KINH NGHIỆM ĐỂ HỌC SINH HỌC TỐT BÀI KHOẢNG CÁCH

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc tính khoảng cách hình không gian, đặc biệt là khoảng cách hai đường chéo nhau. Tài liệu nên chi tiết cụ thể cách thực hiện và phát hiện để học sinh hoàn thành tốt phần này

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT BÀI

“KHOẢNG CÁCH”

1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng và đến một đường thẳng.

1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng

Phần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường ∆) Nếu tam giác MAB vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong

tam giác vuông: 1 2 1 2 1 2

MH = MA + MB Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH

B B

H

A

M M

H

M

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính

khoảng cách từ A đến SC

Với ví dụ này học sinh không khó khăn trong việc kẻ AH vuông góc với SC ( H thuộc SC) và nêu hướng tính AH:

SO.AC = AH SC Giáo viên thống nhất hướng tính và kết quả

H

O

D

C

B A

S

1.2 - Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ Chắc chắn là nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào

Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp đều xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.Từ đó

giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này

Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc Hỏi học sinh: tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vuông góc xuống mặt phẳng Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 ( hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia)

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P)

+ Tìm giao tuyến a của (P) và (Q)

+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a Khi đó d(M;(P)) = MH

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c Tính

khoảng cách từ B đến (ACC'A')

H

D'

C' B'

A'

D

C

A

B

GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn)

+ Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mặt phẳng (ABCD)

vì mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A'))

+ Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC.

+ Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH

vuông góc với (ACC'A') Vậy d(B; (ACC'A')) = BH

+ BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông

BH

BH = BA + BC → = a b

+

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a.

Gọi M là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ M đến (SCD)

(Yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước)

+ Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp (Q) chỉ cần vuông góc với 1 đường của (SCD) Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC có liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn Yêu cầu hs đọc những đường vuông góc với CD Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vuông góc với CD (N là trung điểm của CD), hay (SNM) vuông

góc với (SCD)

+ Giao tuyến của (SCD) và

(SMN) là: SN

+ Trong (SMN): kẻ MH vuông

góc với SN (H thuộc SN) thì MH

vuông góc với (SCD) Từ đó suy ra

d(M; (SCD)) = MH

+ MH là chiều cao của tam giác

nào? Dựa vào tam giác SMN, học sinh có thể đưa ra hướng tính: SO.MN = MH SN

2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a.

Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD)

Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng cách từ A (hoặc B) đến (SCD) Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với (SCD)

N

H

M

O

D

C B

A

S

là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng này nhưng hình vẽ rất rối

Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn 1 mặt phẳng vuông góc với (SCD) (theo ví dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách từ điểm nào tới (SCD)?

Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành "các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song" như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)

+ Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q') chứa a và song song với (Q))

+ Tìm giao tuyến (∆) của (P) và (Q)

+ Trong (Q): kẻ MH ⊥ ∆ (H∈ ∆) Khi đó MH ⊥(P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MH

Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ 4 nên đổi thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thành kc từ A hay B đến (SCD)

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách giữa AB’

và mp (A'C'D)

H

I

O

D'

C' B'

A'

D

C

A

B

Yêu cầu mỗi hs l àm 1 bước:

+ Tìm mp vuông góc với (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’ Đó là mp (BDD’B’) Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’) Trong mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’) khoảng cách phải tìm là B’H

Để tính độ dài B’H :2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O

2.2 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách giữa hai

mặt phẳng (ACB') và (A'C'D)

+ Tìm mặt phẳng vuông góc với (A'C'D): đó là mặt phẳng (BDD'B') (vì (BDD'B') ⊥

A'C')

+ Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO

+ Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuộc đường B'I

+ Trong (BDD'B'), kẻ B'H ⊥DO thì khoảng cách phải tìm là B'H

+ B'H là đường cao của tam giác B'OD Từ đó có hướng tính: B’H.OD = DD’.B’O

LUYỆN TẬP

Bài tập 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a M, N lầ lượt là

trung điểm của AB, AC Tính khoảng cách giữa BC và (NMC’)

Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) Tứ giác ABCD là

hình vuông cạnh a SA =2a M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD Chứng minh rằng MN // (SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS)

3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn vuông góc chung)

H

I

O

D'

C' B'

A'

D

C

A

B

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA⊥

(ABCD), SA =a Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A

O

d

D

C

A

B

S

Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB Của SA và BD đó là AO Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H Khi đó đoạn

AH là đoạn vuông góc chung của SA và d

Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào?

3.1- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:

N M

b a

P)

Yêu cầu hs nói cách dựng đường vuông góc chung của a và b vông góc và chéo nhau?

+ Tồn tại mp (P) chứa b và vuông góc với a

+ (P) cắt a tại M

+ Kẻ MN ⊥b (N thuộc b), MN chính là đường vuông góc chung của a và b.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA⊥(ABCD),

SA =a Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC

*) Khoảng cách giữa SB và AD

- Hai đường này có vuông góc không? tại sao?

- Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi trên thì có thể tiến hành tìm được đoạn vuông góc chung của hai đường

+ AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ) Từ đó suy ra có mặt phẳng chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB)

N

H M

O

D

C B

A

S

+ AD cắt (SAB) tai A

+ Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoạn vuông góc chung của AD và SB

+ Hs dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB

*) Khoảng cách giữa DB và SC

+ Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC)

+ (SAC) cắt BD tại O là trung điểm của BD

+ Kẻ OK vuông góc với SC Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD

+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK SC = SA OC

3.2- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc với nhau:

Việc xác định đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính khoảng cách này Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( trong đó (P) chứa b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao)

H

M

O

D

C B

A

S

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a.

Tính khoảng cách giữa AB đến SC

Trước tiên học sinh kiểm tra xem hai đường có vuông góc không? Giáo viên hướng dẫn cách kiểm tra

Yêu cầu hs đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song Đó là k/c giữa đường AB và (SCD)

Bài toán này đã làm trong ví dụ 3 Kiểm tra học sinh các bước thực hiện loại k/c này

Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính k/c giữa AA’ và DB;

giữa AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’)

- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì AA’ vg với (ABCD) Yêu cầu hs thực hiện theo đúng các bước Kết quả

k/c thứ nhất là AO bằng 2

2

a

- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg với (ACC’) tại O Trong (ACC’) kẻ ON vuông góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD Học sinh dựa vào diện tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO CC’

Từ đó tính được k/c cần tìm là

2

2

6 3

a

M H I O

A

D

A'

D' N

- Hs kiểm tra hai đường AI và C’D’ không vuông góc Cần đổi k/c này thành k/c giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ đường // với AI để tạo ra mp

- Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM) Yêu cầu hs thực hiện các bước của bài toán này:

+ Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM)

+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM

+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với (BAPM) Khoảng cách phải tìm là C’H

+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’:

BM C’H= BC MC’ Từ đó suy ra k/c phải tìm là:

2

5 5

2

a

Ví dụ 11: Cho lăng trụ đều ABC A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc

600 Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’

C'

B' A'

C

B A

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy AB’ có hình chiếu trên đáy là AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 600

K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’) Mp( ABC) vuông góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH

vuông góc với (BCC’) K/c phải tìm là AH bằng 3

2 2 3

4-Mở rộng bài toán khoảng cách:

- Trong bài toán k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A đến mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính k/c từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P)

- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữa hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:

K H

K

B A

M

B

A

P) P)

Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB H/s có thể suy ra được hai k/c bằng nhau (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau)

Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét có thể suy ra k/c từ A đến (P) bằng 3 lần k/c từ B đến (P)

Vậy từ đây ta có thể tính được k/c từ B đến (P) nếu biết k/c từ A đến (P)

Ví dụ 12: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC) Tam giác ABC

đều cạnh a SA =2a Tính k/c từ A, Trọng tâm I của tam giác SAB đến mp ( SBC)

-Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hoàn toàn có thể tính được Kết quả là độ dài

của đoạn AH bằng 2

2

3

2 2 3 2

19 3

4

4

a

a a

= +

I

N

K

H

G

M

S

A

B

C

Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối Kiểm tra thử xem nó có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N là trung điểm của SB Giả sử IE vuông góc với mp(SBC) Theo định lí talét ta

suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3 Vậy k/c từ I đến (SBC ) là 2 3

3 19

a