lí thuyết tổ hợp nguyên tắc bù trừ và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU“Lý thuyết Tổ Hợp” là một bộ phận quan trọng của “Toán Rời Rạc”, nghiêncứu chuyên sâu về các bài toán mà nhìn chung thì đơn giản nhưng ẩn chứa trong nó những tính toán và tư d

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN LỚP CAO HỌC PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP K25

Lê Thị Sơn, Nguyễn Hạ Thi Giang, Nguyễn Ngọc Mỹ,

Nguyễn Phương Thảo, Lê Thiện Trung.

Người Hướng Dẫn : PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Đà Nẵng – 2012

MỤC LỤC

Lời giới thiệu

Chương 1 : MỘT SỐ CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN.

1 Các cấu hình cơ bản………1

2 Các Bài toán Ứng dụng……… 8

Chương 2 : NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ BÀI TOÁN 1 Chứng minh Nguyên Lý Bù Trừ……… 10

2 Bài toán đếm số phần tử không thỏa mãn tính chất ……… 12

3 Bài toán LUCAS………13

Chương 3 : ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TẬP 1 Bài toán mở rộng giản đồ Ven phổ thông bằng nguyên lý bù trừ………… 18

2 Bài toán đếm số thỏa mãn các tính chất số học……… 19

3 Bài toán đếm số bộ nghiệm nguyên……… 20

4 Bài toán Bernoulli - Euler (gửi thư, lấy mũ…)……… 22

5 Bài toán đếm số toàn ánh ……….24

6 Bài toán phối hợp nguyên lý bù trừ và ánh xạ……… 25

Kết luận

Tài Liệu tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU

“Lý thuyết Tổ Hợp” là một bộ phận quan trọng của “Toán Rời Rạc”, nghiêncứu chuyên sâu về các bài toán mà nhìn chung thì đơn giản nhưng ẩn chứa trong

nó những tính toán và tư duy cực kỳ phức tạp Thậm chí có những phép tính mànếu không có sự ra đời của máy tính thì có khi mất đến cả chục năm trời mới cókết quả

Dù bao gồm nhiều “Bài Toán” hóc búa nhưng bản chất của “Lý thuyết Tổ

Hợp” chỉ quy về 4 dạng cơ bản : Bài Toán tồn tại, Bài toán đếm, Bài toán Liệt

Kê và Bài Toán tối ưu tổ hợp Tất cả các bài tập đều được nằm trong 4 Bài Toán

chính này Trong đó, “Bài Toán đếm số cấu hình Tổ Hợp” là một bài toán hay, cónhiều ứng dụng để phát triển vào việc tính xác suất hay độ phức tạp tính toán.Trong khuôn khổ 1 tiểu luận kết thúc học phần, nhóm chúng em chỉ tập trungnghiên cứu 1 phương pháp quan trọng trong “Bài Toán đếm”, đó là “Nguyên Lý

Bù Trừ và những ứng dụng” để giải một số bài tập từ đơn giản đến phức tạp.Tiểu luận gồm các nội dung sau :

 Chương 1 : Đại cương về Tổ Hợp - các cấu hình tổ hợp cơ bản, định nghĩa,

công thức, ví dụ

 Chương 2 : Chứng minh Nguyên Lý Bù Trừ, Ví dụ minh họa Ứng dụng vào bài toán Lucas.

 Chương 3 : Ứng dụng nguyên lý bù trừ giải những bài toán phổ thông đơn

giản và nâng cao

Nhóm thực hiện : Nhóm 5.

ST

T

Họ Và Tên Công Việc Chữ Ký Nhận Xét của giáo viên

1 Lê Thị Sơn Chương 1

2 Nguyễn Hạ Thi Giang Chương 2

3 Nguyễn Thị Ngọc Mỹ Chương 3

(1,2,3)

4 Nguyễn Phương Thảo Chương 3 (4,5)

5 Lê Thiện Trung Chương 3 (6)

CHƯƠNG 1 : Các cấu hình tổ hợp cơ bản

là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần

không được lặp lại

Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế tiếp

+ Hoán vị n phần tử là chỉnh hợp không lặp chập k của n trong đó k = n

 Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ

không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.

Nói cách khác ta có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho.

Gọi số tổ hợp chập k của n phần tử là C(n,k) ta có :

Suy ra

 Ví dụ: Một hộp 10 viên bi đỏ và đen Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi để kiểm tra Hỏi

có mấy cách lấy ra 4 viên bi?

Ta thấy rằng, lấy 4 viên ngẫu nhiên để kiểm tra, không quan tâm đến thứ tự cácviên bi đó, nên đó là tổ hợp chập 4 của n phần tử

Vậy số cách chọn 4 viên trong 10 viên là:

Từ định nghĩa ta có thể suy ra 2 tính chất cơ bản của tổ hợp:

Hệ quả Tích k số tự nhiên liên tiếp chia hết cho k!.

Chứng minh Với mọi n k, ta có C(n,k) = (n k+1).(n k+2) n/ k!

là số nguyên Từ đó suy ra đpcm

5 Một số bài toán ứng dụng.

 Bài 1 Một tổ sinh viên có 7 nam và 5 nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có

bao nhiêu cách xếp hàng để không có hai sinh viên nữ đứng gần nhau ?

 Bài 2 Có bao nhiêu cách xếp k bit 0 và m bit 1 trên hàng ngang sao

cho không có 2 bit 0 kề nhau (m

 Bài 3 Có bao nhiêu cách xếp k bit 0 và m bit 1 trên vòng tròn được

đánh số từ 1 đến m+k (vị trí m+k kề với vị trí 1) sao cho không có 2 bit

0 kề nhau (m k)

Giải :

Cố định vị trí 1 Ta có 2 trường hợp.

 Trường hợp vị trí 1 là bit 0

Lúc này phải xếp bit 1 vào vị trí 2 và vị trí m+k Ta còn m 2 bit 1 và k 1 bit 0.

Bài toán quy về xếp vào các vị trí (tức xếp trên cùng một

hàng ngang m 2 bit 1 và k 1 bit 0) sao cho không có 2 bit 0 kề nhau

Giải tương tự bài tập trên, ta làm như sau:

Có 1 cách xếp m 2 bit 1 trên một hàng ngang

_ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _

Khi đó các bit 0 được xếp chen vào m 1 khoảng trống giữa các bit 1.

Mà có tất cả là k 1 bit 0 Do đó số cách xếp các bit 0 là một tổ hợp chập k 1 từ

1 khoảng trống Vậy có: C(m 1, k 1) (cách xếp)

Như vậy số cách xếp trong trường hợp này là : C(m 1, k 1)

 Trường hợp vị trí 1 là bit 1 Ta còn 1 bit 1 và k bit 0

Bài toán quy về xếp 1 bit 1 và k bit 0 trên một hang ngang sao cho không có

2 bit 0 kề nhau

Lập luận giải tương tự trường hợp 1 ta có số cách xếp trong trường hợp này là :

C(m,k)

- Gọi , , lần lượt là các tập hợp các số chia hết cho 2, 3, 5.

- Khi đó , , lần lượt là các tập hợp các số không chia hết cho 2, 3, 5

- Vậy : là tập hợp tất cả các số không chia hết cho cả 3 số 2, 3, 5

Suy ra : x chia hết cho 30.

Vậy ta có các kết quả sau :

=500, =333, =200,

=166, = 100 , = 66 , = 30

Và = 1000

Suy ra : N =1000-(500 + 333 + 200-166-100-66 + 30) = 329 ( số )

4 Bài Toán LUCAS :

 Cho 1 bàn tròn có 2n ghế Xếp n cặp vợ chồng vào bàn sao cho đàn ông ngồi

xen kẽ đàn bàn mà không có cặp vợ chồng nào được ngồi gần nhau Hỏi có baonhiêu cách sắp xếp như vậy ?

Để giải bài toán này ta cần nhắc lại các bài toán sau :

 Bài toán 1 : có 2n ghế Có bao nhiêu cách sắp xếp n người không ngồi liền kề

nhau ? (ngồi xen kẽ với ghế trống)

Đáp số : 2.n! (cách sắp xếp)

 Bài toán 2 (nguyên lý Dirichlet) : Nếu có k phần tử (k>n) bỏ vào n cái hộp

thì có ít nhất (k-n) hộp có chứa 2 phần tử.

 Bài toán 3 : Có k bit 0 và m bit 1, xếp vào vào vòng tròn và đánh số từ 1 đến

(m+k) sao cho không có 2 bit 0 kề nhau.

Với là số cách sắp xếp n ông chồng vào n ghế còn lại.

 Bước 2 : Bây giờ xếp các ông vào n ghế trống ở trên

 Đánh số các bà từ 1 đến n

 Đánh số các ông tương ứng với các bà (ông i là chồng bà i, i=1,…,n).

 Đánh số các ghế trống trên vòng tròn theo nguyên tắc ghế i ở giữa bà i và bà

i+1 Qui ước : n+1=1.

 Vậy mỗi cách xếp các ông là 1 hoán vị của tập {1, 2, …, n} Ta kí hiệu là f(i) tức là ghế dành cho ông i Theo điều kiện đề bài, ông i không được ngồi trước và sau bà i Vậy :

 Bước 3 : Gọi là số các hoán vị trong X thỏa mãn tính chất ,i=1,2,…,n.

 Khi đó, số cách xếp chỗ các ông là bài toán đếm các phần tử không thỏa mãncác tính chất nên :

: là các hoán vị f thỏa mãn tính chất , tức là hoặc

: là các hoán vị f thỏa mãn tính chất , tức là hoặc

……

: là các hoán vị f thỏa mãn tính chất , tức là hoặc

Vậy : là tập tất cả các hoán vị f thỏa mãn tất cả các tính

chất Hay là trong {1,2,…,n } có k phần tử i có giá trị f(i) cố định

Khi đó, còn lại (n-k) phần tử nhận (n-k) giá trị bất kỳ còn lại Suy ra :

Vậy :

 Bây giờ ta tính : g(2n,k) bằng cách xếp theo vòng tròn như sau :

Vậy g(n,k) là số cách lấy ra từ trên vòng tròn k phần tử sao cho 2 phần tử kề nhau

không cùng được lấy ra

Số cách lấy ra tương ứng với số cách xếp k-bit 0 và (2n-k)-bit 1 lên vòng tròn sao

cho không có 2-bit 0 đứng cạnh nhau

Theo bài toán 3 , ta có :

Khi đó :

 Kết luận : Tổng số cách sắp xếp là:

CHƯƠNG 3 : Ứng dụng giải bài tập.

*****

1 Bài toán mở rộng giản đồ Ven phổ thông bằng nguyên lý bù trừ.

 Bài 1:có 2 bài toán kiểm tra nhưng lớp chỉ có 30 học sinh làm được bài thứ

nhất và 20 hs làm được bài thứ hai.Chỉ có 10 hs làm được cả 2 bài.Hỏi số hstrong lớp

Giải:

Gọi A là tập hợp hs gải được bài 1,B là tập hợp hs giải được bài 2

Suy ra là tập hợp hs giải được 2 bài toán

Ta cần tínhN( )=?

Ta có

= 30 + 20 -10= 40hs

 Bài 2:Giờ kiểm tra môn toán có 3 bài.biết rằng mỗi hs làm đươc ít nhất 1

bài.Có 20hs làm được bài 1,có 14 hs làm được bài 2,có 10 hs làm được bài 3,có

6 hs làm được bài 1 và 3,có 5 hs làm được bài 2 và 3,có 2 hs làm được bài 1 và2,có 1 hs làm được cả 3 bài.Hỏi lớp có bao nhiêu hs

Giải:

Gọi A là số hs giải được bài 1,B là số hs giải được bài 2,C là số hs giải được bài3

Suyra: =2, =6, =5, = 1

Ta cần tính =?

TheoNLBT: =

=20+14+10-6-5-2+1=32hs

2 Bài toán đếm số thỏa mãn các tính chất số học

 Bài 1: Trong tập S = {1;2;3;…;280} có bao nhiêu số không chia hết cho 2;

 Bài 2: Tìm số các chuỗi 8 bit thỏa mãn điều kiện bit đầu tiên là 1 hay hai bit

 Bài 1: Tìm số nghiệm nguyên của pt: với

là tập nghiệm với với

nên

* Vậy

Suy ra: bộ nghiệm

Đó là các nghiệm (0;4;6);(1;3;6);(1;4;5);(2;2;6);(2;3;5);(2;4;4)

4 Bài toán Bernoulli – Euler.

 Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào phong

bì

i) Hỏi xác xuất để không lá thư nào đúng địa chỉ là bao nhiêu?

ii) Hỏi xác xuất để đúng r lá thư đúng địa chỉ là bao nhiêu (r ≤ n) ?

Giải :

i) Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ thư Ta có = n!

Gọi là tính chất lá thư k gửi đúng địa chỉ, Xk là tập hợp các cách bỏ thư sao cho

lá thư k gửi đúng địa chỉ (k = 1,2,…,n) Kí hiệu là số cách bỏ thư sao cho cóđúng r lá thư đúng địa chỉ (r = 0,1,2,….,n) Như vậy theo nguyên lý bù trừ số cách bỏthư sao cho không có lá thư nào gửi đúng địa chỉ là

Như vây, xác suất cần tìm là

Ta có xác suất trên tiến đến khi n →

Số trên cũng chính là tổng các hoán vị f(i) của tập thỏa mãn

Vì vậy được gọi là số mất thứ tự và được kí hiệu là D

ii) Cho tổ hợp Số cách bỏ thư để chỉ các lá thư gửi đúngđịa chỉ đúng bằng Như vậy số cách bỏ thư để có đúng lá thư gửi đúngđịa chỉ là

Suy ra xác suất cần tìm là

4 Bài toán đếm số toàn ánh

 Cho hai tập X, Y có Hãy đếm số toàn ánh từ X vào Y.

5 Nguyên lý bù trừ kết hợp phương pháp ánh xạ.

 Bài 1 : Gọi M là tập tất cả các số nguyên dương(viết theo hệ thập phân) có n

chữ số 1, n chữ số 2 và không còn chữ số nào khác; N là tập tất cả các số nguyên

dương có n chữ số thuộc tập 1,2,3,4 và số chữ số 1 bằng chữ số 2 CMR :

Giải :

Ta chứng minh rằng tồn tại một song ánh từ N vào M.

Ta có : Số có n chữ số bao gồm các chữ số 1, 2, 3, 4 và số các chữ số 1 bằng các số chữ số 2 được nhân đôi thành số có 2n chữ số theo quy tắt :

 Đầu tiên hai số này dược viết kề nhau thành số có 2n chữ số.

 Sau đó các chữ số 3 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 1, các chữ số 3 ở

n chữ số sau được đổi thành chữ số 2

 Tương tự chữ số 4 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 2, các chữ số 4 ở nchữ số sau được đổi thành chữ số 1

Như vậy ta thu được một số có đúng n chữ số 1 và n số 2 Vậy ta đã chứngminh đây là một đơn ánh Tiếp theo để chứng minh đây là một song ánh, ta xâydựng ánh xạ ngược như sau :

Với một số có n chữ số 1 và n chữ số 2,ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối và

đặt chúng song song với nhau như khi thực hiện phép cộng Thực hiện phép cộngtheo quy tắt:1+1=2; 2+2=2; 1+2=3; 2+1=4 Ta sẽ thu được một số có n chữ số gồmcác chữ số 1,2,3,4 với số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2

Vậy song ánh giữa hai tập hợp đã được thiết lập,vậy ta đã chứng minh được

 Bài 2 :Hỏi từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số thỏa

mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần?

b) Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau?

GIẢI

Gọi s là số cần tìm và A là tập gồm tất cả các số có 10 chữ số, lập được từ cácchữ số 1,2,3,4,5 thỏa mãn điều kiện a) của bài toán

Với mỗi ,kí hiệu là tập tất cả các số thuộc A, mà trong mỗi số đều có

hai chữ số i đứng cạnh nhau Khi đó theo Nguyên lý bù trừ :

Đặt tương ứng mỗi số Với số nhận được từ a bằng cách

 Bài 3 : Cho hoán vị của tập hợp 1,2,…,2n với n nguyên dương,được gọi là có tính chất P nếu : Với ít nhất một giá trị Chứng minh rằng: với mỗi số n, số hoán vị có tính chất P lớn hơn số hoán vị không

có tính chất P

Giải:

Với mỗi số n, ta chia các số 1,2, ,2n thành n cặp số sau : 1; n+1; 2; n+2, ,

n; 2n Ta thiết lập một tương ứng từ tập hợp các hoán vị không có tính chất P đến

tập hợp các hoán vị có tính chất P như sau:

Giả sử là hoán vị bất kỳ không có tính chất P

Ta xét phần tử , chọn là phần tử cùng cặp với

Đặt tương ứng hoán vị vừa xét với hoán vị có tính chất P là

Ta đã chứng minh được rằng tương ứng này là một đơn ánh và không phải làtoàn ánh.( đpcm)

KẾT LUẬN

Tiểu luận đã làm sáng tỏ một vài phương pháp giải các bài tổ hợp bằng Nguyên

Lý Bù Trừ Dù đã có nhiều cố gắng nhưng có với thời gian có phần hạn chế, nhóm

của chứng em chưa thể đào sâu hơn nữa

Cảm ơn thầy đã có những buổi dạy nhiệt tình mà chúng em có được những kiếnthức nhất định để hoàn thành tiểu luận này

Tài liệu tham khảo :

[1] Giáo trình “Lý Thuyết Tổ Hợp”, Trần Quốc Chiến, 2012.

[2] Nguyên Lý Bù Trừ - Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ, Trịnh Đào Chiến- Lê Văn

Tám.

[3] Kỹ thuật đếm cao cấp , Đỗ Văn Nhỏ, tháng 1 -2009.