáp ứng

Vậy mô hình Black-Scholes gồm có mấy yếu tố sau:

(i) Tài sản cơ sở là S vàB thỏa mãn các phương trình (1.2.1)-(1.2.2)

(ii) Các giả thiết về chứng khoán và thị trường (sẽ nói sau).

(iii) Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn

(b) Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes

Ta nhận thấy quá trình ngẫu nhiên St thỏa mãn phương trình (1.2.1) chính làmột chuyển động Brown hình học mà biểu thức là:

(c) Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes Các giả thiết đó là:

(1) Thị trường hoạt động liên tục

(2) Lãi suất không đổi

(3) Không chia cổ tức trong suốt thời kỳ hữu hiệu của hợp đồng quyền chọnmua

(4) Không có chi phí giao dịch

(5) Không có độ chênh thị giá

(6) Hai tài sản cơ bản S và B có giá thay đổi theo các phương trình (1.2.1)

và (1.2.2)

(d) Hiện giá quyền chọn mua.

Ta nhận xét trái phiếuB t = B 0 ert thực chất có thể xem là tất định, nên yếu tốngẫu nhiên nằm trong giá cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên(3.6.1) Ta có thể quy đổi giá cổ phiếu tính theo giá trị của giá một trái phiếu (tức

là coi giá 1 trái phiếu là một đơn vị tiền, vì thế đôi khi ta gọi trái phiếu trong bốicảnh này là một hiện kim), và ta vẫn ký hiệu giá cổ phiếu tính theo đơn vị mới là

St, với mặc định rằng xétSt tức là đã xét cả hai chứng khoánS vàB trong đó rồi

Gọi V là giá của thu hoạch do quyền chọn tại thời điểm ban đầu t = 0, ST làgiá chứng khoán tại thời điểm T và X là giá thực thi được ghi trước trong hợpđồng quyền chọn mua Nếu ST ≥ X thì lợi nhuận sẽ là ST − X ≥ 0, nhà đầu tư

sẽ thực thi để kiếm lời Nếu ST < Xthì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng

vì không bắt buộc phải mua, nếu thực thi sẽ bị lỗ Cho nên lợi nhuận sẽ là

ST − X nếu ST − X ≥ 0

0 nếu ST − X < 0 (1.2.5)

Để cho gọn đại lượng ấy sẽ được ký hiệu là (ST− X)+ và được gọi là phần dươngcủa (ST − X) Đại lượng ấy là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trungbình của nó bởi kỳ vọng E

Việc xây dựng này có thể được tiến hành theo hai cách sau đây:

(1) Cách 1: Xuất phát từ các hệ thức (1.2.6) và (1.2.7) bằng cách tính toánngẫu nhiên ta có công thức

V0 = S 0 N (d 1 ) − e−rTN (d 2 ) , (1.2.8)

trong đó

d1= 1

σ √ T

d 2 = d 1 − σ√T , σ là độ biến động giá chứng khoán (1.2.9)

và N (x) là ký hiệu hàm phân phối chuẩnN (0, 1): N (x) = √1

ro là 8% một năm và độ biến động chứng khoán là 30% một năm

Vậy S0= 60, X = 65, T = 3 tháng= 0.25 tính theo năm, r = 0.08, σ = 0.30. Do đó:

d1= ln

60

65 +0.08+0.3022 0.25 0.30 √

0.25 = −0.3253

d2= d 1 − 0.30√0.25 = −0.4753

Theo bảng giá trị của phân phối chuẩn N(0, 1) ta có

1.2.3 Công thức Black-Scholes đối với giá quyền chọn bán

Đối với quyền chọn bán, lợi nhuận hoặc thu hoạch sẽ là

trong đó d 1 và d 2 cũng được xác định bởi (1.2.9)

Tổng quát hơn, giá quyền chọn bán tại thời điểm t ≤ T sẽ là

1.2.4 Những mô hình quyền chọn liên quan

Từ mô hình Black-Scholes ban đầu để định giá quyền chọn mua và bán kiểuchâu Âu đối với hai tài sản cơ sở là cổ phiếu và trái phiếu, người ta cũng xéttới các quyền chọn khác với các đối tượng tài chính khác chọn làm tài sản cơ

sở như: các chỉ số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai,quyền chọn tiền tệ, Ngoài ra, đối với các quyền chọn mua và bán theo mô hìnhBlack-Scholes mà có thể thực thi tại một thời điểm bất kỳ trước khi đáo hạn,người ta gọi đó là quyền chọn kiểu châu Mỹ

(a) Quyền chọn xây dựng trên các chỉ số chứng khoán

Năm 1973, Merton đã mở rộng mô hình Black-Scholes để định giá quyền chọnmua châu Âu đối với chỉ số chứng khoán có trả hoa lợi cổ tức q Gọi C 0 là hiệngiá của quyền chọn mua đó thì ta có công thức

C0 = S0e−qTN (d1) − Xe−rTN (d2) (1.2.15)

trong đó

d1 = 1

σ √ T

d2 = d 1 − σ√T , S0 là chỉ số chứng khoán ban đầu

b Quyền chọn xây dựng trên hợp đồng tương lai hoặc trên hợp đồng ký kếttrước

Năm 1976, Black đã đưa ra công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âuđối với một hợp đồng ký kết trước (Forwards) hoặc một hợp đồng tương lai(Futures) chọn làm tài sản cơ sở, với hiện giá ban đầu là F 0:

C0= e−rT[F 0 N (d 1 ) − XN(d 2 )] (1.2.16)

trong đó

d1 = 1

σ √ T