định lí về kĩ thuật SOS phân tích tổng bình phương

Tuy nhiên, để chứng minh các bất đẳng thức bằng phương pháp này chúng ta cũng cần có những định lý, mà từ đó chúng ta có thể giải quyết nốt “đoạn cuối”.. Bài toán : Giả sử là những số

Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

1.Mở đầu

Kỹ thuật phân tích tổng bình phương trong chứng minh bất đẳng thức đối với chúng ta không còn xa lạ.Trong các bất đẳng thức ba biến, đặc biệt có tính đối xứng, kỹ thuật này tỏ ra rất hiệu quả trong việc chứng minh Tuy nhiên, để chứng minh các bất đẳng thức bằng phương pháp này chúng ta cũng cần có những định lý, mà từ đó chúng ta có thể giải quyết nốt “đoạn cuối” Bài viết này sẽ giới thiệu một đình lý về SOS và những vấn đề xung quanh nó ( tuy không mới nhưng cũng rất thú vị )

Sau khi biến đổi , phân tích bất đẳng thức ba biến về dạng:

Trong đó là các biểu thức theo ba biến Các định lý chúng ta xét tới sẽ liên quan đến , và từ đó ta có thể khẳng định là đúng

2 Định lý

Chúng ta có định lý sau

Có những cách khác nhau để chứng minh định lý này, chẳng hạn cách sau đây sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Chứng minh

Đặt và Khi đó có dạng:

Nếu khi đó ta có thể coi , và tương đương với và điều này đúng Nếu khác khi đó đặt , khi đó tương đương với

Xét

=

Do , nên theo định lý về dấu tam thức bậc hai ta có điều phải chứng minh

Chứng minh trên cũng khá thú vị, tuy nhiên bạn thử nghĩ xem, liệu nó có để lại những hệ quả gì? Rõ ràng là bạn khó có thể thấy được, vậy tại sao chúng ta lại không đi tìm một chứng minh khác mà từ đó ta thu được hệ quả bổ ích sau này Trước hết, ta hãy xét một bài toán trong một cuốn sách của Vasile

Bài toán :

Giả sử là những số thực dương, khi đó :

Lời giải Biến đổi bất đẳng thức về dạng

Trong đó

Từ đẳng thức

Và

Ở đây ta đã sử dụng BĐT Schur bậc

Đẳng thức xảy ra khi

Điều đặc biệt đầu tiên mà bạn nhìn thấy ở lời giải trên có lẽ chính là đẳng thức , đó chính là “chiếc chìa khoá” để giải bài toán, vậy tại sao chúng ta lại không cầm lấy chiếc chìa khoá ấy để chứng minh lại định lý

Chứng minh

Ta có đẳng thức sau

Và định lý được chứng minh

Bạn thấy thế nào? Quá tuyệt phải không? Chứng minh không khó Đầu tiên bạn hãy chứng

minh , điều này đơn giản, sau đó chỉ việc cộng ba đẳng thức tương tự như thế và ta thu được Và bây giờ chúng ta hãy đến với những hệ quả thú vị từ đẳng thức

Hệ quả

Với mọi

Hệ quả

Thực chất hệ quả chính là định lý 1 Và ta có nhận xét thú vị sau : ta có thể coi

là các số thực Từ đó ta thu được định lý mạnh sau

Định lý 2

Với mọị số thực , khi đó ta có bất đẳng thức

Bây giờ chúng ta sẽ đến với các bài toán mà lời giải của chúng sử dụng định lý 1 và định

lý 2

Bài toán 2

Với mọi số thực , khi đó bất đẳng thức sau luôn đúng

Đây là bài toán quen thuộc, nó có ứng dụng rất nhiều trong các bđt khó Lời giải của Vasile bằng tam thức bậc hai khá phức tạp( cũng chính là tác giả của bài toán ) Chúng ta cũng biết đến các chứng minh có dạng SOS quen thuộc, và chúng ta hãy đến với một phân tích sau đây để xem nó

có điều gì lạ

Lời giải Biến đổi bđt về dạng

Và

Khi đó

Do đó theo , ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh

Phân tích trên thật tuyệt phải không các bạn? Nó khác hoàn toàn với cách phăn tích thông thường khác (có thể là mới chăng? ), và chắc chắn rằng việc tìm ra dấu bằng sẽ đơn giản hơn

Đẳng thức xảy ra khi

Remark Với tư tưởng trong chứng minh trên, ta có nhận xét thú vị sau

Và sử dụng nhận xét đó ta có bài toán tổng quát cho bđt sau đây

Nếu và là các số thực, khi đó

Bất đẳng thức này có dạng

Trong đó

Nếu chọn từ ta có bđt Nếu chọn , khi đó ta có bất đẳng thức

Nếu chọn ta có bđt

Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức tương tự của Vasile

Bài toán 3

Giả sử là các sô thực không âm thoả mãn Khi đó

Lời giải

Nếu thoả mãn bài toán đơn giản, tuy nhiên sẽ không như vậy trong trường hợp khác , vì vậy ta sử dụng kỹ thuật phân tích tổng bình phương để giải chúng như sau

Biến đổi bđt về dạng

Hay

Do đó theo dịnh lý ta có ngay điều phải chứng minh

Remark Cũng với ý tưởng trênTa có bài toán tương tự sau

số thực dương lớn hơn , khi đó

Nếu là cạnh của một tam giác, khi đó ta có bđt:

Bài toán 4

Giả sử là ba số thực dương, khi đó

Bài toán này sử dụng định lý chọn và ta có bđt

Bài toán

Nếu là các số thực, khi đó

Remark Ta có bài toán tương tự sau

Nếu là các số thực, khi đó

Bài toán 5

Giả sử là các số thực dương thoả mãn Khi đó

Lời giải

Bài toán này mặc dù nhìn qua có vẻ không động chạm mấy đến S.O.S, tuy nhiên ta có thể giải nó bằng phương pháp này (mặc dù điều kiện của bài toán như lượng giác)

Biến đổi bđt về dạng

Từ đây áp dụng hệ quả ta có và

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 6[Kim Đình Sơn]

Với là độ dài ba cạnh của một tam giác, khi đó với mọi , ta có bất đẳng thức sau luôn đúng

Lời giải

Chúng ta biến đổi bất đẳng thức trên về dạng S.O.S như sau

Và ta áp dụng định lý 1

Remark Với , ta có bất đẳng thức sau vẫn đúng

Trong đó là độ dài ba cạnh của một tam giác

Nhưng tôi chưa rõ với mọi bài toán có còn đúng không, và bị ràng buộc bởi

Hy vọng được trao đổi cùng các bạn về vấn đề này

Remark Bài toán tương đương

Giả sử là các số thực dương , khi đó với mọi , ta có bất đẳng thức sau luôn đúng

Bài toán 7[Kim Đình Sơn]

Bài toán 8[Kim Đình Sơn]

Giả sử là độ dài ba cạnh của một tam giác, khi đó các bđt sau đúng

1)

2)

3)

Bài toán 9( Bất đẳng thức Shur bậc )

Cho là các số thực, khi đó

Qua các ví dụ trên, chắc hẳn các bạn thấy định lý thật thú vị phải không? Nhờ định lý chúng ta có thể tạo ra được nhiều bất đẳng thức khác Nếu như cách thông thường (áp dụng những định lý về S.O.S khác) rõ ràng là khó hơn hẳn, bởi vì chúng ít có tính đối xứng giữa ba biến, và ở định lý chúng ta có thể thấy chúng hoàn toàn đối xứng Hy vọng qua bài viết này sẽ được trao đổi thêm với các bạn về bất đẳng thức, đặc biệt là kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S

Tài liệu tham khảo

Sáng tạo bất đẳng thức

Tác giả : Phạm Kim Hùng

Algebraic Inequalities Old and New Method

Author : Vasile Cirtoaje

Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

FRANCISCO-kimson