SỞ GDĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN Ngày Thi: 17062016 Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x x 4 2 2 4. Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số y x x 3 2 3 1có đồ thị ( ). C Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ bằng 1. Câu 3 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 2 ) (3 2 ) 4 10 . i i i z z Tìm môđun của số phức w z z 2 . b) Giải phương trình 27 5.3 4. x x 2 3 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 2 1 I e e x dx
Trang 1SỞ GDĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN QUANG DIÊU Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN
Ngày Thi: 17/06/2016
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx4 2x2 4.
Câu 2 (1,0 điểm) Cho hàm số yx3 3x2 1có đồ thị ( ).C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm
có tung độ bằng 1
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện(1 2 ) i z (3 2 )i z 4 10 i Tìm môđun của số phứcw z 2 z
b) Giải phương trình 27x5.32 3 x 4
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
2 1
I e e x dx
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(7; 2; 1), ( 5;B 4; 3)và mặt phẳng ( ) : 3P x 2y 6z 38 0
a) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB.
b) Chứng minh ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Cho gócthỏa cot2.Tính giá trị của biểu thức 3 cos 3
cos 2sin
b) Tìm hệ số của số hạng chứax7 trong khai triển
11
2 2
x
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a; BCD60o; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),hai mặt phẳng (SCB)và (SCD)vuông góc với nhau Tính thể tích khối chóp
S ABCDvà khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)theo a
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD A, (2; 2), BC 3BA, trọng tâm của tam giác ABClà 0; 10
3
G
.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhậtABCDbiết rằng đỉnh Bcó hoành độ dương, đường trung tuyến kẻ từ Bcủa tam giác ABDcó hệ số góc nhỏ hơn 1
Câu 9 (1,0 điểm) Tìm mđể hệ sau có hai nghiệm phân biệt:
2
2
1 log ( 1) log ( 1)
2
x x
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 2z2 2(1 xy). Tìm giá trị nhỏ
2
P x y z x y z
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU
ĐÁP ÁN TOÁN THI DIỄN TẬP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
NGÀY 17/06/2016
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định
2) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm (sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả)
II) Đáp án và thang điểm:
1 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx4 2x2 4.
Tập xác định
Chiều biến thiên:
- Ta có y 4 (x x2 1); y 0 x 0hoặcx 1
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 1)và(0;1)
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng( 1; 0) và(1;)
0.25
Cực trị:
- Hàm số đạt cực tiểu tại x 1, y CT y( 1) 3.
- Hàm số đạt cực đại tại x 0, y CÑy(0) 4.
Các giới hạn tại vô cực: lim ; lim
0.25
Bảng biến thiên
y
0.25
Đồ thị hàm số : Đồ thị qua các điểm 1 31
9 3
; , ( 2; 12), (2; 12).
0.25
1 điểm
Cho hàm sốyx3 3x2 1có đồ thị ( ).C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có tung độ bằng 1
Hoành độ xocủa tiếp điểm M là nghiệm của PT xo3 3xo2 1 1 xo3 3xo2 0
o 0; o 3.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y (0) 0, y (3) 9(với y 3x2 6x) 0.25
x 1
1
4 3 O
Trang 3PT tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại M(0; 1) là y1 0.25
PT tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại M(3; 1) là y 9x 26. 0.25
1 điểm
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện(1 2 ) i z (3 2 )i z 4 10 i Tìm môđun của số phứcw z 2z
Đặt z a bi a b( , ) z a bi.
Ta có(1 2 ) i z (3 2 )i z 4 10i (1 2 )( i a bi ) (3 2 )( i a bi ) 4 10i
4a (4a 2 )b i 4 10i
Ta có w z 2z 1 3i 2(1 3 ) i 3 3i. Suy ra môđun của w là
2 2
b) Giải phương trình 27x5.32 3 x 4
.
45
27
x
Đặt t 27 (x t 0)ta được t2 4t 45 0
0.25
9
t
hoặc t 5(loại)
3
Vậy PT đã cho có nghiệm là 2
3
x
0.25
1 điểm
Tính tích phân
2 1
I e e x dx
Ta có
2 1
2 1
Kxe dxxe e dx e e e e e e e e 0.25
1 điểm
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(7; 2; 1), ( 5;B 4; 3)và mặt phẳng ( ) : 3P x 2y 6z 38 0
a) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB.
b) Chứng minh ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S
a) Mặt cầu ( )S có tâmI(1; 1; 1),bán kính RIA7 0.25
( ) : (S x 1) (y 1) (z 1) 49. 0.25 b) Ta có khoảng cách từ Iđến mặt phẳng ( )P là
3.1 2( 1) 6( 1) 38
3 ( 2) ( 6)
d I P
0.25
Vì d I P( ;( ))R nên suy ra ( )P tiếp xúc ( ).S 0.25
1 điểm a) Cho gócthỏa cot2.Tính giá trị của biểu thức 3 cos 3
cos 2sin
Trang 4Do cot 2 sin 0,ta có
2 3
cos
cot (1 cot ) sin
P
0.25
b) Tìm hệ số của số hạng chứax7 trong khai triển
11
2 2
x
2
x
Tìm k sao cho22 3 k 7 k 5
Vậy hệ số của số hạng chứax7là C115.( 2) 5 14784. 0.25
1 điểm
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a; BCD60o; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),hai mặt phẳng (SCB)và (SCD)vuông góc với nhau Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)theo a
Theo giả thiết ABCD là hình thoi cạnh a và BCD60o BCDđều và diện tích
hình thoi ABCD là
2 3 2
BCD
a
Ta có BD AC BD (SAC) BD SC
Gọi OACBD,trong (SAC)kẻOM SC M, SC
Do đó BMD là góc giữa (SCB) và (SCD)
90
a
Ta thấy
SAC
3
2 3
a a
SA
Thể tích khối chóp cần tìm là
3
a
0.25
Ta có O là trung điểm của AC nên ( , ( d C SBD))d A SBD( , ( ))
Trong (SAC), kẻ AH SO H, SOmàAHBDnên AH (SBD)
( , ( ))
0.25
Trong tam giác SAO vuông tại A có 1 2 12 12 22 42 22
AH AS AO a a a
2
a AH
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) là
2
1 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD A, (2; 2), BC 3BA,
S
A
H
B O
M
C
D
Trang 5trọng tâm của tam giác ABClà 0; 10
3
G
.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhậtABCDbiết rằng đỉnh Bcó hoành độ dương, đường trung tuyến kẻ từ Bcủa tam giác
ABDcó hệ số góc nhỏ hơn 1
Cách 1
Gọi Nlà trung điểm của BC.Ta cóAG2GNN( 1; 4).
GọiM là trung điểm của AD I, là trung điểm củaBM.Khi đó
Ilà trung điểm củaAN.Suy ra 1; 3
2
I
0.25
Gọi ( )C là đường tròn ngoại tiếp tam giác(ABN)
PT đường tròn
2
2 2
( ) : ( 3)
C x y AI
0.25
GọiB a b( ; ),ta có
2
2
2 2
2
( 3)
2 4
2 3
13
3
16 13
a b b
a b
a
b
Theo giả thiết đường thẳng BMcó hệ số góc nhỏ hơn 1 nên chọnB(2; 4)
0.25
Với B(2; 4) và trung điểm N( 1; 4) ta suy raC( 4; 4).
Từ ABDCD( 4; 2).
Vậy các đỉnh còn lại cần tìm của hình chữ nhậtABCDlàB(2; 4), ( 4; 4), ( 4; 2).C D
0.25
Cách 2
Gọi Nlà trung điểm của BC.Ta cóAG2GNN( 1; 4).
Suy ra PTAN: 2x3y 10 0
GọiM là trung điểm của AD I, là trung điểm củaBM.Khi đó
Ilà trung điểm củaAN.Suy ra 1; 3
2
I
0.25
AN AB BN m
BA mBC mIAIB
Ta có
5 cos( , ) cos
IB IA AB
BM AN BIA
IB IA
0.25
2
BM a x b y a b
2 2
a b
a b
Với b 0 27a2 0 a 0(loại)
Vớib 0,chia hai vế của PT (*) chob2ta được
0.25
C D
N M
I G
Trang 62 2
3
46 9
a
a
b
Theo giả thiết đường thẳng BMcó hệ số góc k a 1
b
nênBM: 2x 3y 8 0.
3
t
BBM B t
Ta có
3
t
IBIA t
2
13t 13t 26 0
1 ( 1; 2) ( )
Với B(2; 4) và trung điểm N( 1; 4) ta suy raC( 4; 4).
Từ ABDCD( 4; 2).
Vậy các đỉnh còn lại cần tìm của hình chữ nhậtABCDlàB(2; 4), ( 4; 4), ( 4; 2).C D
0.25
1 điểm
Tìm mđể hệ sau có hai nghiệm phân biệt:
2
2
1 log ( 1) log ( 1)
2
x x
(1) 2
Ta có
1
1
x x x
1
1 2 1
x
x x
x
0.25
Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt(2) có hai nghiệm phân biệt thỏa1 x 3
log 2 5 log ( 1) 4
t x x x
Với x(1; 3)thìt(2; 3)
PT(2) trở thành 2 2
m
t
(* )
0.25
f t t ttrên khoảng (2; 3); có ( ) 2 5, ( ) 0 5
2
f t t f t t
Lập bảng biến thiên
( )
( )
f t
6
25 4
0.25
Dựa vào bảng biến thiên và cách đặt tở trên ta thấy:
Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt t(2; 3)
1 điểm
Cho là các số dương thỏa mãnx2 y2 2z2 2(1 xy) (*).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
P x y z x y z
Từ (xy) 2 2xz 2 2yz2 0suy ra(x y 2 )z 2 4(x2y2z2) (1) 0.25
Trang 7Mặt khác 2 2 2
2 2
2 2 2
x y z
(2)
Từ (1) và (2) suy ra Px2y2z2 x2y2z2
0.25
Lại đặt tx2 y2 z2 , ( )2 2 2 1
2
t
(do (*))
Ta được P t t. Xét hàm số f t( ) t tvới t1.Ta có ( ) 1 1 0
2
f t
t
với mọi 1,
t nên hàm số f t( ) đồng biến trên [1; ).Suy ra f t( ) f(1) 0 P 0
0.25
Do đó GTNN của Plà 0, đạt được khi
1
2
2
2
x y
x y z
z
x y
z
0.25
