Luận án nghiên cứu một số vấn đề về chaos của mạng noron tế bào và khả năng ứng dụng

Các kết quả này thường tập trung vào việc điều chỉnhtham số và xem xét sự thay đổi giá trị riêng của ma trận hệ số hệ tuyếntính hoá, quan sát biểu đồ rẽ nhánh, tính toán số mũ Lyapunov;

Danh mục ký hiệu, từ viết tắt

R Tập hợp số thực

N Tập hợp số tự nhiên

Rn Không gian Euclide n chiều

Ck Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

||.|| Chuẩn Euclide

˙x Đạo hàm cấp 1 của hàm x theo biến độc lập (t)

Df Ma trận Jacobi của hàm véc tơ f

O(ε) Vô cùng bé bậc cao hơn ε khi ε → ∞

Nr(i, j) Lân cận bán kính r của Cell C(i, j) trong CNN 2 chiều

Jkf (t) Toán tử tích phân Riemann-Liouville bậc k

Dαf (t) Toán tử đạo hàm cấp phân số α theo định nghĩa LHD

Dα∗f (t) Toán tử đạo hàm cấp phân số α theo định nghĩa RHD

B(p, q) Hàm Beta

Lf (t) Phép biến đổi Laplace

f (t) ∗ g(t) Tích chập Laplace của hai hàm

Eα,β(z) Hàm Mittag-Leffler với hai tham số α, β

arg(λ) Acgument của số phức λ

Lfh (x) Đạo hàm Lie

sign(x) Hàm dấu

CNN Mạng nơ ron tế bào

LHD Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo cách từ bên trái.RHD Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo cách từ bên phải.otonom Hệ phi tuyến ˙x = f (x) có vế phải không phụ thuộc

trực tiếp vào biến t, hay còn gọi là hệ tự trị

non-otonom Hệ phi tuyến ˙x = f (t, x) có vế phải phụ thuộc trực

tiếp vào biến t, hay còn gọi là hệ không tự trị

Cell (tế bào) Một đơn vị xử lý của CNN

SC-CNN State Controled CNN - CNN điều khiển được trạng thái.NPCR Number of Pixels Change Rate - Độ đo phần trăm số

pixel thay đổi khi ảnh rõ hoặc khoá thay đổi

UACI Unified Averaged Changed Intensity - Độ đo cường độ

thay đổi trung bình thống nhất giữa hai ảnh

LTI Linear time independent - Hệ tuyến tính bất biến thời gian.CT1, CT2, Nói đến công trình thứ nhất, thứ 2 trong danh mục

các công trình đã công bố của luận án

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh sách hình ii

Danh sách bảng v

Danh mục ký hiệu, từ viết tắt viii

Chương 1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Tổng quan về lý thuyết hỗn loạn, CNN hỗn loạn và ứng dụng trong mã hoá, bảo mật truyền thông 1

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới 1

1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 8

1.2 Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài 10 1.3 Phương pháp nghiên cứu 11

1.4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 12

1.5 Bố cục của luận án 12

Chương 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 14

2.1 Hệ động lực phi tuyến 14

2.1.1 Nghiệm cân bằng, ổn định 15

2.1.2 Phương pháp Lyapunov 16

2.1.3 Hỗn loạn 20

2.1.4 Số mũ Lyapunov 21

2.2 Mạng nơ ron tế bào 23

2.2.1 Định nghĩa 23

2.2.2 Phương trình vi phân mô tả CNN 26

2.2.3 Sự ổn định của CNN 29

2.3 Giải tích cấp phân số 31

2.3.1 Các hàm số liên quan 32

2.3.2 Định nghĩa tích phân, đạo hàm cấp phân số 35

2.3.3 Phương pháp gần đúng giải phương trình vi phân cấp phân số 39

2.3.4 Hệ động lực cấp phân số 41

2.4 Một số kiến thức khác về điều khiển 43

2.4.1 Ổn định thời gian hữu hạn 43

2.4.2 Điều khiển đồng bộ hỗn loạn 46

Chương 3 CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU HÀNH VI HỖN LOẠN CỦA CNN 51

3.1 Nghiên cứu CNN hỗn loạn bậc phân số 51

3.2 Đồng bộ CNN hỗn loạn 60

3.2.1 Đồng bộ CNN hỗn loạn với ma trận mẫu trạng thái chưa biết 60

3.2.2 Đồng bộ đầu ra CNN hỗn loạn thông qua bài toán so khớp mô hình 77

3.2.3 Đồng bộ CNN hỗn loạn bậc phân số 86

3.3 Điều khiển, đồng bộ trong thời gian hữu hạn 88

3.3.1 Điều khiển ổn định thời gian hữu hạn với các tham số chắc chắn 90

3.3.2 Điều khiển ổn định thời gian hữu hạn với tham số không chắc chắn 94

3.3.3 Điều khiển đồng bộ thời gian hữu hạn với tham số không chắc chắn 97

3.4 So sánh đánh giá kết quả 103

Chương 4 ỨNG DỤNG CNN HỖN LOẠN TRONG BẢO MẬT TRUYỀN THÔNG ẢNH 106

4.1 Mô hình đề xuất 106

4.2 Mô phỏng và phân tích bảo mật 112

Kết luận chung 119

Danh mục các công trình đã công bố 121

Tài liệu tham khảo 123

loạn và ứng dụng trong mã hoá, bảo mật truyền thông

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

a, Lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết hỗn loạn

Sir Isaac Newton đã mang đến cho thế giới ý tưởng về mô hình hoá

sự vận động của các hệ thống vật lý bằng các phương trình vi phân Đó

là điều rất quan trọng để phát minh ra các phép tính về chuyển động, từphương trình cơ bản đến vận tốc, gia tốc và các chuyển động liên quanđến đạo hàm các cấp của vị trí Phương pháp của ông đến nay vẫn được

sử dụng để mô hình hoá toán học sự vận động nói chung và đã làm thayđổi rất nhiều các lĩnh vực khoa học

Sau đó các nhà khoa học đã tiếp tục mở rộng phương pháp sử dụngphương trình vi phân để mô tả sự vận động, phát triển của các hệ thống.Khi có thể tìm được nghiệm hoặc hiểu được tính chất của nghiệm, chúngthường mô tả hai loại chuyển động rất phổ biến Nếu các nghiệm vẫn ở

trong một miền bị chặn của không gian trạng thái thì hành vi của nó cóthể dẫn tới là: A- trạng thái ổn định, thường do mất năng lượng hay tiêután bởi ma sát; Hoặc B- dẫn tới một dao động, có thể là tuần hoàn hoặcbán tuần hoàn, giống như con lắc đồng hồ hay chuyển động của mặt trăng

và các hành tinh

Bên cạnh đó, các nhà khoa học đã biết đến những hệ thống có hành viphức tạp hơn, như một nồi nước sôi, hoặc các phân tử khí va chạm trongmột căn phòng Rõ ràng là tồn tại một loại chuyển động thứ ba phức tạphơn nhiều hai loại phổ biến trên Tuy nhiên, dù ghi nhận sự tồn tại songtrong một thời gian dài sự phức tạp của loại chuyển động này rất khó đểquan sát, mô tả và nghiên cứu

Một số nhà toán học và vật lý đã quen thuộc với sự tồn tại của loạichuyển động thứ ba này James Clerk Maxwell, người nghiên cứu chuyểnđộng của các phân tử khí từ những năm 1860, đã nhận thức được rằngngay cả một hệ thống bao gồm hai hạt khí va chạm nhau trong một hộpkín sẽ có chuyển động không phải loại A hoặc B, và hành vi trong thờigian dài của các chuyển động sẽ không thể đoán trước Ông ý thức rằngnhững thay đổi rất nhỏ trong vị trí ban đầu của các hạt sẽ dẫn đến nhữngthay đổi to lớn trong quỹ đạo của các phân tử

Henri Poincare năm 1890 đã nghiên cứu hệ rất đơn giản gồm ba vậtthể tương tác trong hệ mặt trời (Bài toán ba vật thể) và kết luận rằng cácchuyển động đôi khi vô cùng phức tạp và phụ thuộc nhạy cảm vào điềukiện ban đầu Nghiên cứu của ông về bài toán ba vật thể được áp dụngcho một loạt các hệ thống vật lý sau này Các đóng góp quan trọng đãđược tiếp tục thực hiện bởi Birkhoff, Cartwright, Littlewood, Levinson,Kolmogorov

Năm 1963, Edward Lorenz (Viện công nghệ Massachusetts) trong bàibáo "Deterministic Nonperiodic Flow - Luồng phi tuần hoàn tất định"[42]

đã trình bày tính chất động lực bất ổn định của mô hình dự báo thời tiếtliên quan đến sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Lorenz đã

mô phỏng khí quyển bằng hệ 12 phương trình vi phân Để kiểm tra mộtchuỗi dữ liệu có độ dài lớn hơn, thay vì bắt đầu lại, Lorenz bắt đầu môphỏng của mình giữa chừng Ông nạp các điều kiện ban đầu tương ứngvới bước tiếp theo Ông chạy mô phỏng và một giờ sau khi quay lại ôngnhận thấy trình tự tiến hoá của nghiệm rất khác so với kết quả chạy từđầu Máy tính của Lorenz có độ chính xác sáu chữ số thập phân vào thờiđiểm đó, tuy nhiên ông chỉ nạp điều kiện ban đầu với ba số thập phân vànghĩ rằng phần còn lại có sai số không đáng kể Nhưng chính sự sai khácrất nhỏ đó đã đưa đến kết quả khác hoàn toàn so với dự kiến Hiện tượngnày giờ đã trở nên rất nổi tiếng với tên gọi "Hiệu ứng con bướm" Vùnghút Lorenz đã trở thành biểu tượng của lý thuyết hỗn loạn sinh ra cùngvới nó, một lĩnh vực khoa học vẫn rất năng động, được quan tâm nghiêncứu ngày nay

Vào những năm 1975, sau khoảng ba thế kỷ nghiên cứu, rất nhiều nhàkhoa học trên thế giới nhận thức sự tồn tại và cần thiết nghiên cứu củaloại chuyển động thứ 3 - loại C, được gọi là hỗn loạn như ngày nay Loạichuyển động mới này là không ổn định, nhưng không phải chỉ đơn giản làbán tuần hoàn với số chu kỳ lớn và không nhất thiết phải do một lượnglớn các biến tương tác Hành vi đó có thể xảy ra đối với một hệ rất đơngiản Người đầu tiên đưa ra từ "CHAOS - HỖN LOẠN" là Tien-Yien Li vàJames A Yorke (Đại học Maryland) trong bài báo "Period three implieschaos - Hệ tồn tại ba chu kỳ nghĩa là hỗn loạn" [39]

Ngoài ra còn phải kể đến các đóng góp của lý thuyết Arnold-Moser (KAM theory) [73] liên quan đến tính phi tuyến và hỗnloạn của các hệ Hamilton, hệ cơ giới thiệu bởi D.Ruelle và F Takens cho

Kolmogorov-sự mở rộng tính bất ổn định và ghi nhận hành vi hỗn loạn, Kolmogorov-sự khám phá vềtính chất hỗn loạn của lớp hàm Logistic của M.J.Feigenbaum, P Coullet

và C Trensser; Lý thuyết Ergodic trơn của Ya B Pesin và D.Ruelle trong

đó nhấn mạnh đến Entropy và số mũ Lyapunov như một tiêu chuẩn củahành vi hỗn loạn [44]

Ngày nay, các nhà khoa học nhận ra hành vi hỗn loạn có thể được quansát trong các thí nghiệm và trong các mô hình có được từ rất nhiều lĩnhvực của khoa học Đó là một hiện tượng chỉ có thể xảy ra đối với mô hìnhphi tuyến, không phải các hành vi A hay B, nhạy cảm với điều kiện banđầu, hoà trộn topo, có quỹ đạo tuần hoàn trù mật Hiện tượng hỗn loạntrở thành phổ biến cho các thí nghiệm mà trước đó các hành vi bất thườngđược cho là do lỗi thử nghiệm hoặc nhiễu, nay được đánh giá lại dưới sựgiải thích của các thuật ngữ và kiến thức mới Tóm lại những hiểu biết mới

về hỗn loạn cùng những kiến thức trước kia tạo thành tập hợp các nguyêntắc thống nhất mà nay gọi là Lý thuyết hệ động lực Nó đã trở thành mộtlĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học và được ứng dụng trongnhiều ngành khoa học khác như vật lý, hệ sinh học, kinh tế, hoá học, khoahọc máy tính [47], [67], [69]

Hệ động lực phi tuyến nói chung và lý thuyết hỗn loạn nói riêng làmôn học bắt buộc của khoa toán và các khoa kỹ thuật trong rất nhiềucác trường đại học hàng đầu thế giới, từ Stanford đến Harvard Rất nhiềutrung tâm nghiên cứu lớn về lý thuyết hỗn loạn ở các trường đại học,viện nghiên cứu cũng như các tập đoàn công nghệ nổi tiếng, có thể tham

khảo http://www.cns.gatech.edu/centers/ Một số tạp chí trong danh mụcISI chuyên đăng bài nghiên cứu về hỗn loạn: REGULAR & CHAOTICDYNAMICS (Springer), CHAOS SOLITONS & FRACTALS (Elsevier),CHAOS (AIP), INTERNATIONAL JOURNAL OF BIFURCATION ANDCHAOS (Worldscientific) Ngoài ra còn có rất nhiều các tạp chí liên quanđến hệ phi tuyến, ứng dụng toán học, vật lý v.v hàng năm đăng tải hàngnghìn bài báo về hỗn loạn và các lĩnh vực liên quan, có thể tìm trên bất

kỳ cơ sở dữ liệu khoa học nào (MathSciNet, EMIS, )

b, Mạng nơ ron tế bào và hành vi hỗn loạn

Mạng nơ ron tế bào (CNN-Cellular Neural Network) được giới thiệuđầu tiên bởi Leon Chua và Lin Yang năm 1988 [12] Nó là một hệ thống

xử lý thông tin hoặc tín hiệu bao gồm một số lượng lớn các phần tử xử

lý tương tự đơn giản, gọi là tế bào, được kết nối địa phương với nhau vàthực hiện xử lý song song để giải quyết một nhiệm vụ tính toán nhất định

Ý nghĩa quan trọng phân biệt CNN với các mạng nơ ron khác là liên kếtđịa phương giữa các tế bào Đây là một lợi thế lớn làm cho mô hình CNNthích hợp cho việc thực hiện mạch trong công nghệ hiện có Từ khi đượcphát minh, đã có rất nhiều ứng dụng của CNN được giới thiệu, đặc biệt

là trong nhiệm vụ xử lý ảnh [13], [18], [23]

Năm 1993, Chua và Roska cũng diễn giải CNN theo nghĩa CellularNonlinear Network [14] Bằng cách này, các mô hình ban đầu được mởrộng và sử dụng để tạo ra tín hiệu hỗn loạn và siêu hỗn loạn, nhận dạngmẫu tĩnh và động, tạo sóng và sóng xoắn ốc tự động, hỗn loạn theo khônggian-thời gian [80] Từ quan điểm kỹ thuật, CNN đặc trưng bởi một mạngbao gồm kết nối địa phương của các hệ động lực phi tuyến để tạo ra cáchành vi nhất định hoặc để xử lý thông tin Theo đó, hướng nghiên cứu

về hành vi động lực và khả năng tạo tín hiệu hỗn loạn của hệ phi tuyếnCNN đã có nhiều kết quả được báo cáo [9], [19], [29], [30], [40], [48], [62],[68] , [70], [78], [83] Các kết quả này thường tập trung vào việc điều chỉnhtham số và xem xét sự thay đổi giá trị riêng của ma trận hệ số hệ tuyếntính hoá, quan sát biểu đồ rẽ nhánh, tính toán số mũ Lyapunov; Qua đónhận thấy sự thay đổi hành vi động lực học của hệ và kết luận được với

bộ tham số nào hệ có hành vi trạng thái hỗn loạn

Ngoài việc nghiên cứu CNN như một hệ động lực phi tuyến với bậcnguyên, cũng có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hành vi hỗn loạn củaCNN bậc phân số Mặc dù giải tích bậc phân số đã được biết đến nhưmột phần của toán học thuần tuý từ hơn ba thế kỷ nay Nhưng nhữngứng dụng của hệ động lực bậc phân số trong khoa khọc kỹ thuật mới đượcquan tâm nghiên cứu gần đây [21], [45] Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng hệđộng lực bậc phân số có thể mô phỏng chính xác hơn rất nhiều hiện tượng

tự nhiên cũng như kỹ thuật với hành vi phức tạp Với hệ hỗn loạn bậcphân số, lúc này người ta lại quan tâm đến cấp phân số của đạo hàm trong

hệ phương trình trạng thái Việc khảo sát hệ cũng đòi hỏi những công cụtoán học phức tạp hơn như giải tích bậc phân số [22], [28], các phươngpháp số tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân bậc phân số [6], tính số

mũ Lyapunov của hệ hỗn loạn bậc phân số [20] Đối với CNN, Arena làngười đầu tiên nghiên cứu về hiện tượng rẽ nhánh và hỗn loạn trong CNNbậc phân số [5] Sau đó, Ivo Petras đã chỉ ra ý nghĩa và một số chú ý củaCNN bậc phân số trong [49] Trong [35], hiện tượng hỗn loạn của CNN 4cell bậc phân số cũng đã được báo cáo Mô hình CNN 2 cell bậc phân sốđược nghiên cứu trong [10], [11]

c, Hỗn loạn và mã hoá

Mối liên hệ chặt chẽ giữa hỗn loạn và mã hoá đã được nhiều nhà khoahọc chỉ ra [3], [37] Các tính chất của hỗn loạn như hoà trộn tô pô, giảngẫu nhiên, khó dự đoán hay phụ thuộc nhạy cảm với điều kiện ban đầu

có thể kết nối được với những tính chất đã biết nổi tiếng như khả năng gâynhầm lẫn và khuếch tán của hệ mã cổ điển Tính khuếch tán trong hệ mãnói đến khả năng ảnh hưởng của một bit khi biến đổi trong bản rõ đến tất

cả các bit trong bản mã Đồng thời, khả năng gây nhầm lẫn đảm bảo cácbit của bản mã được hoà trộn Những tính chất tương tự như vậy trong hệhỗn loạn là sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu và hoà trộn tô

pô Ý tưởng sử dụng hỗn loạn trong mã hoá được đánh dấu từ tác phẩmnổi tiếng năm 1949 của Shanons [61] Ông đã nhận thấy cơ chế mở rộng

và nén của hỗn loạn có thể áp dụng cho việc chuyển đổi an toàn dữ liệu.Các nghiên cứu chi tiết trong lĩnh vực này đã được bắt đầu sau đó cùngvới sự phát triển của lý thuyết hỗn loạn và khoa học máy tính Trong hơnhai thập kỷ qua, nhiều thuật toán mã hoá dựa trên hỗn loạn đã được báocáo [15], [37], [69] Chúng có thể được phân loại thành hai nhóm phươngpháp cơ bản là sử dụng kết hợp hoặc không kết hợp tín hiệu hỗn loạn Đốivới nhóm phương pháp thứ nhất, tín hiệu hỗn loạn sử dụng trải qua quátrình đồng bộ giữa bên nhận và bên phát, trong khi với cách tiếp cận thứ

2, quá trình giải mã được thực hiện trực tiếp từ tín hiệu nhận được màkhông thông qua quá trình đồng bộ

Với khả năng tạo tín hiệu hỗn loạn và thực hiện mạch đơn giản, gầnđây nhiều nhà khoa học cũng đã quan tâm sử dụng CNN để xây dựng hệ

mã và mô hình bảo mật truyền thông Cùng với đó là sự cần thiết phải giảiquyết bài toán điều khiển đồng bộ tín hiệu CNN Một số kết quả trong đótập trung vào nghiên cứu hành vi hỗn loạn của CNN, điều khiển, đồng bộ

và ứng dụng vào mã hoá và truyền thông ảnh có thể liệt kê [15], [31], [32],[41], [54], [56], [72], [79], [82].

1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Nhóm nghiên cứu về CNN và ứng dụng tại Viện CNTT do PGS TSKHPhạm Thượng Cát khởi xướng và dẫn dắt bắt đầu từ năm 2005, đã có một

số kết quả nghiên cứu về ứng dụng CNN giải phương trình đạo hàm riêng,

xử lý ảnh và nghiên cứu hành vi hỗn loạn của CNN Về hợp tác nghiêncứu, đã có một số chương trình hợp tác quốc tế với Hungary, Hàn Quốc.Tại Đại học Bách Khoa Hà Nội, nghiên cứu về hệ hỗn loạn có nhómcác tác giả PGS Hoàng Mạnh Thắng, TS Nguyễn Xuân Quyền, TS PhạmViệt Thành Đây là các tác giả có công bố khoa học rất thường xuyên vềnghiên cứu hành vi hỗn loạn trong các hệ phi tuyến và bảo mật truyềnthông sử dụng hỗn loạn, cứng hoá thực hiện mạch các thuật toán

Tại viện Cơ học - Viện hàn lâm KH&CN Việt Nam, cố GS.VS NguyễnVăn Đạo cũng là người dành nhiều tâm huyết cho nghiên cứu các dao độngphi tuyến nói chung trong đó có hành vi hỗn loạn Công trình Dao độngphi tuyến của các hệ động lực của ông đã nhận được giải thưởng Hồ ChíMinh trong lĩnh vực khoa học và công nghệ năm 2000 Hiện nay các cộng

sự của ông trong nhóm nghiên cứu "hệ động lực phi tuyến" thuộc việnHàn lâm KH&CN Việt Nam vẫn tiếp tục nghiên cứu theo hướng này

Ở phạm vi rộng hơn, nghiên cứu về lý thuyết điều khiển phi tuyến thuhút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong nước Điển hình như ởViện Toán có nhóm của GS Vũ Ngọc Phát với nhiều công trình liên quanđến ổn định hệ phi tuyến có trễ; hay nhóm nghiên cứu của GS NguyễnDoãn Phước tại Đại học Bách Khoa Hà Nội

Qua việc tìm hiểu tổng quan tình hình nghiên cứu chúng tôi nhận thấy

một số điểm có thể tiếp tục phát triển, đóng góp kết quả mới như sau:Thứ nhất, như đã chỉ ra, việc khảo sát hành vi hỗn loạn của CNN cấpphân số mới dừng ở CNN 4 cells [5], [49], [35], [10] Việc tìm ra một môhình CNN cấp phân số hỗn loạn có số cell cao hơn có thể tạo ra tín hiệuhỗn loạn phức tạp hơn, qua đó ứng dụng hiệu quả hơn trong bảo mật Hơnnữa trình tự các bước để khảo sát và xây dựng bộ tham số và cấp đạohàm không nguyên đảm bảo CNN cấp phân số là hệ hỗn loạn cũng chưađược chỉ ra rõ ràng Nghiên cứu giải quyết những tồn tại này của chúngtôi trong CT9 đã đóng góp được một mô hình CNN 6 cells hỗn loạn cấpphân số, giải quyết bài toán đồng bộ tương ứng và chỉ ra các bước tổngquát để có thể tìm được những CNN hỗn loạn cấp phân số khác.

Thứ hai, bài toán đồng bộ tín hiệu hỗn loạn giữa hai hệ CNN còn nhiềuvấn đề cần giải quyết Các vấn đề này liên quan đến các giả thiết thực

tế về tính bất định của tham số, khả năng kháng các loại nhiễu của luậtđiều khiển cũng như xác định thời gian hữu hạn đạt được đồng bộ,v.v.v.Từng bước giải quyết các vấn đề này sẽ giúp cho ứng dụng của hệ độnglực hỗn loạn nói chung và CNN hỗn loạn nói riêng thêm hiệu quả và khảthi Tuy nhiên, trong khả năng tìm hiểu của mình, chúng tôi nhận thấytrong các kết quả gần đây như Grassi (1999)[31], Rijlaarsdam (2006)[56],Yang (2010)[81], Xingyuan (2010)[79], Cheng (2013)[15], Ren (2014)[55],hầu hết mới chỉ quan tâm đến tính bất định của một tham số rời rạc, chưa

đề cập đến tính bất định của cả ma trận mẫu trạng thái đối với bộ điềukhiển Các kết quả của Aghababa (2011, 2012) [1], [2] đã giải quyết đượcbài toán đồng bộ thời gian hữu hạn cho một lớp hệ hỗn loạn với véc tơtham số bất định và các đầu vào phi tuyến nhưng cách mô tả hệ hỗn loạncủa ông không thể hiện được CNN tổng quát Các công trình CT2, CT3,

CT6, CT7 và đặc biệt là CT8 của luận án đã phần nào giải quyết đượcnhững vấn đề nêu trên trong mạng nơron tế bào.

Thứ ba, trong mô hình mã hóa ảnh sử dụng CNN hỗn loạn của mình,

J Peng [52] chỉ sử dụng chung một CNN cho cả quá trình mã hóa và giải

mã Điều này dẫn tới khả năng bảo mật không cao do việc giải mã cần đầy

đủ thông tin khóa Trong [15], C Cheng cũng đã sử dụng tính chất hỗnloạn của CNN để xây dựng mô hình mã hóa ảnh dựa trên kết quả đồng bộhai CNN có tham số bất định Mô hình này đã sử dụng quá trình đồng bộthích nghi để tự xác định lại khóa giải mã Tuy nhiên, các tín hiệu trạngthái truyền đi phục vụ quá trình đồng bộ là đầy đủ (3/3 tín hiệu) Chúngtôi đã đặt vấn đề xây dựng ứng dụng mã hóa bảo mật dựa trên sự pháttriển, cải tiến các kết quả đã có, trong đó có hai kết quả vừa nêu TrongCT3, chúng tôi đã giải quyết bài toán điều khiển đồng bộ hai CNN hỗnloạn có tham số bất định, với luật điều khiển chỉ cần sử dụng 2/3 tín hiệutrạng thái Trong CT4, bài toán so khớp mô hình đã được sử dụng để đồng

bộ hỗn loạn, luật điều khiển đồng bộ là một tổ hợp tín hiệu phức tạp vàđộc lập với tín hiệu hỗn loạn đầu ra của hệ được sử dụng làm khóa mã Từ

đó, các mô hình bảo mật truyền thông ảnh đưa ra trong CT3, CT4 đã cónhững cải tiến nhất định về khả năng bảo mật và hiệu suất đường truyền

đề tài

Mục đích của đề tài: Đạt được một số kết quả mới về khảo sát hành vihỗn loạn, giải quyết bài toán đồng bộ hỗn loạn và ứng dụng hỗn loạn.Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

• Nghiên cứu khảo sát hành vi động lực học của CNN Khảo sát bậc

đạo hàm để xây dựng CNN hỗn loạn cấp phân số.

• Nghiên cứu điều khiển, điều khiển đồng bộ tín hiệu hỗn loạn giữaCNN với CNN, giữa CNN với các hệ hỗn loạn khác Đề xuất các bộđiều khiển đáp ứng yêu cầu bài toán điều khiển, đồng bộ hỗn loạn đềra

• Nghiên cứu ứng dụng CNN hỗn loạn trong bảo mật truyền thông ảnh

Sử dụng các kết quả giải quyết các vấn đề trên để đề xuất một sốlược đồ bảo mật truyền thông ảnh

Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Đề tài chỉ giải quyết các bài toán lý thuyết

và demo kết quả trên môi trường Matllab Vấn đề thực hiện mạch, triểnkhai ứng dụng đề tài chưa đề cập đến

Đề tài luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau

• Sử dụng các phương pháp toán học trong nghiên cứu lý thuyết hệđộng lực phi tuyến Trên cơ sở mô hình hoá toán học đã có của CNN,các hành vi động lực của CNN được khảo sát dưới quan điểm CNN

là một hệ phi tuyến Một số phương pháp số giải hệ phương trình viphân thường, hệ phương trình vi phân cấp phân số được sử dụng đểtìm nghiệm của CNN

• Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển phituyến, trong đó nhấn mạnh phương pháp Lyapunov xác định tính ổnđịnh của hệ tại điểm cân bằng và một số kết quả khác chứng minhtính ổn định của hệ không ô tô nôm

• Đối với các ứng dụng đề xuất, sử dụng các độ đo trong mã hoá ảnh,phương pháp so sánh đánh giá để chứng minh hiệu quả mô hình.

• Các kết quả lập trình, mô phỏng số đều được thực hiện trên phầnmềm Matllab

Ý nghĩa thực tiễn

• Nghiên cứu ứng dụng CNN hỗn loạn trong mã hoá, bảo mật truyềnthông ảnh

Luận án bao gồm 4 chương Sau chương mở đầu giới thiệu tổng quan

về vấn đề nghiên cứu, chương 2 trình bày các kiến thức cơ bản phục vụcho luận án, bao gồm cơ sở toán học khảo sát hệ động lực phi tuyến, hệđộng lực phi tuyến cấp phân số, CNN và một số kiến thức về điều khiển.Chương 3 trình bày các kết quả của luận án về xây dựng mô hình CNNhỗn loạn và điều khiển, đồng bộ CNN hỗn loạn Chương 4 trình bày kết

quả ứng dụng CNN hỗn loạn trong bảo mật truyền thông ảnh Cuối cùng

là phần kết luận chung và tài liệu tham khảo

Chương 2.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản làm nền tảng cho việcnghiên cứu theo nội dung đề cương luận án, bao gồm: Các kiến thức đểxác định và chứng minh hành vi ổn định cũng như hỗn loạn của hệ độnglực phi tuyến; Định nghĩa và một số tính chất cơ bản về CNN; Khái niệmđạo hàm cấp phân số và các kiến thức về hệ động lực cấp phân số; Cáckiến thức về điều khiển ổn định thời gian hữu hạn, điều khiển đồng bộhỗn loạn

các tham số Trong nghiên cứu hệ động lực, biến độc lập thường được hiểu

là thời gian t Không gian chứa biến phụ thuộc (Rn) được gọi là khônggian pha hay không gian trạng thái Các hành vi của nghiệm có thể xảy ragồm trạng thái cân bằng, các chuyển động tuần hoàn và bán tuần hoàn,các chuyển động ra xa vô hạn và chuyển động hỗn loạn Dưới đây sẽ chỉtrình bày một số kiến thức phục vụ việc nghiên cứu các hành vi ổn định

và hỗn loạn trong hệ phi tuyến

Nghiệm của (2.1.1) là một hàm véc tơ x từ một khoảng I ⊂ R1 vào Rn,

1 Nghiệm x(t, t0, x0) có thể được gọi là quỹ đạo (trajectory) hay đườngcong pha qua điểm x0 tại t = t0 Nghiệm tổng quát, ký hiệu φ(t, x),

là một quỹ đạo qua điểm x ∈ Rn

2 Đồ thị củax(t, t0, x0)là tập(x, t) ∈ Rn ×R1 : x = x(t, t0, x0), t ∈ I

vớiI là khoảng thời gian tồn tại Nó được gọi là đường cong tích phân

3 Nghiệm tổng quát φ(t, x) còn được gọi là dòng tạo bởi hệ Khi viết

φ(t, x0) ta hiểu đây là một nghiệm riêng tại x0 khi t = 0, hay

nghĩa là các nghiệm không thay đổi theo thời gian Nghiệm cân bằng cònđược gọi là điểm cân bằng hay điểm cố định.

Gọi x(t)¯ là một nghiệm của (2.1.2) Ta nói, x(t)¯ là ổn định nếu cácnghiệm xuất phát gần x(t)¯ tại một thời điểmt sẽ vẫn gần x(t)¯ tại các thờigian sau đó Ổn định tiệm cận nếu, các nghiệm xuất phát ở gần không chỉ

sẽ ở gần mà còn hội tụ đến x(t)¯ khi t → ∞

Định nghĩa 2.1.1 ([75], Định nghĩa 1.2.1) Ổn định Lyapunov Nghiệm

¯

x(t) của (2.1.2) được gọi là ổn định (hay ổn định Lyapunov) nếu cho ε > 0

tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm y(t) của (2.1.2) thoả mãn

|¯x(t0) − y(t0)| < δ thì |¯x(t) − y(t)| < ε với t > t0, t0 ∈ R.

Khái niệm nghiệm không ổn định được hiểu theo nghĩa ngược lại.Định nghĩa 2.1.2 ([75], Định nghĩa 1.2.2) Ổn định tiệm cận Lya-punov Nghiệm x(t)¯ được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định Lyapunov

và với mọi nghiệm y(t) của (2.1.2) tồn tại hằng số b > 0 thoả mãn nếu

|¯x(t0) − y(t0)| < b thì lim

t→∞|¯x(t) − y(t)| = 0.Các định nghĩa 2.1.1, 2.1.2 cho ta mô tả toán học về các kiểu ổn định

Để xác định tính ổn định của nghiệm, luận án sử dụng phương phápLyapunov

2.1.2 Phương pháp Lyapunov

a, Phương pháp tuyến tính hoá Lyapunov

Phương pháp tuyến tính hoá Lyapunov chuyển việc xét hệ phi tuyến về

hệ tuyến tính hoá tại lân cận của nghiệm Để xét tính ổn định của nghiệm

¯

x(t), xét các nghiệm ở lân cận

Trừ (2.1.3) cho (2.1.2) và sử dụng khai triển Taylor tại x(t)¯ ta có

˙x = ˙¯x(t) + ˙y = f (¯x(t)) + Df (¯x(t))y + O(|y|2) (2.1.4)Với Df là Jacobian của f Từ x(t) = f (¯˙¯ x(t)), do x(t)¯ là một nghiệm của(2.1.2), (2.1.4) trở thành

˙

y = Df (¯x(t))y + O(|y|2) (2.1.5)Phương trình (2.1.5) cho thấy sự vận động của quỹ đạo gần x(t)¯ Và việcxác định hành vi của nghiệm lân cận có được thông qua nghiên cứu hệtuyến tính tương ứng

Nếux(t)¯ là một nghiệm tổng quát, hệ tuyến tính tương ứng vẫn phụ thuộctrực tiếp vào thời gian thì việc giải quyết bước 1 cũng vẫn khó tương đươngvới câu hỏi ban đầu về xác định tính ổn định của x(t)¯ , vì không có phươngpháp giải tích tổng quát để tìm nghiệm của hệ tuyến tính không ô tô nôm.Tuy nhiên nếu x(t)¯ là nghiệm cân bằng x¯ thì ma trận Jacobian Df (¯x) lúcnày là ma trận hằng số Nghiệm của (2.1.6) qua điểm y0 ∈ Rn khi t = 0

có thể được xác định trực tiếp

y(t) = eDf (¯x)ty0 (2.1.7)

Vì vậy, y(t) là ổn định tiệm cận nếu mọi giá trị riêng của Df (¯x) có phầnthực âm Câu trả lời cho bước 2 có thể thu được từ định lý dưới đây

Định lý 2.1.3 ([66], Định lý 3.1) Phương pháp tuyến tính hoá punov.

Lya-• Nếu mọi giá trị riêng của Df (¯x) trong hệ tuyến tính hoá (2.1.6) đều

có phần thực âm, thì nghiệm cân bằng x = ¯x của hệ phi tuyến (2.1.2)

là ổn định tiệm cận

• Nếu tồn tại một giá trị riêng của Df (¯x) trong hệ tuyến tính hoá(2.1.6) có phần thực dương, thì nghiệm cân bằng x = ¯x của hệ phituyến (2.1.2) là không ổn định

• Nếu mọi giá trị riêng của Df (¯x) trong hệ tuyến tính hoá (2.1.6) đều

có phần thực không dương và tồn tại ít nhất một giá trị riêng có phầnthực bằng không, thì không thể kết luận được về tính ổn định củanghiệm cân bằng x = ¯x của hệ phi tuyến (2.1.2)

Phương pháp trên chỉ có giá trị khi xem xét các điểm ở lân cận đủ gầnđiểm cân bằng x¯nhưng như thế nào là đủ gần thì phương pháp này khôngchỉ ra được

b, Phương pháp Lyapunov trực tiếp

Phương pháp Lyapunov trực tiếp xác định tính ổn định của điểm cânbằng dựa trên định lý sau đây

Định lý 2.1.4 ([75], Định lý 2.0.1) Định lý ổn định Lyapunov Xétđiểm cân bằng x¯ của hệ (2.1.2) Nếu tồn tại hàm V : U → R xác định

trong một lân cận U của x¯, thuộc lớp hàm C1, thoả mãn

i, V (¯x) = 0 và V (x) > 0 nếu x 6= ¯x,

ii, V (x) ≤ 0˙ trong U \ {¯x},

thì x¯ là ổn định Hơn nữa, nếu

iii, V (x) < 0˙ trong U \ {¯x},

thì x¯ là ổn định tiệm cận

Hàm thoả mãn các điều kiện trong định lý còn được gọi là hàm punov Phương pháp này có thể cho biết sự ổn định của hệ mà không cầngiải phương trình động lực, có thể xác định miền ổn định tiệm cận và vùngthu hút của điểm cân bằng Nhưng tiêu chuẩn Lyapunov chỉ là điều kiện

Lya-đủ Hơn nữa, không có phương pháp tổng quát để xác định hàm Lyapunov

c, Sử dụng bổ đề Barbalat trong phân tích ổn định tiệm cậncủa hệ không ô tô nôm

Việc tìm hàm Lyapunov cho hệ phi tuyến nói chung và hệ không ô tônôm nói riêng thông thường là rất khó khăn Để phân tích tính ổn địnhtiệm cận của hệ không ô tô nôm, một kết quả quan trọng và đơn giản được

sử dụng là bổ đề Barbalat Đây là một kết quả toán học thuần tuý liênquan đến tính chất tiệm cận của hàm và đạo hàm Khi kết quả này được

sử dụng cho hệ động lực, đặc biệt là hệ không ô tô nôm, nó có thể dẫn đếnlời giải thoả đáng cho rất nhiều bài toán ổn định tiệm cận Trước tiên, bổ

đề Barbalat được phát biểu như sau

khi t → ∞ Nếu đặt g = ˙f, ta có một phát biểu khác nữa của bổ đềBarbalat: Nếu g : R → R là hàm liên tục đều với t ≥ 0 và giới hạn củatích phân lim

Sau đó, để áp dụng bổ đề Barbalat trong việc phân tích hệ động lựckhông ô tô nôm, ta sử dụng bổ đề sau, được gọi là bổ đề tựa Lyapunov.

Bổ đề 2.1.6 ([66], Bổ đề 4.3) Bổ đề tựa Lyapunov Nếu hàm vô hướng

V (x, t) thoả mãn các điều kiện dưới đây

Lý thuyết hỗn loạn là một lĩnh vực toán học nghiên cứu hành vi của các

hệ động lực Những hệ phi tuyến này đặc trưng bởi tính chất "hỗn loạn"

và sự nhạy cảm với điều kiện ban đầu, thường được nhắc đến như là hiệuứng cánh bướm - một hiện tượng được tìm ra bởi Edward Lorenz Với đặctính này, những biến đổi quan sát được của các hệ động lực có biểu hiệnhỗn loạn trông có vẻ ngẫu nhiên, dù mô hình mô tả của hệ thống là tấtđịnh Các định nghĩa dưới đây sẽ giúp làm rõ khái niệm hỗn loạn trong hệđộng lực phi tuyến

Xét hệ (2.1.2)

Định nghĩa 2.1.7 ([75], Định nghĩa 8.2.1) Tập thu hút Tập đóng, bấtbiến A ⊂ Rn được gọi là tập thu hút nếu tồn tại lân cận U của A thoảmãn ∀t ≥ 0, φ(t, U ) ⊂ U và T

t>0

φ(t, U ) = A.Định nghĩa 2.1.8 ([75], Định nghĩa 8.2.5) Hoà trộn tô pô Tập đóng,bất biến A được gọi là hoà trộn tô pô nếu với mọi hai tập mở U, V ⊂ A,tồn tại t ∈ R thoả mãn φ(t, U ) ∩ V 6= ∅

Định nghĩa 2.1.9 ([75], Định nghĩa 8.2.6) Attractor Một Attractor làmột tập thu hút hoà trộn tô pô.

Giả sửΛ ⊂ Rn là tập compact bất biến quaφ(t, x), nghĩa làφ(t, Λ) ⊂ Λ

với mọi t ∈ R.

Định nghĩa 2.1.10 ([75], Định nghĩa 30.0.1) Phụ thuộc nhạy cảm vàođiều kiện ban đầu Dòng φ(t, x) được gọi là có phụ thuộc nhạy cảm vàođiều kiện ban đầu trên Λnếu tồn tại ε > 0thoả mãn, với mỗi x ∈ Λ và mọilân cận U của x, tồn tại y ∈ U và t > 0 thoả mãn |φ(t, x) − φ(t, y)| > ε.Sau đó, khái niệm tập bất biến hỗn loạn được định nghĩa như sau.Định nghĩa 2.1.11 ([75], Định nghĩa 30.0.2) Tập bất biến hỗn loạn

Λ được gọi là tập bất biến hỗn loạn nếu thoả mãn

1 φ(t, x) có phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu trên Λ

2 φ(t, x) là hoà trộn tô pô trên Λ

Một hệ động lực tồn tại tập bất biến hỗn loạn được gọi là hệ hỗn loạn.Việc chứng minh một hệ tồn tại tập bất biến hỗn loạn theo định nghĩatrên bằng phương pháp giải tích là rất khó khăn (xem [75], trang 740-741.).Thay vào đó, một độ đo được sử dụng hiệu quả để chỉ ra sự tồn tại hỗnloạn là số mũ Lyapunov

2.1.4 Số mũ Lyapunov

Số mũ Lyapunov dương là một tiêu chuẩn xác định hành vi hỗn loạntrong hệ động lực phi tuyến Xét hệ ô tô nôm (2.1.2) Gọi x(t, x0) là quỹđạo của (2.1.2) thoả mãn x(0, x0) = x0 Chúng ta muốn mô tả cấu trúcquỹ đạo của (2.1.2) gần x(t, x0) Cụ thể là các quỹ đạo gần x(t, x0) sẽ bị

phân tách hay hút vào so với x(t, x0) hay nói cách khác hệ có phụ thuộcnhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay không? Số mũ Lyapunov sẽ giúpchúng ta xác định điều này.

Xét hệ tuyến tính hoá của hệ (2.1.2) dưới dạng

˙

y = Df (x(t, x0)) y, y ∈ Rn (2.1.8)Gọi X(t; x(t, x0)) là ma trận nghiệm cơ bản của (2.1.8) và e 6= 0 là mộtvéc tơ của Rn

Định nghĩa 2.1.12 ([75], Mục 29.1) Hệ số mở rộng Hệ số mở rộngtheo hướng e dọc theo quỹ đạo qua x0 được định nghĩa bởi

Một hệ nchiều sẽ có nsố mũ Lyapunov theo nhướng khác nhau của cơ

sở trong Rn Về bản chất, các số mũ Lyapunov liên quan với quỹ đạo đượckhảo sát, là số đo trung bình nhịp độ phân kỳ hoặc co cụm của các quỹđạo ở lân cận nó Chúng định lượng độ nhạy cảm vào điều kiện ban đầucủa quỹ đạo trong vùng hút Khi có ít nhất một số mũ Lyapunov dương,

nó phản ánh sự giãn nở theo một hướng hoặc nhiều hướng Trong khi đặctrưng hao tán của hệ được phản ánh bởi tổng số mũ Lyapunov âm Vì vậy

ta có tiêu chuẩn xác định hành vi hỗn loạn trong hệ động lực thông qua

số mũ Lyapunov như sau:

Định lý 2.1.14 ([25], mục 4.3; [75], mục 29.1) Hệ động lực tồn tại tậpbất biến hỗn loạn khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Tồn tại ít nhất một số mũ Lyapunov của hệ là dương;

• Tổng số mũ Lyapunov của hệ là âm

Ngoài ra, hệ hỗn loạn có nhiều hơn một số mũ Lyapunov dương được gọi

là hệ siêu hỗn loạn

Các tính chất toán học của số mũ Lyapunov có thể tham khảo chi tiếttrong [75], mục 29 Trong thực hành, chúng ta thường sử dụng các phươngpháp số để tính số mũ Lyapunov Có rất nhiều thuật toán dựa vào các giảthiết khác nhau như tính số mũ Lyapunov của chuỗi thời gian mà khôngbiết hệ động lực mô tả của Gencay [27], tính số mũ Lyapunov lớn nhấtcủa tập dữ liệu của Rosenstein [58] hay tính số mũ Lyapunov khi biết hệphương trình vi phân mô tả trạng thái hệ động lực của Wolf [76], v.v Luận

án sử dụng thuật toán của Wolf [76] trong các tính toán

2.2.1 Định nghĩa

CNN là một mảng xử lý động tương tự, tạo bởi các tế bào (cells) Mỗicell chứa các tụ tuyến tính, điện trở tuyến tính, các nguồn điều khiển tuyếntính hoặc phi tuyến Một trong những tính chất chính của CNN là mỗicell là một hệ động lực phi tuyến nhưng sự kết nối với các cell là tuyếntính Nói cách khác, mảng là phi tuyến nhưng có kiến trúc không gian làtuyến tính

Có nhiều kiểu kiến trúc cũng như mô hình CNN [80] như CNN 1 chiều(1-D CNN); CNN 2 chiều (2-D CNN); Chua-Yang CNN; State Controlled

CNN (SC-CNN); Full-range CNN; Reaction-difusion CNN Tuy nhiên đểthuận tiện trong trình bày các khái niệm cơ bản, xét kiến trúc CNN 2chiều với mô hình Chua-Yang [12] Hình ảnh một CNN 2 chiều với 3 × 3

lân cận được cho trong hình 2.1 Mỗi hình vuông là một cell và các đoạnthẳng nối các cell thể hiện chúng có liên kết trực tiếp Hình 2.2 mô tả cấutrúc mạch điển hình của một cell

Định nghĩa lân cận bán kính r trong CNN 2 chiều như sau :

Định nghĩa 2.2.1 ([12], Định nghĩa 1) Lân cận bán kính r Một lâncận Nr bán kính r của cell C(i, j) trong CNN là tập hợp

Nr(i, j) = {C(k, l) : max (|k − i|, |l − j|) ≤ r, 1 ≤ k ≤ M, 1 ≤ l ≤ M } ,

(2.2.1)với r là số nguyên dương

Được xây dựng theo định nghĩa gốc , định nghĩa tổng quát của CNNnhư sau:

Định nghĩa 2.2.2 ([64], Định nghĩa 1) Định nghĩa tổng quát CNN.CNN là

(a) Mảng 2, 3 hay n chiều của,

(b) các hệ động lực giống nhau, gọi là các cells, thỏa mãn hai tính chất:(c) các tương tác trong vùng cell lân cận bán kính r hữu hạn,

(d) tất cả các biến trạng thái là tín hiệu có giá trị liên tục

Về mặt toán học, CNN được xác định bởi:

Định nghĩa 2.2.3 ([64], Định nghĩa 2) Các thông số xác định CNN.Một M × M CNN được xác định về mặt toán học bởi 4 thông số kỹ thuật:(1) Động học của các cells

Hình 2.1: Lưới CNN 2 chiều

Hình 2.2: Cấu trúc mạch của một cell

(2) Luật hồi tiếp thể hiện sự tương tác giữa các cells lân cận.(3) Các điều kiện biên

(4) Các điều kiện ban đầu

Chú ý rằng các biến không gian luôn rời rạc và biến thời gian có thểliên tục hoặc rời rạc Tương tác giữa các cells thường thể hiện bởi mẫu vôtính, có thể là hàm phi tuyến của trạng thái x, đầu ra y và đầu vào u củamỗi cell trong lân cận Nr bán kính r.

2.2.2 Phương trình vi phân mô tả CNN

Giả sử các thành phần xử lý của CNN được bố trí trên một mảng 2chiều Khi đó động lực học của CNN tổng quát được mô tả bởi

i, j là chỉ số vị trí hàng cột trên mảng của cell; C(kl) ∈ Nr(ij) là các celltrong lân cận bán kính r của cell C(ij); Iij là nguồn dòng độc lập A˜ và

˜

B là các mẫu vô tính phi tuyến đặc trưng cho kết nối của mỗi cell với cáccell lân cận qua các biến đầu vào, trạng thái và đầu ra Trong [59], [65]đưa ra các mẫu tổng quát dạng:

với p1 = c1yklyij, p2 = c2[exp(ykl− 1)], p3 = c3(ukl − uij) đảm bảo cho sự

ổn định của CNN phi tuyến Hơn nữa, A˜ và B˜ còn được gọi là toán tử hồi

tiếp và toán tử điều khiển [12]

Một số hàm đầu ra hữu ích:

|uij| ≤ 1, |xij(0)| ≤ 1 (2.2.9)Trong [59] đã chứng minh, với ràng buộc (2.2.9), phạm vi động lực củaCNN bị chặn với mọi t > 0 và giá trị biên xmax có thể tính toán qua cácmẫu vô tính:

xmax = max {|xij|} =

= X

C(kl)∈N r (ij)

˜

Bij,kl(ukl(t), uij(t))

+|Iij|

(2.2.10)Theo định nghĩa 2.2.3, ta có thể khái quát hóa (2.2.2) thành hệ động lực

mô tả CNN Với CNN tổng quát mà các cells được tạo thành bởi các thànhphần mạch bất biến theo thời gian, mỗi cell được đặc trưng bởi phươngtrình động lực:

˙xij = −g(xij, uij, Iijs), (2.2.11)với xij ∈ Rm, uij là đại lượng vô hướng Trong hầu hết các trường hợp,tương tác với các cells lân cận C(i + k, j + l) được xác định bởi luật hồitiếp:

Iijs = Aij,klxi+k,j+l+ ˜Aij,kl×fkl(xij, xi+k,j+l)+ ˜Bij,kl×ui+k,j+l(t) (2.2.12)Thành phần đầu Aij,klxi+k,j+l của (2.2.12) là phản hồi tuyến tính của cáctrạng thái các nút lân cận Thành phần thứ hai cung cấp kết nối phi tuyếnnếu có và thành phần thứ ba thể hiện cho sự đóng góp từ các đầu vào bênngoài của mỗi cell trong lân cận Nr

Dưới đây là ba kiểu điều kiện biên điển hình của CNN:

(1) Điều kiện biên cố định (Dirichlet):

(3) Điều kiện biên tuần hoàn

tụ tới giá trị hữu hạn và đạo hàm của nó hội tụ về 0:

lim

t→∞yij(t) = const, 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ M (2.2.19)

Hàm đầu ra tuyến tính từng đoạn của mỗi cell trong CNN chia khônggian thành các vùng khác nhau, ta có khái niệm các vùng làm việc củaCNN như sau:

Định nghĩa 2.2.5 ([64], Định nghĩa 10) Vùng ổn định Vùng ổn định

SR (Stability Region) của CNN là tập các biến trạng thái thoả mãn:

SR = {x ∈ Rn; |xi| ≥ 1, i = 1, 2, , n} (2.2.20)Định nghĩa 2.2.6 ([64], Định nghĩa 11) Vùng phi tuyến Vùng phituyến NR (Nonlinear Region) của CNN là tập các biến trạng thái thoảmãn:

N R = {x ∈ Rn; |xi| < 1, i = 1, 2, , n} (2.2.21)

Dễ thấy vùng phi tuyến là một siêu lập phương đơn vị với tâm tại gốctọa độ

Định nghĩa 2.2.7 ([64], Định nghĩa 12) Vùng ổn định từng phần.Gọi N = {1, 2, , n}, U ⊂ N, V = N \U với U 6= ∅, V 6= ∅ Vùng ổnđịnh toàn phần PSR (Partial Stability Region) gồm các biến trạng thái thỏamãn:

P SR = {x ∈ Rn; |xi| ≥ 1, |xj| < 1, i ∈ U, j ∈ V } (2.2.22)Một số định lý giúp xác định tính ổn định của điểm cân bằng trong cácmiền làm việc SR, NR và PSR

Định lý 2.2.8 ([64], Định lý 16) Nếu có một điểm cân bằng trong vùng

SR thì toàn bộ vùng này thuộc vùng hấp dẫn của điểm cân bằng Nói cáchkhác, bất kỳ quỹ đạo nào trong vùng SR này sẽ hội tụ tiệm cận đến điểmcân bằng duy nhất tương ứng

Chú ý rằng, nếu không có điểm cân bằng trong vùng SR, mọi quỹ đạo

Định lý 2.2.9 ([64], Định lý 17) Nếu aii > 1, (aii = A(ij, ji)), 1 ≤ i ≤ n

thì mọi điểm cân bằng trong NR là bất ổn định

Giải tích cấp phân số đánh dấu sự ra đời từ trao đổi của hai nhà toánhọc L’Hopital và Leibniz Năm 1695, sau khi Leibniz công bố công trình

về đạo hàm cấp n, n ∈ N, L’Hopital đã viết thư đặt câu hỏi "kết quả sẽ

như thế nào nếu n = 1/2"? Leibniz đã trao đổi rằng "đó là một nghịch lýhiển nhiên, tuy nhiên từ đó có thể một ngày nào đó những hệ quả hữu ích

sẽ được rút ra" Từ những sự tìm tòi ban đầu đó, giải tích bậc phân số đãthu hút sự quan tâm của các nhà toán học hàng đầu như Fourier, Euler,Laplace Nhiều phát hiện sử dụng kí hiệu và phương pháp riêng của họ đãđược đưa ra để định nghĩa về đạo hàm và tích phân với cấp không nguyên.Trong đó hai định nghĩa được sử dụng phổ biến nhất là định nghĩa củaRiemann-Liouville và của Grunwald-Letnikov Hầu hết các kiến thức toánhọc về vấn đề này đã được hoàn thiện từ trước thế kỉ 20 Tuy nhiên chỉnhững năm gần đây với sự phát triển vượt bậc của khoa học kỹ thuật, giảitích cấp phân số mới tìm được những ứng dụng cụ thể Các ứng dụng nàycũng như các kiến thức cơ bản có thể tìm hiểu thêm trong các tài liệu [6],

[17] [22], [21], [28], [45] Phần này chỉ trình bày một số khái niệm toán họccần thiết được tổng hợp từ các tài liệu trên Chú ý rằng do đặt vấn đềcủa L’Hopital mà từ "cấp, bậc phân số" đã trở thành quen thuộc được sửdụng rộng rãi, nhưng bản chất các khái niệm, định nghĩa trong giải tíchcấp phân số được hiểu là cấp số thực.

Hình 2.3: Đồ thị hàm Gamma tại 0 và lân cận điểm 0

dạng đa thức ta và hàm Mittag-Leffler Hàm Beta được định nghĩa nhưsau:

c, Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace là một hàm chuyển thường được sử dụng trongviệc tìm nghiệm các phương trình vi phân phức tạp Với phép biến đổinày, việc tính toán giải tích trực tiếp phức tạp với đạo hàm các cấp khácnhau bằng việc chuyển bài toán sang miền Laplace với các phép tính đại

số Định nghĩa phép biến đổi Laplace được cho trong công thức (2.3.5)

(2.3.5) hội tụ Để đạt được điều đó thì hàm f (t) không được tăng với tốc

độ nhanh hơn tốc độ giảm của hàm e−st

Tích chập Laplace được cho bởi (2.3.6)

n nguyên của hàm f (t) được nhắc lại trong (2.3.8):

vi phân cấp phân số Dạng chuẩn của hàm Mittag-Leffler được định nghĩanhư sau:

Hình 2.4: Đồ thị hàm Mittag-Leffler với một số giá trị α và β = 1

Tuy nhiên hàm Mittag-Leffler dạng tổng quát không thường xuyên được

sử dụng trong phương trình vi phân cấp phân số

2.3.2 Định nghĩa tích phân, đạo hàm cấp phân số

(t − τ )n−1f (τ ) dτ (2.3.12)Như đã thấy trong (2.3.2), hàm Gamma là một mở rộng của phép toángiai thừa cho tất cả các số thực Vì vậy bằng việc thay phép toán giai thừa

trong (2.3.12) bằng hàm Gamma tương ứng, ta được công thức xác địnhtích phân cấp α, α ∈ R+ theo Riemann-Liouville:

Jαf (t) := fα(t) = 1

Γ (α)

Z t 0

(t − τ )α−1f (τ ) dτ (2.3.13)

Toán tử tích phân cấp phân số có một số tính chất sau

Thứ nhất với α = 0, toán tử J0 là toán tử đồng nhất, nghĩa là

Thứ hai, từ định nghĩa ta có

JαJβ = Jα+β = JβJα (2.3.15)Thứ ba, từ định nghĩa hàm Φ(t) trong (2.3.3) và tích chập Laplace trong(2.3.6) ta có