Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60.. Cho khối chóp S.ABCD có đá
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 Tính khoảng 0 cách giữa các đường thẳng sau:
a) SA và BD
b) BD và SC
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=2 ;a AD=a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB Biết SC tạo với đáy một góc 60 , tính khoảng cách 0
giữa 2 đường thẳng SD và HC
Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với đáy Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính: 0
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Câu 4: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của
AB CD AD AC
a) Chứng minh rằng MN ⊥PQ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN PQ,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG BC,
Câu 5: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC′ và BD
b) AC′ và DA′
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC=AC=3a Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều
cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 Tính 0
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB=a BC, =2a, cạnh 2
SA= a và SA⊥(ABC) Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB SC,
a) Chứng minh rằng MN ⊥AB
b) Tính khoảng cách giữa AB SC,
Câu 9: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB
b) AD và SB
Câu 10: [ĐVH] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại
, 120 ,
A BAC= AB=BB′=a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB′ và AC
b) BC và AC′
CHỌN LỌC VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 Tính khoảng 0 cách giữa các đường thẳng sau:
a) SA và BD
b) BD và SC
Lời giải:
SAB ABC
SA ABC SAC ABC
⊥
⊥
Gọi I là tâm hình thoi ta có: AI BD
SA AI
⊥
⊥
nên AI là đường vuông góc chung do vậy ta có:
2
AC
d SA BD = AI = =a
b) Ta có: BD SA BD (SAC)
BD AC
⊥
⊥
Dựng IK ⊥SC ta có IK là đường vuông góc
chung của BD và SC Dựng AE⊥BC, ta có
60
BC⊥SA⇒BC⊥ SAE ⇒SEA=
Do ABC∆ đều nên AE=ABsin 600 =a 3
Suy ra SA= AEtan 600 =3a
Khi đó dựng AF ⊥SC suy ra
2
AF
13
a AF
AF = SA + AC ⇒ =
;
13
a
d SC BD =
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=2 ;a AD=a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB Biết SC tạo với đáy một góc 0
60 , tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng SD và HC
Lời giải:
Ta có H là trung điểm của AB nên HA=HB=a
Khi đó HC= HB2+BC2 =a 2
SCH = ⇔SH =HC =a
Dễ thấy HD=HC=a 2;CD= AB=2a nên tam
giác DHC vuông cân tại H ta có CH DH
CH SH
⊥
⊥
CH ⊥ SHD , dựng HK ⊥SD suy ra HK là đường
vuông góc cung của HC và SD
3
a HK
HK = HD +SH ⇒ =
3
a
d =
Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
Trang 3a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Lời giải:
a) Ta có ( ) ( )
SAB SAD SA
SAB SAD ABCD
∩ =
⊥
⇒ ⊥
SB ABCD =SBA=
Ta có AB BC AB d SA BC( , ) a
AB SA
⊥
⊥
Kẻ AH ⊥SB
AD AB
⊥
⊥
SB AH
AH d SB AD
AD AH
⊥
⊥
AH = AB SBA=a = ⇒d SB AD =
2
Cx BD⇒d BD SC =d BD SCx =d O SCx = d A SCx
Kẻ AK ⊥SC
Cx SAC Cx AK
Cx AC
⊥
⊥
SA= AB SBA=a =a , AC = AB2 +BC2 = a2 +a2 =a 2
,
AK d BD SC
AK = AS + AC = a + a = a ⇒ = ⇒ =
Câu 4: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của
AB CD AD AC
a) Chứng minh rằng MN ⊥PQ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN PQ ,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG BC ,
Lời giải:
Trang 4a) Gọi K là trung điễm của BC , O là giao điễm của
PK và MN
Ta có MD=MC⇒MN ⊥DC⇒MN ⊥PQ( )1
( )2
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒MN ⊥(PQK)
Kẻ OH ⊥PQ
Vì MN ⊥(PQK)⇒MN ⊥OH mà OH ⊥PQ
2
a
PK = AK −AP =
Tam giác PQK cân tại Q ⇒QO⊥PK
2 2
2 2
a
OQ= PQ −OP =
Xét POQ∆ : 1 2 12 12 12
4
OH = OP +OQ = a
b) G là trọng tâm tam giác BCD⇒AG ⊥(BCD)
Ta có GK AG GK d AG BC( , )
GK BC
⊥
⊥
2
a
,
a
GK DK d AG BC
Câu 5: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC′ và BD
b) AC′ và DA′
Lời giải:
a) Gọi O là giao điễm của AC và
BD , M là trung điễm của CC '
Ta có OM / /AC '
Kẻ CH ⊥MO
', 6
a
CH d AC BD
CH = CO +CM = a ⇒ = = b) Kẻ AN / / 'A D⇒d AC DA( ', ')=d A D ANC( ' ,( ') )=d A( ',(ANC') )
Kẻ A E' ⊥C N' , A F' ⊥ AE⇒ A F' ⊥(ANC')⇒ A F' =d A( ',(ANC') )
= + = ⇒ = =
Trang 5Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC=AC=3a Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Lời giải:
Ta có: AC=3a⇒HA=a HC; =2a
Lại có SAC∆ vuông tai S có đường cao SH nên ta có:
Dựng Bx/ /AC , dựng HE ⊥Bx , HF ⊥SE
Ta có Bx⊥SH ⇒BE⊥(SHE)⇒BE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SBE)
Do Bx/ /AC⇒d SB AC( ; )=d AC SBE( ;( ) )
Lại có: 1 2 12 12
HF = SH + HE , trong đó HE=BC=3a suy ra
;
HF = ⇒ SB AC =
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều
cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 Tính 0
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có AH ⊥AB, mặt
khác (SAB) (⊥ ABCD) nên SH ⊥(ABCD)
60
HK ⊥CD⇒CD⊥ SHK ⇒SKH =
Ta có: SH =a 3, mặt khác HKtan 600 =SH
Suy ra HK =a; SA=AB=2a
Dựng Ax/ /BD , dựng HE ⊥Ax , HF ⊥SE
Ta có Ax⊥SH ⇒AE⊥(SHE)⇒ AE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SAE)
Do Ax/ /ABD⇒d SA BD( ; )=d BD SAE( ;( ) )
Dựng HM ⊥BD AN; ⊥BD ta có:
2 2
AB AD a
HE HM AN
AB AD
+
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB=a BC, =2a, cạnh 2
SA= a và SA⊥(ABC) Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB SC ,
a) Chứng minh rằng MN ⊥AB
b) Tính khoảng cách giữa AB SC ,
Lời giải:
Trang 6a) Ta có: BC AB SB BC
SA BC
⊥
⊥
2
BN = AN= SC ( tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
Do đó tam giác NAB cân tại N có trung tuyến NM suy ra
b) Kẻ Cx/ /AB⇒d AB SC( ; ) (=d AB SCx; )=d A SCx( ;( ) )
Dựng AE Cx AF⊥ ; ⊥SE Do CE AE CE AF
CE SA
⊥
⊥
suy raAF⊥(SCE) Ta có: AE=BC=2a
d AB SC AF a
AE SA
+
Câu 9: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB
b) AD và SB
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD
Mặt khác (SAD) (⊥ ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
Trong đó sin 600 3
2
a
SH =S A =
Dựng Bx/ /AC⇒d AC SB( ; )=d AC SBx( ;( ) )
Gọi G= AO∩BH ⇒G là trọng tâm tam giác ABD
2
d AC SBx =d G SBx = d H SBx
Dựng HE⊥Bx HF; ⊥SE Do BE HE BE HF
BE SH
⊥
⊥
từ đó suy raHF ⊥(SBE) Gọi K =AO∩HE ta có:
OB a
HE=HK+KE = OD OB+ = =
;
SH HE
Câu 10: [ĐVH] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại
, 120 ,
A BAC= AB=BB′=a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB′ và AC
b) BC và AC′
Lời giải:
Trang 7a) Ta có: BB'/ /CC'⇒BB'/ /(ACC')
do vậy d BB AC( '; ) (=d BB ACC'; ')
Dựng BE⊥ AC, mặt khác BE⊥CC' suy ra
2
a
BE=BA BAE=BA =
b) Dựng Ax/ /BC⇒d BC C A( ; ' )=d BC CAx( ;( ) )
d C C Ax
Dựng CE⊥Ax AF; ⊥C E' Do
'
AE CE
AE CC
⊥
⊥
AE CF
⇒ ⊥ từ đó suy raCF ⊥(C AE' )
2
a
CE=d A BC = AB ABC=
'
CE CC
+