RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 1 6 2 1 7 1 x x y y x y y x y x y y + − + = + + + = + − + + Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 2 2 1 9 33 29 4 4 4 4 1 2 x x y x y y y y x x y x y + + + − + − = − + + + + = + + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, 3 1 ; 2 2 − N là điểm trên cạnh AC sao cho AN AC = 1 4 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Trang 1Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
2
1
x x y y x y y
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC,
3 1
;
2 2
−
N là điểm trên cạnh AC sao cho 1
4
=
AN AC Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đường thẳng DM có phương trình x− =1 0
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là điểm thuộc cạnh AC
sao cho AM =2AB, đường tròn tâm I( )0;3 đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết đường thẳng CD: x+3y− =13 0 và đường thẳng BC đi qua điểm K(7;14) Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và điểm C có hoành độ dương
Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
2
x x xy y xy xy y
Lời giải:
x −xy≥ xy−y ≥ x≥ y≥
Từ phương trình (1) ta có x2+ x2−xy+y2 =2xy+ xy−y2
0
1
x xy xy y
>
Thay x= yvào phương trình (2) ta có x2+2y x+ =2 2x−3 y
2
1
2
x x
− + − +
x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
2
2
16 4
x y y x y y
x y y x
y
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có x−2y+y2 + x−2y+ = +4 y 2
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
( ) 2
0
2
>
x y
x y y y
Thay x=2y vào phương trình (2) ta có x2 4 2x x 2
y
x2 4 2x x 4
x
Đặt t x 4(t 0)
x
0 ( )
=
=
t
t t
t loai
x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; )x y =(2;1)
Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA
và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE=BF, gọi 12 29;
N
là giao điểm của 2
đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng EF y: − =5 0 và B( )3; 4 Tìm tọa độ các đỉnh
của hình vuông ABCD
Lời giải:
Dễ thấy EF/ /BD (vì cùng tạo với AB góc 45 ) 0
CB AB
⊥
⊥
Phương trình BD y: − =4 0, gọi I t( ); 4 ta có: IB=IN
Từ đó suy ra D(−3; 4) khi đó phương trình AC là : x=0
Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại A( )0;7
Khi đó: A( ) ( )0;1 ;C 0;7 Vậy A( ) ( ) ( ) (0;1 ;B 3; 4 ;C 0; 7 ;D −3; 4) là các điểm cần tìm
Ví dụ 8 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
( )
2
4 4 2 4 6 4 1
y
x y y x y
y y
Lời giải
ĐK : 1; 1; 2 1 0
4
y≥ x≥ − y− y− ≠
y
−
( )
2
0
2
x y y y x y
>
Trang 3Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Thay⇔ =y x2+2vào phương trình 2 ta có xy+4x+4y− =2 (4x+6) 4x+1
3 2
Xét hàm số ( ) 3 2
5
f t = + +t t t với t>0
Ta có 3t2+ + >2t 5 0với ∀ >t 0
Suy ra hàm số đồng biến f t với ( ) ∀ >t 0
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 6) và (0; 2)
Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3 x+ − =y 13 0và N(2; 2) Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và G=BI∩CM suy ra G là trọng tâm tam
giác ABC Đặt AB=2a ta có: 2 2 5
a
CG= CM = ; BD=2a 2
GI = IN = ⇒GN = CN = CI +IN =
GC CN GN
GC CN
10
NC GCN =d N CM = ⇒NC=
Gọi C t( ;13 3− t) (t>3) ta có NC2 =5 ( ) (2 )2 4 ( ) ( )4;1
3
t loai
=
Vậy C( )4;1 là điểm cần tìm