Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

Nói chính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ saiphân của bài toán trong toàn miền không giới nội và giải hệ vô hạn phươngtrình đại số tuyến tính thu được thông qua việc chặt cụt hệ ph

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, được đặt ra trong cácmiền không giới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toántruyền nhiệt trong thanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyềnkhí thải trong khí quyển, bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bàitoán lan truyền sóng trong các lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lýchất rắn, hải dương học, khí tượng học, điện từ, Để giải quyết các bàitoán này, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền giới nội và sửdụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác hoặc nghiệm gầnđúng trong miền hữu hạn này Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là xét miềnrộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thuđược nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền khônggiới nội Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vôcùng vào biên ảo Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự saikhác lớn của nghiệm bài toán gốc Vì thế, thay cho việc chuyển nguyênđiều kiện biên người ta tìm cách đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo.Những điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên nhân tạo hay điềukiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) khimột số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên [2] Hiện nay, hầu hết các kỹthuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực hiện:Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu

thức tích phân trên biên ảo ABC toàn cục thường đạt được độ chính xáccao và thuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tínhtoán Cách thứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạngmột phương trình trên biên ảo ABC địa phương có thuật toán đơn giản,

dễ dàng thực hiện giải số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không caobằng Tsynkov [53] đã thực hiện so sánh một số bài toán đánh giá sự khácbiệt của hai cách thực hiện trên Nếu nghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giớinội trùng với nghiệm chính xác trên miền không giới nội thì các ABC nàyđược gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biên trong suốt (transparentboundary condition)

Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địachấn, ), ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản

xạ (NRBC) (non-reflecting boundary condition) Chúng được xây dựngvới mục đích xấp xỉ nghiệm chính xác của bài toán trong miền không giớinội giới hạn trong miền giới nội Sử dụng NRBC, miền không giới nội đượcchia thành hai phần, miền hữu hạn tính toán và miền vô hạn còn lại Điềukiện biên đặc biệt được thiết lập trên ABC đảm bảo nghiệm trong miềnhữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rất ít) sự phản xạ của sóng ảo xảy

ra từ ABC Đây là hướng nghiên cứu được rất nhiều nhà toán học, cơ học,vật lý quan tâm Trước những năm 1980 một số NRBC bậc thấp được

đề xuất như Engquist-Majda NRBC [26] và Bayliss-Turkel NRBC [3] Sau

đó, trong những năm 1990, Berenger [4] trình bày một miền hấp thụ haycòn được gọi là "lớp khớp hoàn chỉnh" Hiện nay NRBC địa phương bậccao cho các phương trình sóng được phát triển ngày càng tinh vi (xem[7, 30, 34, 35, 53]) Các ABC chính xác cũng được nghiên cứu cho phươngtrình truyền nhiệt trong [39, 56], cho phương trình khuếch tán-truyền tải

trong [10, 38] và cho phương trình Schrodinger trong [2, 24] Gần đây dati et al [32, 33] sử dụng một dạng ABC đặc biệt được gọi là ABC phân

Gud-số liên tục, một dạng ABC có hiệu quả cao áp dụng cho mô hình sóng hấpthụ trong miền không giới nội Chúng được phát triển cho các miền đagiác lồi

Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có mộtnhận xét rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và cácđiều kiện biên ban đầu thông thường được giả thiết có giá compact trongkhông gian Đây là điều kiện quan trọng trong việc chia miền không giớinội thành hai miền tính toán con giới nội và không giới nội trong cácphương pháp sử dụng ABC

Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới cácbài toán trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều Phươngpháp này dựa trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tớimiền giới nội Một lưới đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới khôngđều được gọi là lưới tựa đều trong miền vô hạn Theo lưới tựa đều, điềukiện biên tại vô cùng được xử lý một cách dễ dàng Ý tưởng của phươngpháp này xuất hiện từ những năm bảy mươi của thế kỷ trước nhưng việc

sử dụng nó để giải các bài toán trong miền không giới nội chỉ mới cáchđây hơn một thập kỷ trong các công trình [1, 28, 40, 41, 44] Fazio vàJannelli [28] xét lược đồ sai phân hữu hạn trên lưới tựa đều, xác định bởiviệc biến đổi tọa độ, áp dụng cho nghiệm số của bài toán giá trị biên trêncác khoảng vô hạn Các tác giả áp dụng phương pháp trên cho hai bàitoán kiểm tra Bài toán đầu tiên là mô hình Falkner-Skan của lý thuyếtlớp biên Bài toán thứ hai là một vấn đề được quan tâm trong kỹ thuậtnền móng Ngoài ra, các tác giả đã áp dụng ngoại suy Richardson để cải

tiến độ chính xác của các kết quả thu được Đồng thời chỉ ra một cách

mở rộng bài toán trên toàn bộ trục thực Koleva [44] sử dụng lưới tựa đềucho các bài toán truyền nhiệt 1D và 2D với các điều kiện biên phi tuyếnđơn giản Thuật toán được đề xuất hiệu quả đối với nghiệm bùng nổ do

sử dụng bước thời gian giảm, tương ứng với sự phát triển của nghiệm.Zadorin và Chekanov [58] đã đề xuất một phương pháp giải lược đồ saiphân véc tơ ba điểm trên một khoảng vô hạn và sử dụng một phương phápcắt cụt để giải lược đồ này Phương pháp được áp dụng cho một bài toánelliptic trong một dải Tuy nhiên để thực hiện phương pháp đòi hỏi việctìm nghiệm của các phương trình véc tơ rất phức tạp

Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biêntuyến tính trong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phương trình đại

số tuyến tính [43] Nói chính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ saiphân của bài toán trong toàn miền không giới nội và giải hệ vô hạn phươngtrình đại số tuyến tính thu được thông qua việc chặt cụt hệ phương trình

vô hạn, thu được nghiệm của bài toán sai phân với sai số cho trước Một

số kết quả đối với các bài toán ô nhiễm khí quyển dừng [11], [12] và một

số bài toán không dừng một chiều không gian [13] đã được công bố gầnđây Trong [14] chúng tôi đã phát triển thành công phương pháp cho mộtbài toán elliptic trong nửa dải Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài toán bởiphương pháp sai phân, sử dụng ý tưởng của Polozhii [48] trong phươngpháp biểu diễn tổng chúng tôi đã đưa được hệ vô hạn phương trình véc

tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vô hướng ba điểm và thunhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số cho trước Cần nhấnmạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải và các điềukiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyết

trong các phương pháp sử dụng ABC Có thể nói đây là một phương phápmới, áp dụng có hiệu quả đối với các bài toán trong miền không giới nội

mà phương trình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm.Phương pháp này cũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kếthợp với các phương pháp khác như phương pháp chia miền giải các bàitoán biên hỗn hợp mạnh trong miền không giới nội Hơn nữa, thuật toán

số có thể dễ dàng lập trình tính toán trên máy tính điện tử Tuy nhiênchúng tôi mới chỉ áp dụng thành công phương pháp này cho các bài toánbiên tuyến tính trong miền không giới nội

Nội dung chính của luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý thuyết

và thực nghiệm tính toán đối với phương pháp hệ vô hạn các phương trìnhđại số tuyến tính, phương pháp lưới tựa đều và so sánh hai phương pháp

áp dụng đối với một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giớinội: Các bài toán một chiều truyền nhiệt dừng, không dừng, phương trìnhdạng phức hợp, các bài toán hai chiều elliptic, song điều hòa với các điềukiện biên khác nhau: Dirichlet, Neumann hay điều kiện biên hỗn hợp.Luận án được viết trên cơ sở các công trình [13, 14, 15, 16, 17, 18] đãđược công bố gần đây Nội dung luận án gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồmmột số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình

vô hướng ba điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều

và giới thiệu về thư viện chương trình giải số bài toán elliptic với các điềukiện biên hỗn hợp yếu Các kiến thức cơ bản và kết quả thu được trongchương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽđược trình bày trong chương 2 và chương 3

Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến

tính và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toánmột chiều trên nửa trục là mô hình của các quá trình vật lý như truyềnnhiệt dừng, truyền nhiệt không dừng, bài toán mô phỏng hiện tượng sóng,

so sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nútlưới tăng dần và phương pháp lưới tựa đều

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bàitoán hai chiều trong miền không giới nội Đầu tiên chúng tôi giải một bàitoán elliptic trong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trongphương pháp biểu diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về

hệ phương trình vô hướng ba điểm Tiếp theo chúng tôi giải bài toán biênhỗn hợp mạnh trong nửa dải, trong đó có một điểm trên biên vô hạn phâncách các loại điều kiện biên, sử dụng phương pháp chia miền đưa về haibài toán elliptic trong miền giới nội và miền không giới nội Đồng thờitrong chương này cũng trình bày phương pháp số giải bài toán song điềuhòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thông qua việc giải haibài toán cấp hai trong nửa dải

Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thựcnghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máytính Intel Core i7-2670QM CPU 2.2GHz

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:

1 Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VI "Nghiên cứu cơ bản và ứngdụng CNTT", 20 - 21/6/2013 - Huế

2 Vietnam International Applied Mathematics Conference, December

19 to 20, 2013 - Ho Chi Minh City, Vietnam

3 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 12, 23 25/4/2014

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị và kết

quả bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ thực

sự cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu[1, 41, 43, 50, 51]

giải hệ phương trình vô hướng ba điểm

Hệ phương trình ba điểm phát sinh từ xấp xỉ ba điểm cho bài toángiá trị biên của các phương trình vi phân thường cấp hai với các hệ sốhằng hoặc biến thiên Nó cũng xuất hiện khi rời rạc hóa các phương trình

vi phân đạo hàm riêng cấp hai theo từng hướng Trong trường hợp sau,chúng ta thường phải giải không chỉ một hệ phương trình sai phân ba điểmduy nhất mà phải giải một dãy các hệ phương trình với hàm vế phải khácnhau, trong đó số lượng các hệ phương trình trong dãy có thể là hàng chụchoặc hàng trăm và số lượng của các ẩn trong mỗi hệ phương trình là rấtlớn Điều này dẫn tới cần thiết phải tìm các phương pháp hữu hiệu để giảicác hệ phương trình sai phân ba điểm, trong đó số lượng các phép toán tỷ

lệ thuận với số lượng ẩn số Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu

xử lý bài toán giá trị biên cho các phương trình sai phân ba điểm với các

hệ số hằng số là phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phươngpháp khử) Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt phương pháp này

1.1.1 Phương pháp truy đuổi từ phải

trong đó αi và βi được xác định từ công thức

Các công thức (1.1.3)-(1.1.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia,

3N phép cộng và trừ Khi đó tổng số phép tính toán là Q = 8N + 1, trong

đó 3N − 2 phép toán được sử dụng để tính αi và 5N + 3 phép toán đểtính βi và yi

1.1.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía

Tương tự như trên ta cũng có công thức truy đuổi từ trái hay công thứckhử từ trái như sau:

sử 1 ≤ m ≤ N, ta viết các công thức (1.1.3) và (1.1.8) tại i = m − 1:

yi = αi+1yi+1 + βi+1, i = m − 1, m − 2, , 0,

yi+1 = ξi+1yi + ηi+1, i = m, m + 1, , N − 1,

1.1.3 Tính khả thi và ổn định của phương pháp

Phương pháp truy đuổi từ phải được gọi là khả thi nếu ci − aiαi 6=

0, i = 1, 2, , N và nó được gọi là ổn định nếu |αi| ≤ 1

Bổ đề sau là điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của công thứctruy đuổi từ phải

Bổ đề 1.1.1 [51] Giả sử các hệ số của hệ (1.1.1) là số thực và thỏa mãnđiều kiện

|b0| ≥ 0, |aN| ≥ 0, |c0| > 0, |cN| > 0, |ai| > 0, |bi| > 0, i = 1, 2, , N − 1,

|ci| ≥ |ai| + |bi|, i = 1, 2, , N − 1, (1.1.11)

|c0| ≥ |b0|, |cN| ≥ |aN|, (1.1.12)trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.1.11) hoặc (1.1.12) là chặt,tức là ma trận A là chéo trội Khi đó trong công thức (1.1.3)-(1.1.5) củaphương pháp truy đuổi ta có

ci − aiαi 6= 0, |αi| ≤ 1, i = 1, 2, , N − 1

Điều này đảm bảo tính khả thi và ổn định của phương pháp

Chú ý 1.1.2 Các điều kiện của Bổ đề 1.1.1 cũng đảm bảo cho tính khảthi và ổn định của phương pháp truy đuổi từ trái và từ hai phía Bổ đề1.1.1 cũng áp dụng được trong trường hợp các hệ số ai, bi, ci là số phứctrong hệ (1.1.1)

Chú ý 1.1.3 Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1.1 thỏa mãn thì hệ (1.1.1)

có nghiệm duy nhất với mọi vế phải

Lý thuyết hệ vô hạn phương trình tuyến tính nảy sinh và phát triểnxuất phát từ các ứng dụng của nó đối với các bài toán lấy tích phân củaphương trình vi phân Hệ vô hạn đóng vai trò quan trọng trong việc giảicác phương trình tích phân và đặc biệt trong việc tìm nghiệm của các bài

toán giá trị biên của phương trình vật lý toán.

Các nghiên cứu về hệ vô hạn phương trình tuyến tính bắt đầu pháttriển từ cuối thế kỷ 19 cho đến nay Vào những năm 1960, Kantorovich[43] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp cho hệ vô hạn phươngtrình chính quy

i=1|xi|2 < ∞}.Sau đó trong [42], Kantorovich đã chứng minh sự hội tụ của phươngtrình cắt cụt

Trong [57], Yingzhen và các cộng sự đã nghiên cứu biểu diễn nghiệmchính xác của hệ vô hạn các phương trình tuyến tính Ay = b bằng cách

thiết lập song ánh ρ : l2 → W1

2[0, 1], sau đó biến đổi phương trình gốcthành phương trình toán tử trong W21[0, 1]: Ku = f với u ∈ W21[0, 1], f =

ρb, K = ρAρ−1 và thu được nghiệmy = ρ−1u Ở đâyW21[0, 1] = {u|u, u0 ∈

L2[0, 1]} Các tác giả đã đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ vô hạn phươngtrình tuyến tính có nghiệm Bài báo cũng đưa ra một số ví dụ số chặt cụt

hệ vô hạn để nhận được nghiệm xấp xỉ được đưa ra dưới dạng ẩn và đảmbảo tính hội tụ

Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản về hệ vô hạncác phương trình đại số tuyến tính, bao gồm các định lý về sự tồn tại, tínhduy nhất nghiệm và cơ sở lý luận của việc tìm nghiệm bằng phương phápxấp xỉ liên tiếp Nội dung của mục này được hình thành từ tài liệu [43,Chương 1, §2]

Định nghĩa 1.2.1 Dãy số x1, x2, được gọi là nghiệm của hệ (1.2.2)nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.2.2) ta nhận được các chuỗihội tụ và tất cả các đẳng thức được thỏa mãn

Khi nghiên cứu và giải hệ (1.2.2) ta cần làm sáng tỏ các vấn đề sau:

• Hệ có nghiệm thỏa mãn các điều kiện đã cho hay không?

• Hệ có nghiệm duy nhất hay không?

• Chỉ ra phương pháp tìm được nghiệm của hệ, nói chung điều này đòihỏi vô hạn các phép toán

• Chỉ ra cách thức cho phép tìm nghiệm gần đúng của hệ bằng một sốhữu hạn các phép toán, trong đó có thể đánh giá được sai số của cácnghiệm.

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày các vấn đề trên đối với một lớpquan trọng của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, đó là hệchính quy, hay hệ đều (regular)

Nếu hệ trội (1.2.3) có nghiệm không âm Xi0 ≥ 0, thì hệ phương trình (1.2.2)

có nghiệm x∗i tìm được bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp:

Định lý 1.2.5 (Tính duy nhất nghiệm)

Với các điều kiện và ký hiệu như trong định lý 1.2.3, hệ (1.2.2) có nghiệmduy nhất thỏa mãn bất đẳng thức |xi| ≤ P X∗

i (P là hằng số, P ≥ 1) và lànghiệm chính x∗i Mọi nghiệm gần đúng khác của hệ được giải bằng phươngpháp xấp xỉ liên tiếp với điều kiện ban đầu x(0)i tùy ý thỏa mãn điều kiện

|x(0)i | ≤ P X∗ thì hội tụ đến nghiệm chính x∗i

Định lý 1.2.6 (Chuyển qua giới hạn)

Cùng với hệ vô hạn (1.2.2), xét hệ vô hạn

lim

N →∞xNi = x∗i, (1.2.9)với x∗i là nghiệm chính của hệ (1.2.2)

1.2.3 Hệ chính quy và hoàn toàn chính quy

Định nghĩa 1.2.8 Hệ vô hạn (1.2.2) được gọi là hệ chính quy nếu

Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0 Giả sử

hệ (1.2.2) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện

|bi| ≤ Kρi (i = 1, 2, ) (K = const > 0) (1.2.13)Khi đó hệ phương trình

Nếu các hệ số tự do của hệ vô hạn chính quy (1.2.2) thỏa mãn điều kiện(1.2.13) thì nó có nghiệm bị chặn |xi| ≤ K và nghiệm này có thể tìm bằngphương pháp xấp xỉ liên tiếp

Nhận xét 1.2.10 Trong trường hợp hệ (1.2.2) hoàn toàn chính quy và cóđiều kiện (1.2.13), vì ρi ≥ θ nên có thể thay điều kiện này bằng điều kiện

|bi| ≤ Kθ := P Vì P là tùy ý nên nghiệm xi của hệ hoàn toàn chính quytồn tại với mọi vế phải bị chặn tổng thể và nếu|bi| ≤ P thì|xi| ≤ Pθ(= K)

Chú ý 1.2.11 Đối với hệ chính quy (1.2.2) điều kiện (1.2.13) thỏa mãnnếu chọn K một cách thích hợp trong trường hợp các số hạng tự do của

hệ, trừ một số hữu hạn, đều bằng không Như vậy, trong trường hợp này

hệ chính quy (1.2.2) có nghiệm bị chặn duy nhất

Chú ý 1.2.12 Chúng ta đã có Định lý 1.2.9 nói về sự tồn tại nghiệm của

hệ chính quy với điều kiện (1.2.13), các hệ như vậy là các trường hợp riêngcủa các hệ có hệ làm trội với nghiệm không âm Nhưng thực tế trườnghợp riêng này hầu như trùng với tổng quát Cụ thể là mỗi hệ vô hạn cácphương trình đại số tuyến tính dạng (1.2.2) có hệ trội với các hệ số tự do

Bi > 0 và nghiệm dương Xi0 có thể đưa đến hệ chính quy

Định lý 1.2.13 (Tính duy nhất của nghiệm bị chặn)

Nếu nghiệm chính của hệ (1.2.14) bị chặn dưới:

Xi∗ ≥ α > 0 (1.2.15)thì hệ chính quy (1.2.2) có nghiệm bị chặn duy nhất Nghiệm này có thểtìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cùng với những giá trị bị chặnban đầu x(0)i Trong trường hợp này Xi∗ = K

Chú ý 1.2.14 Đối với hệ hoàn toàn chính quy điều kiện (1.2.15) luônthỏa mãn

Chú ý 1.2.15 Hệ chính quy gồm hữu hạn phương trình luôn là hệ hoàntoàn chính quy

Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới cácbài toán trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều Phươngpháp này dựa trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tớimiền giới nội Một lưới đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới khôngđều được gọi là lưới tựa đều trong miền vô hạn.

Cho x(ξ)e là hàm trơn, đơn điệu chặt của biến ξ ∈ [0, 1] Lưới khôngđều

ωNq = {xei = x(i/Ne q), i = 0, 1, , Nq}, (1.3.1)với x(0) = 0,e x(1) = +∞e được gọi là lưới tựa đều trên [0, +∞] Trong

đó, điểm cuối xeNq của lưới được đặt tại vô cùng

Để xây dựng các lưới tựa đều, ta có thể xét 3 hàm [1], [40]

xNq−1 ≈ cNq đối với lưới HG

Đối với 3 ánh xạ, các lưới tương đương trong xei không đều và tăngnhanh khi c  exi Lưới LG cho nghiệm tốt nhất gần 0, lưới TG và HG

cho nghiệm tốt hơn lưới LG khi exi → ∞, lưới TG cho nghiệm tốt hơn lưới

Sử dụng các xấp xỉ đạo hàm sau [41]

(∂u

∂xe)i+1/2 ≈ ui+1 − ui

2(xei+3/4 −xei+1/4),(∂

2(xei−1/4 −xei−3/4)).

(1.3.5)Xấp xỉ giá trị của u tại điểm giữa của lưới:

ui+1/2 ≈ xi+1 − xi+1/2

xi+1 − xn ui +

xi+1/2 − xi

xi+1 − xi ui+1. (1.3.6)

Các công thức trên chứa uNq = u∞ nhưng không chứa xeNq = ∞ Các xấp

xỉ sai phân hữu hạn (1.3.5), (1.3.6) có bậc chính xác O(Nq−2)

toán elliptic trong miền chữ nhật

Trên cơ sở của phương pháp thu gọn khối lượng tính toán Nikolaev [51] và thư viện chương trình TK2004 của tác giả Vũ Vinh Quanggiải phương trình elliptic trong miền chữ nhật trong trường hợp toán tử

Samarskij-vi phân là toán tử Laplace, trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu tóm tắt

về các kết quả khi mở rộng các thuật toán để xây dựng thư viện chươngtrình RC2009 giải số các bài toán biên trong trường hợp toán tử vi phân

là toán tử elliptic với hệ số là hằng số [37] Trong mục 3.2 chương 3, quátrình giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong nửa dảiđược đưa về việc giải một dãy hai bài toán elliptic trong hình chữ nhật

và trong nửa dải Chúng tôi sẽ sử dụng thư viện này để giải bài toán thứnhất khi xuất hiện hai điều kiện Neumann trên cạnh dưới và cạnh phảicủa hình chữ nhật

Xét bài toán biên của phương trình elliptic

Xuất phát từ phương pháp lưới, chia miền Ω thành (M × N ) điểm lưới,trong đó N = 2n, n > 0 Ký hiệu h1 = L1/M, h2 = L2/N là các bướclưới, b1, b2, b3, b4 lần lượt là các véc tơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặcNeumann trên các biên trái, phải, dưới và trên của miền chữ nhật, f làvéc tơ hàm vế phải của phương trình Ngôn ngữ được lựa chọn để cài đặtcác thuật toán là Matlab version 7.0

1.4.1 Bài toán biên Dirichlet

(1.4.2)

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22), đưa bài toán

vi phân (1.4.2) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ

véc tơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biêntrái, phải, dưới, trên của miền chữ nhật.

max u∗i,j − ui,j , 0 6 i 6 M, 0 6 j 6 N, thời gian tính toán là t giây Đểphục vụ cho các kết quả của mục 3.2, chúng tôi thử nghiệm với các dữkiện như trong các ví dụ 3.2.1 và 3.2.2 Kết quả thử nghiệm được đưa ratrong Bảng 1.1

Bảng 1.1: Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.m (Biên Dirichlet) Nghiệm đúng k1, k2, b Lưới 16 × 16 Lưới 32 × 32 Lưới 64 × 64

e−y

x+1 + ye−x 1,3,2 5.875e − 05, 0.062 1.478e − 05, 0.078 3.7e − 06, 0.218

1

x 2 +y 2 +1 5,1,100 6.385e − 05, 0.078 1.657e − 05, 0.078 4.159e − 06, 0.203

1.4.2 Bài toán với điều kiện biên Neumann

(1.4.4)

trong đó l là toán tử điều kiện biên (lu = u nếu điều kiện biên là Dirichlet,

lu = ∂u/∂ν nếu điều kiện biên là Neumann)

Trường hợp 1: Điều kiện biên trên cạnh trên của hình chữ nhật làdạng Neumann

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22), đưa bài toán(1.4.4) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

−Yj−1+CYj − Yj+1 = Fj, j = 1, 2, N − 1,

Y0 = F0, −2YN −1 + CYN = FN

(1.4.5)Các véc tơ nghiệm Yj, Fj và FN được xác định như sau

• Hàm RC0001(f, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuậttoán thu gọn

hàm chuẩn RC0001 xây dựng các hàm v0010(), v0100(), v1000() trả lạinghiệm số của các bài toán tương ứng Bảng 1.2 dưới đây cho ta kết quảkiểm tra độ chính xác với giả thiết điều kiện Neumann ở cạnh dưới củahình chữ nhật, dữ liệu được lấy theo các ví dụ 3.2.1 và 3.2.2.

Bảng 1.2: Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.m (Một biên Neumann) Nghiệm đúng k1, k2, b Lưới 16 × 16 Lưới 32 × 32 Lưới 64 × 64

e−y

x+1 + ye−x 1,3,2 1.28e − 04, 0.094 3.208e − 05, 0.094 8.023e − 06, 0.25

1

x 2 +y 2 +1 5,1,100 7.657e − 05, 0.062 1.979e − 05, 0.078 4.953e − 06, 0.234

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hìnhchữ nhật là dạng Neumann

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h21+ h22), đưa bài toán(1.4.4) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm(1.4.5), trong đó các véc tơ Yj, Fj và FN được xác định như sau

• Hàm RC0002(f, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuậttoán thu gọn.

• Hàm v0101(f, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n, p1, p2, q1, q2) trả về

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.4.5) từ tọa độ (p1, q1) đến

(p2, q2)

Trong trường hợp điều kiện biên trên hai cạnh khác thuộc loại Neumann,

ta sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩnRC0002

xây dựng các hàm v1100(), v1010(), v1001(), v0110(), v0011() trả lạinghiệm số của các bài toán tương ứng Bảng 1.3 dưới đây cho ta kết quảkiểm tra độ chính xác với giả thiết hai điều kiện Neumann ở cạnh dưới vàcạnh phải của hình chữ nhật, dữ liệu được lấy theo Ví dụ 3.2.1 và 3.2.2

Bảng 1.3: Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.m (Hai biên Neumann) Nghiệm đúng k1, k2, b Lưới 16 × 16 Lưới 32 × 32 Lưới 64 × 64

số phương trình elliptic với các điều kiện biên Dirichlet, Neumann hoặcbiên hỗn hợp yếu trong miền chữ nhật Đây sẽ là những kiến thức và kếtquả rất quan trọng làm nền tảng cho các nghiên cứu sẽ được trình bàytrong chương 2 và chương 3 của luận án

Chương 2

Phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán biên tuyến tính một chiều trên nửa trục

Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng điều kiện biênnhân tạo, cần lưu ý rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải

và các điều kiện biên ban đầu được giả thiết có giá compact trong khônggian Còn trong các trường hợp ngược lại, chúng ta phải tìm cách giải bàitoán bằng các phương pháp khác Ở đây chúng tôi tiếp cận tới các bàitoán biên tuyến tính trong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phươngtrình đại số tuyến tính [43] Nói chính xác hơn chúng tôi xây dựng lược

đồ sai phân của bài toán trong toàn miền vô hạn như là một hệ vô hạncác phương trình đại số tuyến tính, xác định tiêu chuẩn chặt cụt hệ này

để thu được nghiệm của bài toán sai phân với sai số cho trước

Trong chương này, chúng tôi đề xuất và nghiên cứu phương pháp hệ vôhạn các phương trình đại số tuyến tính giải một số bài toán biên tuyếntính một chiều trong miền không giới nội: bài toán truyền nhiệt dừng mộtchiều, bài toán truyền nhiệt một chiều, phương trình dạng phức hợp Cáckết quả chính trong chương này đã được công bố trong các công trình [13]

và [18] Công trình [13] đã được nhóm tác giả ở Ý trích dẫn trong một

bài báo dài đăng trên tạp chí có uy tín Communications in Computationalphysics [6].

sai phân ba điểm

Xét hệ vô hạn phương trình sai phân vô hướng ba điểm

−Aivi−1 + Civi − Bivi+1 = fi, i = 1, 2,

Do đó theo Định nghĩa 1.2.8, hệ (2.0.4) là chính quy Hơn nữa, nó là hoàntoàn chính quy vì dễ thấy

ρi ≥ θ, i = 1, 2, (2.0.6)với

= 0 Vì thế, tồn tại hằng số K∗ thỏa mãn |ri| ≤ K∗ρi với mọi i

Khi đó theo Định lý 1.2.17, nghiệm của hệ vô hạn (2.0.4) có thể được xácđịnh bởi phương pháp chặt cụt

Một câu hỏi được đặt ra là xác định cỡ của hệ chặt cụt nhằm đảm bảonghiệm xấp xỉ với sai số cho trước Dưới đây ta sẽ đưa ra một phươngpháp xác định cỡ của hệ chặt cụt

Theo phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo (mục 1.1.1), ta tìmnghiệm của (2.0.4) dưới dạng

vi = αi+1vi+1 + βi+1, i = 0, 1, , (2.0.7)trong đó các hệ số được xác định bởi công thức

Bổ đề 2.0.1 Nếu các hệ số của hệ (2.0.1) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) thì

nó có nghiệm duy nhất và các hệ số αi và βi thỏa mãn đánh giá sau:(i) 0 < αi < 1 (i = 2, 3, ) và βi → 0 khi i → ∞

(ii) |βi|

1 − αi → 0 khi i → ∞

Chứng minh Do vi → 0 (i → ∞) nên mọi nghiệm của hệ (2.0.1) là bịchặn Khi đó từ tính hoàn toàn chính quy của hệ này và Chú ý 1.2.14 (gắnvới Định lý 1.2.13) ta suy ra sự tồn tại duy nhất nghiệm {vi}∞i=0 của hệnói trên.

(i)Tương tự như hệ hữu hạn các phương trình sai phân ba điểm hữu hạn,theo Bổ đề 1.1.1 dễ dàng chứng minh được 0 < αi < 1 (i=2, 3, ) Do đó,

từ điều kiện vi → 0 và từ (2.0.7) suy ra βi → 0 khi i → ∞

(ii) Theo (i), 0 < αi < 1, từ (2.0.5) và (2.0.6) ta có

Hệ này là chính quy vì ρi = 1 − αi+1 > 0 do 0 ≤ αi < 1 (i = 1, 2, ) đã

có ở trên Bên cạnh đó, từ điều kiện (2.0.10) suy ra |bi| ≤ ερi

Do đó, từ Định lý 1.2.9 ta có đánh giá |zi| ≤ ε (i = 0, 1, ) Định lýđược chứng minh

Nhận xét 2.0.3 Định lý trên cho phép trong quá trình tính các hệ sốtruy đuổi cho hệ (2.0.7) có thể xác định khi nào thì cắt cụt hệ vô hạn(2.0.4) để đảm bảo rằng nghiệm của hệ cắt cụt sai khác so với nghiệm của

hệ vô hạn không quá ε cho trước

Nhận xét 2.0.4 Trong quá trình thực nghiệm tính toán, ta tiến hànhkhảo sát đồ thị của hàm βi

1−αi rồi dùng đồ thị này đối sánh với ε để tìm ra

N thỏa mãn (2.0.10)

chiều trên nửa trục

2.1.1 Mô tả phương pháp hệ vô hạn

Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết phương pháp hệ vô hạn đối với mô hìnhbài toán truyền nhiệt dừng trên nửa trục

Nhân 2 vế của (2.1.3) với hàm v ∈ H01(0, ∞), lấy tích phân từ 0đến ∞

d(x)u(x)v(x)dx =

Z ∞ 0

f (x)v(x)dx

Khi đó bài toán (2.1.3) có thể phát biểu dưới dạng bài toán biến phân:Tìm u ∈ H01(0, ∞) sao cho

a(u, v) = l(v), ∀v ∈ H01(0, ∞), (2.1.4)trong đó

a(u, v) =

Z ∞ 0

k(x)u0(x)v0(x)dx +

Z ∞ 0

d(x)u(x)v(x)dx,

l(v) =

Z ∞ 0

f (x)v(x)dx

Dễ thấy rằng dạng song tuyến tính a(u, v) là liên tục, đối xứng, ta sẽchứng tỏ rằng a(u, v) là xác định dương, tức là tồn tại hằng số γ sao cho

a(u, u) ≥ γ||u||2 (2.1.5)Thật vậy, với chuẩn trong L2(0, ∞):

||u|| =

s

Z ∞ 0

u2dx

và giả thiết d(x) ≥ D0 > 0 ta có

a(u, u) ≥ D0

Z ∞ 0

u2(x)dx = D0||u||2 (2.1.6)Hơn nữa, nếu d(x) = 0 thì ta vẫn có (2.1.5) nhờ sử dụng bất đẳng thứcFriedrichs [49] trong trường hợp vô hạn nói rằng: với u(0) = u(∞) = 0,tồn tại hằng số γ sao cho

Z ∞ 0

|u0|2dx ≥ γ

Z ∞ 0

u2dx

Theo Định lý Lax-Milgram [49] bài toán biến phân (2.1.4) hay bài toán(2.1.3) có nghiệm duy nhất u ∈ H01(0, ∞) Do H01(0, ∞) nhúng liên tụcvào C(0, ∞) nên nghiệm u(x) là hàm liên tục Hơn nữa, với giả thiết cáchàm f, d liên tục, k khả vi suy ra được u ∈ C2(0, ∞).

Nhận xét 2.1.2 Trong trường hợp k, d là các hằng số và f (x) có giácompact [0, L] ta có thể dễ dàng tìm được điều kiện biên nhân tạo chínhxác tại x = L nhờ ánh xạ Dirichlet-Neumann [53] Cụ thể, ta xét bài toánmột chiều trên nửa đường thẳng với hàm vế phải f (x) có giá compact:

− u00 + d2u = f, x ≥ 0 (2.1.7)suppf (x) ⊂ [0, L), (2.1.8)

u(x) → 0, x → ∞ (2.1.10)Phương trình (2.1.7) là thuần nhất với x ≥ L, nó có 2 nghiệm riêngđộc lập tuyến tính Nghiệm riêng thứ nhất u(1)(x) triệt tiêu khi x → +∞

và nghiệm riêng thứ hai u(2)(x) tăng lên vô hạn khi x → +∞ Điềukiện biên (2.1.10) chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi nghiệm riêng tăng dần

u(2)(x) = e|d|x không phải là nghiệm của (2.1.7) trên nửa khoảng [L, +∞)

Để tránh nghiệm tăng này và (2.1.7) chỉ có nghiệm giảm u(1)(x) = e−|d|x

trên nửa khoảng [L, +∞) thì véc tơ hai chiều [u(x), du(x)/dx]T phải songsong với véc tơ [u(1)(x), du(1)(x)/dx]T tại x = L Tức là

du (1) (x) dx

Công thức (2.1.12) cho ta điều kiện biên trong suốt tại biên nhân tạo

x = L Cần nhấn mạnh rằng (2.1.12) là biến đổi chính xác điều kiện biêntại vô cùng (2.1.10) tới biên hữu hạn x = L Nói cách khác, (2.1.12) cho

ta xét đầy đủ cấu trúc của nghiệm ngoài bài toán (2.1.7) mà không cầnthực hiện bất cứ tính toán chi tiết nào với x > L

Nhận xét 2.1.3 Nếu f (x) không có giá compact nhưng có dạng đặc biệt

mà có thể tìm được nghiệm riêng của phương trình

−u00 + cu = f (c = const> 0),

thì ta cũng có thể thiết lập được điều kiện biên nhân tạo chính xác.Trong trường hợp tổng quát, khi mà k, d và f chỉ thỏa mãn điều kiện(2.1.2) ta không thể tìm được điều kiện chính xác tại x = L nếu bài toánđược giới hạn lại trong khoảng hữu hạn [0, L] Ta sẽ xét cụ thể trường hợpnày

Để giải bài toán (2.1.1)-(2.1.2), ta sử dụng lưới đều ωh = {xi = ih, i =

0, 1, }, xét lược đồ sai phân xấp xỉ cấp O(h2) của bài toán (2.1.1)

Nhận xét 2.1.4 Đối với phương trình tổng quát −(ku0)0 + ru0 + du =

f (x), x > 0 xét trong thanh nửa vô hạn, ta có thể xây dựng lược đồ saiphân đơn điệu theo [50] và áp dụng phương pháp hệ vô hạn một cáchtương tự

Nhận xét 2.1.5 Trường hợp tại biên trái đặt điều kiện biên Neumannthì bài toán được xử lý tương tự

Nhận xét 2.1.6 Nếu các hàm k(x), d(x) và f (x) trong phương trình(2.1.1) là các hàm chẵn thì bài toán tìm nghiệm của phương trình trêntoàn trục số và triệt tiêu tại vô cùng, tức là u(±∞) = 0, được dẫn về bàitoán trong miền nửa vô hạn [0, +∞) với điều kiện biên u0(0) = 0

Nhận xét 2.1.7 Nếu ta sử dụng lưới đều với bước lưới h nhỏ thì điểmchặt cụt hệ vô hạn N có thể rất lớn Do đó, theo giả thiết hàm u triệt tiêutại vô cùng, ta sẽ sử dụng lưới tính toán không đều với bước lưới tăng dần

để có thể thu được số N nhỏ hơn

2.1.2 Sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều

Từ nhận xét 2.1.7, trong phần này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp

hệ vô hạn trên lưới không đều có cấu trúc và phương pháp lưới tựa đều đểgiải bài toán (2.1.1)-(2.1.2) Xét lưới không đều

Do đó hệ (2.1.13), (2.1.15) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) và ta có thể áp dụngĐịnh lý 2.0.2 trong trường hợp này để chặt cụt hệ vô hạn (2.1.13) tại N

để thu được nghiệm gần đúng với sai số ε cho trước

Tiếp theo ta sẽ sử dụng lưới tựa đều giải bài toán Xét lưới tựa đều(1.3.1) và lược đồ sai phân trên đó của bài toán (2.1.1) theo công thức(1.3.5) với cấp xấp xỉ O(Nq−2)

e

xi+1/2−xei−1/2(eai+1 vi+1− vi

2(xei+3/4 −exi+1/4) −eai vi− vi−1

2(xei−1/4 −exi−3/4))+ divi = fi, i = 1, 2, , Nq − 1,

v0 = µ0, vNq = 0,

(2.1.17)trong đó

dụng lưới tựa đều ta đưa bài toán (2.1.1)-(2.1.2) về việc giải hệ hữu hạnphương trình ba điểm (2.1.18) với Nq − 1 ẩn vi.

2.1.3 Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô

hạn và lưới tựa đều

Dưới đây chúng tôi trình bày các thực nghiệm tính toán để chứng tỏtính hữu hiệu của phương pháp được đề xuất trên một số ví dụ, trong đóbài toán (2.1.1) có nghiệm đúng cho trước Các hàm vế phải tương ứngdần tới 0 tại vô cùng Các thực nghiệm tính toán được thực hiện trênlưới đều (UG) với bước lưới h; lưới không đều với các bước lưới tăng dần

bhi+1 = rbhi, i = 1, 2, , mà để cho dễ tham chiếu ta sẽ ký hiệu là lưới

Lr Tham số điều khiển r > 1 được lựa chọn một cách thích hợp bởi cácthực nghiệm để đạt được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cao và giảm sốđiểm chặt cụt hệ vô hạn Trong các ví dụ này, ta chọn tham số điều khiển

r = 1.1 và đối với lưới tựa đều, chọn tham số điều khiển c = 1, thực hiệntrên 3 lưới tựa đều LG (1.3.2), TG (1.3.3), HG (1.3.4) Trong bảng kết quảthu được N là cỡ của hệ được chặt cụt với độ chính xác ε theo Định lý2.0.2, error = max

0≤i≤N|vi − u(xi)| biểu diễn sai số của nghiệm xấp xỉ so vớinghiệm chính xác Để so sánh hiệu quả của phương pháp hệ vô hạn trênlưới không đều Lr và phương pháp lưới tựa đều, ta chọn Nq bằng số N

chặt cụt hệ vô hạn trong trường hợp lưới Lr

Ví dụ 2.1.1 [13] Xét bài toán (2.1.1) vớik(x) = 1+1+x1 , d(x) = 1+sin2x

và nghiệm chính xác u = x21+1 Khi đó

f (x) = (2 + x)(2 − 6x

2)(1 + x) − 2x(1 + x2)(1 + x)2(1 + x2)3 + 1 + sin

2x

1 + x2

Ta sử dụng bước lưới đều h = 0.1 và bước lưới ban đầu của lưới Lr,

bh1 = 0.01