Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Đánh Giá

Câu 1:(Phạm Hoàng)

4

2

x y











Điều kiện: 1; 1

2

x  y

2 (3)

x y

TH1: xy 0 xy  x y

2

1

2 1 1 1 1 3 1

VP x y  x x x x x      

2

x

TH2: xy 0 xy   x y

          (loại)

Vậy x y ;   1;1

2







Điều kiện: x  3

1  x4 y 1 y x 3 y  x 4 3

Áp dụng AM-GM:

Dấu “=” xảy ra khi

2

2

0

3 3

y





 



Thế 2

3

y x vào  2 ta được 3 2 3 2

x  x  x  x  x

Xét hàm số   3

f t t t có   2  

f t  t    t R f t đồng biến trên R

   



   



Vậy x y ;  0; 3 ; 3; 0 ; 1; 2  

Câu 3: (Huỳnh Kim Kha)

 

2

2

5

x xy

x y

x

y











Điều kiện 2

2

0; 0











x xy

x y



 

2

5 5

1

x

y

   



   

 

Đặt      

2 2

5

1





Do đó  1 x y

Thế vào  2 ta được 2  

x x x 

2

2

1

x

Dấu “=” xảy ra khi x 1 y1

Vậy x y ;   1;1

6







Điều kiện:









(loại)

y x

 





3

2

29

1

y

y

 

  

  

 

3



Thế vào  2 ta được 3 6 3 17 17 17

Vậy  ;  17 17;

6 6

x y   

 

 

3







Điều kiện:

1

2









 1  3x2  y2 1 2  1 3 x1y2  3

Đặt a x 1;b y2; a0;b0

Áp dụng AM-GM:

Dấu “=” xảy ra khi ab  x 1 y2 yx22x1

Thay 2

yx  x vào  2 ta được: 2x 1 3 x2  x 1 2x43x35x26x0

2

3

2

3

2

x

1

x

  (Vì

2

3

2

x

x   x  x  x   x       )

y

 

Vậy x y ;  1; 2

2

3 3

y









Điều kiện:







Ta có:   2 2  2 2 2 2  2  2 2 2

VT x y  x y  xy x y  xy  xy x y  x y

x  y yx y  x yx  xyy   xy  xy

Thế vào  1 ta được   

2

2

2

3

3

x

x





1

6

y

Vậy  ;  1 ; 1

x y   







Điều kiện: 1

0

x

y











Ta có: VT 1  x y xy1 x y.2 x y 12x y 1 2 xy y 1

Thay vào  2 ta được: 4 2  

x x x x x  x

Áp dụng AM-GM:

 

 

4 2

3

2

3

2 1

2 1

Dấu “=” xảy ra khi x 1 y0

Vậy x y ;  1; 0

Câu 8:(Huỳnh Kim Kha)

 

2

2 9







Điều kiện:

2 2

0 9

0

x y

x

















1 4x 4x 2xy2xyx xyy  2x 2xy x xyy 4

Nếu 2x 2xy  y2x4x2 thì

2

0 9

x    Từ đó ta có hệ:

 

2

2 2

2







2

0

x





 



hoặc

2

;

y

 







    

 Thử lại thì không có nghiệm thỏa

Nếu 2x 2xy: Từ  4  x2xyy2 0

Do đó y 0 (do  3 ) Và 2x y0x0



  (luôn đúng)

 2

Thay x y vào  1 ta được: 2  2

2

1 2

9



Vậy  ;   1;1 ; 1 1;

9 9

x y   

 

Câu 9:(Huỳnh Kim Kha)

 

4

x

y







Điều kiện: x0;y0

Từ  1 ta có:

3

3

4

x y



 2







TH1: x0 2 4 y3 y (Vô nghiệm)

2

4

x



Vậy x y ;   1;1

2







Điều kiện:  

2

0 1

4

x x

 

 









Áp dụng AM-GM:

 1 2  2  2 4  2  2  2 4  4  1

Dấu “=” xảy ra khi x2y Thay vào  2 ta được: 2  

x  x x  x xx

      2   

1 1

x

x x



 



(Vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

2

I







Điều kiện:

2

2







2



 



2

II



 

 

Cộng vế theo vế  1 và  2 ta được:

Vậy x y ;  1; 3 

Câu 12:(Phạm Hoàng)

2

2

5

2









 

2

Đặt u2 ;x x2 ; v y 1;y1  u v 2xy1;xy3

Ta luôn có:

 2 2  22  12  12 2 12  32

u  v  u v  x  x  y  y  xy  xy

2x y 12 x y 32 6 2 2x y 12 x y 32 72  **

Từ    * , ** 2xy12xy32 2xy324xy

x y 12 0 x y 1

Dấu = xảy ra khi

2

1 1

x

y











  



Vậy x y ;  2;1

2







1  2x 2y 2xy 2 x y 2x2y2 3

Đặt u x y v ;   ; 1;1   u v x1;y1

Ta luôn có:

(3)

u  v  u v  x y    x  y  x y  x y VP

Dấu “=” xảy ra khi x y

Thay vào  2 ta có:    4   2   2 

x x  x  x  x x  x

3

Xét hàm số   3

2

3







Điều kiện: y 0

2  y1 2x y  3 x 1  1 y y  y1 2x y  3 x 1  y1 y y1

1 1

y y











2

1 1

y y













2

1

1

y

y x





 



(vì

0

2x y   3 y 1 x  1 y  )

2

yx   y x  y   x y 

Vì y 0 không phải là nghiệm   2 2

Ta có bất đẳng thức: 1a 1b 1 1  a b a b, 0

Dấu = khi ab 0

Áp dụng với 2

2

1

;

y

 

2

2

y

Vậy x y ;  0;1

Câu 15:(Huỳnh Kim Kha)

2







2  2xy 4  x2y 4  3x3y 8

Đặt u2xy; 4 ; v x 2 ; 4y   u v 3x3 ;8y 

u  v  u v  xy   x y   x y 

Dấu “=” xảy ra khi 2 2

x y

Thay x y vào  1 ta được: 3 2  3 2

x  x  x   x  x  x

3

Đặt

3

2

a x

 









 



         

a b   x b a  a b a ab b   x a b 







Trường hợp 1:

a ab b   x  b    

Mà

0









Vậy x y   ;   3; 3 ;  3 2 2; 3 2 2 ;    3 2 2; 3 2 2  