Ky nang co ban và hướng dẫn tư duy oxy

Kỹ năng cơ bản và hướng dẫn tư duy – Hình học phẳng Oxy 1 Phần I. Lý thuyết chung  Vector: AB x x y y     B A B A ;  . Độ dài: a x y   a a 2 2 .  d ax by c : 0    có VTPT n a b d  ;  , VTCP u b a d  ;  và a b 2 2   0 .  Đường tròn I x a y b R  :     2  2 2  có tâm I a b  ;  và bán kính R.  Trung điểm M của AB: x y M M x x y y A B A B ; 2 2     .  Trọng tâm G của ∆ABC: x y G G x x x y y y A B C A B C ; 3 3       .  Tích vô hướng: a b x x y y .   a b a b . Nếu a b  thì a b . 0  .  Nếu M d x y     : 3 2 0 ta có thể gọi M a a d  ;3 2    .

Phần I Lý thuyết chung

 Vector: ABx Bx A;y By A Độ dài: a  x a2y a2

 d ax by c:   0 có VTPT n a b d ; , VTCP u db a;  và a2b2 0

 Đường tròn   I : x a 2y b 2R2 có tâm I a b ; và bán kính R

 Trọng tâm G của ∆ABC: x G x A x B x C ;y G y A y B y C

 Tích vô hướng: a b x x.  a by y a b Nếu ab thì a b. 0

 Nếu M d : 3x y  2 0 ta có thể gọi M a a ; 3  2 d

 A, B khác phía với d nếu ax Aby Ac ax Bby B c 0

 A, B cùng phía với d nếu ax Aby Ac ax Bby B c 0

 Khoảng cách một điểm tới đường thẳng:  A d

ax by c d





 Góc giữa 2 đường thẳng:   n n u u

d d

1 2

cos ;

Phần II Các bài toán cơ bản của hình học phẳng Oxy

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A 1; 3 và:  

a) Vuông góc với d x: 3y 4 0

b) Song song với d x: 3y 4 0

c) Qua B 0; 2  

a)   d nu d  3;1  : 3x 1 1 y3  0 : 3x y  6 0

Mở rộng: Cách sử dụng máy tính Casio bấm nhanh:

Nhập vào máy tính: 3X + Y bấm CALC, nhập X = 1, Y = 3 ra kết quả 6 Vậy 3X + Y – 6 = 0

b) //dnn d 1; 3   : 1x 1 3 y3  0 :x3y 8 0

Mở rộng: Cách sử dụng máy tính Casio bấm nhanh:

Nhập vào máy tính: X – 3Y bấm CALC, nhập X = 1, Y = 3 ra kết quả –8 Vậy X – 3Y + 8 = 0

c) AB    1; 5 un5; 1   : 5x y  2 0

Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d x: 2y 3 0 sao cho

ABAC trong đó A  2;0 ,B 3; 1 

ABAC do đó: n AC AB1; 1 

  AC : 1 x 2 1 y 0 0  AC x y: 2 0

C

7; 5



d:x-2y+3=0 C

Bài toán 3: Tìm hình chiếu H của điểm A 3;1 trên d  : 4x y  2 0

Cách 1: Gọi H a a ; 4  2 d AH a 3; 4a1

Vì AH d AH u d  0 1a 3 4 4a 1 0

17

17 17

Cách 2: AH d n AHu d  1; 4

d:4x - y + 2 = 0

A

H

Ta có:   AH : 1 x 3 4 y  1 0  AH x: 4y 7 0

Tọa độ H là nghiệm của hệ:  AH x y

H

;

17 17

Mở rộng 1: Nếu muốn tìm điểm A’ đối xứng với A qua H, ta sử dụng:

' '

1

2

A







Mở rộng 2: Nếu muốn tìm A’ đối xứng với A qua d mà không cần tìm H:

17 17

A





Bài toán 4: Cho A 2; 1   Tìm M thuộc d: 2x y  4 0 sao cho AM 2 Gọi  T là đường tròn tâm A bán kính R 2

có phương trình:   T : x2 2 y12 2

Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình:

  T x  y  M 

M

11 2

;

5 5

  

A

M

Mở rộng: Cách sử dụng máy tính Casio bấm nhanh:

Vì y2x4 do đó nhập:   2 2

X 2  2X 3 2 SHIFT SOLVE nhập 2 giá trị khác nhau của X ta tìm được 2 nghiệm: X = 1, X = 11

5 từ đó tìm ra M

Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm A thuộc đường thẳng : d x y  4 0 sao cho

khoảng cách từ A tới : x2y 1 0 một khoảng bằng 2

5 Gọi A a ; 4 a d,   2 1 2

;

3

a

a

a

 



Do đó ta có   5 7

3 3

 

x + y - 4 = 0

x - 2y + 1 = 0

A

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A 1; 3 và cách điểm

 2;1

B  một khoảng bằng 3

Giả sử n d  a b a; , 2b2 0 Khi đó: :d ax by a  3b0 qua A 1; 3

5

Với b 0 Chọn a1,b0 ta có: :d x 1 0

Với 12

5

b a Chọn a5,b12d: 5x12y41 0

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 2;1 tạo với đường thẳng : 2 x3y 4 0 một góc 45 0

Giả sử n d  a b a; , 2b2 0 Khi đó: :d ax by 2a b 0 qua M 2;1

cos ;

d d

d









1 5

5

Với a5b a 5,b 1 d: 5x y 11 0

5

a  b a b  d x y 

Bài toán 8: Tìm chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC biết

rằng tọa độ các đỉnh A    1;1 ,B 4; 5 ,C  4; 11

Ta tính được AB5,AC13 Gọi D là chân đường phân giác trong góc A

Theo định lý Thales cho đường phân giác: 5 13 5

13

;

9 9

D

Chú ý: Muốn tìm phân giác trong góc A, ta viết phương trình (AD)

Bài toán 9: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng

  1; 3 , 1; 1 ,  2;0

Gọi đường tròn cần tìm có dạng:  C :x2 y2 ax by c  0 Khi đó ta có:

 

 

 

4

c

         



 C x: 2 y2 2y 4 0

Bài toán 10: Cho đường tròn   2 2

C x y  x y  và đường tròn

  2 2

C x y  x y  cắt nhau tại hai điểm M, N Viết phương trình đường thẳng MN 

Tọa độ các điểm M, N thỏa mãn hệ sau:

 

 

2 2 1

2 2 2







Lấy    C1  C2 ta được: MN: 5x5y20 0

Rút gọn ta được: MN:x y  4 0

MN là “trục đẳng phương” của     C1 , C 2

N M

Mở rộng: Trong trường hợp E và F là hai tiếp

điểm kẻ từ A tới đường tròn (I,R)

Khi đó (EF) là trục đẳng phương của 2 đường

tròn sau:

 Đường tròn (I,R)

 Đường tròn (A,AE)

Trong đó AE 2 = AI 2 – R 2 I

E A

F

Bài toán 11: Tìm tọa độ điểm A trên đường thẳng x y  2 0 sao cho tam

giác ABC vuông tại A với B   1; 2 ,C 3;1

Gọi 2;3

2

  là trung điểm BC Ta có

5 2

Tam giác ABC vuông tại A do đó A nằm trên

đường tròn đường kính BC có tâm K và bán kinh

5

2

KB như sau:    2 3 2 5

    

K

A

;

2 0

x y





Phần III: Hướng dẫn giải và tư duy qua một bài toán Oxy

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại

A, có đường cao AH Gọi D và E là các chân đường phân giác trong kẻ từ B

và A của các tam giác ABH, ACH Biết rằng E 17 11;

5 5

 , phương trình các đường thẳng  AC :y1, BD : 2x  y 6 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam

giác ABC

(Trích đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia 2015 – CasioMan’s Offline)

Áp dụng định lý Thales với đường phân giác

trong ta có: AD AB CE AC

Mặt khác ABHΔ ΔCAHdo đó AB AC

Vậy AD CE

B

H

Ta có: DE // AC , ACABDEAB AD, BEBDAE

Ta chứng minh được BDAE Do đó đường thẳng AE đi qua E và vuông góc với BD có dạng:  AE x: 2y 1 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ:  

A

1;1







Do đó ta viết được đường thẳng  AB x: 1

Tọa độ của B là nghiệm của hệ:  

AB x

B

1; 4



  

Ta viết được phương trình đường thẳng  BE : 3x4y19 0

Tọa độ của C là nghiệm của hệ:  

 BE AC y x y C 

: 3 4 19 0

5;1





Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxycho hình vuông ABCD Gọi

M là trung điểm của cạnh CD I là một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 4IB

Gọi H là hình chiếu của C trên BM, K là trung điểm của HM Đường thẳng

CK kéo dài cắt AD tại J Biết 39 3; , 23; 5

   , phương trình đường thẳng  DI : 7x y 20 0 Tìm A biết rằng D có tọa độ nguyên

(Trích đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia 2015 – CasioMan’s Offline)

Gọi E là trung điểm của HC Ta có:

là hình bình hành Do đó IK // BE

Vì EK // MC, MCBC nên KEBC

Ta lại có CEBK nên E là trực tâm tam giác BCK

Vậy BECK Vậy IKJK

Do đó ta viết được  KI : 11x7y45 0

E B

C A

D

H K J

I

Tọa độ I là nghiệm của hệ:  

 

I

;

2 2

Ta có: cos =

2 2

4 5

 Đặt n AD  a b; với a2 b2 0

Do đó ta có: AD DI

31

4

17



 

a  b AD x y  (Loại vì tọa độ D nguyên)

   1;1 : 2 0

AD

3; 1

x y

D

x y

  



1;1 0

x y

A

x y

  

  