KĨ THUẬT , MẸO NHỎ ĐỂ SỬ DỤNG BĐT CÔ SI

Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chươngtrình toán phổ thông, rất thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học – Caođẳng và còn là một chuyên đ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

B LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chươngtrình toán phổ thông, rất thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học – Caođẳng và còn là một chuyên đề lớn trong các đề thi học sinh giỏi ở phổ thông.

Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú Xét về cả lýluận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tưduy cho học sinh

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, việc vận dụng nhìn chung phụthuộc nhiều vào đặc thù bài toán, do đó học sinh phổ thông thường gặp nhiều khókhăn khi gặp dạng bài này

Trong chương trình toán THPT, chứng minh bất đẳng thức được giới thiệu trongchương trình đại số lớp 10 Tôi lựa chọn một phương pháp chứng minh bất đẳngthức hay gặp để trình bày trong bài viết này với tên gọi:

“Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp

sử dụng bất đẳng thức Cô-si”

PHẦN 1 KHÁI QUÁT VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1 Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số.

Khái niệm: Cho hai biểu thức đại số f, g có tập xác định lần lượt là D D f, g

Quan hệ f ≤ ≥( ) g cho ta một bất đẳng thức đại số Nếu với mọi giá trị của biếntrong tập D D= f ∩D g làm cho f ≤ ≥( ) g thì ta có một bất đẳng thức đúng

Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số yêu cầu ta chỉ ra tính đúng (hoặc sai)của một bất đẳng thức nào đó Để tiện về ngôn ngữ, nói chung ta chỉ xét những bấtđẳng thức dạng f ≥ ⇔ − ≥g f g 0

Theo phân loại của Polya thì bài toán bất đẳng thức thuộc dạng bài toán chứngminh toán học (trong hệ thống này, ngoài ra là các bài toán tìm tòi)

2 Các phương pháp chứng minh.

Để chứng minh bất đẳng thức đại số, các phương pháp phổ biến là:

PP1: Dùng phép biến đổi tương đương

PP13: Phương pháp lượng giác.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 a b c

b = = = ⇔ = =c a

Ví dụ 3 (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D năm 2005)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y= =

Chứng minh tương tự, ta được:

+ + ≥ (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 z x= = )

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z= = =1.

2 Một số lưu ý khi biến đổi.

Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô-si như các ví dụtrên mà thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳngthức Cô-si Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế cộng thêmcác số hạng thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cô-si mô tả các số hạng trong vếcòn lại hoặc trong điều kiện bất đẳng thức Khi biến đổi, ta nên lưu ý một số nhậnxét sau:

2.1 Nhận xét 1 Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.

Ví dụ 4 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2

a + + ≥b c ab +bc +ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất

đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm Chẳng hạn, số hạng ab sẽ ứng với bộ ba số2

+ + ≥+ + ≥+ + ≥

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng ab bc ca vế bên phải có bậc cao nhất là 2, nên ta, ,

sẽ sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm

3 3 3

ab bc ca

b + c + a ≥ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải

không chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái củabất đẳng thức Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng

là hai

Chẳng hạn, số hạng

3

a

b có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử

b Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.

b

bc b c

c

ca c a

2 2

2 2 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Ví dụ 7 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

3 3 3

a b c

bc ca+ +ab ≥ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải

không chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái củabất đẳng thức Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc của các số hạng thêm vàocũng là một

3

33

b

ca c

ab

+ + ≥+ + ≥

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

b

ca c

a b ab

2.3 Nhận xét 3 Khi bậc không bằng nhau số hạng cộng thêm có thể là hằng số.

Ví dụ 8 Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca+ + =1, chứng minhrằng:

3 3 3 1

3

a + + ≥b c

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c= = thay vào điều kiện ta tính được 1

3

a b c= = =

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 3 cùng với số hạng hằng số, số hạng chứa

biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng

3 3 1

, ,

3 31

13

31

31

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được: 1 + 1 + 1 = 3

Cho a b c= = thay vào điều kiện ta tính được a b c= = =2

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 3 cùng với số hạng hằng số, số hạng chứa

biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 10 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c= = thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng

Mặt khác, số hạng này lại có mẫu

chứa nhân tử ,b b c+ Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng ,

( ) ( )

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Ví dụ 11 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

29

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c= = thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

2

2

272

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3c a= +2b)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Ví dụ 12 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Ví dụ 13 (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2003)

Cho x, y, z là các số dương và x y z+ + ≤1 Chứng minh rằng:

2 2

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 14 (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A năm 2005)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

32

Do đó, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y y z z x+ = + = + ⇔ = = ⇔ = =x y z a b c

Ví dụ 16 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Chia cả hai vế cho bc>0, ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z a 1 1

3 3 3 3 3 3

33

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 18 Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

x y z x

x

y z

y z x y

y

y z

z x y z

c c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b

3 3 1 3

a + + ≥b ab

Chứng minh tương tự, ta thu được: a3 + + ≥b3 c3 3

Bài 3 Với các số dương a, b, c thỏa mãn a b c+ + =3abc, chứng minh rằng:

4 4 4 4 4 4 3 4 4 4

a b +b c +c a ≥ a b c Hướng dẫn:

Chứng minh tương tự, ta thu được: 14 14 14 3

Áp dụng ví dụ 10 ta có điều phải chứng minh.

Bài 7 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Bài 10 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Chứng minh tương tự, ta thu được: 3 3a+ +1 3 3b+ +1 33c+ ≤1 3 23

Chứng minh tương tự, ta thu được: 3 3 3 21

D KẾT QUẢ ĐỐI CHỨNG

1 Kết quả thực hiện.

Trong năm học 2010 – 2011, tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp10A1 Tôi đã áp dụng chuyên đề bất đẳng thức cho học sinh Sau khi áp dụng, tôithấy học sinh bớt cảm thấy ngại và yêu thích các bài bất đẳng thức

Kết quả khảo sát bài kiểm tra 15 phút như sau:

2 Phạm vi áp dụng và bài học rút ra.

- Chuyên đề được sử dụng nhằm bồi dưỡng nâng cao cho học sinh lớp 10 và làmột trong những chuyên đề khó và hay trong các đề thi Đại học – Cao cũngnhư trong các đề thi học sinh giỏi

- Đây là một nỗ lực nhỏ của tôi nhằm khắc sâu kiến thức, phát triển tư duy chohọc sinh trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán bất đẳng thức

E NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi không tránh khỏi những thiếu sót nhất định.Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy và họctrong nhà trường, tôi rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của nhóm chuyên môn cũngnhư hội đồng khoa học cơ sở Điều đó sẽ giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong quátrình giảng dạy sau này Qua đây, tôi xin cảm ơn một số ý kiến đóng góp của bạn bè,đồng nghiệp đã giúp tôi hoàn thành đề tài một cách đầy đủ hơn

Tân Lập, ngày 10 tháng 4 năm 2011

Người viết

Trần Thị Hồng Minh

F Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI

CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ

Chủ tịch hội đồng

G Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN

Chủ tịch hội đồng